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CÁLCULO III
REVISÃO DAS AULAS 6 A 10
Tema da Apresentação
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CÁLCULO III
Conteúdo Programático
Aula 6: Funções com Várias Variáveis
Aula 7: Derivadas Parciais e 
Diferenciabilidade
Aula 8: Regra da Cadeia, Vetor 
Gradiente e Derivada Direcional
Aula 9: Máximos e Mínimos de funções
 de Várias Variáveis
Aula 10: Método dos Multiplicadores de Lagrange
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AULA 6 – FUNÇÕES COM VÁRIAS VARIÁVEIS
Funções de duas variáveis reais a valores reais
 
Definição: Uma função de duas variáveis reais a valores reais é uma função f:A R, onde A é um subconjunto de R2. Tal função associa a cada par (x,y) A, um único número f(x,y) R.  
Exemplo: z = f(x,y) = x2 - 4xy 
Esta função tem como domínio D todos os pares ordenados (x,y)  R2.
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GRÁFICO DA FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Quando a função é definida f(x,y), o gráfico é uma superfície em R3.
Exemplo: f(x,y) = x2 + y2
 Quando a função é definida f(x,y,z), o gráfico não será possível ser visualizado. 
Exemplo: w = f(x,y,z)= x2 + y2 + z
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Curvas de Nível
Definição: Sejam z = f(x,y) uma função e c  Imf. O conjunto de todos os pontos (x,y) de Df tais que f(x,y) = c, denomina-se curva de nível ou curva de contorno de f. Correspondente ao nível z = c. Assim, f é constante sobre cada curva de nível 
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LIMITE E CONTINUIDADE
TEOREMA DO CONFRONTO
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Exemplo
Calcule caso exista
EXEMPLO 1
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EXEMPLO 2
Primeiro caminho: Sobre o eixo x, portanto y = 0
Portanto,
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Segundo caminho: Sobre o eixo y, portanto x = 0
Portanto,
Podemos então concluir que o
Não existe.
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Exemplo:
é contínua em (0,0) ?
Calculamos anteriormente o limite dessa função e concluímos que o limite quando (x,y) se aproxima de (0,0) não existia.
 Portanto, a função não é contínua no ponto (0,0).
CONTINUIDADE
Definição 
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Exemplo:
é contínua em (0,0) ?
No material de estudo temos o desenvolvimento dessa questão onde fica provado que o limite da função existe e é igual a zero. 
 
Portanto, a função f(x,y) é contínua no (0,0).
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AULA 7 – DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE
Definição de derivadas parciais
Notações:
Notações:
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EXEMPLOS
1. Seja f(x,y) = 2xy – 4y. Calcule 
2. Seja f(x,y) = 2xy – 4y. Calcule 
3. Seja f(x,y) = 2xy – 4y. Calcule 
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3. Seja função
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DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
Derivada parcial de segunda Ordem em relação a x
Derivada parcial de segunda Ordem em relação a y
Derivada parcial de segunda Ordem em relação a y e x.
Derivada parcial de segunda Ordem em relação a x e y.
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EXEMPLO
Seja f(x,y) = 4 x5 y4 – 6 x2y + 2. Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem.
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DIFERENCIABILIDADE
Em cada ponto do gráfico da função f deverá existir um único plano tangente que represente uma boa aproximação da função perto do ponto indicado.
Definição: Plano tangente
O plano tangente ao gráfico de f(x,y) em (x0,y0,f(x0,y0)) é perpendicular a direção do vetor normal. 
Portanto:
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EXEMPLO
 
Determine a equação do plano tangente da reta normal ao gráfico de z2 = x2 +y2 no ponto
1º ) Calcular as derivadas parciais 
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2º ) Determinar T(x,y)
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Reta Normal
(x,y,z) = (1,2,))+ t N(x0,y0)
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AULA 8 – REGRA DA CADEIA, VETOR GRADIENTE E 	 		 DERIVADA DIRECIONAL
Vetor gradiente
 
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Exemplo: Vamos determinar o vetor gradiente da função abaixo:
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Exemplo: Dada as funções diferenciáveis 
z = f(x,y) = xy
x = x(t) → x(t) = t2 
y = y(t) → y(t) = t
Vamos calcular:
REGRA DA CADEIA
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DERIVADA DIRECIONAL
Objetivo
 
Generalizar o conceito de derivadas parciais para obter a taxa de variação de uma função em uma direção específica.
 
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Observação
Na definição de derivada direcional o vetor deve ser unitário. A razão disso é que se o vetor não fosse unitário a derivada direcional não dependeria somente do ponto e da direção, mas também do comprimento do vetor. 
Teorema
Se f é uma função diferencial então:
produto escalar
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EXEMPLO 1
Calcule as derivadas direcionais de na direção do vetor 
Devemos então calcular: 
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EXEMPLO 2
Seja f(x,y,z) =
Determine a direção de maior variação de f e a taxa de maior variação da função no ponto P= (1,1,-1). 
Direção de maior variação de f em P
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Taxa de maior variação de f em P
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 Definição
 Ponto de Máximo Relativo ou local
AULA 9 – MÁXIMOS E MÍNIMOS
 Ponto de Mínimo Relativo ou local
Chamamos o valor de máximo ou mínimo relativo de valor extremo relativo. 
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Definição
 
Ponto Crítico ou Ponto Estacionário
 
Dizemos que (a,b) é um ponto crítico ou estacionário de f se (a,b) no domínio da f for ou não exista. 
(Isto é, se ). 
 
Se o ponto crítico (a,b) é um ponto interior do domínio da f, então dizemos que este é um ponto crítico interior do domínio .
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EXEMPLO
Encontre os pontos críticos da função
O domínio da função é (x,y) . Vamos então calcular fx e fy para podermos aplicar a definição de ponto crítico.
 
fx = 3x2 -3 e fy = 3 y2 – 3. 
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Aplicando a definição: 
 
3x2 -3 = 0  3x2 = 3  x =  1
3 y2 – 3 = 0  3y2 = 3 y =  1
Portanto, os pontos críticos serão todos os pares ordenados possíveis com x =  1 e y =  1:
(1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1). 
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OBSERVAÇÃO
Condição necessária para a existência de pontos extremantes
Z = f(x,y) ser diferenciável
Logo (x0 , y0) é um ponto crítico de f.
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Para calcularmos o(s) máximos e/ou mínimos relativos apresentaremos o teorema da segunda derivada, mas primeiro aprenderemos a calcular a Hessiana.
Definição: Seja f(x,y) de classe C2. A função H dada por 
denomina-se hessiana de f.
Condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local
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OBSERVAÇÃO
determinante da matriz
De forma mais simplificada definimos:
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EXEMPLO
Seja
Os pontos críticos de f são (1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1) - calculados no exemplo anterior. 
Vamos primeiro calcular a Hessiana:
e
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1º Passo: 
Podemos verificar que H(1,1) = 36 >0 e
Logo pelo teorema da segunda derivada, (1,1) é ponto de mínimo local. 
Note que (1,1) não é o único ponto de mínimo, existem outros menores que ele, 
por exemplo. Pois f(-3,0) < f(1,1), veremos mais adiante que este será o ponto de mínimo global.
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Logo pelo teorema da segunda derivada, (1,-1) não será extremante local. Nesse caso, será ponto de sela.
2ºPasso: 
Podemos verificar que H(1,-1) = -36 < 0 e 
3ºPasso:
Podemos verificar que H(-1,1) = -36 < 0 e 
Logo pelo teorema da segunda derivada, (-1,1) não será extremante local. Nesse caso, será ponto de sela.
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4ºPasso:
Podemos verificar que H(-1,-1) = 36 > 0 e 
 
Logo pelo teorema da segunda derivada, (-1,1) é ponto de máximo local.
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EXTREMOS ABSOLUTOS
 
Considere uma função real z = f(x,y) definida em D  2 e (x0,y0)  D.
 
Máximo Absoluto: Dizemos que f(x0,y0) é um valor de máximo absoluto de f , se f(x0,y0), tal que , para todo (x,y) pertencente a D. 
 
Mínimo Absoluto: Dizemos que f(x0,y0) é um valor de máximo absoluto de f , se f(x0,y0), tal que , para todo (x,y) pertencente a D. 
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AULA 10: MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Teorema
 
Sejam f(x,y) e g(x,y) sejam funções definidas e de classe C1 num subconjunto aberto U do plano xy que contém a curva C de equação g(x,y)=0. 
Se f(x,y) tem um valor máximo ou mínimo em (x0,y0)  c e g(x0,y0) não é o vetor nulo, então existe um número real λ tal que f(x0,y0) = λ g(x0,y0). Chamamos o número λ de multiplicador de Lagrange.
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Em outras palavras:
Se f(x,y) possui máximo ou mínimo com a restrição g(x,y) = 0 , esse máximo ou mínimo ocorre em um dos pontos críticos da função F dada por
F(x,y, λ) = f(x,y) – λg(x,y)
Como foi dito anteriormente λ (lambda) é chamada de multiplicador de Lagrange. No caso de uma função de três variáveis, a função F é dada por
F(x,y, z,λ) = f(x,y,z) – λg(x,y,z)
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EXEMPLO 1
Um prédio retangular deve ser construído num terreno com a forma de um triângulo, conforme a figura abaixo. Vamos terminar a área máxima possível para o prédio.
prédio
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Vamos analisar o problema num sistema de coordenadas cartesianas. 
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Podemos observar que a área do prédio é dada por A(x,y) = x.y
e que o ponto P(x,y) deve estar sobre a reta x + 2y = 20.
Então podemos escrever o seguinte problema:
			Max xy
			Sujeito a: x + 2y = 20
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Agora vamos usar o métodos dos multiplicadores de Lagrange para resolvermos esse problema.
Vamos começar escrevendo a restrição x + 2y = 20 da seguinte forma:
X + 2y – 20 = 0
A função lagrangeana é dada por 
L(x,y,λ) = xy – λ (x + 2y – 20)
Derivando L em relação às três variáveis x, y e λ, encontraremos:
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L(x,y,λ) = xy – λ (x + 2y – 20)
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Resolvendo o sistema, encontraremos x = 10, y = 5 e λ = 5
Observe que as dimensões do prédio que fornece um valor máximo para a sua área são x = 10 e y = 5. Portanto, 
a área do prédio A(x,y) = x.y será A = 10.5 = 50 m2.
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
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