Cálculo Vetorial: Funções, Movimento e Curvas

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CÁLCULO III
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CÁLCULO III
Conteúdo Programático
Aula 1: Funções com Valores Vetoriais
Aula 2: Aplicações ao Movimento e 	 	Comprimento de Arco
Aula 3: Vetores tangente Unitário, Normal 	 Principal e Curvatura
Aula 4: Algumas Superfícies Espaciais
Aula 5: Superfícies de Revolução e 	 	Superfícies Quádricas
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Definição: Função vetorial de uma variável real t é definida num intervalo I, onde para cada t  I associamos um vetor do espaço. 
Notação: 
Equação vetorial
AULA 1 – FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS
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 LIMITE E CONTINUIDADE
Definição: 
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EXERCÍCIO
Calcule o limite da função vetorial quando t → 1 
Resolução:
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CONTINUIDADE
Verificar se o limite da função existe no ponto dado, por exemplo no ponto a.
Determinar o valor da função aplicada no ponto dado, ou seja, calcular a f(a). 
A função será contínua, caso o limite e a função no ponto em estudo existam e sejam iguais.
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Verifique se a função vetorial dada é contínua no ponto indicado.
Resolução:
Portanto a função é contínua no ponto t = 0.
CONTINUIDADE
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Considere a função vetorial 
DERIVADA
Exercício: Calcule a derivada da função vetorial
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CURVAS PARAMETRIZADAS
Portanto definimos a equação = (x(t),y(t),z(t)) como a parametrização da curva C e as componentes
x = x(t), y = y(t) e z = z(t) são chamadas de equações paramétricas da curva C e t é chamado parâmetro.
Exercício:
As equações paramétricas → 
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Parametrização de uma reta
Equação vetorial da reta →
 = (vx, vy,vz)t + (x0, y0,z0), t 
 =(vxt + x0, vyt + y0, vzt + z0)
 	 Exercício: Determinar uma representação paramétrica da reta que passa pelo ponto A(2,1,-1) na direção do vetor 
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Equação r(t) = σ(to ) + t. σ’(to ) , t é um parâmetro real. 
Podemos escrever: 
RETA TANGENTE
Exercício:
Determinar a reta tangente da seguinte função, no ponto indicado.
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Inicialmente devemos identificar o valor do parâmetro t que satisfaz a curva. Vamos considerar t0 = 1. 
Derivamos a função vetorial dada. 
Logo, o vetor diretor ou seja, o vetor v = (3,2,1). A reta tangente será:
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AULA 2 – APLICAÇÕES AO MOVIMENTO E COMPRIMENTO 	 DE ARCO
Observe que quando t varia, a extremidade livre do vetor σ(t) descreve a trajetória C da partícula.
A função σ(t) é dita função posição do movimento. 
Vetor velocidade da partícula →
Vetor aceleração da partícula →
Velocidade escalar v(t) → v(t) = ||σ’(t)|| 
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EXERCÍCIO
No instante t, a posição de uma partícula no espaço é dada por
a) Determinar a posição da partícula para t = 4.
b) Determinar o vetor tangente à trajetória da partícula no ponto P(1,2,4).
 
O vetor tangente →
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b) Determinar o vetor tangente à trajetória da partícula no ponto P(1,2,4). 
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c) Determinar o vetor velocidade da partícula para t = 4. 
d) Determinar o vetor aceleração da partícula para t = 4. 
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e) Determinar a velocidade escalar da partícula para t = 4. 
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COMPRIMENTO DE ARCO
Exercício:
Calcular o comprimento da curva (hélice circular).
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, 
.
Cálculo da derivada da função dada.
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Vetor tangente unitário →
AULA 3 – Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal 	 e Curvatura
Exercício:
Encontre o vetor T(t) a curva (t) = ( cos t, sen t), t ≥0
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Vetor normal principal →
Exercício: 
Calcule o vetor N(t) a curva (t) = ( cos t, sen t), t ≥0
’(t) = (-sent, cos t) e ’’(t)= (-cos t, -sent)
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Componentes tangencial e normal da aceleração
A(t) = v’(t).T(t) + v(t).||T’(t)||.N(t)
T(t) → componente tangencial da aceleração
N(t) → componente normal da aceleração
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Exercício: 
Uma partícula se move ao longo da curva C dada por
Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração.
Vetores velocidade e aceleração
Velocidade escalar
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As componentes tangencial e normal da aceleração.
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CURVATURA
A curvatura de uma curva é a taxa de variação de sua direção, ou seja, a velocidade com que a tangente à curva muda de direção por unidade de comprimento. 
Exercício:
Determine a curvatura da circunferência de raio a e centro na origem.
() = ( a cos , a sen ), 0 ≤  ≤ 2
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RESOLUÇÃO
() = ( a cos , a sen ), 0 ≤  ≤ 2
’() = (-a sen , a cos )
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Observação
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Raio de curvatura da trajetória em um dado ponto p  
Seja C uma curva e P um ponto em C tal que k(t) existe e k(t) ≠ 0. O inverso da curvatura (k(t) é o raio de curvatura. Vamos chamá-lo de ρ(t) = 1/k(t)
Exercício: Determinar o raio de curvatura da parábola r(t) = (t,t2).
A curvatura da parábola é dada por 
Considerando r(t) na origem, t = 0. Assim, o raio de curvatura é 
ρ(t) = 1/k(t) → ρ(0) = 1/k(0) = 1/2 
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Vetor binormal →
B(t) = T(t) x N(t)
O plano determinado pelo vetor normal e pelo vetor binormal num ponto P sobre a curva C → plano normal
Plano determinado por T(t) e N(t) → plano osculador 
Exercício: Determinar o vetor binormal da circunferência 
r(t) = (2cost, 2 sent), [0,2π] em um ponto P qualquer.
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PLANO →
Equação cartesiana do plano
AULA 4 – Algumas Superfícies Espaciais
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Exercício: Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2,-1,3), sendo um vetor normal a π.
Exercício: Determinar a equação cartesiana do plano β que passa pelo ponto A(3,1,-4) e é paralelo ao plano π: 2x – 3y + z – 6 = 0.
Como β//π, o vetor normal n = (2, -3, 1) a π também é normal a β. Equação do plano β do seguinte modo: 2x – 3y + z + d = 0 → d = 1, logo β: 2x – 3y + z + 1 = 0
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Exercício: Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(1, -3, 4) e é paralelo aos vetores u = (3, 1, -2) e v = (1, -1, 1)
Determinar o vetor normal n = u x v.
n = (-1, -5, -4)
A equação do plano será –x -5y - 4z + d = 0 (1)
Substituindo A(1, -3, 4) em (1) encontramos d = 2.
Portanto a equação geral será –x -5y - 4z + 2 = 0. 
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Existe apenas um plano que passa por dois pontos A e B e é paralelo a um vetor v1 não colinear ao vetor v2 = AB. Neste caso escrevemos o vetor normal da seguinte forma n = v x AB. 
Existe apenas um plano que passa por três pontos A, B e C porem não em linha reta. Neste caso escrevemos o vetor normal: n = AB x AC, onde v1 = AB e v2 = AC 
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Exercício: Determinar a equação geral do plano determinado pelos pontos A(2, 1, -1), B(0, -1, 1) e C(1, 2, 1).
Inicialmente devemos encontrar os vetores AB = (-2, -2, 2) e AC = (-1, 1, 2).
Depois determinamos o vetor normal 
n = AB x AC → n = (-6, 2, 4)
A equação será -6x + 2y + 4z + d = 0, onde d = 6.
Portanto a equação do plano será -6x + 2y + 4z + 6 = 0.
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Equação vetorial do plano
(x,y,z) = (x0,y0,z0) + h(a1,b1,c1) + t(a2,b2,c2), onde h e t são números reais.
Exercício: Determinar a equação vetorial do plano que passa pelo ponto A(1, -3, 4) e é paralelo aos vetores u = (3, 1, -2) e v = (1, -1, 1)
(x,y,z) = (1,-3,4) + h(3,1,-2) + t(1,-1,1),onde h e t pertence ao reais. 
Equação Paramétrica do plano
x = 1 + 3h +t, y = -3 + h – t e z = 4 - 2h + t
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obtida pela rotação de uma curva plana em torno de uma reta fixa que pertence ao mesmo plano da curva (curva geratriz).
Superfície de revolução 
cilindro - superfície gerada por uma reta R, chamada geratriz do cilindro, que se move ao longo de uma curva plana C chamada diretriz do cilindro. 
Cilíndrico circular reto, oblíquo, equilátero 
Cilindro parabólico
Cilindro Elíptico
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AULA 5 – Superfícies Quádricas
Quádrica ou superfície quádrica.
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
A equação do segundo grau será do tipo
Ax2 + By2 + Dxy + Gx + Hy + J = 0 → cônica.
Gráfico de uma quádrica
TRAÇO - interseção de uma superfície com um plano. 
Exemplo: O traço da superfície quádrica no plano z = 0 é a cônica Ax2 + By2 + Dxy + Gx + Hy + J = 0
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SEÇÕES – são as curvas de interseção da superfície com os planos paralelos aos planos coordenados.
 
Exemplo: Se estamos no plano yz, as seções serão obtidas fazendo x = c (c é uma constante) na equação da superfície.
Elipsóide
Esfera
Hiperbolóide de uma folha
Hiperbolóide de duas folhas
Cones Elípticos
Parabolóides Elípticos e Hiperbólico
Cilindros: circular, parabólico, hiperbólico, elíptico
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6