Lista de exercicios do prof sebastião

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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO - BCMT - LISTA 1
Exercício 1. Um super sapo somente dá pulos de 23 metros de extensão. Ele está a 11724 metros
da beira de uma lagoa que costuma freqüentar.
a) Qual é o número máximo de pulos que ele pode dar sem cair na lagoa?
b) Neste caso, quantos metros o separam da lagoa após esse número de pulos?
c) Qual o número mínimo de pulos necessários a fim de que ele caia na lagoa?
Exercício 2. Utilize divisão euclidiana para obter, para cada número dado a seguir, os múltiplos
de 57 que melhor os aproximam por falta, e os que melhor os aproximam por excesso.
a) 570058 b) 4444 c) 180 d) 966080007 e) 1000010000
Exercício 3. Escreva os seguintes números na base 10.
a) (65014)15 b)(10000000)2 c)(10000000)3 d)(40321043)5 e)(70765412)8
f)(87006541)9 g)(22054303)6 h)(10122101)3 i)(3α59αα0)11 j)(αβ50β2α9)12
Observações:
• Os sub-índices do lado de fora dos parênteses representam, respectivamente, as bases de nume-
ração. Essas bases estão expressas na base 10, e não na própria base.
• No item (i), o símbolo α corresponde ao número (10)10 (10 na base 10). Porque precisamos de
11 algarismos para escrevermos na base 11, pusemos o símbolo α para o 11º algarismo (0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α).
• Do mesmo modo, já que no item (j) estamos na base 12, precisamos de dois novos símbolos, um
para o 11º e outro para o 12º algarismo. Colocamos os símbolos α e β, respectivamente (0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α, β).
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Exercício 4. Escreva os números do exercício anterior no sistema de numeração de base 7.
(Sugestão: Passe 1º para a base 10, depois então desta para a base 7.)
Exercício 5. Escreva os números do exercício 1 no sistema de numeração de base 4.
(Sugestão: Passe 1º para a base 10, depois então desta para a base 4.)
Exercício 6. Um aluno efetuando a divisão de 13 por 41, foi determinando o quociente até a
soma de todos os algarismos por ele escritos, na parte decimal, fosse imediatamente maior do que
ou igual a 530. Quantas casas decimais ele escreveu?
Exemplo 7. Em um número natural N de 9 algarismos, tem-se: os algarismos das unidades
simples, de milhar e de milhão são iguais a x; os algarismos das dezenas simples, de milhar e de
milhão são iguas a y. Finalmente, os algarimos das centenas simples, de milhar e de milhão são
iguais a z. Pode-se afirmar que N sempre será divisível por
a) 333664 b) 333665 c) 333666 d) 333667 e) 333668
Exercício 8. Para registrar o resultado da expressão 2101 ·597, o número de dígitos necessários é?
Exercício 9. Resolva as seguintes equações em N (observe que, nos casos dados a seguir, as
incógnitas podem ser bases das potências ou expoentes). Quando não houver solução, justifique,
argumente, mostrando que de fato não há solução.
a) 10k = 11t b) 2n · 13000 = 1664000 c) 3m · 35n · 63k = 2083725 d) 6a5 = b5
e) x2 = 4y2 f) m3 = 4n3 g) 125y3 = z3 h) 140625a6 = b6
i) y4 = 1296x4 j) y4 = 46656x4
(Sugestão: Para justificar quando não houver solução, use o TFA (Teorema Fundamental da Aritmética),
ou seja, que �dado qualquer número natural a > 1, ou a é primo, ou a se escreve como um produto de
fatores primos, de modo único, exceto quanto à ordem dos fatores�.)
Exercício 10. Simplifique ao máximo a expressão(
a2 + a
4
3 b
2
3
) 1
2
+
(
b2 + a
2
3 b
4
3
) 1
2