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Teoria Classica de Campos

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Teoria Clássica de Campos
Mario C. Bertin
29 de agosto de 2015
2
Sumário
1 Transformações de Lorentz 5
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Postulados fundamentais da relatividade restrita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Transformações de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Composição de velocidades, contração de Lorentz e dilatação do tempo . . . . . . . 9
1.5 O espaço-tempo de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 A partícula livre relativística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Transformações infinitesimais 15
2.1 Transformações infinitesimais em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Evolução temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Translações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Rotações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 A geometria de Minkowski 21
3.1 Vetores e covetores de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Ortogonalidade e os grupos de Lorentz e Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Álgebra de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5 A representação adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6 Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 O formalismo lagrangiano para campos 29
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Variações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 A primeira variação da ação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4 Os termos de fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5 Os princípios de Hamilton e Weiss e as equações de campo . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Os teoremas de Noether 39
5.1 Simetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2 A equação de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3 O primeiro teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.4 Cargas conservadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.5 Translações e a conservação de energia e momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.6 Rotações, momento angular e spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.7 O segundo teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.8 Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6 O campo escalar 57
6.1 O campo escalar real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 O campo escalar complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3 Simetrias internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.4 Simetrias de gauge locais e interação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3
7 O campo eletromagnético 63
7.1 O campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.2 O campo eletromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.3 Liberdade de gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8 Campos espinoriais 73
8.1 A álgebra de Clifford relativística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.2 Rotações: a representação espinorial das transformações de Lorentz . . . . . . . . 77
8.3 Representações de spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.4 Espinores de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.5 A ação de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.6 Aplicando o princípio de Weiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9 Campos de Gauge 89
9.1 Revisitando o campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.2 Transformações de gauge globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.3 Transformações de gauge locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.4 A lagrangiana invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4
Capítulo 1
Transformações de Lorentz
1.1 Introdução
Na mecânica clássica, a trajetória de uma partícula é descrita a partir da segunda lei de Newton
F =
dp
dt
, (1.1)
em que p = mv, sendo m a massa e v = x˙ = dx/dt a velocidade da partícula, definida a partir da
escolha de um sistema de coordenadas no espaço retangular R3. A posição da partícula pode ser
representada por um vetor posição x = (x, y, z), em que x, y e z são número reais relacionados
a três eixos cartesianos ex, ey e ez. A escolha de um sistema de coordenadas que descreve o
movimento de uma partícula em R3 é o equivalente físico à escolha de um sistema de referência
a partir do qual qualquer medida sobre o sistema pode ser tomada. Segundo a primeira lei de
Newton, se a força resultante que age sobre uma partícula é nula, existe sempre um sistema
referencial para o qual a velocidade da partícula é constante em sentido, direção e módulo. Um
referencial que obedece a essa propriedade é chamado referencial inercial, e uma das proprieda-
des mais importantes da dinâmica de um sistema clássico é que (1.1) continua vális ou, dito de
outra forma, é covariante em qualquer desses referenciais. Dizemos, assim, que o sistema físico
é invariante sob a escolha entre referenciais inerciais.
Esta invariância retira do espaço o caráter absoluto que lhe havia atribuído a mecânica de
Aristóteles. Por outro lado, outra suposição fundamental da mecânica newtoniana é sobre a
natureza imutável do tempo. Para qualquer referencial inercial, a passagem do tempo deve ser
a mesma, o que implica que se dois referenciais inerciais são usados para descrever um mesmo
sistema, intervalos de tempo medidos por ambos possuem o mesmo valor absoluto.
Vamos supor uma partícula de massa m de força resultante nula, que se move com velocidade
v com relação a um determinado referencial inercial O, cujo sistema de coordenadas seja dado
por x = (x, y, z). Agora vamos supor um segundo referencial inercial O′. Por simplicidade vamos
escolher este segundo referencial de modo que seus eixos cartesianos sejam paralelos aos eixos
cartesianos de O e que, em t = 0, a origem dos dois sistemas coincida. O sistema de coordenadas
de O′ é dado por x′ = (x′, y′, z′) e sua origem move-se com velocidade u, constante, com relação a
O. Ambos os sistemas de coordenadas estão relacionados por
x′ = x− ut. (1.2)
Lembremos que, segundo o caráter absoluto do tempo, t′ = t. Se x (t) representa a trajetória da
partícula sob o ponto de vista de O, (1.2) também resulta na trajetória da partícula x′ (t) medida
pelo referencial O′.
Neste caso, a velocidade da partícula medida por O′ é dada por
v′ =
dx′
dt′
=
dx′
dt
=
d
dt
(x− ut) = dx
dt
− u = v − u. (1.3)
Esta é a lei de composição de velocidades na mecânica newtoniana. Note que
p′ = mv′ =⇒ dp
′
dt
= m
dv′
dt
= m
dv
dt
=
dp
dt
, (1.4)
5