Teoria Classica de Campos

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Teoria Clássica de Campos
Mario C. Bertin
29 de agosto de 2015
2
Sumário
1 Transformações de Lorentz 5
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Postulados fundamentais da relatividade restrita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Transformações de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Composição de velocidades, contração de Lorentz e dilatação do tempo . . . . . . . 9
1.5 O espaço-tempo de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 A partícula livre relativística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Transformações infinitesimais 15
2.1 Transformações infinitesimais em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Evolução temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Translações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Rotações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 A geometria de Minkowski 21
3.1 Vetores e covetores de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Ortogonalidade e os grupos de Lorentz e Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Álgebra de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5 A representação adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6 Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 O formalismo lagrangiano para campos 29
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Variações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 A primeira variação da ação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4 Os termos de fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5 Os princípios de Hamilton e Weiss e as equações de campo . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Os teoremas de Noether 39
5.1 Simetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2 A equação de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3 O primeiro teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.4 Cargas conservadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.5 Translações e a conservação de energia e momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.6 Rotações, momento angular e spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.7 O segundo teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.8 Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6 O campo escalar 57
6.1 O campo escalar real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 O campo escalar complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3 Simetrias internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.4 Simetrias de gauge locais e interação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3
7 O campo eletromagnético 63
7.1 O campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.2 O campo eletromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.3 Liberdade de gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8 Campos espinoriais 73
8.1 A álgebra de Clifford relativística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.2 Rotações: a representação espinorial das transformações de Lorentz . . . . . . . . 77
8.3 Representações de spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.4 Espinores de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.5 A ação de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.6 Aplicando o princípio de Weiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9 Campos de Gauge 89
9.1 Revisitando o campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.2 Transformações de gauge globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.3 Transformações de gauge locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.4 A lagrangiana invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4
Capítulo 1
Transformações de Lorentz
1.1 Introdução
Na mecânica clássica, a trajetória de uma partícula é descrita a partir da segunda lei de Newton
F =
dp
dt
, (1.1)
em que p = mv, sendo m a massa e v = x˙ = dx/dt a velocidade da partícula, definida a partir da
escolha de um sistema de coordenadas no espaço retangular R3. A posição da partícula pode ser
representada por um vetor posição x = (x, y, z), em que x, y e z são número reais relacionados
a três eixos cartesianos ex, ey e ez. A escolha de um sistema de coordenadas que descreve o
movimento de uma partícula em R3 é o equivalente físico à escolha de um sistema de referência
a partir do qual qualquer medida sobre o sistema pode ser tomada. Segundo a primeira lei de
Newton, se a força resultante que age sobre uma partícula é nula, existe sempre um sistema
referencial para o qual a velocidade da partícula é constante em sentido, direção e módulo. Um
referencial que obedece a essa propriedade é chamado referencial inercial, e uma das proprieda-
des mais importantes da dinâmica de um sistema clássico é que (1.1) continua vális ou, dito de
outra forma, é covariante em qualquer desses referenciais. Dizemos, assim, que o sistema físico
é invariante sob a escolha entre referenciais inerciais.
Esta invariância retira do espaço o caráter absoluto que lhe havia atribuído a mecânica de
Aristóteles. Por outro lado, outra suposição fundamental da mecânica newtoniana é sobre a
natureza imutável do tempo. Para qualquer referencial inercial, a passagem do tempo deve ser
a mesma, o que implica que se dois referenciais inerciais são usados para descrever um mesmo
sistema, intervalos de tempo medidos por ambos possuem o mesmo valor absoluto.
Vamos supor uma partícula de massa m de força resultante nula, que se move com velocidade
v com relação a um determinado referencial inercial O, cujo sistema de coordenadas seja dado
por x = (x, y, z). Agora vamos supor um segundo referencial inercial O′. Por simplicidade vamos
escolher este segundo referencial de modo que seus eixos cartesianos sejam paralelos aos eixos
cartesianos de O e que, em t = 0, a origem dos dois sistemas coincida. O sistema de coordenadas
de O′ é dado por x′ = (x′, y′, z′) e sua origem move-se com velocidade u, constante, com relação a
O. Ambos os sistemas de coordenadas estão relacionados por
x′ = x− ut. (1.2)
Lembremos que, segundo o caráter absoluto do tempo, t′ = t. Se x (t) representa a trajetória da
partícula sob o ponto de vista de O, (1.2) também resulta na trajetória da partícula x′ (t) medida
pelo referencial O′.
Neste caso, a velocidade da partícula medida por O′ é dada por
v′ =
dx′
dt′
=
dx′
dt
=
d
dt
(x− ut) = dx
dt
− u = v − u. (1.3)
Esta é a lei de composição de velocidades na mecânica newtoniana. Note que
p′ = mv′ =⇒ dp
′
dt
= m
dv′
dt
= m
dv
dt
=
dp
dt
, (1.4)
5
desde que a massa seja constante. Este resultado implica que a aceleração de um sistema é
invariante sob a escolha de referenciais inerciais. Para que a segunda lei (1.1) seja covariante,
uma força F que age sobre a partícula também não pode depender da escolha do referencial
inercial.
Outro invariante sob a transformação (1.2) vem a ser a quantidade
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 = dx · dx, (1.5)
que é a métrica euclidiana do espaço cartesiano R3. Tomando-se (1.2), temos
(ds′)2 = dx′ · dx′ = dx · dx = ds2. (1.6)
Dada a invariância da métrica, é imediato notar que a norma dos vetores em R3 também é
preservada, o que implica que distâncias medidas por O devem ser as mesmas medidas por O′.
Portanto, os sistemas físicos descritos pela mecânica clássica são invariantes pelas transfor-
mações
x′ = x− ut, (1.7a)
t′ = t, (1.7b)
que são chamadas transformações de Galilei.
1.2 Postulados fundamentais da relatividade restrita
Até o século XIX, a relatividade de Galilei era considerada uma propriedade dos sistemas físi-
cos, em razão do grande sucesso da mecânica clássica. Contudo, na segunda metade do século
XIX as bases matemáticas do eletromagnetismo clássico foram reunidas em forma final, através
das equações de Maxwell. Foi uma grande surpresa quando os estudos de Lorentz e Poincaré
revelaram que tais equações não eram covariantes às transformações (1.7), ou seja, o eletro-
magnetismo não obedecia à relatividade galileana. Este fato tornou-se um problema teórico
fundamental, visto que a lei de força de Lorentz é baseada na mecânica newtoniana e, portanto,
uma incompatibilidade entre a teoria de Maxwell e a mecânica surgiu em nível formal.
Esta incompatibilidade não foi, contudo, observada imediatamente nas experiências em ele-
trodinâmica clássica (as trajetórias de partículas carregadas que se movem em campos eletro-
magnéticos, por exemplo, são bem descritas desde que as velocidades das partículas sejam ti-
picamente pequenas). Contudo, experimentos como o de Michelson e Morley (1989) mostraram
que a velocidade da luz no vácuo independe do movimento relativo entre a fonte e o observador,
em clara violação da relatividade de Galilei.
Einstein observou que a incompatibilidade entre o eletromagnetismo e a mecânica newtoni-
ana deveria ser corrigida modificando-se a mecânica, de modo que os sistemas físicos obedeces-
sem dois postulados fundamentais:
1. Todo sistema físico é invariante pela escolha de referencial inercial;
2. A velocidade da luz é uma constante independente do movimento relativo entre fonte e
observador.
Vamos supor que uma fonte de luz seja ligada na origem de um dado referencial inercial O, que
é munido de um sistema de coordenadas x = (x, y, z) e, também, de um relógio cujo instante
t = 0 marca o instante em que a fonte de luz é ligada. A frente de onda se move à velocidade da
luz, que denominaremos como c (tem o valor de exatamente 299.792.458 metros por segundo no
vácuo), e é descrita pela equação
x2 + y2 + z2 = c2t2,
neste referencial.
Agora, consideremos um segundo referencial inercial O′, não rotacionado com relação a O. O
sistema de coordenadas x′ = (x′, y′, z′) relativo a O′ tem origem coincidente com a origem de O
no instante em que a fonte é ligada, ou seja, quando t = 0 em O. Contudo, consideraremos que
6
O′ possui seu próprio relógio e que, neste, o intervalo de tempo medido não coincide necessari-
amente com o relógio carregado por O. Ou seja, t′ 6= t. Mas podemos definir o tempo em O′ de
modo que t′ = 0 quando t = 0. Isto é possível visto que as coordenadas da fonte são as mesmas
em ambos os referenciais quando esta é ligada, ou seja, o evento que deu origem ao pulso de luz
é simultâneo em ambos os referenciais.
Se a velocidade da frente de onda é a mesma para ambos os referenciais, temos
x′2 + y′2 + z′2 = c2t′2,
ou seja,
c2t′2 − r′2 = c2t2 − r2, (1.8)
em que r2 = x2 +y2 + z2, o mesmo para r′. Para simplificar o sistema, vamos supor que O′ mova-
se com velocidade constante u = uex com relação a O, em que u seja constante, real e positivo.
Assim,
c2t′2 − x′2 = c2t2 − x2. (1.9)
Esta configuração é chamada configuração padrão.
1.3 Transformações de Lorentz
Para que o postulado 1 seja válido, a transformação (t, x) → (t′, x′) deve ser linear. Portanto
vamos considerar
x′ = Ax+ cBt,
ct′ = Cx+ cDt.
Em (1.9), temos
c2t2 − x2 = (Cx+ cDt)2 − (Ax+ cBt)2
= C2x2 + c2D2t2 + 2cCDxt−A2x2 − c2B2t2 − 2cABxt
=
(
C2 −A2)x2 + (D2 −B2) c2t2 + 2c (CD −AB)xt.
Ao igualar os coeficientes,
C2 −A2 = −1,
D2 −B2 = 1,
CD = AB.
Vamos supor a seguinte solução:
A = D = coshφ,
B = C = − sinhφ,
em que o ângulo φ é chamado rapidez. Esta solução não é única, mas é escolhida por requeri-
mentos físicos. Em primeiro lugar, a configuração padrão implica que x′ e t′ crescem com x e t,
por isso a escolha do sinal negativo em B e C. Em segundo lugar, as transformações resultantes
devem levar às transformações de Galilei para |u| � c. Levando em conta esses critérios, temos
x′ = x coshφ− ct sinhφ,
ct′ = −x sinhφ+ ct coshφ,
ou em forma matricial,(
ct′
x′
)
=
(
coshφ − sinhφ
− sinhφ coshφ
)(
ct
x
)
. (1.10)
7
Podemos, também, colocar o sistema na forma
x′ = coshφ (x− tanhφct) ,
ct′ = coshφ (ct− tanhφx) .
Para interpretar o significado físico de φ, vamos observar a origem de O′, ou seja, x′ = 0. Isto
implica em
x− tanhφct = 0 =⇒ tanhφ = x
ct
.
Contudo, u = x/t, portanto
tanhφ =
u
c
≡ β. (1.11)
Vamos definir, também,
γ ≡ coshφ. (1.12)
Assim, temos
tanhφ = β =⇒ γ = sinhφ
β
,
enquanto
cosh2 φ− sinh2 φ = 1 =⇒ sinh2 φ = γ2 − 1.
Comparando-se as duas equações, temos
γ2 =
γ2 − 1
β
=⇒ γ2 (1− β2) = 1 =⇒ γ = √ 1
1− β2 .
Portanto, a transformação pode ser colocada também nas formas mais conhecidas
x′ = γ (x− βct) ,
t′ = γ
(
t− β
c
x
)
,
ou
x′ =
x− ut√
1− u2/c2 , (1.13a)
t′ =
t− (u/c2)x√
1− u2/c2 . (1.13b)
Nesta configuração, as direções y e z ficam inalteradas, de modo que a forma completa é dada
por
x′ =
x− ut√
1− u2/c2 , (1.14a)
y′ = y, (1.14b)
z′ = z, (1.14c)
t′ =
t− (u/c2)x√
1− u2/c2 , (1.14d)
ou nas duas formas de notação matricial,
ct′
x′
y′
z′
 =

coshφ − sinhφ 0 0
− sinhφ coshφ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1


ct
x
y
z
 , (1.15)

ct′
x′
y′
z′
 =

γ −γβ 0 0
−γβ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1


ct
x
y
z
 , (1.16)
8
As transformações (3.12), ou mesmo na forma (1.15) são chamadas transformações de Lorentz,
ou simplesmente boosts de Lorentz. É imediato observar que as transformações de Lorentz in-
versas são dadas substituindo-se u por −u, β por −β ou φ por −φ nessas transformações. As
transformações de Lorentz são precisamente as transformações que deixam a teoria eletromag-
nética de Maxwell invariante.
A forma mais geral das transformações de Lorentz, usadas quando os referenciais O e O′
movem-se com uma velocidade u = uxex + uyey + uzez, mas ainda mantêm a mesma orientação,
é dada por(
ct′
r′
)
=
(
γ −γBT
−γB (γ − 1) BBT /β2
)(
ct
r
)
, (1.17)
em que B é o vetor coluna
B ≡
 βxβy
βz
 = 1
c
 uxuy
uz
 = u
c
,
e BT é o vetor linha
BT ≡ ( βx βy βz ) = 1
c
(
ux uy uz
)
=
uT
c
.
O produto BBT é dado por
BBT =
 β2x βxβy βxβzβyβx β2y βyβz
βzβx βzβy β
2
z
 ,
e β2 = BTB = |u|2 /c2.
Observando-se a forma (1.15), é imediato calcular o limite não relativístico, ou seja, a baixas
velocidades das transformações de Lorentz. Observemos que este limite é dado por
u� c =⇒ β � 1 =⇒ φ� 1.
Neste caso, temos
sinhφ→ φ,
coshφ→ 1,
tanhφ→ φ = β = u/c.
Então,
ct′
x′
y′
z′
 =

1 −β 0 0
−β 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1


ct
x
y
z
 ,
ou seja,
x′ = x− βct = x− ut,
t′ = t− β
c
x = t− u
c2
x ≈ t,
que são as transformações de Galilei na configuração padrão.
1.4 Composição de velocidades, contração de Lorentz e di-
latação do tempo
Vamos verificar como um objeto, que se move a uma velocidade v com relação a O, move-se com
relação ao referencial O′. Por simplicidade vamos utilizar a configuração padrão, neste caso,
vx =
dx
dt
.
9
Vamos utilizar a transformação de Lorentz inversa dada por
x = γ (x′ + βct′) .
Temos, considerando-se γ e β constantes,
vx =
dx
dt
= γ
(
dx′
dt
+ βc
dt′
dt
)
= γ
(
dx′
dt
+ βc
dt′
dt
)
= γ
(
dx′
dt′
+ βc
)
dt′
dt
.
Agora, temos a transformação
t′ = γ
(
t− β
c
x
)
=⇒ dt
′
dt
= γ
(
1− βvx
c
)
.
Portanto,
vx = γ
2
(
1− βvx
c
)
(v′x + βc) =
1− βvx/c
1− β2 (v
′
x + βc) .
v′x =
vx
(
1− β2)− βc (1− βvx/c)
1− βvx/c =
vx − vxβ2 − βc+ β2vx
1− βvx/c =
vx − βc
1− βvx/c ,
ou seja,
v′x =
vx − u
1− uvx/c2 . (1.18)
Para as demais componentes, temos
vy =
dy
dt
=
dy′
dt
=
dy′
dt′
dt′
dt
= v′y
dt′
dt
= γv′y
(
1− βvx
c
)
,
ou
v′y =
vy
γ (1− uvx/c2) . (1.19)
Ainda,
v′z =
vz
γ (1− uvx/c2) . (1.20)
Essas são as equações para composição de velocidades na relatividade restrita. Através essas,
podemos mostrar que a velocidade da luz é a mesma para ambos os referenciais. Um raio de luz
disparado em (x = 0, t = 0) no referencial O tem velocidade vx = c. Portanto, temos
v′x =
c− u
1− uc/c2 =
c− u
1− u/c = c
(
1− u/c
1− u/c
)
= c,
em concordância com o segundo postulado.
Vamos supor uma régua de comprimento l com relação a um sistema referencial em repouso
O. Neste caso, temos
l = x2 − x1,
em que x2 é a posição de uma das extremidades da régua, enquanto x1 < x2 é a posição da outra
extremidade, ambas com relação a O. Supondo um segundo referencial O′ que se move com
velocidade u = uex com relação a O, em uma configuração padrão, temos
x(2,1) = γ
(
x′(2,1) + ut
′
(2,1)
)
,
10
em que t′(2,1) são os instantes de tempo medidos por O′ em que as medidas de posição da régua
são tomadas. Para que O′ tome uma medida do comprimento da régua, as medidas de x′1 e x′2
devem ser sincronizadas, ou seja, tomadas considerando-se ∆t′ = t′2 − t′1 = 0. Neste caso,
l = γ [x′2 − x′1 + u (t′2 − t′1)] = γ [l′ + u∆t′] = γl′,
ou seja,
l′ =
1
γ
l = l
√
1− u2/c2. (1.21)
Como γ é sempre maior que 1, toda medida de comprimento na direção do movimento do ob-
servador é sempre menor que a mesma medida feita por um observador em repouso com relação
ao objeto. Este fenômeno é conhecido como contração de Lorentz.
Agora, vamos supor um relógio em repouso com relação a um referencial O. Vamos ver como
um intervalo de tempo, digamos ∆t′ = t′2 − t′1 é medido por um referencial O′ com velocidade
u = uex com relação ao relógio, em uma configuração padrão. A transformação de Lorentz
relevante é dada por
t′ = γ
[
t− (u/c2)x] ,
portanto,
∆t′ = γ
[
t2 − t1 −
(
u/c2
)
(x2 − x1)
]
= γ
[
∆t− (u/c2)∆x] .
Contudo, como o relógio está em repouso com relação a O, temos que ∆x = 0, então,
∆t′ = γ∆t =
∆t√
1− u2/c2 . (1.22)
Como γ é sempre maior que 1, qualquer observador mede intervalos de tempos dilatados com
relação a um observador em repouso com relação ao relógio. Este fenômeno é conhecido como
dilatação do tempo.
Portanto, o intervalo de tempo medido por um relógio depende do observador, e não consiste
mais em uma medida absoluta. Quanto mais rápido se move o relógio, maior o intervalo de
tempo medido pelo observador. Para todo observador inercial, existe um relógio para o qual
os intervalos de tempo são mínimos. Segundo (1.22), este relógio é aquele que encontra-se em
repouso com relação ao observador, e o tempo medido por este é chamado tempo próprio τ .
1.5 O espaço-tempo de Minkowski
De forma análoga à relatividade de Galilei, existe uma medida invariante às transformações de
Lorentz. Ela é definida pela métrica de Minkowski
ds2 =
(
dx0
)2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2 ,
em que renomeamos as coordenadas xi =
(
x1 = x, x2 = y, x3 = z
)
, e definimos uma quarta coor-
denada x0 = ct. A métrica de Minkowski é uma métrica do espaço-tempo de MinkowskiM4, que
é um espaço plano pseudo-riemanniano de quatro dimensões. Um sistema de coordenadas em
M4 consiste em quatro coordenadas xµ = (x0, x1, x2, x3), que também distinguem entre diferen-
tes eventos no espaço-tempo.
A métrica de Minkowski é escrita por
ds2 =
3∑
µ,ν=0
ηµνdx
µdxν , µ, ν = 0, 1, 2, 3. (1.23)
A partir de agora, usaremos a notação de Einstein, para a qual a repetição de dois índices implica
em soma sobre todos os valores deste índice, ou seja, escreveremos simplesmente
ds2 = ηµνdx
µdxν . (1.24)
11
ηµν são as componentes da métrica de Minkowski no sistema de coordenadas xµ. Em notação
matricial, se este sistema de coordenadas for ortogonal, temos
ηµν =

1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
 . (1.25)
Podemos, também, escrever uma transformação de Lorentz com esta notação. Ela é dada por
x′µ = Λµνx
ν . (1.26)
Na configuração padrão, temos em representação matricial
Λµν =

γ −γβ 0 0
−γβ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 =

coshφ − sinhφ 0 0
− sinhφ coshφ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 . (1.27)
A métrica de Minkowski não é um métrica propriamente dita. A razão é a presença dos
sinais negativos em (1.25), que resultam no fato de que dois eventos distintos em R4 podem ter
distância nula. Note que
ds2 = ηµνdx
µdxν =
(
dx0
)2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2 = c2 (dt)2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2
é nulo sempre que
c2 (dt)
2
=
(
dx1
)2
+
(
dx2
)2
+
(
dx3
)2
,
que é a equação que representa a frente de uma onda que se desloca com velocidade c. No
espaço-tempo de Minkowski, esta equação demarca o cone de luz, ou seja, a região na qual todos
os corpos com velocidade c se deslocam. Todos os pontos no cone de luz estão a uma distância
nula com relação à métrica de Minkowski.
1.6 A partícula livre relativística
Ação
S = −mc
ˆ s1
s0
ds, ds2 = ηµνdx
µdxν . (1.28)
Variações
δxµ = x¯µ − xµ, δxµ (s0) = δxµ (s1) = 0. (1.29)
Primeira variação da ação
δS = −mcδ
ˆ s1
s0
ds = −mc
ˆ s1
s0
δds. (1.30)
De (1.28), temos
δ
(
ds2
)
= δ (ηµνdx
µdxν) = δηµνdx
µdxν + ηµνδ (dx
µ) dxν + ηµνdx
µδ (dxν)
= δηµνdx
µdxν + 2ηµνdx
µδ (dxν)
= δηµν
dxµ
ds
dxν
ds
(ds)
2
+ 2ηµν
dxµ
ds
dsδ (dxν) uµ = dxµ/ds,
= δηµνu
µuν (ds)
2
+ 2ηµνu
µdsδ (dxν) .
12
Por outro lado,
δ
(
ds2
)
= 2dsδ (ds) ,
assim,
2dsδ (ds) = δηµνu
µuν (ds)
2
+ 2ηµνu
µdsδ (dxν) ,
que torna-se
δ (ds) =
1
2
δηµνu
µuνds+ ηµνu
µδ (dxν) , (1.31)
Com δdxµ = dx¯µ − dxµ = d (x¯µ − xµ) = d (δxµ) e integrando por partes,
δ (ds) =
1
2
δηµνu
µuνds+ ηµνu
µδ (dxν)
=
1
2
δηµνu
µuνds+ ηµνu
µd (δxν)
=
1
2
δηµνu
µuνds− d (ηµνuµ) δxν + d (ηµνuµδxν) . (1.32)
O termo de diferencial total será nulo quando na integral (1.30), pois torna-se um temo de fron-
teira
ˆ s1
s0
d (ηµνu
µδxν) = ηµνu
µδxν |s1s0 = 0,
devido a (1.29). Assim,
δ (ds) =
1
2
δηµνu
µuνds− d (ηµνuµ) δxν
=
1
2
δηµνu
µuνds− dηµνuµδxν − ηµνduµδxν
=
1
2
δηµνu
µuνds− dηµνuµδxν − ηµν du
µ
ds
dsδxν . (1.33)
Temos
δηµν =
∂ηµν
∂xα
δxα, dηµν =
∂ηµν
∂xα
dxα. (1.34)
Assim,
δ (ds) =
1
2
∂ηµν
∂xα
uµuνdsδxα − ∂ηµν
∂xα
dxαuµδxν − ηµν du
µ
ds
dsδxν
=
1
2
∂ηµν
∂xα
uµuνdsδxα − ∂ηµν
∂xα
uαuµdsδxν − ηµν du
µ
ds
dsδxν
=
1
2
∂ηµν
∂xα
uµuνdsδxα − ∂ηµα
∂xν
uνuµdsδxα − ηµα du
µ
ds
dsδxα
=
[
1
2
∂ηµν
∂xα
uµuν − ∂ηµα
∂xν
uµuν − ηµα du
µ
ds
]
dsδxα. (1.35)
Vamos simetrizar o termo
∂ηµα
∂xν
uµuν =
1
2
∂ηµα
∂xν
uµuν +
1
2
∂ηνα
∂xµ
uµuν .
Assim,
δ (ds) =
[
1
2
∂ηµν
∂xα
uµuν − 1
2
∂ηµα
∂xν
uµuν − 1
2
∂ηνα
∂xµ
uµuν − ηµα du
µ
ds
]
dsδxα
= −
[
ηµα
duµ
ds
+
1
2
(
∂ηµα
∂xν
+
∂ηνα
∂xµ
− ∂ηµν
∂xα
)
uµuν
]
dsδxα. (1.36)
13
Vamos definir os símbolos de Christoffel do primeiro tipo:
γαµν ≡ 1
2
(
∂ηµα
∂xν
+
∂ηνα
∂xµ
− ∂ηµν
∂xα
)
.
Assim,
δ (ds) = −
[
ηµα
duµ
ds
+ γαµνu
µuν
]
dsδxα. (1.37)
Com (1.37) em (1.30),
δS = −mc
ˆ s1
s0
δds = mc
ˆ s1
s0
ds
[
ηµα
duµ
ds
+ γαµνu
µuν
]
δxα. (1.38)
A condição de extremo δS = 0 resulta em
mcηµα
duµ
ds
+mcγαµνu
µuν = 0.
Com a métrica inversa à esquerda, temos
0 = mc
(
ηλαηαµ
duµ
ds
+ ηλαγαµνu
µuν = δλµ
duµ
ds
+ ηλαγαµνu
µuν
)
= mc
(
duλ
ds
+ ηλαγαµνu
µuν
)
.
Vamos definir os símbolos de Christoffel do segundo tipo
Γµαβ ≡ ηµλγλαβ =
1
2
ηµλ
(
∂ηαλ
∂xβ
+
∂ηβλ
∂xα
− ∂ηαβ
∂xλ
)
. (1.39)
Então, temos como resultado a equação geodésica
mcaµ +mcΓµαβu
αuβ = 0, aµ = duµ/ds = d2xµ/ds2. (1.40)
14
Capítulo 2
Transformações infinitesimais
2.1 Transformações infinitesimais em Rn
Vamos supor um espaço euclidiano de n dimensões Rn com um sistema de coordenadas
{
xi
}
. A
forma mais geral de uma transformação contínua em Rn é definida por um conjunto de m+ 1 pa-
râmetros (�, λa), em que a = 1, · · · ,m. Com estes, definimos as transformações nas coordenadas
e no tempo,
t→ t¯ = t¯ (�) , xi → x¯i (t¯, λa) = x¯i (�, λa) , (2.1)
com as seguintes condições:
1. As funções t¯ (�) e x¯i (�, λa) devem ser analíticas nas variáveis independentes.
2. As transformações devem ser conexas à identidade, ou seja,
(�, λa)→ 0 =⇒ t¯→ t e x¯i (t¯)→ xi (t) . (2.2)
Se as variáveis transformadas são analíticas, podem ser expandidas em séries de Taylor:
t¯ = t+
dt¯
d�
∣∣∣∣
�=0
�+O (�2) , (2.3a)
x¯i = xi +
dx¯i
d�
∣∣∣∣
�,λ=0
�+
dx¯i
dλa
∣∣∣∣
�,λ=0
λa +O (�2, λ2) . (2.3b)
Considerando apenas termos de primeira ordem, temos
t¯ = t+
dt¯
d�
∣∣∣∣
�=0
�, (2.4a)
x¯i = xi +
dx¯i
dt¯
dt¯
d�
∣∣∣∣
�,λ=0
�+
dx¯i
dλa
∣∣∣∣
�,λ=0
λa (2.4b)
= xi + x˙i
dt¯
d�
∣∣∣∣
�=0
�+
dx¯i
dλa
∣∣∣∣
�,λ=0
λa (2.4c)
Nestas, definimos
δt ≡ dt¯
d�
∣∣∣∣
�=0
�, δ¯xi ≡ dx¯
i
dλa
∣∣∣∣
�,λ=0
λa. (2.5)
Assim,
x¯i = xi + x˙iδt+ δ¯xi. (2.6)
15
Neste caso, vemos que a forma final da transformação é dada por
δxi = δ¯xi + δt
dxi
dt
, (2.7)
com
x¯i = xi + δxi, t¯ = t+ δt. (2.8)
Portanto, transformações contínuas infinitesimais possuem a mesma forma analítica de primei-
ras variações. Neste caso, variações que dependem de um conjunto de parâmetros contínuos.
2.2 Evolução temporal
Vamos supor a transformação
t¯ = t+ δt, (2.9)
mas que nenhuma transformação seja definida em qi. Ainda assim, (2.9) implica em
x¯i = xi + δtx˙i, (2.10)
ou seja,
δxi = δtx˙i. (2.11)
Se δt = dt, então temos dt = t¯ − t e δxi = dtx˙i = dxi, que determina a evolução temporal dos
pontos em Rn em função do tempo.
Desejamos estudar as propriedades de composição de evoluções temporais. Primeiro, da equa-
ção (2.10) temos
x¯i = xi + δtx˙i = xi + δt
d
dt
xi =
(
1 + δt
d
dt
)
xi. (2.12)
Assim, podemos realizar uma evolução temporal ao atuar o operador diferencial
gt ≡ 1 + δt d
dt
(2.13)
em xi, ou seja,
x¯i = gtx
i. (2.14)
Sejam gt1 e gt2 dois operadores de evolução temporal. Notemos que
1. A composição de duas evoluções temporais é uma evolução temporal:
xi (t0) → xi (t1)→ xi (t2) = gt2xi (t1) = gt2gt1xi (t0)
=
(
1 + δt2
d
dt
)(
1 + δt1
d
dt
)
xi (t0) = x
i (t0) + δt1
d
dt
xi (t0) + δt2
d
dt
xi (t0)
+δt2
d
dt
(
δt1
d
dt
xi (t0)
)
.
O último termo é quadrático em δt, portanto ficamos apenas com os primeiros termos
xi2 = x
i
0 + δt1
d
dt
xi0 + δt2
d
dt
xi0 = x
i
0 + (δt1 + δt2) x˙
i
0 = x
i
0 + δtx˙
i
0, (2.15)
em que δt = δt1 + δt2.
2. A ordem da composição não altera o resultado final:
gt2gt1q
i = gt1gt2q
i =⇒ [gt1 , gt2 ] = 0. (2.16)
16
3. A composição de k evoluções temporais é dada por
Gt =
k∏
p=1
gtp = (gt)
k
=
(
1 + δt
d
dt
)k
,
quando todos os δt′s forem iguais. No limite para k →∞, temos
Gt = lim
k→∞
(
1 +
∆t
k
d
dt
)k
= exp
[
∆t
d
dt
]
, ∆t = t− t0. (2.17)
Neste caso, dizemos que gt é membro de uma álgebra de Lie, enquanto Gt é membro de um
grupo de Lie. Este processo é conhecido como exponenciação da álgebra da evolução temporal, e
dá origem a uma transformação finita, com ∆t finito, e não infinitesimal. Gt é simplesmente o
operador que carrega a evolução temporal de um tempo t0 a t. Em função de (2.16), a álgebra é
dita abeliana, ou comutativa.
No argumento da exponencial, há o campo vetorial
Xt =
d
dt
= q˙i∂i, (2.18)
que acompanha o termo ∆t. Na forma infinitesimal, temos
gt = 1 + δtXt = 1 + δtq˙
i∂i = 1 + δq
i∂i. (2.19)
O campo vetorial Xt é denominado gerador da evolução temporal.
2.3 Translações
Vamos supor a transformação
xi (t)→ x¯i (t) = xi (t) + ai, ai ∈ R. (2.20)
Esta operação é chamada translação, pois translada um ponto a outro de Rn a tempo constante.
Neste caso,
δt = 0, δxi = ai. (2.21)
Duas translações resultam em uma translação, ou seja,
xi → x¯i = xi + ai → x˜i = x¯i + bi = xi + ai + bi = qi + ci,
em que
ci = ai + bi.
Portanto, translações também formam um grupo. A natureza do grupo é a mesma da evolução
temporal: a ordem da composição não altera a translação total. Dizemos que um grupo cuja
ordem da composição não importa é um grupo abeliano.
O operador infinitesimal que carrega a operação de translação pode ser deduzido pela igual-
dade
x¯i = xi + ai = xi + aj
∂xi
∂xj
=
(
1 + aj
∂
∂xj
)
xi,
ou seja,
gx ≡ 1 + ai ∂
∂xi
= 1 + δxi
∂
∂xi
, (2.22)
que tem a mesma forma da evolução temporal, exceto que neste caso, δxi = ai. O operador gx é
um elemento da álgebra de translações, que também é abeliana, ou seja,
[gx1 , gx2 ] = 0.
17
A composição de k translações iguais resulta em
x¯i =
(
1 + δxj
∂
∂xj
)k
xi,
que no limite k →∞ torna-se
x¯i = lim
k→∞
(
1 +
∆xj
k
∂
∂xj
)k
xi = exp
[
∆xj
∂
∂xj
]
xi = Gxx
i, (2.23)
em que
Gx = exp
[
∆xj
∂
∂xj
]
(2.24)
é o elemento do grupo de translações. Os operadores diferenciais
Pi ≡ ∂
∂xi
(2.25)
são os geradores de translações, denominados momentos conjugados.
2.4 Rotações
O grupo de rotações, por ser um exemplo não abeliano, merece uma atenção especial. Toda
rotação pode ser descrita pela relação
x¯i = Rijx
j , (2.26)
em que R é uma matriz ortogonal n× n de determinante 1. O grupo de rotações em n dimensões
é chamado SO (n), o grupo ortogonal especial, que é isomórfico ao espaço das matrizes ortogonais
de determinante unitário. É uma propriedade das transformações ortogonais a preservação da
norma de vetores e da métrica de Rn.
Vamos tomar o exemplo tridimensional, em que consideraremos primeiro uma rotação pas-
siva no eixo zˆ com ângulo θ. A matriz desta transformação é dada por
Rz (θ) =
 cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0
0 0 1
 . (2.27)
Para θ � 1, podemos aproximar esta matriz pela sua forma infinitesimal de primeira ordem
rz (θ) =
 1 −θ 0θ 1 0
0 0 1
 =
 1 0 00 1 0
0 0 1
+
 0 −θ 0θ 0 0
0 0 0
 ≡ 1 + θJz, (2.28)
em que
Jz ≡
 0 −1 01 0 0
0 0 0
 . (2.29)
Nos outros eixos, temos
rx (θ) = 1 + θJx, ry (θ) = 1 + θJy, (2.30)
em que
Jx ≡
 0 0 00 0 −1
0 1 0
 , Jy ≡
 0 0 10 0 0
−1 0 0
 . (2.31)
18
As matrizes Ja são os geradores de rotações em três dimensões.
Uma rotação geral em três dimensões contém três parâmetros independentes, que podem ser
colecionados em um vetor θ ≡ (θ1, θ2, θ3). Na forma infinitesimal, temos
r (θ) = 1 + θ · J = 1 + θaJa = 1 + θ1J1 + θ2J2 + θ3J3. (2.32)
Dizemos que o objeto
W = θaJa =
 0 −θ3 θ2θ3 0 −θ1
−θ2 θ1 0
 , (2.33)
é um elemento da álgebra de Lie de SO (3), denotado pelo símbolo so (3). A identidade 1, em
conjunto com os geradores Ja, formam uma base para a álgebra so (3). A relação de comutação
de so (3) é facilmente calculada por
[Ja,Jb] = �
c
ab Jc, (2.34)
o que caracteriza a álgebra como não abeliana. A exponenciação da álgebra é direta, dada por
R (θa) = exp [−θaJa] . (2.35)
Agora, vamos definir
θ ≡
√
θ2 = |θ| , u ≡ θ/ |θ| . (2.36)
A forma geral de um elemento do grupo é dada por
R =
 c+ (1− c)u1u1 (1− c)u1u2 − su3 (1− c)u1u3 − su2(1− c)u1u2 − su3 c+ (1− c)u2u2 (1− c)u2u3 − su1
(1− c)u1u3 − su2 (1− c)u2u3 − su1 c+ (1− c)u3u3
 , (2.37)
em que
c ≡ cos θ, s ≡ sin θ. (2.38)
Em componentes, temos
Rij = δ
i
j − �ijkuk sin θ +
(
uiuj − δij
)
(1− cos θ) (2.39)
Vamos atuar a matriz R no vetor u:
Riju
j =
[
δij − �ijkuk sin θ +
(
uiuj − δij
)
(1− cos θ)]uj
= δiju
j − �ijkukuj sin θ +
(
uiuju
j − δijuj
)
(1− cos θ)
= ui − �ijkukuj sin θ +
(
uiuju
j − δijuj
)
(1− cos θ)
= ui +
(
u2 − 1)ui (1− cos θ) = (1)ui,
ou seja, u é um autovetor de R cujo autovalor é 1. Este é o denominado eixo de rotação.
Quando atua em um vetor posição x, temos
Rijx
j = xi − �ijkukxj sin θ +
(
uiujx
j − xi) (1− cos θ)
= xi − �ijkukxj sin θ + uiujxj − uiujxj cos θ − xi + xi cos θ
= −�ijkukxj sin θ + uiujxj − uiujxj cos θ + xi cos θ
= (u× x)i sin θ + ui (u · x) + [xi − ui (u · x)] cos θ.
Nesta equação,(
x‖
)i
≡ ui (u · x)
19
é a componente de x paralela a u e(
x⊥
)i ≡ xi − ui (u · x)
é sua componente ortogonal. Assim,
Rx = x‖ + x⊥ cos θ + (u× x) sin θ.
Agora, vamos voltar ao espaço Rn. Uma rotação finita é descrita por
x¯i = Rijx
j ,
enquanto a infinitesimal tem forma
x¯i (ω) = xi + δxi (ω) = xi +
1
2
∂x¯i
∂ωab
∣∣∣∣
ω=0
δωab, (2.40)
em que ωab são as componentes de uma matriz n × n antissimétrica, com m = (n2 − n) /2 com-
ponentes independentes. Dizemos que m é o número de parâmetros independentes necessários
para parametrizar a transformação infinitesimal, que deve ter a forma
x¯i (ω) = xi + δωijx
j . (2.41)
Neste caso,
δxi =
1
2
∂x¯i
∂ωab
∣∣∣∣
ω=0
δωab =
1
2
∂x¯i
∂ωab∂xj
∣∣∣∣
ω=0
xjδωab, considerando linearidade em x¯.
Assim, definimos
(Jab)
i
j ≡
∂x¯i
∂ωab∂xj
∣∣∣∣
ω=0
, (2.42)
de modo que
1
2
(Jab)
i
j x
jδωab =
1
2
∂x¯i
∂ωab∂xj
∣∣∣∣
ω=0
xjδωab = xjδωij . (2.43)
A solução para a equação anterior é dada por
(Jab)
i
j ≡ δajδib − δbjδia. (2.44)
A relação destes objetos com os geradores Ja é dada por
(Ja)
i
j =
1
2
� bca (Jbc)
i
j , (2.45)
e, assim,
(Ja)ij = −�aij . (2.46)
Dizemos que os geradores na forma (2.46) estão na representação adjunta do grupo de rotações,
pois são representados por matrizes que possuem a mesma dimensão do grupo.
20
Capítulo 3
A geometria de Minkowski
3.1 Vetores e covetores de Lorentz
Agora, vamos considerar um espaço-tempo de Minkowski M4 com um sistema de coordenadas
cartesiano {xµ}. Como vimos, este espaço é caracterizado pela métrica
ds2 = ηµνdx
µdxν =
(
dx0
)2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2 . (3.1)
Uma transformação de Lorentz é dada por uma matriz Λ na forma
x¯ = Λx ←→ x¯µ = Λµνxν . (3.2)
A métrica deve ser preservada por transformações de Lorentz.
Definição 1. Um vetor de Lorentz, ou vetor de Lorentz contravariante, consiste
em um objeto u = uµ∂µ = uµ (∂/∂xµ) invariante por transformações de Lorentz, ou seja,
x¯ = Λx =⇒ u¯ (x¯) = u (x) .
Note que, dado (3.2),
∂µ =
∂
∂xµ
=
∂x¯ν
∂xµ
∂
∂x¯ν
=
∂
∂x¯ν
Λνµ = Λ
ν
µ∂¯ν .
Se a matriz Λ tem uma inversa Λ−1, então multiplicamos a expressão anterior por Λ−1:(
Λ−1
)µ
λ
∂µ =
(
Λ−1
)µ
λ
Λνµ∂¯ν = Λ
ν
µ
(
Λ−1
)µ
λ
∂¯ν = δ
ν
λ∂¯ν ,
ou seja,
∂¯µ =
(
Λ−1
)ν
µ
∂ν . (3.3)
Aplicando-se a invariância em u, temos
u = uµ∂µ = u
µΛνµ∂¯ν = u¯
ν ∂¯ν .
Portanto,
u¯µ = Λµνu
ν . (3.4)
Assim, se um vetor u = uµ∂µ é invariante de Lorentz, suas componentes se transformam com a
mesma forma do sistema de coordenadas. Dizemos que componentes de vetores que se transfor-
mam como (3.4) transformam-se contravariantemente.
21
A métrica (3.1) naturalmente implica em uma métrica para os vetores de Lorentz, de modo
que o produto escalar é dado por
u · v = ηµνuµvν . (3.5)
Se a métrica é invariante, este produto também o é. Neste caso, u · v = u¯ · v¯ e
u¯ · v¯ = η¯µν u¯µu¯ν = η¯µνΛµαuαΛνβuβ =
(
η¯µνΛ
µ
αΛ
ν
β
)
uαuβ = ηαβu
αuβ .
Assim,
ηαβ = Λ
µ
αη¯µνΛ
ν
β =
(
ΛT
) µ
α
η¯µνΛ
ν
β
e
η¯µν =
((
Λ−1
)T) α
µ
ηαβ
(
Λ−1
)β
ν
. (3.6)
Em notação matricial,
η¯ =
(
Λ−1
)T
η
(
Λ−1
)
. (3.7)
Definição 2. Todo vetor de Lorentz u possui um dual uT , denominado covetor, ou
vetor de Lorentz covariante. Este objeto é um funcional linear, ou seja, age em vetores
e resulta em um escalar real tendo como regra o produto escalar, de modo que
uT [u] ≡ u2 = ηµνuµuν . (3.8)
A regra (3.8) define um isomorfismo entre vetores e covetores, de modo que uma base {∂µ} de
vetores induz uma base para os covetores. Esta base é naturalmente tomada como as diferenciais
{dxµ}, e toda 1-forma α pode ser escrita como α = αµdxµ. Cada elemento da base é um covetor
que, ao agir sobre um elemento da base de vetores, resulta na operação
dxµ [∂ν ] = δ
µ
ν . (3.9)
Portanto, a ação de um covetor α em um vetor u é dada por
α [u] = αµdx
µ [uν∂ν ] = αµu
νdxµ [∂ν ] = αµu
νδµν = αµu
µ.
Da mesma forma,
uT [u] = uµdx
µ [uν∂ν ] = uµu
νdxµ [∂ν ] = uµu
µ = ηµνu
µuν .
Então,
uµ = ηµνu
ν , (3.10)
ou seja, a métrica é a matriz jacobiana do isomorfismo entre vetores e covetores. Dizemos assim
que a métrica "baixa" índices de componentes de vetores e os transforma em componentes de
covetores.
Seja η−1 a inversa da matriz métrica, de modo que suas componentes sejam dadas por ηµν ,
de modo que ηµληλν = δµν . Podemos mostrar que
uµ = ηµνuν , (3.11)
ou seja, a métrica inversa "levanta" índices de componentes de covetores, transformando-os em
componentes contravariantes.
22
Covetores também são invariantes por transformações de Lorentz, ou seja,
x¯ = Λx =⇒ α¯ (x¯) = α (x) .
Então,
u¯T [u¯] = u¯µu¯
µ = u¯µΛ
µ
νu
ν = uνu
ν ,
de modo que uν = u¯µΛµν , ou,
u¯µ = uν
(
Λ−1
)ν
µ
. (3.12)
Assim, componentes de covetores se transformam com a inversa da transformação. Dizemos que
esta transformação é covariante.
3.2 Tensores
Definição 3. Um tensor do tipo (p, q) é um objeto geométrico invariante de Lorentz
com a forma
T = Tµν···λαβ···γ
p vezes︷ ︸︸ ︷
(∂µ∂ν · · · ∂λ)
(
dxαdxβ · · · dxγ)︸ ︷︷ ︸
q vezes
. (3.13)
As leis de transformação das componentes de base são dadas por
∂¯µ =
(
Λ−1
)ν
µ
∂ν , trans. covariante,
dx¯µ = Λµνdx
µ, trans. contravariante.
Portanto,
T¯ δ�···ρτψ···φ =
(
Λ−1
) α
τ
(
Λ−1
) β
ψ
· · · (Λ−1) γ
φ︸ ︷︷ ︸
q trans. covariantes
Tµν···λαβ···γ
p trans. contravariantes︷ ︸︸ ︷
ΛδµΛ
�
ν · · ·Λρλ . (3.14)
Por exemplo, a métrica é um tensor do tipo (0, 2) ds2 = ηµνdxµdxν . Então, suas componentes se
transformam por
η¯µν =
(
Λ−1
) α
µ
(
Λ−1
) β
ν
ηαβ .
3.3 Ortogonalidade e os grupos de Lorentz e Poincaré
A invariância do produto escalar resulta na expressão
ηαβ = Λ
µ
αη¯µνΛ
ν
β =
(
ΛT
) µ
α
η¯µνΛ
ν
β .
Se η é a métrica de Minkowski, temos
δαβ = Λ
α
µ δ
µ
νΛ
ν
β = Λ
α
µ Λ
µ
β =
(
ΛT
)α
µ
Λµβ ,
ou seja,
ΛTΛ = 1 ⇐⇒ Λ−1 = ΛT . (3.15)
23
Portanto, transformações de Lorentz são ortogonais.
Tomando-se o determinante de (3.15), obtemos
det
(
ΛTΛ
)
= 1 =⇒ (det Λ)2 = 1,
ou seja,
det Λ = ±1. (3.16)
Definição 4. O grupo de Lorentz é definido pelo conjunto de transformações lineares
ortogonais que preserva a métrica de Minkowski.
O sinal do determinante define se a transformação é conexa à identidade ou à anti-identidade.
Por enquanto, estamos interessados em transformação conexas à identidade, pois elas deixam
invariante a orientação do sistema de coordenadas local {xµ}. A dimensão deste conjunto de
transformações é 4 (quatro), de modo que este é isomórfico ao conjunto das matrizes ortogonais
4× 4 de determinante unitário. Este conjunto forma um grupo com a operação de multiplicação
matricial, denominado SO (1, 3).
O grupo de Lorentz SO (1, 3) é, portanto, o grupo de pseudo-rotações emM4. A denominação
entre parênteses caracteriza o fato de que um elemento do grupo é uma pseudo-rotação: (1, 3)
indica que a direção temporal x0 é diferente das 3 direções espaciais. Neste caso, dizemos que
SO (1, 3) é um grupo pseudo-ortogonal, e é obviamente distinto do grupo de rotações em quatro
dimensões SO (4). Este último consiste no grupo que deixa invariante uma métrica euclidiana
em R4.
O grupo de Poincaré é o grupo que inclui pseudo-rotações e translações e, como vimos, cons-
titui um grupo de dimensão 5. É possível mostrar que um espaço invariante por um grupo
ortogonal também é invariante pelo seu respectivo grupo inomogêneo, que inclui translações.
Este grupo também é chamado grupo de Lorentz inomogêneo ISO (1, 3).
3.4 Álgebra de Lorentz
Vamos nos ater ao grupo de Lorentz por enquanto. Este grupo é um grupo de Lie, ou seja, possui
uma estrutura diferenciável. Na prática, isto significa que toda transformação de Lorentz pode
ser "expandida em série de Taylor" ao redor da identidade do grupo:
Λ = 1 +
∂Λ
∂�a
∣∣∣∣
�=0
δ�a +
1
2
∂2Λ
∂�a∂�b
∣∣∣∣
�=0
δ�aδ�b + · · · ,
em que �a é um conjunto de parâmetros linearmente independentes que caracteriza uma repre-
sentação do grupo. Se o grupo age em vetores e covetores, por exemplo, estes parâmetros serão
em número seis, mas podem ser colocados sob a forma de uma matriz 4 × 4 antissimétrica de
traço nulo.
Se tomarmos a expansão até o termo de ordem 1, temos
gΛ ≡ 1 + ∂Λ
∂�a
∣∣∣∣ δ�a = 1 + �aJa. (3.17)
Esta é a forma geral de um elemento da álgebra de Lie de SO (1, 3), que denominados a álgebra
so (1, 3). Ja formam um conjunto de operadores também linearmente independentes, que são os
geradores da álgebra. A forma explícita de Ja depende do objeto geométrico no qual o grupo atua,
portanto, de sua representação. Por enquanto, vamos supor que Λ seja uma matriz real.
Se o grupo é ortogonal, temos
ΛTΛ = 1 =⇒ (gΛ)T gΛ = 1.
24
Assim,
1 = (1 + �aJa)
T (
1 + �bJb
)
= 1 + �aJa + (�
aJa)
T
,
ou seja,
�aJa = − (�aJa)T .
Se �a são parâmetros reais, temos
Ja = −JTa , (3.18)
ou seja, os operadores Ja são antissimétricos. Por outro lado, é fácil verificar que se det Λ = 1,
det Ja = 0.
Por outro lado, consideremos W = �aJa. Temos
η¯ = ΛT ηΛ =
(
1 +WT
)
η (1 +W ) ,
que resulta em
η¯ = η + ηW +WT η
em primeira ordem. Se Λ preserva a métrica, η¯ = η e então,
ηW +WT η = 0,
ou
WT = −ηWη−1. (3.19)
Vamos tomar o traço desta expressão:
trWT = tr
[−ηWη−1] = −tr [ηWη−1] = −tr [η−1ηW ] = −trW.
Contudo, trWT = trW , então devemos ter que trW = 0.
Portanto, cada elemento do grupo de Lorentz SO (1, 3) é conectado a um elemento da álgebra
so (1, 3), que formam o conjunto das matrizes antissimétricas de traço nulo com base no espaço
de Minkowski. A relação álgebra-grupo de Lie se dá através da operação de exponenciação da
álgebra: Se W é um elemento genérico da álgebra de Lie, seu respectivo elemento de grupo é
dado por
Λ = exp (W ) . (3.20)
3.5 A representação adjunta
Uma representação pode ser compreendida intuitivamente como uma realização de um grupo
abstrato através de um grupo matricial. Quando atuamos um elemento do grupo de Lorentz em
um vetor de Lorentz, por exemplo, os geradores J são realizados por um conjunto de matrizes
Jab de elementos (Jab)
µ
ν , com a, b = 1, 2, 3, 4. Neste caso, um elemento da álgebra é dado por
gΛ = 1 + ω
abJab, (3.21)
em que ωab forma uma matriz antissimétrica de traço nulo nos índices ab. Eles são, portanto,
seis parâmetros independentes.
O grupo SO (1, 3) é um subgrupo de GL (1, 3), ou seja, é um subgrupo de todas as matrizes
4 × 4 de determinante não nulo. O grupo GL (1, 3) forma um espaço vetorial, cuja base mais
simples consiste no conjunto de matrizes
(∆ab)
µ
ν = δ
µ
aηbν . (3.22)
25
Por exemplo,
∆11 =

1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
 , ∆12 =

0 −1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
 , ∆13 =

0 0 −1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
 , · · · .
Toda matriz de GL (1, 3) pode ser escrita por
A = Aab∆ab. (3.23)
Esta base, denominada base canônica, é completa e linearmente independente. De fato, nesta
base uma matriz tem componentes iguais ao seus elementos, ou seja, Aab = Aµν .
Vamos tomar a multiplicação matricial ∆ab∆dc
(∆ab)
µ
λ (∆cd)
λ
ν = δ
µ
aηbλδ
λ
c ηdν = ηbcδ
µ
a δdν = ηbc (∆ad)
µ
ν .
O colchete de Lie é dado por[
(∆ab)
µ
λ , (∆cd)
λ
ν
]
= (∆ab)
µ
λ (∆cd)
λ
ν − (∆cd)µλ (∆ab)λν ,
que resulta em[
(∆ab)
µ
λ , (∆cd)
λ
ν
]
=
[
δeaηbcδ
f
d − δecηdaδfb
]
(∆ef )
µ
ν .
Portanto, a álgebra é caracterizada pelos colchetes
[∆ab,∆cd] = C
(ef)
(ab)(cd) ∆ef , (3.24)
com constantes de estrutura
C
(ef)
(ab)(cd) = δ
e
aηbcδ
f
d − δecηdaδfb . (3.25)
Portanto, de (3.24) vemos que gl (1, 3) é uma álgebra de Lie não abeliana.
Note que as matrizes
Jab = ∆ab −∆ba (3.26)
são antissimétricas, possuem traço nulo e são linearmente independentes. Neste caso, elas for-
mam uma base para um subespaço de matrizes: são os geradores da álgebra so (1, 3). Suas
componentes são dadas por
(Jab)
µ
ν = δ
µ
aηbν − δµb ηaν . (3.27)
Note que
[Jab, Jcd] = [∆ab −∆ba,∆cd −∆dc] = [∆ab,∆cd]− [∆ab,∆dc]− [∆ba,∆cd] + [∆ba,∆dc]
=
(
C
(ef)
(ab)(cd) − C (ef)(ab)(dc) − C (ef)(ba)(cd) + C (ef)(ba)(dc)
)
∆ef(
δeaηbcδ
f
d − δecηdaδfb − δeaηbdδfc + δedηcaδfb
)
∆ef
+
(
−δebηacδfd + δecηdbδfa + δebηadδfc − δedηcbδfa
)
∆ef
=
(
δeaηbcδ
f
d − δedηcbδfa + δebηadδfc − δecηdaδfb
)
∆ef
+
(
+δedηcaδ
f
b − δebηacδfd + δecηdbδfa − δeaηbdδfc
)
∆ef
=
(
δeaηbcδ
f
d − δfaηbcδed
)
∆ef +
(
δebηadδ
f
c − δecηdaδfb
)
∆ef
+
(
δedηcaδ
f
b − δebηacδfd
)
∆ef +
(
δecηdbδ
f
a − δeaηbdδfc
)
∆ef
= δeaηbcδ
f
d (∆ef −∆fe) + δebηadδfc (∆ef −∆fe)
+δedηcaδ
f
b (∆ef −∆fe) + δecηdbδfa (∆ef −∆fe) .
26
Com (3.26) temos
[Jab, Jcd] =
(
δeaηbcδ
f
d + δ
e
bηadδ
f
c + δ
e
dηcaδ
f
b + δ
e
cηdbδ
f
a
)
Jef
=
(
δebηadδ
f
c + δ
e
aηbcδ
f
d − δeaηbdδfc − δebηacδfd
)
Jef
= f
(ef)
(ab)(cd) Jef , (3.28)
em que as constantes de estrutura são
f
(ef)
(ab)(cd) = δ
e
bηadδ
f
c + δ
e
aηbcδ
f
d − δeaηbdδfc − δebηacδfd . (3.29)
Em forma explícita, temos a álgebra
[Jab, Jcd] = ηadJbc + ηbcJad − ηdbJac − ηacJbd. (3.30)
Definição 5. A realização de uma álgebra e seu respectivo grupo de Lie abstratos como
uma álgebra e grupo de Lie matricial é denominada representação.
Definição 6. A representação na qual os geradores da álgebra possuem a mesma di-
mensão dos elementos do grupo é denominada representação adjunta.
Neste caso, os geradores Jab, definidos
por (3.26) e (3.27), da álgebra de pseudo-rotações
em quatro dimensões são os geradores da representação adjunta deste grupo. A representação
adjunta também é chamada, em física, de representação vetorial, porque esta representação
realiza o grupo de pseudo-rotações em vetores deM4.
3.6 Invariantes
Uma álgebra de Lie é um espaço vetorial com uma base completa {Ja}, o conjunto de geradores
da álgebra. Neste caso, podemos definir um produto interno. Sejam dois elementos A = AaJa e
B = BaJa da álgebra, temos
A ·B ≡ tr (AaBbJaJb) = 1
2
(
AaBb +AbBa
)
tr (JaJb) ≡ γabAaBb. (3.31)
Nesta expressão,
tr (JaJb) = (JaJb)
µ
µ = (Ja)
µ
ν (Jb)
ν
µ .
Os objetos
γab ≡ 1
2
tr (JaJb) (3.32)
são componentes da denominada métrica de Killing. Se a métrica de Killing tem sinal definido e
é não degenerada, ela define um bom produto interno. Neste caso, uma álgebra de Lie é também
um espaço de Hilbert.
Elementos do grupo de Lie podem agir em elementos da álgebra. Por exemplo, uma rotação
em R3 age sobre um gerador Ja na forma
Ja −→ R−1JaR.
27
Neste caso,
tr (JaJb) −→ tr
(
R−1JaRR−1JbR
)
= tr
(
R−1JaJbR
)
= tr
(
RR−1JaJb
)
= tr (JaJb) ,
ou seja, a métrica de Killing é invariante por rotações:
R−1γabR = γab. (3.33)
Tratando-se de transformações infinitesimais, R = 1 + ωaJa,
R−1γR =
(
1 + ωaJTa
)
γ
(
1 + ωbJb
)
= γ + ωaγJa + ω
aJTa γ + ω
aωbJTa γJb
≈ γ + ωa (γJa + JTa γ) = γ,
portanto,
γJa + J
T
a γ = γJa − Jaγ = [γ,Ja] = 0. (3.34)
A métrica de Killing, então, comuta com os geradores.
Neste caso, todo escalar construído com a métrica de Killing é um invariante. Contudo,
em um sistema dinâmico de dimensão finita, somente um número finito desses invariantes são
linearmente independentes. No caso de rotações em três dimensões, há apenas um invariante
J2 = γabJ
aJb, (3.35)
que é o quadrado do momento angular. Este tipo de invariante é denominado invariante de
Casimir da álgebra. Para cada representação do grupo de rotações, o problema de autovalores
J2uj = αjuj
indica um espectro de autovalores de J2. Como J2 é um invariante, o espectro também é invari-
ante. No caso do momento angular, é sempre possível escrever
J2uj = j (j + 1)uj . (3.36)
Neste caso, dizemos que j é o spin da representação. É fácil verificar para o grupo de rotações
que, na representação adjunta, j = 1 quando os autovetores são vetores euclidianos.
Para grupos de álgebras de Lie mais gerais, é possível encontrar outros invariantes de Ca-
simir, cada um deles uma forma multilinear invariante, como (3.35). O número maximal de
invariantes independentes é denominado rank da álgebra de Lie. O grupo de rotações tem rank
1: apenas J2 é invariante. Em uma determinada representação, os autovalores desses operado-
res de Casimir também são invariantes pela ação do grupo, portanto o espectro é invariante. O
resultado é que uma representação é completamente determinada pelos espectros dos operado-
res de Casimir do grupo, então as quantidades físicas relevantes quando há uma simetria sob
determinado grupo de Lie são dadas pelos objetos geométricos que são autovetores simultâneos
dos operadores de Casimir.
28
Capítulo 4
O formalismo lagrangiano para
campos
4.1 Introdução
Agora, vamos nos voltar à análise do problema variacional de se encontrar condições necessá-
rias e suficientes para que uma dada integral fundamental tome um valor extremo (máximo ou
mínimo) local. Este problema variacional é comum em diversas áreas da física e da matemática
que compartilham de quantidades geométricas que assumam, por requerimentos físicos ou pu-
ramente matemáticos, um valor máximo ou mínimo. Por exemplo, o problema variacional que
descreve fenômenos da ótica geométrica consiste em encontrar a trajetória do raio de luz para a
qual o tempo de propagação seja mínimo (princípio de Fermat). A dinâmica de partículas relati-
vísticas, como outro exemplo, refere-se ao problema de se encontrar trajetórias no espaço-tempo
que maximizem o tempo próprio.
Problemas variacionais na mecânica clássica [12, 13], disciplina na qual o cálculo variacional
encontrou seu maior terreno de desenvolvimento, precisam ser definidos com base em espaços
não tão facilmente intuídos. Um sistema físico neste cenário é descrito por uma trajetória em um
espaço de configuração Qn formado por suas coordenadas generalizadas qa, em que a = 1, . . . , n
e n indica a dimensão de Qn. Tal trajetória é definida pelas equações paramétricas
γ : qa = qa (t) , (4.1)
em que t é um parâmetro relacionado univocamente com o tempo. O problema variacional con-
siste em encontrar condições necessárias e suficientes para que a integral fundamental
A [γ] ≡
ˆ t1
t0
L (t, qa, q˙a) dt, (4.2)
em que q˙a ≡ dqa/dt, assuma um valor extremo sobre C, fornecida uma função Lagrangiana L que
dependa do tempo, das coordenadas e de suas velocidades. Neste caso, precisamos que as funções
qa (t) sejam pelo menos de classe C2. Este problema variacional recebe o nome de princípio de
Hamilton quando a primeira variação das coordenadas generalizadas em t = t0 e t = t1 é nula.
A aplicação direta do princípio de Hamilton leva às equações de Euler-Lagrange
d
dt
∂L
∂q˙a
− ∂L
∂qa
= 0, (4.3)
que são as equações diferenciais que ditam a dinâmica da teoria.
O caráter do tempo como parâmetro de evolução nessas teorias é bastante especial. Em pri-
meiro lugar, é um parâmetro de evolução único: a integral (4.2) é uma integral simples e as
soluções das equações (4.3), se existirem, são famílias de curvas de 1-parâmetro que dependem
de um conjunto de condições iniciais. Em segundo lugar, embora seja sempre possível um pro-
cesso de reparametrização, a integral fundamental não é independente da escolha do parâmetro.
Por isso, as equações de Euler-Lagrange não são apenas equações que descrevem uma dada
29
geometria no espaço de configuração, mas possuem também a interpretação de equações que
caracterizam um sistema dinâmico finito.
Por causa do papel especial do tempo, o formalismo Hamiltoniano pode ser naturalmente
introduzido e a mecânica clássica pode ser analisada através do espaço de fase T ∗Qn, onde as
equações de movimento tomam a forma de um conjunto de equações de primeira ordem. No
espaço de fase há a introdução de uma estrutura simplética natural, através da qual é possível
conhecer a forma da evolução de qualquer observável físico sem a necessidade da resolução das
equações de movimento. Além disso, as propriedades geométricas do espaço de fase permitem
que o efeito de transformações sobre observáveis sejam imediatamente reconhecidos, indepen-
dentemente da dinâmica específica da teoria. Dentre as transformações mais importantes estão
as transformações canônicas, que preservam o elemento de volume do espaço de fase. A impor-
tância desse formalismo canônico para a física não pode ser subestimada, visto que a mesma
estrutura formal está presente também na mecânica quântica.
O cálculo variacional para a mecânica clássica envolve também os teoremas de Noether, que
dizem respeito a identidades obedecidas quando a integral fundamental (4.2) é invariante por
alguma classe de transformações, assim como o formalismo de Hamilton-Jacobi.
O mesmo quadro para teorias de campos não pode ser traçado tão naturalmente. Como vere-
mos, campos são sistemas que dependem de um conjunto de parâmetros, geralmente identifica-
dos com as coordenadas cartesianas do espaço-tempo. A integral fundamental que caracteriza o
problema variacional, análoga à integral (4.2), é uma integral múltipla. Além disso, os sistemas
em campos mais importantes na física são invariantes por reparametrizações. Essas caracterís-
ticas fazem desses sistemas essencialmente distintos dos sistemas clássicos, nos quais o tempo
tem um papel privilegiado. Em especial, não há uma forma única de dinâmica Hamiltoniana e,
tampouco,
um único formalismo de Hamilton-Jacobi possível. Outro aspecto das teorias de cam-
pos mais importantes para a física são as simetrias de gauge, que são características de sistemas
singulares.
4.2 Variações
Um campo pode ser descrito por um conjunto de n funções φi (x), em que x representa um
ponto no espaço-tempo de 4 dimensões, localmente descrito por um sistema de coordenadas
xµ =
(
x0, x1, x2, x3
)
em um dado volume Ω. Todas as nossas considerações serão restritas ao
sistema contido nesse volume. O índice i varia de 1 a n. Vamos trabalhar em um espaço de con-
figuração construído da seguinte forma. Os campos φ são coordenadas de uma variedade Qn de
dimensão n. Em conjunto com essa variedade, definimos também um espaço para os parâmetros,
R4. O espaço de configuração vem a ser o produto direto definido por Q ≡ Qn × R4, de modo que
o volume Ω, o qual será tratado também como o domínio dos campos φ, esteja imerso em Q.
Vamos supor que os campos sejam funções de classe C∞, de modo que podemos definir todas
as suas derivadas
φiµ ≡
dφi
dxµ
≡ ∂µφi, φiµν ≡ ∂µ∂νφi, . . . . (4.4)
Uma configuração φ dos campos é definida como os valores dos campos e de suas derivadas
primeiras, ou velocidades, em cada ponto do espaço-tempo:
φ :
{
φi (x) , φiµ (x)
}
, ∀x ∈ R4. (4.5)
Consideremos, agora, a existência de uma densidade Lagrangiana L
(
xµ, φi, φiµ
)
, contendo
derivadas dos campos até primeira ordem. Com essa densidade Lagrangiana definimos a ação
A [φ] ≡
ˆ
Ω
L
(
xµ, φi, φiµ
)
dω, (4.6)
em que usamos a notação dω ≡ dx0dx1dx2dx3.
Para definir o problema variacional, vamos considerar uma transformação ativa no espaço
de configuração, que pode ser imaginada como um arraste suave dos campos e dos parâmetros.
Existe uma configuração física φ (x), que será arrastada suavemente para uma configuração
30
φ′ (y), de modo que a topologia e geometria do espaço de configuração e, consequentemente do
espaço de Minkowski, seja preservada. Isto significa que não serão permitidas transformações
que envolvam "colar" e "furar" o espaço-tempo, nem transformações que mudem a métrica de
Minkowski. A configuração física φ (x) deve ser um extremo da integral fundamental.
Para realizar esta transformação, vamos fazer da configuração φi um membro de uma família
de configurações de 1-parâmetro, definida por
φ (u) :
{
φi = φi (xµ, u) ; φiµ = φ
i
µ (x
µ, u) ; · · ·} , (4.7)
pelo menos de classe C2 em u. Se uma dada configuração φ (u0) é um extremo da integral funda-
mental (4.6), correspondendo à configuração física do sistema, A (u0) deve ser menor (ou maior)
que um valor A (u) calculado em uma configuração φ (u), pertencente a uma vizinhança fechada
|u− u0| de φ (u0). Supondo |u− u0| um número muito pequeno, desprezando termos de ordem
maior ou igual a |u− u0|2, a expansão de φ (u) em série de Taylor ao redor da configuração φ (u0)
pode ser escrita por
φi (xα, u) ≈ φi (xα, u0) + dφ
i (xα, u)
du
∣∣∣∣
u=u0
δu, (4.8)
e assim também para as derivadas dos campos, em que δu ≡ u − u0. Esta é a fórmula de
primeira ordem para a comparação entre duas configurações φ (u0) e φ (u) para um conjunto fixo
de parâmetros xµ. Ela nos permite definir a primeira variação dos campos a ponto fixo, dada
pela expressão
δ¯φi ≡ φi (xµ, u)− φi (xµ, u0) = dφ
i
du
∣∣∣∣
u=u0
δu. (4.9)
A mesma expressão é válida para as derivadas. Por exemplo, temos a primeira variação de φaµ:
δ¯φiµ ≡ φiµ (xα, u)− φiµ (xα, u0) =
dφiµ
du
∣∣∣∣∣
u=u0
δu
=
d2φi
dxµdu
∣∣∣∣
u=u0
δu =
d
dxµ
dφi
du
∣∣∣∣
u=u0
δu =
d
dxµ
(
δ¯φi
)
.
Na expressão acima, usamos a derivada total definida por
d
dxα
≡ ∂
∂xα
+
ˆ
Ω
dωx
[
φiα (x)
δ
δφi (x)
+ φiµα (x)
δ
δφiµ (x)
+ φiµνα (x)
δ
δφiµν (x)
+ · · ·
]
. (4.10)
A integral que aparece na expressão acima atende ao fato de que campos são, de forma rigorosa,
tratados como distribuições do espaço-tempo: as derivadas com relação aos campos são derivadas
funcionais e não simples derivadas parciais. Por essa razão usamos o símbolo δF (x) /δφ (y) para
caracterizar a derivada funcional de uma função F (x), aplicada em um ponto x do volume Ω,
com relação a uma função φ (y), aplicada em um ponto y do mesmo domínio. A relação mais
fundamental vem a ser
δφi (x)
δφj (y)
= δijδ
4 (x− y) , (4.11)
em que temos a delta de Dirac de dimensão 4:
δ4 (x− y) =
{
0 se x 6= y,
∞ se x = y. ,
ˆ
M4
δ4 (x− y) d4x = 1. (4.12)
No geral podemos ignorar a escrita das integrais, de modo a não sobrecarregar a notação, o que
faremos em boa parte do trabalho. Contudo, quando somas em derivadas funcionais aparecem,
integrais geralmente as acompanham e devemos ficar atentos a este fato. Por exemplo, usaremos
31
repetidamente expressões do tipo φiµ
[
δL/δφi
]
, com L sendo a densidade Lagrangiana, que devem
ser lidas comoˆ
Ω
dωx
[
φiµ (x)
δL (y)
δφi (x)
]
. (4.13)
A primeira variação (4.9), portanto, é o termo de primeira ordem da comparação entre duas
configurações infinitesimalmente próximas, mantendo fixos o conjunto de parâmetros xµ e, por-
tanto, o domínio Ω. Podemos generalizar este argumento e considerar também a comparação
com configurações que variem os parâmetros. Basta considerarmos
φ′ (u) :
{
φ′i = φ′i (yµ, u) ; φ′iµ = φ
′i
µ (y
µ, u)
}
, (4.14)
em que os parâmetros yµ representam coordenadas de um volume Ω′ do espaço-tempo. Podemos
escolher esta configuração de modo que yµ = xµ para u = u0 e, assim, ambos os conjuntos estão
relacionados pela equação
yµ = yµ (xν , u) ≈ yµ + dy
µ
du
∣∣∣∣
u=u0
δu, (4.15)
em que, por último, tomamos a expansão até primeira ordem em δu.
Com a variação dos parâmetros, temos a primeira variação total
φ′i (yµ, u) ≈ φi (yµ, u0) + dφ
i (yµ, u)
du
∣∣∣∣
u=u0
δu+
dφi (yµ, u)
dyβ
dyβ
du
∣∣∣∣
u=u0
δu
= φi (xµ, u0) + δ¯φ
i +
(
φaβ
)
u=u0
δxβ ,
ou seja,
δφi ≡ δ¯φi + φiβδxβ , (4.16)
em que
δxβ ≡ dy
β
du
∣∣∣∣
u=u0
δu. (4.17)
4.3 A primeira variação da ação
Vamos escrever a integral fundamental para a configuração φ (u0):
A (u0) =
ˆ
Ω
L
(
xµ, φi, φaµ
)
dω, (4.18)
assim como para a configuração φ′ (u):
A (u) =
ˆ
Ω′
L
(
yµ, φ′a, φ′aµ
)
dω′, (4.19)
em que dω′ ≡ dy0dy1 . . . dyd. A primeira variação total da ação é definida por
δA ≡ A (u)−A (u0) ≈ dA (u)
du
∣∣∣∣
u=u0
δu. (4.20)
O operador
δ ≡ δu d
du
(4.21)
é um operador diferencial de primeira ordem, que obedece às propriedades de uma derivada
ordinária: é linear e obedece à regra de Leibniz. Neste caso, vamos calcular
δA = δ
[ˆ
Ω
L
(
xµ, φi, φaµ
)
dω
]
=
ˆ
Ω
(δLdω + Lδdω) . (4.22)
32
A variação total atua sobre o elemento de volume na seguinte forma:
δ (dω) = dω′ − dω = det
(
dyµ
dxν
)
dω − dω =
[
det
(
dyµ
dxν
)
− 1
]
dω.
Note que yµ = xµ + δxµ, então
dyµ
dxν
= δµν +
d (δxµ)
dxν
.
O determinante é dado por
det
(
dyµ
dxν
)
= det

1 +
d(δx0)
dx0
d(δx0)
dx1
d(δx0)
dx2
d(δx0)
dx3
d(δx1)
dx0 1 +
d(δx1)
dx1
d(δx1)
dx2
d(δx1)
dx3
d(δx2)
dx0
d(δx2)
dx1 1 +
d(δx2)
dx2
d(δx2)
dx3
d(δx3)
dx0
d(δx3)
dx1
d(δx3)
dx2 1 +
d(δx3)
dx3
 .
É fácil verificar que, em primeira ordem, o determinante é aproximado por
det
(
dyµ
dxν
)
= 1 +
d (δxµ)
dxµ
. (4.23)
Então,
δ (dω) =
[
1 +
d (δxµ)
dxµ
− 1
]
dω =
d (δxµ)
dxµ
dω. (4.24)
Na integral, temos
δA =
ˆ
Ω
(δLdω + Lδdω) =
ˆ
Ω
(
δL+ L
d (δxµ)
dxµ
)
dω.
Note que
L
d (δxµ)
dxµ
=
d
dxµ
(Lδxµ)− δxµ dL
dxµ
,
e, neste caso,
δA =
ˆ
Ω
(
δL+
d
dxµ
(Lδxµ)− δxµ dL
dxµ
)
dω
=
ˆ
Ω
(
δL− δxµ dL
dxµ
)
dω +
ˆ
Ω
dω
d
dxµ
(Lδxµ) ,
ou,
δA =
ˆ
Ω
δ¯Ldω +
ˆ
Ω
dω
d
dxµ
(Lδxµ) , (4.25)
em que
δ¯L = δL− δxµ dL
dxµ
. (4.26)
Primeiro, vamos calcular
δL = δu
dL
du
= δxµ
∂L
∂xµ
+ δφi
δL
δφi
+ δφiµ
δL
δφiµ
. (4.27)
Por outro lado,
δxµ
dL
dxµ
= δxµ
(
∂L
∂xµ
+ φiµ
δL
δφi
+ φiµν
δL
δφiν
)
, (4.28)
33
de modo que
δ¯L = δL− δxµ dL
dxµ
= δxµ
∂L
∂xµ
+ δφi
δL
δφi
+ δφiµ
δL
δφiµ
− δxµ
(
∂L
∂xµ
+ φiµ
δL
δφi
+ φiµν
δL
δφiν
)
=
(
δφi − δxµφiµ
) δL
δφi
+
(
δφiµ − δxµφiµν
) δL
δφiν
,
ou,
δ¯L =
(
δ − δxµ d
dxµ
)
φi
δL
δφi
+
(
δ − δxµ d
dxµ
)
φiν
δL
δφiν
= δ¯φi
δL
δφi
+ δ¯φiµ
δL
δφiµ
. (4.29)
Vamos calcular agora a variação
δ¯φiµ = δφ
i
µ − δxνφiνµ. (4.30)
Primeiro,
δφiµ = δ
(
dφi
dxµ
)
=
dφ′i
dyµ
− dφ
i
dxµ
=
dxν
dyµ
dφ′i
dxν
− dφ
i
dxµ
=
dxν
dyµ
dφ′i
dxν
− dφ
i
dxµ
.
Note que xµ = yµ − δxµ. Portanto,
δφiµ =
d
dyµ
(yν − δxν) dφ
′i
dxν
− dφ
i
dxµ
=
(
δνµ −
d (δxν)
dyµ
)
dφ′i
dxν
− dφ
i
dxµ
=
dφ′i
dxµ
− d (δx
ν)
dyµ
dφ′i
dxν
− dφ
i
dxµ
=
d
dxµ
(
φ′i − φi)− d (δxν)
dyµ
dφ′i
dxν
=
d
(
δφi
)
dxµ
− d
dyµ
(
δxν
dφ′i
dxν
)
+ δxν
d2φ′i
dyµdxν
.
Em primeira ordem,
δφiµ =
d
(
δφi
)
dxµ
− d
dxµ
(
δxν
dφi
dxν
)
+ δxν
d2φi
dxµdxν
=
d
dxµ
(
δφi − δxνφiν
)
+ δxν φiνµ
=
d
dxµ
(
δ¯φi
)
+ δxνφiνµ, (4.31)
que resulta em
δ¯φiµ =
d
dxµ
(
δ¯φi
)
+ δxν φiνµ − δxνφiνµ =
d
dxµ
(
δ¯φi
)
. (4.32)
Temos
δ¯L = δ¯φi
δL
δφi
+ δ¯φiµ
δL
δφiµ
= δ¯φi
δL
δφi
+
d
dxµ
(
δ¯φi
) δL
δφiµ
= δ¯φi
[
δL
δφi
− d
dxµ
δL
δφiµ
]
+
d
dxµ
(
δ¯φi
δL
δφiµ
)
. (4.33)
34
Na integral,
δA =
ˆ
Ω
δ¯Ldω +
ˆ
Ω
dω
d
dxµ
(Lδxµ)
=
ˆ
Ω
δ¯φi
[
δL
δφi
− d
dxµ
δL
δφiµ
]
dω +
ˆ
Ω
dω
d
dxµ
(
Lδxµ + δ¯φi
δL
δφiµ
)
. (4.34)
Vamos deixar a primeira integral como está, mas desejamos escrever a segunda integral como
combinações lineares das variações totais dos campos. Vamos usar δ¯φ = δφ− δxµφµ:
δA =
ˆ
Ω
δ¯φi
[
δL
δφi
− d
dxµ
δL
δφiµ
]
dω +
ˆ
Ω
dω
d
dxµ
[
Lδxµ − δxνφiν
δL
δφiµ
+ δφi
δL
δφiµ
]
=
ˆ
Ω
δ¯φi
[
δL
δφi
− d
dxµ
(
δL
δφiµ
)]
dω +
ˆ
Ω
dω
d
dxµ
[
δφi
δL
δφiµ
−
(
φiν
δL
δφiµ
− δµνL
)
δxν
]
.
Vamos definir
Hµν ≡ δL
δφiµ
φiν − ηµνL, (4.35)
assim,
δA =
ˆ
Ω
δ¯φi
[
δL
δφi
− d
dxµ
δL
δφiµ
]
dω +
ˆ
Ω
dω
d
dxµ
(
δφi
δL
δφiµ
−Hµνδxν
)
. (4.36)
4.4 Os termos de fronteira
A integralˆ
Ω
dω
d
dxµ
(
δL
δφiµ
δφi −Hµνδxν
)
é uma integral de uma divergência total no volume Ω. Segundo o teorema de Gauss, a integral
de um divergente de um campo vetorial em um volume Ω deve ser igual à integral da projeção
ortogonal do mesmo campo vetorial na fronteira ∂Ω de Ω, ou seja,ˆ
Ω
dω
dFµ (x)
dxµ
=
ˆ
∂Ω
dσnµ (x)F
µ (x) ,
em que nµ (x) são componentes de um vetor unitário tangente a ∂Ω em determinado ponto x.
Neste caso,ˆ
Ω
dω
d
dxµ
(
δL
δφiµ
δφi −Hµνδxν
)
=
ˆ
∂Ω
dσnµ
(
δL
δφiµ
δφi −Hµνδxν
)
. (4.37)
Por esta razão, integrais de divergentes em um problema variacional são denominados termos
de fronteira, já que eles dependem apenas das configurações e variações dos campos na fronteira
de Ω.
O campo vetorial relevante é dado por
Φµ ≡ δL
δφµi
δφi −Hµνδxν , (4.38)
e é uma combinação linear de δφ e δx. Os coeficientes são
Hµν =
δL
δφµi
φiν − ηµνL, (4.39)
que são as componentes de um objeto que recebe o nome de densidade de energia-momento.
Há, também, os coeficientes
piµi ≡
δL
δφiµ
, (4.40)
que são denominados momentos conjugados covariantes. Veremos mais adiante que essas quan-
tidades são fundamentais na definição de quantidades conservadas e invariantes do problema
variacional.
35
4.5 Os princípios de Hamilton e Weiss e as equações de
campo
Um princípio físico é necessário para que se defina a configuração física dos campos. É usual, a
princípio, a utilização do princípio de Hamilton:
Proposição 1. O Princípio de Hamilton para campos.
Seja uma configuração de campos φ e uma integral fundamental, ou ação A, definida a
partir de uma densidade Lagrangiana L = L (x, φ, φµ). Considere, também, uma vari-
ação dos campos δφ que não modifique o volume Ω ⊂ M4 e seja nula na fronteira ∂Ω.
Neste caso, φ é uma configuração física do sistema se a ação for estacionária quando
calculada nesta configuração, em comparação com a ação calculada sobre qualquer ou-
tra configuração φ′ em uma vizinhança fechada de φ.
A condição necessária, mas não necessariamente suficiente, para que a ação seja estacionária
é dada por δA = 0, ou seja, a primeira variação da ação tendo como base a configuração esta-
cionária deve ser nula. Nas condições do princípio de Hamilton, a variação δφ deve ser tal que
δxµ = 0 e δφi (x)
∣∣
x∈∂Ω = 0. (4.41)
Neste caso, a primeira variação da ação, (4.36), toma a forma
δA =
ˆ
Ω
δφi
[
δL
δφi
− d
dxµ
δL
δφiµ
]
dω +
ˆ
Ω
dω
d
dxµ
(
piµi δφ
i
)
,
visto que δ = δ¯ quando δx = 0. O termo de fronteira envolve o cálculo de δφ na fronteira de Ω,
ˆ
Ω
dω
d
dxµ
(
piµi δφ
i
)
=
ˆ
∂Ω
dσx nµ (x)pi
µ
i (x) δφ
i (x)
∣∣
x∈∂Ω ,
que é nulo devido à segunda condição (4.41).
Neste caso,
δA =
ˆ
Ω
δφi
[
δL
δφi
− d
dxµ
δL
δφiµ
]
dω. (4.42)
O volume Ω é fixado a priori. Contudo, o procedimento acima deve ser válido para qualquer
volume no qual o sistema de coordenadas cartesiano {xµ} seja válido e, também, no qual os
campos sejam bem definidos. Sem perda de generalidade, podemos considerar Ω arbitrário.
Além disso, as variações δφi devem ser linearmente independentes: a variação de um campo φi
não pode depender da variação de uma campo φj para j 6= i. A condição de extremo δA = 0
implica em que a integral (4.42) seja nula. Se Ω é arbitrário e δφi são LI, o termo entre colchetes
deve ser nulo, ou seja,
δL
δφi
− d
dxµ
δL
δφiµ
= 0. (4.43)
Essas são as equações de campo, são as equações de Euler-Lagrange da ação (4.6).
36
Observação 1. O princípio de Hamilton pode ser flexibilizado na condição de que δφ seja
nulo na fronteira. Ainda mantendo Ω fixo, é suficiente que os momentos covariantes
sejam tangentes a ∂Ω na fronteira, ou seja,
nµ (x)pi
µ
i (x)|x∈∂Ω = 0. (4.44)
Isto implica na nulidade dos termos de fronteira e resulta nas mesmas equações de
campo. Esta condição, contudo, restringe as configurações físicas àquelas que obede-
cem ao vínculo (4.44), que se torna uma condição de contorno.
Um segundo princípio é mais geral e permite variações no volume Ω:
Proposição 2. O Princípio de Weiss.
Seja uma configuração de campos φ e uma integral fundamental, ou ação A, definida a
partir de uma densidade Lagrangiana L = L (x, φ, φµ). Sejam uma variação dos campos
δφ = φ′ (y) − φ (x) e uma variação no volume δx = y − x, infinitesimais e arbitrários.
Neste caso, φ (x) é uma configuração física do sistema se a primeira variação da ação
depender apenas da fronteira de Ω.
O princípio de Weiss permite, portanto, variações arbitrárias no espaço de configuração, ou
seja, permite todo arraste de campos que respeite a topologia e a geometria do espaço-tempo, ao
contrário do princípio de Hamilton. Se a primeira variação só depende da fronteira, existe pelo
menos um conjunto de funções Fµ tais que
δA =
ˆ
Ω
dω
dFµ
dxµ
=
ˆ
∂Ω
dσ |nµ (x)Fµ
(x)|x∈∂Ω .
Neste caso, δx 6= 0 e δφ = δ¯φ− δxµφµ, de modo que
δA =
ˆ
Ω
δ¯φi
[
δL
δφi
− d
dxµ
δL
δφiµ
]
dω +
ˆ
Ω
dω
d
dxµ
(
δφi
δL
δφiµ
−Hµνδxν
)
=
ˆ
Ω
dω
dFµ
dxµ
.
Para que δA não dependa do volume, temos a condição
ˆ
Ω
δ¯φi
[
δL
δφi
− d
dxµ
δL
δφiµ
]
dω = 0,
que deve ser respeitada com Ω arbitrário e δ¯φi linearmente independentes. Neste caso, temos
δL
δφi
− d
dxµ
δL
δφiµ
= 0,
que são as equações de campo (4.43) da ação.
No princípio de Weiss, não se exige que os termos de fronteira sejam nulos. Contudo, depen-
dendo do volume Ω em consideração, condições de contorno nos campos e nas velocidades talvez
sejam necessárias para garantir a existência das integrais.
37
38
Capítulo 5
Os teoremas de Noether
5.1 Simetrias
Vamos supor uma transformação infinitesimal
xµ → x¯µ = xµ + δxµ, φi (x)→ φ¯i (x¯) = φi (x) + δφi. (5.1)
Um funcional de ação A é denominado invariante sob estas transformações se a ação calculada
nas novas variáveis,
A¯
[
φ¯
]
=
ˆ
Ω¯
dω¯L
(
x¯, φ¯, φ¯µ
)
, (5.2)
for igual à ação calculada nas antigas variáveis
A [φ] =
ˆ
Ω
dωL (x, φ, φµ) , (5.3)
ou seja,
A¯ = A. (5.4)
A condição (5.4) pode ser escrita através da diferença finita
∆A = A¯−A = 0. (5.5)
Vamos supor que δxµ são funções analíticas de um conjunto de parâmetros aµ e que δφi são
funções analíticas de um conjunto de m parâmetros λa, em que a toma os valores de 1 a m.
Portanto, as transformações (5.1) fazem parte de uma classe de transformações contínuas. Além
disso, temos a condição
(aµ, λa)→ 0 =⇒ δx = δφ = 0 =⇒ x¯µ = xµ, φ¯i = φi, (5.6)
para as quais dizemos que as transformações são conexas à identidade.
Se as transformações são contínuas e conexas à identidade, podemos expandir A¯ em série de
Taylor:
A¯
(
λa
′)
= A+
dA¯
daµ
∣∣∣∣
a,λ=0
aµ +
dA¯
dλa
∣∣∣∣
a,λ=0
λa +O (λ2) . (5.7)
Colecionando apenas termos até primeira ordem, temos
A¯ ≈ A+ δA, (5.8)
em que δA é uma primeira variação de A com relação às transformações (5.1), ou seja,
∆A ≈ δA, (5.9)
39
em primeira ordem da aproximação de Taylor.
Uma condição necessária para que ∆A seja nulo é, claramente, que δA seja nulo para as
transformações (5.1). É claro que esta condição não é suficiente, de modo que podemos definir
o que denominamos invariância fraca. A ação A é fracamente invariante sob as transformações
(5.1) se δA = 0. De agora em diante, sempre que nos referirmos a uma invariância, esta se refere
a uma invariância fraca. Uma invariância forte, em que ∆A = 0 é, claramente, também uma
invariância fraca.
As transformações que deixam um funcional invariante são chamadas simetrias deste funci-
onal.
Simetrias contínuas e conexas à identidade, caracterizada pelos m + 4 parâmetros aµ e λa,
podem ser explicitamente colocadas na forma
δxµ =
dx¯µ
daν
∣∣∣∣
a,λ=0
aν
δφi =
dφ¯i
daµ
∣∣∣∣
a,λ=0
aµ +
dφ¯i
dλa
∣∣∣∣
a,λ=0
λa =
dφ¯i
dx¯ν
dx¯ν
daµ
∣∣∣∣
a,λ=0
aµ +
dφ¯i
dλa
∣∣∣∣
a,λ=0
λa
= φiν
dxν
daµ
∣∣∣∣
a,λ=0
aµ +
dφ¯i
dλa
∣∣∣∣
a,λ=0
λa = δxµφiµ + δ¯φ
i,
em que
δ¯φi =
dφ¯i
dλa
∣∣∣∣
a,λ=0
λa.
Nessas expressões, definimos
Γµν ≡
dx¯µ
daν
∣∣∣∣
a,λ=0
, Υia ≡
dφ¯i
dλa
∣∣∣∣
a,λ=0
, (5.10)
que são funções independentes dos parâmetros. Em resumo,
δxµ = Γµνa
ν , δφi = φiµδx
µ + δ¯φi = φiµΓ
µ
νa
ν + Υiaλ
a. (5.11)
5.2 A equação de Lie
A primeira variação de A sob uma transformação infinitesimal geral caracterizada pelas funções
δxµ e δφi foi calculada em (4.36), resultando em
δA =
ˆ
Ω
dω
[
δL
δφi
− d
dxµ
δL
δφiµ
]
δ¯φi +
ˆ
Ω
dω
d
dxµ
(
δφi
δL
δφiµ
−Hµνδxν
)
. (5.12)
Com as definições (5.11),
δA =
ˆ
Ω
dω
{(
δL
δφi
− d
dxµ
δL
δφiµ
)
Υiaλ
a +
d
dxµ
(
piµi φ
i
λΓ
λ
νa
ν + piµi Υ
i
aλ
a −HµνΓνγaγ
)}
.
Se δA = 0 em um volume Ω arbitrário, então(
δL
δφi
− d
dxµ
δL
δφiµ
)
Υiaλ
a = − d
dxµ
[(
piµi φ
i
ν −Hµν
)
Γνγa
γ + piµi Υ
i
aλ
a
]
. (5.13)
Esta é a equação diferencial de Lie.
5.3 O primeiro teorema
Vamos separar, por conveniência, as transformações exclusivamente nos campos (δxµ = 0), das
transformações exclusivamente no ponto do espaço-tempo (δφ = 0). No primeiro caso, temos
δxµ = Γµνa
ν = 0, portanto tomaremos Γ = 0 em (5.13). Então,(
δL
δφi
− d
dxµ
δL
δφiµ
)
Υiaλ
a = − d
dxµ
[
piµi Υ
i
aλ
a
]
.
40
Agora, vamos considerar os parâmetros λa independentes do ponto, ou seja, constantes em xµ.
Neste caso, se λa são linearmente independentes, temos(
δL
δφi
− d
dxµ
δL
δφiµ
)
Υia = −
d
dxµ
(
piµi Υ
i
a
)
. (5.14)
Dizemos que essas são transformações internas globais. Internas, pois consistem em m trans-
formações exclusivamente nos campos, sem mudança nas coordenadas deM4. Globais, pois são
transformações a parâmetros constantes, que não dependem do ponto do espaço-tempo. Com
(5.14), podemos enunciar a forma matemática do primeiro teorema de Noether:
Teorema 1. Primeiro teorema de Noether (versão matemática).
Para cada simetria da ação, existe uma combinação linear das equações de campo que
é igual a uma divergência total.
Este teorema também vale no segundo caso, em que δφ = 0, consistindo em transformações
exclusivamente no espaço-tempo. Neste caso, temos δ¯φi = −δxµφiµ, resultando em Υiaλa =
−φiµΓµνaν . Então, (5.13) torna-se(
δL
δφi
− d
dxµ
δL
δφiµ
)
φiµΓ
µ
γ = −
d
dxµ
(
HµνΓ
ν
γ
)
, (5.15)
com aµ constantes. Então, temos o caso em que quatro simetrias resultam em quatro combina-
ções lineares das equações de Euler-Lagrange iguais a quatro divergências totais.
Toda simetria global (com parâmetros constantes) pode ser separada em uma transformação
interna e uma transformação no ponto, de modo que o caso misto não é de muito interesse.
Simetrias internas possuem uma enorme relevância em teorias de campos, como por exemplo
as transformações de gauge. Por outro lado, toda teoria de campo relativística é invariante pelo
grupo de Poincaré, que consiste em translações e pseudo-rotações em M4. Transformações de
Poincaré são transformações globais no ponto, portanto.
Outra versão do primeiro teorema de Noether pode ser formulada a partir da equação de Lie(
δL
δφi
− d
dxµ
δL
δφiµ
)
δ¯φi = − d
dxµ
(
piµi δφ
i −Hµνδxν
)
, (5.16)
agora escrita na forma geral. Note que, se as equações de campo são satisfeitas,
δL
δφi
− d
dxµ
δL
δφiµ
= 0,
a seguinte divergência é nula:
dΦµ
dxµ
= 0, Φµ ≡ piµi δφi −Hµνδxν . (5.17)
No caso de transformações internas globais, temos
Φµ = piµi δφ
i = piµi Υ
i
aλ
a,
ou seja,
dΦµ
dxµ
= 0 =⇒ d
dxµ
(
piµi Υ
i
a
)
= 0.
As funções Φµa ≡ piµi Υia são denominadas correntes próprias, e as equações
dΦµa
dxµ
= 0 (5.18)
41
são denominadas equações de continuidade.
No caso de transformações no ponto, temos
Φµ = −Hµνδxν = −HµνΓνλaλ,
que resulta em
dΦµ
dxµ
= 0 =⇒ d
dxµ
(HµνΓ
ν
λ) = 0. (5.19)
Neste caso, as correntes próprias são as funções Φµλ ≡ Hµν Γνλ, que obedecem às equações de
continuidade dΦµν/dxµ = 0.
Teorema 2. Primeiro teorema de Noether (versão física I).
Para cada simetria da ação, existe uma equação de continuidade para um conjunto de
correntes próprias.
Equações de continuidade aparecem em toda teoria física com simetrias. Por exemplo, consi-
dere as equações de Maxwell com fontes
∇ ·E = ρ
ε0
,
∇×B = µ0j + µ0ε0 ∂E
∂t
.
Derivando a primeira equação parcialmente no tempo e tomando o divergente da segunda, temos
∂
∂t
(∇ ·E) = ∇ · ∂E
∂t
=
1
ε0
∂ρ
∂t
,
∇ · ∇ ×B = µ0∇ · j + µ0ε0∇ ·