Relatório 1 MEC FLU (UFU)

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Sumário 
 
 
 
 
1 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 
 
 
2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 
 
 
3 Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 
 
 
4 Desenvolvimento teórico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 
 
 
5 Equipamento experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 
 
 
6 Procedimento experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 
 
 
7 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 
 
 
8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 
 
 
9 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 
 
 
10 Anexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 
 
 
 
 
 
 
2 
 
1) Resumo 
Este experimento visa determinar comprovar a teoria da hidrostática para o caso de 
uma superfície submersa. Esta verificação será dada construindo um gráfico o qual irá 
relacionar o ℎ஼௉ ௧௘ó௥௜௖௢ com o ℎ஼௉ ௘௫௣௘௥௜௠௘௡௧௔௟ . Ajustando os pontos obtidos no gráfico através 
do método dos quadrados mínimos obteremos uma reta que irá nos permitir achar seu 
coeficiente angular. O valor do coeficiente angular irá nos permitir comprovar a teoria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
2) Objetivo 
 Comprovar experimentalmente a teoria da hidrostática, para o caso particular de uma 
superfície parcialmente ou totalmente submersa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
3) Introdução 
Como já visto, o experimento tem o objetivo de comprovar a teoria da hidrostática, 
isso será feito através do cálculo da altura do centro de pressão do líquido (ℎ஼௉). 
Mas para calcular ℎ஼௉ primeiro temos que calcular a força resultante na superfície 
imersa no líquido (ܨோ). 
Para calcular ܨோ dispomos da fórmula: 
 
ܨோ = ߩ஼ீ × ℎ஼ீ × ݃ × ܣ 
݋݊݀݁: 
ߩ஼ீ = ݀݁݊ݏ݅݀ܽ݀݁ ݀݋ ݈íݍݑ݅݀݋ 
ℎ஼ீ = ݈ܽݐݑݎܽ ݀݋ ܿ݁݊ݐݎ݋ ݀݁ ݃ݎܽݒ݅݀ܽ݀݁ ݀݋ ݈íݍݑ݅݀݋ 
݃ = ݈ܽܿ݁݁ݎܽçã݋ ݀ܽ ݃ݎܽݒ݅݀ܽ݀݁ 
ܣ = áݎ݁ܽ ݀݁ ݏ݁çã݋ ݐݎܽ݊ݏݒ݁ݎݏ݈ܽ ݀ܽ ݏݑ݌݁ݎ݂íܿ݅݁ ݅݉݁ݎݏܽ 
 
Observação: ℎ஼ீ pode ser dado de duas maneiras: 
 Para superfície parcialmente imersa: 
 
ℎ஼ீ = ℎ2 
݋݊݀݁: 
ℎ = ݈ܽݐݑݎܽ ݀ܽ ݌ܽݎݐ݁ ݅݉݁ݎݏܽ ݀ܽ ݏݑ݌݁ݎ݂íܿ݅݁ 
 Para superfície totalmente imersa: 
ℎ஼ீ = ݕത 
݋݊݀݁: 
ݕത = ݈ܽݐݑݎܽ ݀݋ ܿ݁݊ݐݎ݋݅݀݁ ݀ܽ áݎ݁ܽ ݀ܽ ݏ݁çã݋ ݐݎܽ݊ݏݒ݁ݎݏ݈ܽ ݀ܽ ݏݑ݌݁ݎ݂íܿ݅݁ ݅݉݁ݎݏܽ 
 
Para calcular ℎ஼௉ devemos primeiro observar se a superfície está parcialmente ou 
totalmente imersa. 
 
 
5 
 
 Para superfície parcialmente imersa: 
 
 
ℎ஼௉ = ݉ × ܮߩ × ℎଶ × ܾ − (ܽ + ݀ − ℎ) 
 
 
 Para superfície totalmente imersa: 
 
ℎ஼௉ = ݉ × ݃ × ݈ܨோ − [ܽ − (ℎ − ݀)] 
݋݊݀݁: 
݉ = ݉ܽݏݏܽ ݀݁ ݈íݍݑ݅݀݋ 
݃ = ݈ܽܿ݁݁ݎܽçã݋ ݀ܽ ݃ݎܽݒ݅݀ܽ݀݁ 
݈ = ܿ݋݉݌ݎ݅݉݁݊ݐ݋ ݀ܽ ℎܽݏݐ݁ ݀݁ ݉݁ݐ݈ܽ 
ܨோ = ݂݋ݎçܽ ݎ݁ݏݑ݈ݐܽ݊ݐ݁ ݊ܽ ݏݑ݌݁ݎ݂íܿ݅݁ ݅݉݁ݎݏܽ 
ܽ = ݀݅ݏݐâ݊ܿ݅ܽ ݀ܽ ℎܽݏݐ݁ ݀݁ ݉݁ݐ݈ܽ à ܾܽݏ݁ ݀݋ ݐ݋ݎó݅݀݁ 
ℎ = ݈ܽݐݑݎܽ ݀݁ ݂݈ݑ݅݀݋ 
݀ = ݁ݔ݌݁ݏݏݑݎܽ ݀݋ ݐ݋ݎó݅݀݁ 
 
Assim que calcularmos todos os ℎ஼௉௦ poderemos construir o gráfico 
ℎ஼௉ ௧௘ó௥௜௢௖௢ vs. ℎ஼௉ ௘௫௣௘௥௜௠௘௡௧௔௟ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
4) Desenvolvimento teórico 
 4.1) Pressão e Gradiente De Pressão 
A tensão normal sobre qualquer plano através de um elemento de fluido é igual a um 
valor único, denominado pressão do fluido, p, que segundo a convenção é negativo na 
compressão. 
Tomemos uma pequena cunha de fluido de tamanho Δx por Δy por Δz: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Equilíbrio de uma pequena cunha de fluido em repouso 
݀ݓ = ߩ݃ 12 ܾ ߂ݔ ߂ݕ 
Considerando fluido-estática: 
ߑܨݔ = ܲݔ ߂ݕ ܾ – ܲ݊ ߂ݏ ܾ ݏ݁݊ߠ = 0 [1] 
ߑܨݔ = ܲݕ ߂ݔ ܾ – ܲ݊ ߂ݏ ܾ ܿ݋ݏߠ = 0 [2] 
sinߠ = ߂ݕ
߂ݏ
 [3] 
cos ߠ = ߂ݔ
߂ݏ
 [4] 
Substituindo [3] em [1] e [4] em [2] temos: 
ܲݔ = ܲ݊ [5] 
ܲݕ = ܲ݊ [6] 
 
 
 
 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Força líquida x sobre o elemento, devido à variação de pressão 
 
4.2) Forças hidrostáticas e ponto de atuação sobre superfícies planas 
O cálculo de forças fluido-estáticas sobre uma superfície plana é um problema comum em 
engenharia. Para superfície plana a distribuição dessas tensões é análoga à flexão e à 
compressão combinadas de uma viga, na teoria de resistência dos materiais, o que reduz o 
cálculo do dessas forças em fórmulas de centróide e momentos de inércia da área de seção 
transversal da placa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Força hidrostática e centro de pressão sobre uma superfície plana arbitrária de área 
A, inclinada com um ângulo Θ abaixo da superfície livre. 
8 
 
 
Temos que a pressão em um meio fluido a dada por: 
 
݀ܲ
݀ݖ
= −ߛ => ଶܲ − ଵܲ = −ߛ(ݖଶ − ݖଵ) 
 
O cálculo da força é dado por: 
ܨ = න (ܲܽݐ݉ + ߛℎ) 
஺
݀ܣ 
Logo: 
ܨ = (ܲܽݐ݉ + ߛℎ஼ீ)ܣ 
ܨ = ܲܽ஼ீ × ܣ 
A força que atua sobre a uma superfície plana, em um de seus lados, é dada pelo 
produto da pressão que atua no seu centro de gravidade pela área da superfície inversa a força 
não depende da sua forma e nem do ângulo θ. 
Esta força atua em um ponto conhecido como centro de massa que nem sempre 
coincide com o C.G. 
Para equilibrar a porção do momento de flexão, a força resultante F não atua no centro 
de gravidade, mas abaixo dele, num ponto denominado centro de pressão. 
Para o cálculo do ݕ஼௉ escrevemos: 
ܨݕ஼௉ = නݕ × ܾܲܽݏ 
஺
݀ܣ 
 
ܨݕ஼௉ = නݕ(ܲܽݐ݉ + ߛߝ sin ߠ) 
஺
݀ܣ 
ܨݕ஼௉ = නݕ × ܲܽݐ݉ 
஺
݀ܣ + ߛ sin ߠනݕߝ ݀ܣ 
஺
 
Como ∫ ݕ ݀ܣ = ݕ஼ீ = 0 ஺ e ߝ஼ீ − ߝ = ݕ, temos que: 
ܨݕ஼௉ = −ߛ sinߠ නݕ² 
஺
 ݀ܣ 
Mas ∫ ݕ² ஺ ݀ܣ = ܫ௑௑ , logo: 
 
ݕ஼௉ = − ߛ sin ߠ ܫ௑௑(ܲܽݐ݉ + ߛℎ஼ீ)ܣ 
9 
 
Analogamente: 
ݔ஼௉ = − ߛ sin ߠ ܫ௑௒(ܲܽݐ݉ + ߛℎ஼ீ)ܣ 
Modelo simplificado para problemas nos quais a Patm é a mesma em ambos os lados: 
ݕ஼௉ = − sinߠ ܫ௑௑ℎ஼ீܣ 
ݔ஼௉ = − sin ߠ ܫ௑௒ℎ஼ீܣ 
 
4.3) Forças hidrostáticas e ponto de atuação sobre superfícies curvas 
A força de pressão resultante sobre uma superfície curva é calculada mais facilmente 
separando-se seus componentes na horizontal e na vertical. 
 
 
Figura 4 - Cálculo da força hidrostática sobre uma superfície curva: (a) superfície curva 
submersa; (b) diagrama de corpo livre do fluido acima da superfície curva. 
 
Cálculo de ܨ௏ : 
݀ܨ = ߛℎ ݀ܣ 
݀ܨ௏ = ߛℎ ݀ܣ cos ߙ 
݀ܨ௏ = ߛℎ ݀ܣ௛ 
݀ܨ௏ = ߛ ݀∀ 
Integrando ݀ܨ௏ encontramos ܨ௏: 
ܨ௏ = න݀ܨ௏ 
஺
= නߛ ݀∀ 
∀
 
10 
 
ܨ௏ = ߛ∀ 
Cálculo de ܨு : 
݀ܨு = ݀ܨ ݀ܣ sin ߙ 
݀ܨு = ߛℎ ݀ܣ sin ߙ 
݀ܨு = ߛℎ ݀ܣ௩ 
Integrando ݀ܨு encontramos ܨு 
ܨு = න݀ܨு 
஺
= නߛℎ ݀ܣ௩ 
஺ೡ
 
ܨு = ℎ஼ீߛܣ௩ 
As posições ݔ஼௉ e ݕ஼௉ do centro de pressão de uma superfície curva são dadas por: 
ݕ஼௉ = − sin 90°ܫ௑௑ℎ஼ீܣ 
ݔ஼௉ = − sin 90° ܫ௑௒ℎ஼ீܣ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
5) Equipamento Experimental 
No experimento foram usados: 
 Bancada hidráulica de base 
 Aparato de hidrostática 
 
 
Figura 5: Bancada Hidráulica de Base 
 
 
 
Figura 6: Aparato de hidrostática 
1: Haste de metal 
2: Toróide 
3: Sistema de pesos 
Fluido utilizado: Água 
ߩá௚௨௔ = 998 ܿ݉/݉³ 
ܽ = 10,0 ܿ݉ 
ܾ = 7,5 ܿ݉ 
݀ = 10,0 ܿ݉ 
ܮ = 10,0 ܿ݉ 
1 
2 
3 
12 
 
6) Procedimento Experimental 
 
Antes de começar, enchemos o aparato de hidrostáticacom água até uma altura h, 
consideramos que o sistema, sem peso, estava em equilíbrio. 
É importante ressaltar que o experimento não foi livre de erros, uma vez que 
podíamos ter erro devido à habilidade do operador, aproximação do valor da densidade da 
água, erro de paralaxe na leitura das alturas e etc. 
Enfim, iniciamos o experimento adicionando 420 gramas no aparato, medimos os 
valores de altura e massa e em seguida calculamos a área da seção transversal da superfície 
imersa (ܣ), ܫ௑௑, ℎ஼ீ, ݕ஼௉, ܨோ, ℎ஼௉ ௧௘ó௥௜௖௢ , ℎ஼௉ ௘௫௣௘௥௜௠௘௡௧௔௟ e o ݁ݎݎ݋ referentes aos valores 
coletados. 
Retirando sempre 40 gramas do aparato, repetimos esse processo até que restassem 
60 gramas no sistema. 
Uma vez que calculados os valores, construímos o gráfico ℎ஼௉ ௧௘ó௥௜௖௢ vs. 
ℎ஼௉ ௘௫௣௘௥௜௠௘௡௧௔௟ . 
 
Tabela 1 – Valores coletados, área e momento de inércia calculados. 
Medida Massa (gr) Altura 
h(mm) 
Área 
A (m²) 
Ixx 
1 420 147 75e-4 6.25x10e-6 
2 380 137 75e-4 6.25x10e-6 
3 340 128 75e-4 6.25x10e-6 
4 300 118 75e-4 6.25x10e-6 
5 260 107 75e-4 6.25x10e-6 
6 220 97 72.75e-4 5.70x10e-6 
7 180 87 65.25e-4 4.12x10e-6 
8 140 75 56.25e-4 2.64x10e-6 
9 100 64 48e-4 1.64x10e-6 
10 60 49 36.75e-4 0.74x10e-6 
 
 
 
 
 
 
13 
 
7) Resultados 
Tendo em mãos os dados obtidos com o experimento, podemos então preencher a 
tabela abaixo: 
 
Tabela 2 – Valores obtidos durante a realização do experimento, onde ߩá௚௨௔ = 998 ܿ݉/݉³. 
 
Medida ℎ௖௚ (݉) ݕ௖௣ (m) F (N) ℎ௖௣௧ 
teórico (m) 
ℎ௖௣௘ 
experimental (m) 
erro (%) 
1 0.0970 -0.0086 7.1225 0.1056 0.1061 0.4640 
2 0.0870 -0.0096 6.3882 0.0966 0.0975 0.9274 
3 0.0780 -0.0107 5.7274 0.0887 0.0881 0.6026 
4 0.0680 -0.0123 4.9931 0.0803 0.0801 0.2069 
5 0.0570 -0.0146 4.1854 0.0716 0.0746 4.1424 
6 0.0485 -0.0162 3.4544 0.0647 0.0688 6.4082 
7 0.0435 -0.0145 2.7789 0.0580 0.0617 6.4570 
8 0.0375 -0.0125 2.0652 0.0500 0.0579 15.7686 
9 0.0320 -0.0107 1.5038 0.0427 0.0434 1.7076 
10 0.0245 -0.0082 0.8815 0.0327 0.0326 0.1299 
 
Com a tabela devidamente preenchida, confeccionamos o gráfico mostrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7 – Gráfico relacionando ℎ஼௉ ௧௘ó௥௜௖௢ vs. ℎ஼௉ ௘௫௣௘௥௜௠௘௡௧௔௟ 
14 
 
8) Conclusão 
 Os valores encontrados durante o experimento estão de acordo com os valores 
teóricos calculados. 
O ângulo esperado era de 45° porque se deseja que o valor de ℎ஼௉ ௘௫௣௘௥௜௠௘௡௧௔௟ seja 
exatamente igual ao valor de ℎ஼௉ ௧௘ó௥௜௖௢. Entretanto, podemos observar que o ângulo obtido 
não foi exatamente igual a 45° devido à diferença entre os parâmetros citados acima. Isso se 
deve ao fato de que durante o experimento havia possíveis fontes de erro como a falta de 
habilidade do operador, aproximação do valor da densidade da água, erro de paralaxe na 
leitura das alturas e etc. 
 O coeficiente angular da reta de regressão do gráfico ℎ஼௉ ௧௘ó௥௜௖௢ vs. 
ℎ஼௉ ௘௫௣௘௥௜௠௘௡௧௔௟encontrado foi de 1,008, bem próximo de 1, que seria o valor ideal. 
 Portanto, os erros relacionados aos valores de ℎ஼௉ ௧௘ó௥௜௖௢ vs. ℎ஼௉ ௘௫௣௘௥௜௠௘௡௧௔௟se 
localizam dentro da porcentagem recomendável de 5%, entretanto para os cálculos estando a 
superfície parcialmente imersa, os valores referentes ao ℎ௖௣ foram maiores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
9) Bibliografia 
1 - White, F.M., Mecânica dos Fluidos, McGraw-Hill, RJ, 1991. 
2 – Sonntag,E. S., Claus, B., Wylen, G. J. V., Fundamentos da Termodinâmica, Ed. Edgar Blücher 
LTDA, 2003. 
3 - http://www.agron.com.br/v/32976-bancada-para-testes-hidraulicos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
10) Anexos 
Para nos auxiliar nas contas, usamos o software numérico MATLAB, a seguir, segue o código 
que usamos para fazer as contas: 
h = 10^-2*[10 10 10 10 10 9.7 8.7 7.5 6.4 4.9]; % dimensões para o 
cálculo dos momentos de inércia 
h_m=10^-2*[14.7 13.7 12.8 11.8 10.7 9.7 8.7 7.5 6.4 4.9]; % alturas 
coletadas 
A = 10^-4*[75 75 75 75 75 72.75 65.25 56.25 48 36.75]; % áreas da 
superfície imersa a medida q íamos variando o peso 
m=[420 380 340 300 260 220 180 140 100 60]*10^-3; % massas coletadas 
L=0.275; 
g = 9.81; 
a=0.1; 
d=0.1; 
b=7.5*10^-2; 
ro = 998; 
v=h_m-d; % vetor para ser usado na verificação se a área está 
totalmente ou parcialmente submersa 
for i=1:10 % for usado para calcular o vetor de h_cg 
 % verificação se a área está totalmente ou parcialmente submersa 
 if v(i)>0 
 h_cg(i)= h_m(i)-(d/2); 
 else 
 h_cg(i)=h_m(i)/2; 
 end 
end 
h_cg 
i_xx=b.*h.^3/12 %cálculo dos momentos de inércia 
y_cp=-i_xx./(h_cg.*A) % cálculo dos y_cp 
F=ro.*h_cg.*g.*A % cálculo da força resultante 
h_cpt=h_cg-y_cp % cálculo do h_cp teórico 
for i=1:10 % for usado para calcular o vetor de h_cpe 
 % verificação se a área está totalmente ou parcialmente submersa 
 if v(i)>0 
 h_cpe(i)=((m(i).*g.*L)./F(i))-a-(d-h_m(i)); 
 else 
 h_cpe(i)=((2.*m(i).*L)./(ro.*h_m(i).^2.*b))-(a+d-h_m(i)); 
 end 
end 
h_cpe 
 
%AJUSTE DA CURVA PELO METODOS DOS QUADRADOS MINIMOS 
 
pp1 = polyfit(h_cpt,h_cpe,1); 
h_cpe1 = polyval(pp1,h_cpt); 
 
%----------------------------------------------------------------- 
 
erro=abs(h_cpe-h_cpt)./h_cpt * 100 %erro entre os valores teóricos e 
experimentais de h_cp 
 
% plotagem do grafico h_cpt vs. h_cpe 
plot(h_cpt,h_cpe,'.',h_cpt,h_cpe1,'r') 
xlabel('hcp_t_e_ó_r_i_c_o [m]') 
ylabel('hcp_e_x_p_e_r_i_m_e_n_t_a_l [m]') 
grid on 
legend('pontos desajustados','curva ajustada'); 
17 
 
Para verificar as contas fizemos a mão as contas para os 5 primeiros pontos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
Por que o centro de pressão está sempre abaixo do centro de gravidade? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por que analisar apenas ܨோ , e as outras forças que atuam no sistema?