Relatório 2 MEC FLU (UFU)

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1 
 
Sumário 
 
 
 
 
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 
 
 
2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 
 
 
3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 
 
 
4 Desenvolvimento teórico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 
 
 
5 Equipamento experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 
 
 
6 Procedimento experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 
 
 
7 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 
 
 
8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 
 
 
9 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 
 
 
10 Anexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
1) Introdução 
Para converter uma análise de sistema em uma análise de volume controle, devemos 
transformar nossa matemática de modo a aplicá-la a uma região fixa, em vez de a massas 
individuais. Essa transformação, chamada teorema de transporte de Reynolds, pode ser 
aplicada a todas as leis básicas. 
Volume de controle fixo unidimensional 
Vamos considerar um duto ou tubo de corrente, com um escoamento 
aproximadamente unidimensional, , mostrado na figura 1 abaixo. O volume de 
controle selecionado corresponde a uma porção do duto que está preenchida exatamente 
pelo sistema 2 em um instante particular. No tempo , o sistema 2 começa a se mover 
para fora, e uma porção do sistema 1 entra pela esquerda. As áreas sombreadas mostram um 
fluxo de saída de volume . 
 
Figura 1 – Escoamento de entrada e saída à medida que três sistemas passam através de um 
volume de controle. 
Seja agora uma grandeza qualquer do fluido (energia, quantidade de movimento 
etc.), e seja a grandeza intensiva correspondente, definida pela quantidade de 
por unidade de massa em qualquer porção pequena de fluido. A quantidade total de no 
volume é, portanto, 
 Onde: 
 
 
 
3 
 
Onde é um elemento de massa do fluido. Queremos relacionar a taxa de variação 
de com a taxa de variação da quantidade de no sistema 2, que coincide com o volume 
de controle no tempo t. A derivada temporal de é definida pelo limite do cálculo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Volume de controle fixo arbitrário 
Nesse caso, a única complicação adicional é a presença de porções variáveis de fluxo 
de entrada e de saída, ao longo da superfície de controle. Em geral, em cada elemento de área 
 da superfície haverá uma velocidade diferente, formando um diferente ângulo com a 
normal local a . Em algumas áreas elementares, haverá fluxo de volume de entrada, 
 , e, em outras, haverá fluxo de volume de saída, , conforme 
a figura 2 abaixo. Algumas áreas poderão corresponder a linhas de corrente ( ) ou a 
paredes sólidas ( ), sem fluxo de entrada ou de saída. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Volume de controle arbitrário com um padrão arbitrário de escoamento. 
A equação (2) é generalizada para: 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Volume de controle movendo-se a velocidade constante 
Se o volume de controle estiver se movendo uniformemente à velocidade um 
observador ligado ao volume de controle verá o fluido atravessando a superfície de controle a 
uma velocidade relativa , definida por 
 
onde é a velocidade do fluido em relação ao mesmo referencial no qual o movimento do 
volume de controle é observado. Note que a equação acima representa uma subtração 
vetorial. Os termos de fluxo serão proporcionais a , mas a integral de volume ficará 
inalterada, pois o volume de controle move-se como uma forma fixa, sem deformação. O 
teorema de transporte de Reynolds para esse caso de volume de controle que se move 
uniformemente é: 
 
 
 
 
 
 
 
Volume de controle de forma constante mas de velocidade variável 
Se o volume de controle move-se a uma velocidade que conserva sua forma, 
então os elementos de volume não se alteram com o tempo, mas a velocidade relativa 
 na fronteira torna-se uma função um tanto complicada. A forma é a 
mesma descrita acima, mas a avaliação da integral pode ser mais trabalhosa. 
 
Volume de controle com movimento e deformação arbitrários 
A situação mais geral ocorre quando o volume de controle tanto se move quanto se 
deforma arbitrariamente, conforme ilustra a figura 3 abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Efeitos da velocidade relativa entre um sistema e um volume de controle. 
O fluxo de volume através da superfície de controle é ainda proporcional ao 
componente normal da velocidade relativa, . Todavia, uma vez que a superfície de controle 
5 
 
exibe uma deformação, sua velocidade é = , de modo que a velocidade relativa, 
 - pode ser uma função complicada. Esse é o caso mais geral, que podemos 
comparar com a forma equivalente para um volume de controle fixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aproximações unidimensionais para os termos de fluxo 
Em muitas aplicações, o escoamento atravessa as fronteiras da superfície de controle 
apenas em certas entradas e saídas simplificadas, que são aproximadamente unidimensionais, 
isto é, as propriedades do escoamento são aproximadamente uniformes ao longo das seções 
transversais de entrada ou de saída. Logo, os dois termos da integral de fluxo requeridos na 
equação descrita acima se reduzem a uma simples soma de termos com sinal positivo (saída) e 
termos com sinal negativo (entrada), dados por produtos das propriedades do escoamento nas 
seções transversais 
 
 
Conservação da massa 
O teorema de transporte de Reynolds estabelece uma relação entre as taxas de 
variação do sistema e as integrais de volume e de superfície do volume de controle. Por outro 
lado, as derivadas temporais do sistema estão relacionadas às leis básicas da mecânica. 
Eliminando as derivadas temporais do sistema, no teorema e nas leis, resultam formas de 
volume de controle, ou formas integrais, para as leis da mecânica dos fluidos. A variável 
torna-se, respectivamente, a massa, a quantidade de movimento linear, a quantidade de 
movimento angular e a energia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em geral a relação para a conservação da massa no escoamento permanente pode ser escrita 
como 
 
Escoamento incompressível 
Todos os líquidos são aproximadamente incompressíveis, e escoamentos de gases 
podem se comportar como se fossem incompressíveis, em particular se a velocidade do gás for 
menor que 30% da velocidade do som no gás. 
Novamente, considere o volume de controle fixo. Se o fluido é aproximadamente 
incompressível, 
 
 
 . O resultado é umalei de conservação para escoamentos 
incompressíveis, sejam permanentes ou não-permanentes. 
6 
 
 
 
 
Então: 
 
A equação da quantidade de movimento linear 
A aplicação do teorema de transporte de Reynolds fornece a relação da quantidade de 
movimento linear para um volume de controle deformável 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Objetivo 
Comprovar a segunda lei de Newton ou lei da quantidade de movimento linear 
aplicada a um volume de fluido inercial. 
 
 
 
3) Resumo 
Este experimento visa determinar comprovar a segunda lei de Newton ou lei da 
quantidade de movimento linear aplicada a um volume de fluido inercial. Esta verificação será 
feita calculando a força de reação da placa à ação da força exercida pelo fluido de água. 
Também será feita a comparação entre e ·, além do cálculo dos valores 
de erro e a análise da influência do ângulo sobre a força. 
 
 
 
4) Desenvolvimento teórico 
 Através de coordenadas cartesianas, para a entrada, tem-se a velocidade e o vetor 
normal ao elemento de área da seção do bico injetor: 
 
 
Analisando para a saída, temos: 
 
7 
 
 
Relacionando as equações acima, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para o caso ilustrado na figura 4, temos que: 
 
 , para uma placa simétrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 – Colisão e deflexão de um jato simétrico sobre uma placa. 
 
 
Como se pretende determinar a magnitude da reação vertical na placa de curvatura 
tem-se as relações matemáticas: 
 
 
Mas: 
 = 
8 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
Onde o , conhecido como coeficiente teórico é dado por: 
 
 
 
Então 
 
 
 
 
Portanto, a equação da força teórica é dada por: 
 
 
Para o caso ilustrado na figura 5, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 – Colisão e deflexão de um jato não-simétrico sobre uma placa. 
Temos que: 
 
 
9 
 
Então: 
 
 
 
 
 
5) Equipamento Experimental 
No experimento foram usados: 
 Bancada hidráulica de base (Figura 6) 
 Bancada para impacto de jatos (Figura 7) 
 
 
Figura 6: Bancada Hidráulica de Base 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7: Bancada para impacto de jatos 
10 
 
 
Diâmetro do bico injetor – 8 mm 
Placas com curvaturas de 0°, 30°, 90° 
 
6) Procedimento Experimental 
 
Antes de começar, posicionamos a placa no sistema, nivelamos a bancada e 
verificamos se a haste não estava engastada. Feito isso consideramos que o sistema sem peso 
estava em equilíbrio. 
É importante ressaltar que o experimento não foi livre de erros, uma vez que 
podíamos ter erro devido à habilidade do operador, aproximação do valor da densidade da 
água, erro de paralaxe na leitura do volume e etc. 
Enfim, iniciamos o experimento adicionando 40 gramas no aparato, esperamos o 
volume de fluido estabilizar e começamos a medição. Medimos o tempo que demorava para 
encher o reservatório com 5 litros de água. Vale lembrar que fizemos 3 medições de tempo 
para cada massa que fomos adicionando e depois utilizamos o tempo médio para realizar os 
cálculos, afim de minimizar os erros. Com os valores de massa e tempo em mãos, calculamos a 
vazão de fluido (Q), a força experimental que atua sobre a placa e os coeficientes 
teórico e experimental . Adicionando sempre 40 gramas no aparato, 
repetimos esse processo até que chegasse a 400 gramas. 
Uma vez que calculados os valores, construímos o gráfico 
 
 
 vs. 
Este procedimento foi realizado com 3 placas defletoras diferentes, uma de 0°, outra 
de 30° e outra de 90°. 
Os valores obtidos foram transcritos nas tabelas 1,2 3 a seguir: 
 
Tabela 1 – Valores obtidos para uma palca de 90°, onde 
 e 
Medida Massa [g] t1 [s] t2[s] t3 [s] t médio [s] Volume [l] 
1 40 41,22 39,83 42,92 41,32 5 
2 80 29,71 29,50 32,32 30,51 5 
3 120 23,99 25,80 23,85 24,55 5 
4 160 21,32 20,10 22,83 21.42 5 
5 200 18,03 16,32 16,51 16.95 5 
6 240 16,18 14,53 15,63 15.45 5 
7 280 15,75 15,15 15,94 15.61 5 
8 320 14,32 13,03 13,67 13.67 5 
9 360 13,96 13,09 12,64 13.23 5 
10 400 12,44 11,56 12,08 12.03 5 
 
11 
 
Tabela 2 – Valores obtidos para uma palca de 30°, onde 
 e 
Medida Massa [g] t1 [s] t2[s] t3 [s] t médio [s] Volume [l] 
1 50 41,94 40,66 43,11 41.90 5 
2 100 27,78 28,03 29,25 28.35 5 
3 150 23,61 23,70 23,83 23.71 5 
4 200 20,55 21,85 21,57 21.32 5 
5 250 17,85 18,06 18,38 18.10 5 
6 300 17,43 17,41 17,70 17.51 5 
7 350 16,38 17,07 17,53 16.99 5 
8 400 16,25 15,55 15,82 15.87 5 
9 450 14,79 14,38 14,48 14.55 5 
10 500 14,11 13,40 13,38 13.63 5 
 
 
Tabela 3 – Valores obtidos para uma palca de 0°, onde 
 e 
Medida Massa [g] t1 [s] t2[s] t3 [s] t médio [s] Volume [l] 
1 50 43,86 46,28 44,28 44.81 5 
2 100 30,85 32,79 32,89 32.18 5 
3 150 27,15 27,58 31,51 28.75 5 
4 200 22,54 23,25 24,77 23.52 5 
5 250 20,42 20,19 22,10 20.90 5 
6 300 19,35 18,94 19,71 19.33 5 
7 350 17,57 17,39 18,26 17.74 5 
8 400 16,80 16,65 19,29 17.58 5 
9 450 15,34 15,85 16,36 15.85 5 
10 500 13,79 14,78 13,62 14.06 5 
 
 
7) Resultados 
Temos do experimento que a força experimental é igual ao peso que fomos variando, 
logo: 
 
Temos que a vazão é dada pela fórmula: 
 
 
 
 
Onde: e 
Com isso preenchemos as tabelas 4, 5 e 6 abaixo: 
 
12 
 
Tabela 4 – Valores calculados para uma placa de 90° 
Placa 90° 
Medida Q 
[m³/s] 
 
[N] 
 /Q 
[Nm³/s] 
1 0.1210 3.2431 
2 0.1639 4.7888 
3 0.2037 5.7793 
4 0.2335 6.7231 
5 0.2949 6.6525 
6 0.3237 7.2735 
7 0.3202 8.5773 
8 0.3657 8.5847 
9 0.3779 9.3446 
10 0.4157 9.4385 
 
Tabela 5 – Valores calculados para uma placa de 30° 
Placa 30° 
Medida Q 
[m³/s] 
 
[N] 
 /Q 
[Nm³/s] 
1 0.1193 0.4111 
2 0.1763 0.5563 
3 0.2109 0.6979 
4 0.2345 0.8367 
5 0.2763 0.8876 
6 0.2855 1.0308 
7 0.2942 1.1669 
8 0.3150 1.2457 
9 0.3436 1.2846 
10 0.3668 1.3371 
 
Tabela 6 – Valores calculados para uma placa de 0° 
Placa 0° 
Medida Q 
[m³/s] 
 
[N] 
 /Q 
[Nm³/s] 
1 0.1116 0.4396 
2 0.1554 0.6313 
3 0.1739 0.8460 
4 0.2126 0.9229 
5 0.2392 1.0253 
6 0.2586 1.1380 
7 0.2818 1.2182 
8 0.2844 1.3797 
9 0.3155 1.3994 
10 0.3555 1.3796 
 
13 
 
Com os valores em mãos construímos os gráficos Q vs. /Q referentes a cada placa, 
mostrados nas figuras 8, 9 e 10 abaixo: 
 
Figura 8 – Gráfico Q vs. /Q para uma placade 90° 
 
Figura 9 – Gráfico Q vs. /Q para uma placa de 30° 
14 
 
 
Figura 10 – Gráfico Q vs. /Q para uma placa de 0° 
 
Temos da teoria que a reta obtida do gráfico Q vs. /Q a partir do método dos 
quadrados mínimos é da forma: 
 Onde . 
Sendo assim preenchemos a tabela 7 abaixo com os respectivos valores: 
 
Tabela 7 – Comparação dos coeficientes 
Placa teórico experimental Erro [%] 
0° 6.0561 
30° 10.4479 
90° 1.2915 
 
8) Conclusão 
Após a realização da segunda prática experimental, conseguimos verificar a segunda lei 
de Newton, relacionada ao teorema do transporte de Reynolds envolvendo um balanço da 
quantidade de movimento linear, o qual demandou uma análise detalhada da teoria para a 
15 
 
aquisição dos resultados e o entendimento do experimento, além da comparação dos 
resultados obtidos com o mesmo. 
Utilizando os dados da experiência realizada, podemos relacionar a relação entre os 
modelos teóricos e as análises experimentais, mesmo existindo uma considerável margem de 
erro entre os coeficientes encontrados. 
A segunda lei de Newton na dinâmica dos fluidos proporciona um embasamento 
teórico de suma importância para os estudantes de engenharia mecânica, já que esta teoria 
pode ser aplicada por exemplo no dimensionamento de bocais e dutos q possuem um 
escoamento de fluidos a uma dada velocidade. 
Portanto, a capacidade de relacionar os conhecimentos teóricos as análises 
experimentais é extremamente importante na vida profissional do engenheiro que deve estar 
preparado para lidar com os diversos problemas que exijam a aplicação dos conhecimentos 
então adquiridos. 
 
 
9) Bibliografia 
 White, F.M., Mecânica dos Fluidos, McGraw-Hill, RJ, 1991. 
 Sonntag,E. S., Claus, B., Wylen, G. J. V., Fundamentos da Termodinâmica, Ed. Edgar 
Blücher LTDA, 2003. 
 http://www.agron.com.br/v/32976-bancada-para-testes-hidraulicos 
 Fox, Robert W., Introdução à mecânica dos fluidos, LTC, RJ, 2006 
 
10) Anexos 
Para nos auxiliar nas contas, usamos o software numérico MATLAB, a seguir, segue o 
código que usamos para fazer as contas: 
% Valores de tempo coletados para uma placa de 90° 
t1_90=[41.22 29.71 23.99 21.32 18.03 16.18 15.75 14.32 13.96 12.44]; 
t2_90=[39.83 29.50 25.80 20.10 16.32 14.53 15.15 13.03 13.09 11.56]; 
t3_90=[42.92 32.32 23.85 22.83 16.51 15.63 15.94 13.67 12.64 12.08]; 
 
% Valores de tempo coletados para uma placa de 30° 
t1_30=[41.94 27.78 23.61 20.55 17.85 17.43 16.38 16.25 14.79 14.11]; 
t2_30=[40.66 28.03 23.70 21.85 18.06 17.41 17.07 15.55 14.38 13.40]; 
t3_30=[43.11 29.25 23.83 21.57 18.38 17.70 17.53 15.82 14.48 13.38]; 
 
% Valores de tempo coletados para uma placa de 0° 
t1_0=[43.86 30.85 27.15 22.54 20.42 19.35 17.57 16.80 15.34 13.79]; 
16 
 
t2_0=[46.28 32.79 27.58 23.25 20.19 18.94 17.39 16.65 15.85 14.78]; 
t3_0=[44.28 32.89 31.51 24.77 22.10 19.71 18.26 19.29 16.36 13.62]; 
 
% Calculando o tempo médio das placas 
tm_90=(t1_90+t2_90+t3_90)./3 %tempo médio para uma placa de 90° 
tm_30=(t1_30+t2_30+t3_30)./3 %tempo médio para uma placa de 30° 
tm_0=(t1_0+t2_0+t3_0)./3 %tempo médio para uma placa de 0° 
 
v=0.005; % volume 
Q_90=v./tm_90 
Q_30=v./tm_30 
Q_0=v./tm_0 
 
% massas usadas nos experimentos 
m=[40 80 120 160 200 240 280 320 360 400]/1000; 
m2=[50 100 150 200 250 300 350 400 450 500]/1000; 
g=9.81; % aceleração da gravidade 
 
% Calculando a força experimental que é igual ao peso usado no 
experimento 
% logo: Fexp=m*g 
Fexp=m.*g 
Fexp2=m2.*g 
 
ro=998; % densidade da água 
d=0.008; % diâmetro da placa 
A=pi*d^2/4;% área de seção transversal da placa 
 
% Obtendo a razão Fexp/Q para cada placa 
R_90=Fexp./Q_90 
R_30=Fexp2./Q_30 
R_0=Fexp2./Q_0 
 
% Cálculo dos coeficientes teóricos da cada placa 
Ct_0_teor=(ro/A)*(1+cosd(0)) 
Ct_30_teor=(ro/A)*(1+cosd(30)) 
Ct_90_teor=(ro/A)*(1+cosd(90)) 
 
% Ajustando os pontos do gráfico pelo método dos quadrados mínimos 
pp0 = polyfit(Q_0,R_0,1) 
R_0_1 = polyval(pp0,Q_0); 
 
pp30 = polyfit(Q_30,R_30,1) 
R_30_2 = polyval(pp30,Q_30); 
 
pp90 = polyfit(Q_90,R_90,1) 
R_90_3 = polyval(pp90,Q_90); 
 
% Cálculo do erro referente aos coeficientes teórico e experimental 
erro_0=(abs(4.2114e+007-Ct_0_teor)/Ct_0_teor)*100 
erro_30=(abs(4.0920e+007-Ct_30_teor)/Ct_30_teor)*100 
erro_90=(abs(2.0111e+007-Ct_90_teor)/Ct_90_teor)*100 
 
figure 
plot(Q_0,R_0,'.',Q_0,R_0_1,'r') 
xlabel('Q [m³/s]') 
ylabel('F_e_x_p/Q [Nm³/s]') 
grid on 
legend('pontos desajustados','curva ajustada Y=4.2114*10^7*X'); 
17 
 
figure 
plot(Q_30,R_30,'.',Q_30,R_30_2,'r') 
xlabel('Q [m³/s]') 
ylabel('F_e_x_p/Q [Nm³/s]') 
grid on 
legend('pontos desajustados','curva ajustada Y=4.0920*10^7*X'); 
figure 
plot(Q_90,R_90,'.',Q_90,R_90_3,'r') 
xlabel('Q [m³/s]') 
ylabel('F_e_x_p/Q [Nm³/s]') 
grid on 
legend('pontos desajustados','curva ajustada Y=2.0111*10^7*X');