Relatório 5 MEC FLU (UFU)

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Sumário 
 
 
 
 
1 Desenvolvimento teórico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 
 
 
2 Equipamento experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 
 
 
3 Procedimento experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 
 
 
4 Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
1) Desenvolvimento teórico 
 
1.1 - A função corrente 
 A função corrente constitui uma ferramenta engenhosa que nos permite eliminar a equação da 
continuidade e resolver a equação da quantidade de movimento diretamente para a única variável 𝜓. 
 A idéia de função corrente funciona somente quando a equação da continuidade pode ser 
reduzida a dois termos. Em geral, temos quatro termos: 
Cartesiana: 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
 + 
𝜕
𝜕𝑥
(𝜌𝑢) +
𝜕
𝜕𝑦
(𝜌𝑣) +
𝜕
𝜕𝑧
(𝜌𝑤) = 0 
Cilíndrica: 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
 +
1
𝑟
 
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟𝜌𝑣𝑟) +
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
(𝜌𝑣𝜃) +
𝜕
𝜕𝑧
(𝜌𝑣𝑧) = 0 
 Antes de tudo, vamos eliminar o escoamento não-permanente, que seria uma aplicação peculiar 
e irrealista da idéia de função corrente. Reduza uma das equações acima a dois termos quai squer. A 
aplicação mais comum é o plano 𝑥𝑦 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= 0 
 Essa equação é satisfeita identicamente se uma função 𝜓(𝑥, 𝑦) for definida tal que a equação 
acima se torne 
𝜕
𝜕𝑥
(
𝜕𝜓
𝜕𝑦
) + 
𝜕
𝜕𝑦
(−
𝜕𝜓
𝜕𝑥
) ≡ 0 
 Comparando as duas últimas equações descritas vemos que essa nova função deve ser definida 
tal que 
𝑢 = 
𝜕𝜓
𝜕𝑦
 𝑣 = −
𝜕𝜓
𝜕𝑥
 
ou 
𝑽 = 𝒊
𝜕𝜓
𝜕𝑦
− 𝒋
𝜕𝜓
𝜕𝑥
 
1.2 Interpretação geométrica de 𝜓 
 Linhas com 𝜓 constante são linhas de corrente do escoamento. A definição de linha de corrente 
no escoamento bidimensional é 
𝑑𝑥
𝑢
= 
𝑑𝑦
𝑣
 
ou 𝑢𝑑𝑦 – 𝑣𝑑𝑥 = 0 linha de corrente 
 3 
Introduzindo a função corrente temos 
𝜕𝜓
𝜕𝑦
𝑑𝑥 + 
𝜕𝜓
𝜕𝑥
𝑑𝑦 = 0 = 𝑑𝜓 
Logo, a variação de 𝜓 ao longo de uma linha de corrente, ou seja, 
𝜓 = constante ao longo da linha de corrente 
 Encontrada uma certa solução para 𝜓(𝑥, 𝑦), podemos plotas linhas com 𝜓 constante para obter 
as linhas de corrente do escoamento. 
 Também podemos concluir que a variação de 𝜓 ao longo do elemento é numericamente igual à 
vazão volumétrica através do elemento. A vazão volumétrica entre dois pontos quaisquer do campo de 
escoamento é igual à variação da função corrente entre tais pontos: 
𝑄1→2 = ∫ (𝑽. 𝒏)𝑑𝐴
2
1
= ∫ 𝑑𝜓
2
1
= 𝜓2 − 𝜓1 
 Além disso, a direção do escoamento pode ser estabelecida verificando-se de que maneira 𝜓 
cresce ou decresce. 
 
 
1.2 - Condições de contorno para as equações básicas 
 Dentre as três equações diferenciais básicas da mecânica dos fluidos, recém-deduzidas vamos 
nos atentar para a equação da energia: 
Energia: 𝜌
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑝(𝛁. 𝐕) = 𝛁. (𝑘𝛁𝑇) + 𝜱 
Sabemos que inicialmente a energia de um fluido deve ser conservada e o movimento instantâneo de 
uma linha de corrente: 
−
1
𝜌
∇𝑝 − 𝑔∇𝑧 = 
𝐷𝑉
𝐷𝑡
 
 
onde a força da gravidade é expressa por −𝜌𝑔∇𝑧. Uma vez que a velocidade é uma função da 
linha de corrente do tempo, isto é, 𝑉 = 𝑉(𝑠, 𝑡), então: 
𝐷𝑉
𝐷𝑡
= 𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑠
+ 
𝜕𝑉
𝜕𝑡
 
 
 4 
 
Em termos de linhas de corrente a primeira equação pode ser escrita da seguinte forma: 
1
𝜌
∇𝑝 + 𝑔∇𝑧 + 𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑠
+ 
𝜕𝑉
𝜕𝑡
= 0 
 Sabemos do cálculo vetorial que a projeção do gradiente em qualquer direção é a derivada 
direcional na direção considerada, isto é, ∇𝜑𝑑𝑠 = 𝑑𝜑. Então, podemos transformar a equação acima 
numa equação aplicável ao longo de uma linha de corrente tomando-se o produto escalar de cada 
termo pelo vetor deslocamento 𝑑𝑠. Assim: 
1
𝜌
∇𝑝𝑑𝑠 + 𝑔∇𝑧𝑑𝑠 + 𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑠
𝑑𝑠 + 
𝜕𝑉
𝜕𝑡
𝑑𝑠 = 0 
 
𝑑𝑝 + 𝑔𝑑𝑧 + 
𝑑𝑉2
𝑑𝑡
+ 
𝜕𝑉
𝜕𝑡
𝑑𝑠 = 0 
 Uma vez que 𝑉 e 𝑑𝑠 são colineares, o último termo torna-se um produto escalar. Se 𝑔 é 
constante, podemos integrar entre um ponto de referência 𝑂 e qualquer outro plano ao longo de uma 
linha de corrente de forma a obter: 
∫
𝑑𝑝
𝜌
+ 𝑔𝑧 + 
𝑉2
2
+ ∫
𝜕𝑉
𝜕𝑡
𝑑𝑠 = 𝐵(𝑡) 
onde 𝐵(𝑡), a função de Bernoulli, é uma função arbitrária do tempo que é igual em todos os pontos 
sobre a mesma linha de corrente para um dado instante. Porém tal função pode variar de uma linha de 
corrente para outra. Fazendo a integração entre dois pontos quaisquer da mesma linha de corrente, 
temos: 
∫
𝑑𝑝
𝜌
+ 𝑔(𝑧2 − 𝑧1) + 
𝑉2
2 − 𝑉1
2
2
+ ∫
𝜕𝑉
𝜕𝑡
𝑑𝑠 = 0 
 Esta equação de Bernoulli para o escoamento permanente ou não permanente de um fluido 
ideal ao longo de uma linha de corrente. Quando se conhece a relação funcional entre a densidade e a 
pressão e entre a velocidade e o tempo, a integração pode ser realizada. 
 Para um escoamento permanente e incompressível, a equação acima se reduz a: 
𝑝1
𝛾
+ 𝑧1 + 
𝑉1
2
2𝑔
= 
𝑝2
𝛾
+ 𝑧2 + 
𝑉2
2
2𝑔
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
onde 
𝑝
𝛾⁄ é a carga de pressão, 𝑧 é a carga de altura e 
𝑉2
2𝑔⁄ é a carga cinética. 
 
5 
 
1.3 - Determinação da velocidade de uma partícula de fluido utilizando-se um tubo de Pitot 
 Com o tubo de Pitot mostrado na figura 1, pode-se determinar a velocidade de uma 
partícula de fluido através dos orifícios laterais e do orifício frontal medindo-se as pressões 
nesses pontos. 
 
Figura 1 – Tubo de Pitot. 
 Para o tal, será utilizada a equação de Bernoulli, considerando que não houve 
dissipação de energia entre os dois pontos. 
𝑉2
2
+ 𝑔ℎ + 
𝑃
𝜌
 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
 Mas: 
𝑝1
𝛾
+ 𝑧1 + 
𝑉1
2
2𝑔
= 
𝑝2
𝛾
+ 𝑧2 + 
𝑉2
2
2𝑔
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
 Como os dois pontos tomados estão a uma mesma altura na mesma medição, ℎ1 = ℎ2 
e a velocidade da partícula de fluído em 2 é 𝑉2 = 0. Assim, temos que: 
𝑉1
2
2
+ 
𝑃1
𝜌
= 
𝑃2
𝜌
 
 Isolando 𝑉1
2 no lado esquerdo da equação: 
𝑉1
2 = 
2(𝑃1 + 𝑃2)
𝜌
 
 Então: 
𝑉1 = √
2(𝑃1 + 𝑃2)
𝜌
 
 
 
6 
 
 Ou seja: 
𝑉1 = √
2(∆𝑃)
𝜌
 
 
Onde ∆𝑃 é a diferença de pressão registrada na sonda de Pitot e 𝜌 é a massa específica do 
fluido. 
1.4 - Determinação da vazão de um fluido em um sistema utilizando um duto convergente. 
 O duto convergente é uma tubulação que possui um diâmetro de entrada e um outro 
diâmetro de saída diferente do de entrada sendo este menor que o primeiro. Quando um 
fluido atinge a seção de menor diâmetro do convergente, a velocidade do escoamento 
aumenta (aumento da pressão dinâmica) para manter a vazão constante. De acordo com a 
equação de Bernoulli, a pressão estática deve diminuir compensando o acréscimo da pressão 
dinâmica. A Figura a seguir ilustra um duto convergente semelhante ao utilizado. 
 
Figura 2 – Esquema ilustrativo de um duto convergente. 
 Como o objetivo desse experimento é determinar experimentalme nte a vazão do 
fluido em um duto convergente, é necessário determinar uma expressão para isso. 
Aplicandoa equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2, como mostrado na Figura 2, obtém-se 
𝜌𝑉1
2
2
+ 𝑝1 = 
𝜌𝑉2
2
2
+ 𝑝2 
𝑝1 − 𝑝2 = 
𝜌
2
(𝑉2
2 − 𝑉1
2) 
Como a vazão nos pontos 1 e 2 é a mesma: 
𝑉1 𝐴1 = 𝑉2 𝐴2 
Então: 
𝑉2 = 
𝑉1 𝐴1
𝐴2
 
7 
 
Combinando as equações: 
𝑝1 − 𝑝2 = 
𝜌
2
[𝑉1
2 (
𝐴1
𝐴2
)
2
− 𝑉1
2] 
 
Isolando 𝑉1 na equação acima, temos: 
𝑉1 = √
2
𝜌
(𝑝1 − 𝑝2 )
1
[(
𝐴1
𝐴2
)
2
− 1]
 
 
Encontrada a velocidade, basta substituir a mesma na equação da vazão de forma a 
obter a expressão para o cálculo da vazão: 
𝑄 = 𝑉1 𝐴1 
 
𝑄 = √
2
𝜌
(𝑝1 − 𝑝2 )
𝐴1
2
[(
𝐴1
𝐴2
)
2
− 1]
 
 
2) Equipamento Experimental 
No experimento foram usados: 
 Túnel de vento 
 Manômetros 
 Micromanômetro 
 Tubo de Pitot 
 Paquímetro 
 Rotor 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Túnel de vento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 - Manômetros. 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 - Micromanômetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 – Tubo de Pitot e paquímetro. 
 
 Diâmetro do tubo de Pitot: 3 mm. 
 
10 
 
3) Procedimento Experimental 
 
 Para a realização do experimento primeiramente zerou-se o micromanômetro 
conectado ao Tubo de Pitot. Em seguida, posicionou-se o Tubo de Pitot em uma altura de 
19,85 mm medida no paquímetro. Então o motor do rotor foi ligado a 20 Hz. Feito isso, leu-se 
a pressão no manômetro que estava conectado ao Túnel de Vento. Depois foi feita a leitura de 
pressão no micromanômetro na primeira posição de 19,85. Em seguida, variou a altura do 
tubo de Pitot para as posições 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0, 9.0, 10.0, 12.0, 20.0, 
30.0, 40.0, 60.0 e 100.0 mm e foi feita a leitura no micromanômetro. Finalmente, depois de 
fazer as leituras em todas as posições, a freqüência foi alterada para 30 Hz, 40 Hz, 50 Hz e 60 
Hz, e a leitura de pressão no micromanômetro foi refeita para todas as posições. 
 
Tabela 1 – Dados experimentais coletados. 
 
∆𝒑[𝒎𝒎𝑪𝑨] 3 9 16 25 35 
𝑭𝒓𝒆𝒒.[𝑯𝒛] 20 30 40 50 60 
Med. H [mm] ∆𝑝[𝑚𝑚𝐶𝐴] ∆𝑝[𝑚𝑚𝐶𝐴] ∆𝑝[𝑚𝑚𝐶𝐴] ∆𝑝[𝑚𝑚𝐶𝐴] ∆𝑝[𝑚𝑚𝐶𝐴] 
1 1.5000 1.5000 3.3200 9.6000 65.8989 10.7200 
2 2.0000 1.7400 6.5200 11.5800 63.1531 11.4000 
3 2.5000 2.0200 6.8400 11.9600 79.2356 12.7200 
4 3.0000 2.2200 6.9200 12.0800 88.6497 14.5200 
5 3.5000 2.4200 6.9600 12.2000 91.7877 15.4000 
6 4.0000 2.3800 7.0400 12.2400 94.5335 15.8400 
7 5.0000 2.4200 6.9600 12.2600 95.7103 16.8400 
8 6.0000 2.4200 7.0000 12.2800 96.1026 17.1200 
9 7.0000 2.4400 7.0400 12.3600 96.4948 17.1600 
10 8.0000 2.4600 7.0400 12.3600 96.4948 17.2400 
11 9.0000 2.4200 7.0400 12.3200 96.4948 17.2800 
12 10.0000 2.4400 7.0000 12.3600 96.4948 17.2800 
13 12.0000 2.4400 7.0600 12.3400 96.8871 17.3200 
14 20.0000 2.4600 7.0600 12.3600 97.2793 17.3200 
15 30.0000 2.4600 7.0600 12.4000 97.6716 17.3600 
16 40.0000 2.4600 7.0000 12.4000 98.0638 17.4800 
17 60.0000 2.4400 7.0200 12.4200 99.2406 17.5200 
18 100.0000 2.4600 7.0200 12.4200 99.2406 17.6800 
 
 
 
 Pressão de referência lida no micromanômetro: para 20Hz foi lido 1,99 mmCA. 
 
 
 
 
 
 
11 
 
4) Resultados 
Com os valores de variação de pressão em mãos foi possível calcular a velocidade local, 
como mostra a tabela 2, através da fórmula: 
𝑉 = √
2∆𝑃
𝜌𝑎𝑟
 
Uma vez calculada a velocidade local (V) e com os valores da posição do tubo de Pitot 
(H), obteve-se o valor de VH, vide tabela 3, através da fórmula: 
𝑉𝐻 = 𝑉 × 𝐻 
Logo mais se obteve a média dos valores de variação de pressão e dos valores de 
velocidade local para cada frequência, representados na tabela 4, a partir das seguintes 
equações: 
∆𝑃̅̅ ̅̅ =
∑ ∆𝑃𝑖
18
𝑖=1
18
 
�̅� =
∑ ∆𝑃𝑖𝐻𝑖
18
𝑖=1
∑ 𝐻𝑖
18
𝑖=1
 
Calculados os respectivos valores citados acima foi possível confeccionar os gráficos 
𝐻 × 𝑉 (Figura 1) e �̅� × ∆𝑃̅̅ ̅̅ (Figura 2) 
Vale frisar que na obtenção do gráfico �̅� × ∆𝑃̅̅ ̅̅ plotou-se os pontos desajustados da 
curva que depois foi ajustada através do método dos quadrados mínimos obtendo assim uma 
curva da forma: 
�̅� = 𝑎∆𝑃̅̅ ̅̅ 𝑏 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
Tabela 2. Velocidade local. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑭𝒓𝒆𝒒.[𝑯𝒛] 20 30 40 50 60 
Med. H [m] 𝑉[𝑚/𝑠] 𝑉[𝑚/𝑠] 𝑉[𝑚/𝑠] 𝑉[𝑚/𝑠] 𝑉[𝑚/𝑠] 
1 0.0015 4.9431 7.3540 12.5052 10.4626 13.2146 
2 0.0020 5.3239 10.3058 13.7344 10.2423 13.6273 
3 0.0025 5.7363 10.5556 13.9580 11.4726 14.3946 
4 0.0030 6.0136 10.6172 14.0278 12.1350 15.3794 
5 0.0035 6.2786 10.6478 14.0973 12.3479 15.8386 
6 0.0040 6.2265 10.7088 14.1204 12.5313 16.0633 
7 0.0050 6.2786 10.6478 14.1319 12.6090 16.5626 
8 0.0060 6.2786 10.6784 14.1434 12.6348 16.6997 
9 0.0070 6.3045 10.7088 14.1894 12.6606 16.7192 
10 0.0080 6.3303 10.7088 14.1894 12.6606 16.7581 
11 0.0090 6.2786 10.7088 14.1665 12.6606 16.7775 
12 0.0100 6.3045 10.6784 14.1894 12.6606 16.7775 
13 0.0120 6.3045 10.7240 14.1780 12.6863 16.7969 
14 0.0200 6.3303 10.7240 14.1894 12.7119 16.7969 
15 0.0300 6.3303 10.7240 14.2124 12.7375 16.8163 
16 0.0400 6.3303 10.6784 14.2124 12.7631 16.8743 
17 0.0600 6.3045 10.6936 14.2238 12.8395 16.8936 
18 0.1000 6.3303 10.6936 14.2238 12.8395 16.9706 
13 
 
 
Tabela 3. Dados para calcular velocidade média. 
 
 
Figura 1. Perfis de velocidade 
∆𝒑[𝒎𝒎𝑪𝑨] 3 9 16 25 35 
𝑭𝒓𝒆𝒒.[𝑯𝒛] 20 30 40 50 60 
Med. H [m] 𝑉𝐻[𝑚/𝑠] 𝑉𝐻[𝑚/𝑠] 𝑉𝐻[𝑚/𝑠] 𝑉𝐻[𝑚/𝑠] 𝑉𝐻[𝑚/𝑠] 
1 0.0015 0.0074 0.0110 0.0188 0.0157 0.0198 
2 0.0020 0.0106 0.0206 0.0275 0.0205 0.0273 
3 0.0025 0.0143 0.0264 0.0349 0.0287 0.0360 
4 0.0030 0.0180 0.0319 0.0421 0.0364 0.0461 
5 0.0035 0.0220 0.0373 0.0493 0.0432 0.0554 
6 0.0040 0.0249 0.0428 0.0565 0.0501 0.0643 
7 0.0050 0.0314 0.0532 0.0707 0.0630 0.0828 
8 0.0060 0.0377 0.0641 0.0849 0.0758 0.1002 
9 0.0070 0.0441 0.0750 0.0993 0.0886 0.1170 
10 0.0080 0.0506 0.0857 0.1135 0.1013 0.1341 
11 0.0090 0.0565 0.0964 0.1275 0.1139 0.1510 
12 0.0100 0.0630 0.1068 0.1419 0.1266 0.1678 
13 0.0120 0.0757 0.1287 0.1701 0.1522 0.2016 
14 0.0200 0.1266 0.2145 0.2838 0.2542 0.3359 
15 0.0300 0.1899 0.3217 0.4264 0.3821 0.5045 
16 0.0400 0.2532 0.4271 0.5685 0.5105 0.6750 
17 0.0600 0.3783 0.6416 0.8534 0.7704 1.0136 
18 0.1000 0.6330 1.0694 1.4224 1.2839 1.6971 
Σ 0.3235 2.0374 3.4541 4.5914 4.1174 5.4294 
14 
 
Tabela 4 - Dados experimentais para determinar a equação de calibração . 
Méd 𝑭𝒓𝒆𝒒.[𝑯𝒛] ∆𝒑[𝒎𝒎𝑪𝑨] do 
convergente 
�̅�[𝒎/𝒔] 
(Velocidade média) 
1 20 2.3111 6.2980 
2 30 6.7722 10.6773 
3 40 12.1078 14.1929 
4 50 9.3444 12.7275 
5 60 16.0111 16.7834Figura 2: Gráfico da velocidade média em função da variação de pressão