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Universidade Castelo Branco MATEMÁTICA FINANCEIRA PROFESSOR MARCOS DA CUNHA CUSTODIO Rio de Janeiro – RJ � CURRÍCULO RESUMIDO DO PROFESSOR Marcos da Cunha Custodio é Mestrando em Economia Empresarial e Pós-Graduado em Docência do Ensino Superior pela Universidade Candido Mendes e graduado em Economia pela Faculdade de Economia e Finanças do Rio de Janeiro. Sua vivência profissional inclui uma larga experiência na Área Comercial em empresas como Credicard e Brahma. Atualmente dedica-se ao magistério, ministrando aulas de Economia nos cursos de graduação da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), da Universidade Castelo Branco (UCB) e em cursos de pós-graduação “latu sensu” do CEFET e professor do programa de cursos presenciais (MBA – Executivo) com tutoria virtual (coordenado pela LUPA) da Universidade Candido Mendes. � SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 05 2 POR QUE ESTUDAR MATEMÁTICA FINANCEIRA 06 3 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO A JUROS SIMPLES 07 O Conceito de Juro 07 Juros Exatos e Juros Comerciais 08 Montante 08 Valor Atual e Valor Nominal 09 Taxa de Juros 10 Diagrama de Fluxo de Caixa 11 Taxas Equivalentes a Juros Simples 12 Desconto 14 4 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO A JUROS COMPOSTOS 18 Equivalência de Taxas 19 Taxas Nominal, Efetiva ou Capitalizada e Real 20 Equivalência de Capitais 23 Taxa Interna de Retorno 27 Valor Presente Líquido 31 Juros Simples X Juros Compostos 37 5 ANUIDADES 38 Cálculo do Valor Atual para Anuidades Postecipadas 39 Cálculo do Montante para Anuidades Postecipadas 40 Cálculo das Anuidades Antecipadas 41 Cálculo das Anuidades Diferidas 41 � � 6 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES 45 Sistema de Amortização Constante - SAC 45 Sistema Francês – Tabela Price 46 Sistema de Amortização Misto - SAM 47 Sistema Americano de Amortização - SAA 48 UTILIZANDO A HP-12c 53 TABELAS FINANCEIRAS RESPOSTA DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 66 69 BIBLIOGRAFIA 71 � 1 - INTRODUÇÃO Estudar é muitas vezes tarefa árdua e penosa, mas aprender é sempre uma emoção forte, uma alegria, um triunfo. Quando o estudante percebe o sentido de uma matéria, entusiasma-se com ela e compreende logo o seu valor e importância, dando-lhe maior atenção e estudo. Esse resultado ajuda no conhecimento das relações de uma disciplina básica, como Matemática Financeira, com outras afins, pela ampliação conseqüente da esfera da cognição. O presente trabalho segue essa orientação pedagógica objetivando, de forma mais ampla, contribuir na formação de “Gestores” orientados para a produção de riquezas através do conhecimento da estrutura financeira da sociedade, estando amparado pela idéia central de apresentar os conceitos de matemática financeira de maneira simples, didática e objetiva, dando ênfase à aplicação prática dos referidos conceitos, através de aulas dialogadas juntamente com debates dirigidos, vivências e exercícios, bem como da utilização da calculadora HP-12C, de maneira a facilitar a utilização e conseqüente incorporação, no dia a dia, dos cálculos financeiros na tomada de decisão com o fito de lucro. E, de forma mais específica, objetiva capacitar o “Gestor” na transformação e manuseio de fluxos de caixa com sua respectiva análise e comparação de diversas alternativas e na obtenção da taxa interna de juros que está implícita no fluxo de caixa. Marcos da Cunha Custodio � 2 – POR QUE ESTUDAR MATEMÁTICA FINANCEIRA? A Sociedade Humana na busca, necessária e permanente, de suprir suas necessidades acabou por se constituir num grande “sistema de marketing”, cuja essência é a troca. E, no mundo dos negócios, o objetivo maior é realizar trocas com lucro. Assim, produção, compra, venda, arrendamento e intermediação de bens e serviços, bem como pagamentos, recebimentos, aplicações, investimentos, empréstimos financiamentos, etc., se constituem em operações rotineiras, exigindo procedimentos que permitam avaliar o resultado da operação em qualquer data, no sentido de que, alternativas possam ser avaliadas, ameaças afastadas, oportunidades aproveitadas e negócios realizados com lucro. E como quantificar e avaliar essas operações do ponto de vista financeiro? Matemática Financeira Estuda o conceito do valor do dinheiro no tempo. Empréstimos ou investimentos realizados no presente terão seu valor aumentado no futuro. Inversamente, valores disponíveis no futuro, se considerados ou avaliados no presente, terão seus valores reduzidos. De fato, a relação entre o futuro F e o presente P de uma operação com dois capitais mede a variação do capital final por unidade de capital inicial; de outra maneira, a relação F/P mede também a prosperidade da operação, isto é: ( Se a relação F/P for igual a 1, então, o capital inicial permaneceu inalterado. ( Se a relação F/P for maior que 1, então o valor F na data do resgate será maior que o valor inicial P da operação. Deve-se ter presente que: Do ponto de vista matemático, o valor de F não tem limite para crescer e, ao mesmo tempo, ser maior que P. Do ponto de vista financeiro, esse crescimento dependerá apenas do prazo e do tipo da operação financeira. � ( Se a relação F/P for menor que 1, então o valor F na data do resgate será menor que o valor inicial P da operação. Deve-se ter presente que: Do ponto de vista matemático, o valor de F não tem limite para decrescer e, ao mesmo tempo, ser menor que P. Do ponto de vista financeiro, o mínimo valor possível de F será o equivalente a perder todo o capital inicial, isto é F igual a zero. Nesse caso, o valor da relação F/P será igual a zero, obtido da própria fórmula. Resumindo, os valores possíveis para a relação F/P das operações financeiras com dois capitais estão no intervalo: 0 ( F/P ( + (. Como vimos a Matemática Financeira relaciona-se com o valor do dinheiro no tempo, utilizando a taxa de juros como unidade de medida de remuneração. 3 – REGIME DE CAPITALIZAÇÃO A JUROS SIMPLES – Crescimento Linear No regime de juros simples, os juros de cada período de capitalização são calculados sempre em função do capital inicial aplicado. Os juros não são capitalizados, logo, não rendem juros. Somente o capital inicial é que rende juros. Neste regime, o dinheiro cresce linearmente ou em progressão aritmética ao longo do tempo. O Conceito de Juro Juro é a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro. O valor dos juros é obtido pela expressão: J = P . i . n Exemplo: Quais os juros de um capital de R$500,00 aplicado à taxa de juros de 6% a.a., no fim de 2 anos: J = P. i . n J = 500 x 0,06 x 2 = R$ 60,00 Juros exatos e Juros Comerciais Conforme se considere, numa operação financeira, o ano civil (365 dias) ou o ano comercial (360 dias), os juros serão, respectivamente, chamados de juros exatos, ou de juros comerciais (também chamados de juros ordinários), ficando as fórmulas, respectivamente: J = P . i . n ou seja: J = P . i . n/365 365 J = P . i . n ou seja: J = P . i . n/360 360 Observação: Uma operação financeira, contratada numa determinada data, por certo tempo, tendo o seu vencimento definido numa determinada data futura. O prazo da operação é, então, considerado como o número exato de dias compreendido entre as duas referidas datas. Capital Entende-se por capital, do ponto de vista da matemática financeira, qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época, que vamos indicar por “P”. Montante Montante (ou Valor Futuro),que vamos indicar por “S” , é igual à soma do capital inicial mais os juros referentes ao período da aplicação. Por definição: S = P + J Como no Regime de Juros Simples J = P . i . n , temos que S = P + (P . i . n) Ou seja: � Exemplo: O montante produzido por um capital de R$ 600,00 aplicado por 2 anos, à taxa de juros simples de 30% a.a., vale: S = P . (1 + i . n) S = 600 . (1 + 0,30 . 2) S = R$960,00 Valor Atual e Valor Nominal O Valor Atual corresponde ao valor de um compromisso de débito ou de crédito em uma determinada data entre o início e o término do compromisso. É o capital que, aplicado àquela determinada taxa de juros, permite a obtenção de um montante igual ao Valor Nominal do compromisso, na sua data de vencimento. O Valor Nominal é o valor da aplicação (ou do recebimento) em sua data de vencimento, ou seja, é a soma do capital com os juros (que é o próprio montante) Nos Juros Simples temos: S = P . ( 1+ i . n ) Daí vem a fórmula: P = S . 1 (1 + i . n) N V1 P 0 n1 n Logo: V = N . 1 (1 + i. n) � Exemplo: O Valor Atual, à taxa de juros simples de 12% aa, de uma Nota Promissória de $2.000,00 vencível em 9 meses, corresponde a: �� EMBED Equation.3 V = $1.834,86 Isto é, $1.834,86 é o valor que liquida hoje, a juros simples de 12% ao ano, uma dívida de $2.000,00 exigível em 9 meses. se a quantia de $1.834,86 for aplicada à taxa de juros simples de 12% aa, pelo prazo de 9 meses, produzirá o montante de $2.000,00. Taxa de Juros Taxa de Juros, que vamos indicar por “i”, é razão entre o montante recebido (ou pagos) no final de certo período de tempo e o capital inicialmente aplicado (ou emprestado), menos uma unidade. A taxa de juros é obtida pela expressão: Taxa de Juros é a forma de medir os juros. A taxa de juros representa os juros pagos (ou recebidos) pela utilização de uma unidade de capital pelo prazo de 1 unidade de tempo. A taxa de juros traduz a relação entre os juros e o capital por unidade de tempo. A taxa de juros refere-se sempre a um determinado período de tempo (normalmente: o dia, o mês, o trimestre, o semestre, e o ano). A taxa de juros pode se apresentar sob duas formas: Centesimal: quando representar os juros de cem unidades de capital durante o período de tempo a que se referir, ou seja, em forma percentual. Unitária: quando representar, nas mesmas condições anteriores, os juros em uma unidade de capital; forma unitária. Exemplos: Forma Percentual Cálculo Forma Unitária 10% 2% 1,25% 0,3% 10/100 2/100 1,25/100 0,3/100 0,10 0,02 0,0125 0,0003 Diagrama de Fluxo de Caixa Tendo em vista que os problemas de matemática financeira envolvem entradas e saídas de caixa que ocorrem em diferentes instantes de tempo, é útil adotar‑se uma representação que possibilite a sua melhor visualização. Tal representação é feita pelo Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC): 400 300 150 100 0 3 1 2 4 5 300 500 A escala horizontal representa o prazo de tempo da operação (medido em meses, trimestres, semestres, anos, etc.); as flechas para cima correspondem às entradas de caixa; as flechas para baixo representam as saídas de caixa. � No traçado do Diagrama adotam-se ainda as seguintes convenções: O investimento inicial é feito no instante zero; As saídas e as entradas de caixa são tratadas como se ocorressem no fim dos períodos considerados. O Diagrama de Fluxo de Caixa acima pode muito bem ter sido desenhado com a finalidade de representar um projeto que demanda um investimento inicial de R$ 500,00 com um investimento adicional de R$300,00 no 3° período, e que gera receitas de R$300,00 no 1° período, de R$150,00 no 2° período, de R$400,00 no 4° período e de R$100,00 no 5° período. Taxas Equivalentes ( Juros Simples Se o rendimento de um capital à taxa de juros simples de 1% a.m. durante 1 ano forem igual ao juro (rendimento) do mesmo capital a taxa de juro de 12% a.a. durante 1 ano, dizemos que 1%a.m. e 12% a.a. são equivalentes. Exemplo: a taxa mensal equivalente à taxa anual de 15% é: Taxas de juros e períodos de capitalização devem sempre estar na mesma base, ou seja, na mesma unidade de tempo. � EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Aplicando-se hoje $100.000 a taxa de 5%a.t. determinar: a) Montante no final de 4 anos ( R: $180.000,00 b) Montante no final de 1 ano e meio ( R: $130.000,00 2. Um capital de $15.000 foi aplicado durante seis meses à taxa de juros simples de 10%a.s.. Determinar o valor dos juros correspondentes a aplicação. R: $1.500,00 3. Qual o tempo necessário para que $2.500 produza o montante de $5.300 aplicados à taxa de juros simples de 8% a.a. com capitalizações anuais? R: 14 anos. 4. Qual o capital que aplicado a 3% a.t. durante um trimestre renderá juros simples de $4.002,68? ( R: $133.422,67 5. Uma pessoa aplicou 2/3 de seu capital a 3% a.t. e o restante a 5% a.s.. No final de três anos os juros da primeira aplicação excederam os da segunda em $20.457. Qual foi o capital aplicado? ( R: $146.121,43 6. No princípio do ano foi aplicado um capital à 4,5% a.a. Depois de oito meses, essa taxa foi alterada para 5% a.a. assim, no final de um ano foi produzido um total de juros simples de $4.254. Qual foi o capital aplicado? R: $91.157,14 7. Um investidor aplicou seu capital de $20.000 à taxa de juros simples a 18%a.a. Depois de algum tempo a taxa foi aumentada para 24%a.a. Calcular o tempo que vigorou a taxa de 18% a.a., sabendo-se que no final de um ano os juros simples somaram $4.000. ( R: 8 meses 8. Um capital aplicado a juros simples durante 3 anos e 9 meses, produziu o montante de $16.510,98. Calcular esse capital, sabendo que durante os dois primeiros anos a taxa de juros foi de 10%a.s., passando depois para 6% a.t. R: $9.071,97 Desconto O conceito de desconto consiste na diferença entre o valor nominal de um título, e o seu valor atual, na data da operação, ou seja: D = N - V Em que D representa o valor monetário do desconto, N o seu valor nominal (valor assumido pelo título na data do seu vencimento) e V o valor creditado ou pago ao seu titular. Assim, como no caso dos juros, o valor do desconto está sempre associado a uma taxa e a um determinado período de tempo. Podemos identificar os seguintes tipos de desconto: Desconto Comercial ou Bancário; Desconto Racional ( Desconto Comercial ou Bancário é aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o valor nominal. É utilizado amplamente no Brasil, principalmente nas chamadas operações de “desconto de duplicatas”. É obtido multiplicando-se o valor de resgate do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o seu vencimento, ou seja: Dc = N . i . n Valor descontado comercial: ( Desconto Racional, é aquele que somado ao valor descontado reproduz o valor nominal. Suas fórmulasde cálculo são: Valor descontado racional Observa-se que, em juros simples, o valor descontado é o próprio valor atual. Fluxo de Caixa Exemplo: Uma duplicata de $4.500, cujo vencimento era para 7 meses foi resgatada 2 meses antes de seu vencimento a uma taxa de desconto comercial de 15% a.m. Calcular o desconto comercial e o valor do principal. N = 4.500 0 1 2 3 4 5 6 7 Vc = ? i = 15% a.m. n = 2 meses Dc = N . i . n Dc = 4.500 . 0,15 . 2 Dc = 1.350 Vc = N (1 – i.n) Vc = 4.500 ( 1 - 0,15 . 2) Vc = 4.500 . 0,70 Vc = 3.150 Confirme que: D = N - V D = 4.500 - 3.150 D = 1.350 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Uma nota promissória de valor nominal de $16.000 deve ser resgatada seis meses antes de seu vencimento à taxa de desconto comercial de 4% a.m. Calcular o valor do desconto comercial. ( R: $3.840,00 2. Uma duplicata de $8.000 deve ser resgatada antes de seu vencimento por um prazo de três meses à taxa de desconto comercial de 4% a.m. Calcular o desconto comercial. ( R: $960,00 3. Um título de $5.000, foi resgatado quatro meses antes de seu vencimento por $4.400. Calcular a taxa mensal de desconto comercial empregada nesta operação financeira. ( R: 3% a. m. 4. Calcular o desconto comercial de um título de $8.000 à taxa de 1,5% a.m., resgatado cinco meses antes de seu vencimento. ( R: $600,00 5. Uma nota promissória de valor nominal de $2.000 foi resgata antes de seu vencimento por $1.925,00. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial empregada nesta operação financeira é de 15% a.a., calcular o tempo de antecipação do pagamento. ( R: 3 meses 6. O valor atual de uma duplicata é igual a ¾ do seu valor nominal. Calcular a taxa mensal de desconto comercial, sabendo-se que oito meses antes de seu vencimento o pagamento foi efetuado. ( R: 3,125% a.m. 7. O valor nominal de um título é igual a vinte vezes o valor de seu desconto comercial à taxa de 20% a.a. Calcular o tempo, em meses, de antecipação do pagamento. R: 3 meses 8. Uma duplicata de $70.000, com vencimento para 90 dias, foi descontada por um banco à taxa de 2,70% a.m. Calcular o valor líquido entregue ao cliente, de acordo com o conceito de desconto comercial bancário. ( R : $64.330,00 9. Uma pessoa aplicou seu capital de $1.200 em letras de câmbio, para resgatar $ 1.425 após 90 dias. Quando faltavam 15 dias para o vencimento da letra de câmbio, descontou-a, com taxa de desconto comercial de 8% a.m., e depositou o valor apurado em uma conta de prazo fixo, com rendimento de 10% de juros simples, por 60 dias. Qual foi seu rendimento (juros) considerando todas as operações? R: $304,80 b) Qual a taxa mensal de juros simples que corresponde ao rendimento total? R: 5,64% a. m. c) Qual era a taxa mensal de juros que a pessoa havia aplicado, na primeira operação? ( R: 6,25% a. m. 10. Uma pessoa jurídica aplicou, por um ano, $100.000 em letras de câmbio, à taxa de juros simples de 19%a.a. Entretanto, dez meses após a aplicação o investidor resolve resgatar as letras de câmbio com desconto comercial de 2,45% a.m. a) Quanto recebeu ao resgatá-las? ( R: $113.169,00 b) A que taxa mensal de juros simples esteve empregado o capital durante os dez meses? ( R: 1,32% a. m. 11. Eduardo tomou emprestado $1.500 para pagar 6 meses após, a uma taxa de 22%a.a. em juros simples. No entanto, 2 meses antes de vencer o empréstimo ele resolve resgata-lo com a condição de que fosse efetuado desconto comercial simples. A taxa corrente de mercado era de 24% a.a. Qual o valor líquido que Eduardo desembolsará? ( R: $1.598,40 � 4 – REGIME DE CAPITALIZAÇÃO A JUROS COMPOSTOS – Crescimento exponencial Na capitalização composta as taxas de juros incidem sempre sobre o capital somado aos juros passados, assim podemos afirmar que a taxa varia exponencialmente em razão do tempo. Neste regime, os juros são capitalizados e, consequentemente, rendem juros. No regime de juros compostos o dinheiro cresce exponencialmente ou em progressão geométrica ao longo do tempo. Temos a seguinte evolução do conceito matemático: S1 = P + P . n. i = P ( 1 + i . n ) = P ( 1 + i . 1 ) ( S1 = P ( 1 + i ) 1 S2 = S1 . ( 1 + i ) = P ( 1 + i ) . ( 1 + i ) ( S2 = P ( 1 + i ) 2 S3 = S2 . ( 1 + i ) = P ( 1 + i )2 . ( 1 + i ) ( S3 = P ( 1 + i )3 ( ( ( ( ( ( ( ( ( S = P ( 1 + i ) n Sn = Sn-1 . ( 1 + i ) = P ( 1 + i )n-1. ( 1 + i ) ( O fator ( 1 + i )n denomina-se fator de capitalização ou de valor futuro. É o fator pelo qual devemos multiplicar o valor de aplicação para conhecermos o valor de resgate de um título. Exemplo: Qual o montante da aplicação de um capital de $ 10.000, por 15 meses à uma taxa de 5% a.m.? S = P ( 1 + i )n S = 10.000 ( 1 + 0,05 ) 15 S = 10.000 (1,05) 15 S = 10.000 (2,0789) ( S = 20.789,28 Equivalência de Taxas – Juros Compostos Taxas equivalentes são taxas diferentes entre si, expressas em unidades de tempo diferentes que, capitalizadas por n períodos a um mesmo prazo, conduzem um capital ao mesmo montante. Suponhamos que um capital no valor $ 1.000,00 seja depositado a 12% a.a., durante um ano. No final de 1 ano teríamos: S = 1.000 ( 1 + 0,12 ) = 1.120,00 Se nós disséssemos, que este capital seria aplicado por 4 trimestres, a taxa (que sempre deverá estar na mesma unidade de tempo do período) deveria ser “transformada” em equivalente ao trimestre. Assim: ( Logo: ia.t = ( 1 + 0,12 ) ¼ -1 ( ia.t = 1,02873735 – 1 ( ia.t = 0,02873735 ia.t = 0,02873735 ( 2,873735 % a.t. Logo: S = 1.000 ( 1 + 0,02873735 ) 4 ( S = 1.120,00 Assim, podemos afirmar que, 12% a.a. é equivalente a 2,873735% a.t. � Taxa Nominal É a taxa de montagem da operação, nominalmente contratada. A unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. É normalmente expressa em termos anuais. Exemplo: 10%a.a., capitalizados mensalmente – 15%a.a., capitalizados trimestralmente. Pode ser igual à taxa efetiva no regime de capitalização simples. Taxa Efetiva ou Capitalizada A taxa efetiva ou capitalizada é aquela que nos fornece o total dos juros produzidos durante o prazo k com n períodos de capitalização. No exemplo: Um capital de $500,00 capitalizado mensalmente por 1ano gerou um montante de $620,00. Qual a taxa efetiva desta aplicação? Qual a taxa nominal? S = P ( 1 + i ) n , onde n = 1 período, assim: S = P ( 1 + i ) ( S / P = 1 + i Logo, a taxa efetiva pode ser escrita como: ou assim: ief = 620 / 500 -1 ief = 1,24 – 1 ( ief = 0,24 x 100 ( 24% a.a. Cálculo da taxa nominal: iN = (1,241/12 – 1) x 12 ( iN = 0,2171 x 100 ( 21,71% a.a. Taxa Real É a taxa calculada com base na taxa efetiva da aplicação ou empréstimo, corrigida pela taxa de inflação do período, contado desde o dia da aplicação ou do empréstimo até o dia do seu resgate ou vencimento. , onde: iR = Taxa Real ief = Taxa Efetiva iinf = Taxa de inflação � EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Uma empresa obtém um empréstimo de $700.000,00 que será quitado de uma só vez, no final de 4 meses. Sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 20% a.s.. Calcular o valor a ser pago pela empresa. ( R: $790.470,26 2. Um negociante adquiriu um imóvel por $100.000,00 e pretende revendê-lo daqui a 20 meses. Qual o valor mínimo de venda aplicando-se a taxa de juros compostos de 24%a.a.? ( R: $143.120,82 3. Qualo montante acumulado em 24 meses a uma taxa de 2% a.m., no regime de juros compostos, a partir de um principal de $2.000,00? R: $3.216,87 4. Quanto terá daqui a 48 meses a uma taxa de juros compostos de 24% a.a., no regime de capitalização composta uma aplicação de $1.000,00? R: $2.364,21 5. Qual o montante acumulado no final de 4 anos ao se aplicar $100.000,00 hoje a uma taxa de 1,5% a.m.? ( R: $204.347,83 6. Uma mercadoria custa à vista $65.032,20 e pode ser financiada a 5% a.m. para pagamento em 180 dias. Pergunta-se qual o valor desta mercadoria financiada? ( R: $87.149,37 7. Um pai dedicado deposita $1.000,00 em nome de seu filho em caderneta de poupança que rende juros de 0,5% a.m.. Quanto terá o feliz garoto depois de 4 anos? ( R: $1.270,49 8. Uma pessoa aplicou $10.000,00 a juros compostos de 5% a.m. Deixou aplicado durante alguns anos, obtendo um montante de $57.910,00. Quantos anos duraram este investimento? ( R: 2 anos, 11 meses e 29 dias ( 3 anos 9. Dispondo de uma taxa de 3% a.m. de juros compostos, em quanto tempo dobraremos o capital? ( R: 1 ano, 11 meses e 13 dias ( 704 dias 10. Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é de 5%. Determinar qual o prazo em que um empréstimo de $20.000,00 será resgatado por $25.525,63. ( R: 1 ano e 3 meses = 5 trimestres 11. Uma financeira empresta $ 80.000,00 hoje para receber $ 507.294,64 no final de 2 anos. Calcular a taxa de juros compostos mensais que é cobrado por esta financeira. ( R: 8% a. m. 12. Em que prazo uma aplicação de $ 218.978,57, gera um montante de $ 500.000,00 `a taxa de 3,5% a.m.? ( R: 2 anos 13. A que taxa mensal de juros compostos, um capital aplicado pode ser resgatado pelo dobro de seu valor ao final de 35 meses? ( R: 2% a. m. 14. Uma pessoa recebe uma proposta de investir hoje $ 1.000,00 para receber $1.343,42, daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento, no regime de capitalização composta? ( R: 3% a. m. 15. Uma pessoa aplica $150.000,00 com resgate para dois anos, faz outra aplicação de $100.000,00 para resgate em três anos. A taxa composta é de 3% a.m. Ao final de dois anos reaplica a primeira aplicação por mais um ano. Pergunta-se, quanto recebeu ao final de três anos pelas aplicações? R: $724.569,58 � Equivalência de Capitais a Juros Compostos O conceito de equivalência permite transformar formas de pagamentos (ou recebimentos) em outras, equivalentes e consequentemente efetuar comparações entre as alternativas de investimentos ou empréstimos. ( Data Focal ( é a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes. Seja um conjunto de valores nominais e suas respectivas datas de vencimento: A representação destes capitais no tempo é a seguinte: C3 ... Cn C1 C2 0 1 2 3 n Adotando-se uma taxa de juros i, estes capitais serão equivalentes na data focal 0, se: Indicamos os valores por V, já que estes são valores atuais à taxa de juros i, na data focal 0. Exemplo 1: Equivalência entre dois capitais. A uma taxa de juros compostos de 2% a.m., $1.500,00 daqui a três meses eqüivalem a quanto hoje? 1.500 i = 2% a.m. ( 0,02 S = P (1 + i)n ( P = S / (1+i)n P = 1500 / (1+ 0,02)3 0 1 2 3 P = 1500 / 1,0612 P = 1.413,48 P = ? Dizemos que, $1.500 no mês 3 é equivalente à $ 1.413,48 hoje, para 2% a.m. � Exemplo 2: Equivalência entre mais de dois capitais. Uma loja vende uma geladeira nas seguintes condições: uma entrada de $300,00 e mais uma parcela de $350,00 após um mês. Um cliente propõe pagar uma entrada de $200,00 mais duas prestações mensais e iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 3% a.m. , qual o valor de cada parcela, de modo que as duas formas de pagamento sejam equivalentes? 1ª forma 2ª forma 300 350 0 1 P = S/(1+i)n + S/(1+i)n P = 300/(1+0,03)0 + 350/(1+0,03)1 P = 300 + 339,81 P = 639,81 200 ? ? 0 1 2 P = S/(1+i)n + S/(1+i)n + S/(1+i)n 639,81 = 200/(1+ 0,03)0 + S/(1+0,03)1 + S/(1+ 0,03)2 639,81 = 200 + S / 1,03 + S / 1,0609 639,81 - 200 = 0,9709 S + 0,9434 S 439,81 = 1,9143 S S = 439,81 / 1,9143 S = 229,75 Cada uma das prestações terá o valor de $ 229,75. � EXERCÍCIOS PROPOSTOS Certa pessoa tem uma nota promissória a receber com valor nominal de $15.000,00, que vencerá em dois anos. Além disto, possui $20.000,00 hoje, que irá aplicar à taxa de 2% a.m. durante dois anos. Considerando que o custo de oportunidade do capital hoje, ou seja, a taxa de juros vigente no mercado, é de 2% a.m., pergunta-se: Quanto possui hoje? ( R: ( V0 = $29.325,82 ) Quanto possuirá daqui a um ano? ( R: ( V1 = $37.192,24 ) Quanto possuirá daqui a dois anos? ( R: ( V2 = $47.168,74 ) Consideremos os seguintes valores nominais: Capital ($) Vencimento (anos) 1.100,00 1 1.210,00 2 1.331,00 3 1.464,10 4 1.610,51 5 Admitindo-se uma taxa de juros compostos de 10% a.a., verificar se os capitais são equivalentes na data focal: a) zero ( ( V0 = $1.000,00 ) ; b) três ( ( V3 = $1.331,00) 3. Suponhamos que uma pessoa tenha uma carteira de aplicações em títulos de renda fixa com datas de vencimento diferentes. Esta carteira de valores nominais é um conjunto de capitais. Uma questão normal é a de saber qual o valor da carteira, ou seja, do conjunto de capitais numa determinada data. � Admitamos que seja a seguinte carteira de títulos: Valor do título ($) Vencimento (mês) 1.000,00 6 2.000,00 12 5.000,00 15 Supondo a taxa de 3% a.m. como sendo o custo de oportunidade de capital, pergunta-se qual o valor destes títulos na data focal zero. ( R: (V0 = $5.449,55) Verificar se os conjuntos de valores nominais abaixo, referidos à data zero, são equivalentes à taxa de juros de 10% a.a. 1º Conjunto 2º Conjunto Capital ($) Vencim. (ano) Capital ($) Vencim. (ano) 1.100,00 1 2.200,00 1 2.420,00 2 1.210,00 2 1.996,50 3 665,50 3 732,05 4 2.196,15 4 C1 ( V0 = $5.000,00 C2 ( V0 = $5.000,00 5. Um título no valor nominal de $8.500,00, com vencimento para 5 meses, é trocado por outro de $7.934,84, com vencimento para 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente de mercado é de 3,5% a.m., pergunta-se se a substituição foi vantajosa. T1 ( V0 = $7.156,77 T2 ( V0 = $7.156,77 � Taxa Interna de Retorno É através de uma equivalência financeira, ou de capitais que podemos determinar o que se conhece como Taxa Interna de Retorno - TIR. Esta é uma taxa que ao descontar um fluxo de caixa torna-o nulo. Exemplo: Determinar a Taxa Interna de Retorno - TIR correspondente a um empréstimo de $1.000,00 a ser liquidado em três pagamentos mensais de $300,00, $500,00 e $400,00. O fluxo de caixa correspondente a essa operação, tomando-se como referência o doador de recursos, é representado como segue: 500300 400 0 1 2 3 1.000 A solução desse problema implica resolver a seguinte equação matemática: em que i é denominado taxa interna de retorno. A solução dessa equação somente pode ser obtida pelo processo interativo, ou seja, por “tentativa e erro”. Assim, vamos admitir inicialmente uma taxa qualquer que julgamos próxima da taxa procurada. Digamos 6%. Com base nessa taxa, vamos calcular o valor presente dos três pagamentos. � Como o valor presente desses pagamentos é superior a $1.000,00, deduz-se logo que a TIR é maior que 6%. Vejamos para 11%: Portanto a TIR está situada entre 6% e 11%. A partir daqui, como temos duas taxas de referência, o mais indicado é utilizarmos o processo de interpolação linear, como segue: ( em que X é a taxa interna de retorno procurada. A partir daí, poderemos calcular: 95,30 (X - 11%) = (-5%) . 31,44 95,30 X - 10,48 = -1,57 95,30 X = 8,91 X = 0,0935 ( 9,35% Vamos verificar o valor presente para esta taxa: A taxa procurada é um pouco menor que essa. A solução é proceder a nova interpolação, tomando como base a taxa anterior. Vejamos: ( 29,86 (X - 9,35%) = (-1,65%) . 1,58 29,86 X - 2,7919 = -0,0261 29,86 X = 2,7658 X = 0,0926 ( 9,26% e para essa taxa temos o seguinte valor presente: Rigorosamente a taxa ainda não é essa, mas em função do cálculo não ter sido desenvolvido por calculadora financeira, há margens de erro. Entretanto podemos aceitar essa taxa como sendo a TIR do nosso problema. Verificamos que a solução do nosso problema somente pode ser obtida por um processo de aproximação através de tentativa e erro. E isso a calculadora HP-12C faz na função IRR (Internal Rate Return). Vejamos como fica a solução do nosso problema com a HP-12C: Teclas Visor Significado f clear REG 0,00 Limpa registradores 1000 CHS g CF0 -1.000,00 Valor do empréstimo 300 g CFj 300,00 Valor do 1º pagamento 500 g CFj 500,00 Valor do 2º pagamento 400 g CFj 400,00 Valor do 3º pagamento f IRR 9,2647 TIR mensal EXERCÍCIOS PROPOSTOS Um equipamento no valor de $70.000,00 é integralmente financiado, para pagamento em 7 parcelas mensais, sendo as 3 primeiras de $10.000,00 as 2 seguintes de $15.000,00, a 6ª de $20.000,00 e a 7ª de 30.000. Determinar a taxa de financiamento dessa operação. ( R: i ( 10,40% a.m. Um consumidor adquire uma geladeira pelo sistema de crediário para pagamento em 6 prestações mensais de $295,00. Sabendo-se que o valor financiado foi de $1.370,00 e que a 1ª prestação será paga no final do 3º mês (2 meses de carência), determinar a taxa de juros cobrada pela loja. R: i ( 4,83% a.m. Um banco credita $180.530,00 na conta de um cliente, referente ao desconto de três duplicatas de valores $52.600,00, $63.400,00 e $93.570,00, com prazos de 42, 57 e 85 dias respectivamente. Determinar a taxa de juros mensal cobrada nessa operação, calculada de acordo com o regime de capitalização composta. (Desconto Racional). ( R: i ( 7,09% a.m. 4. Uma debênture de valor nominal de $1.000,00, emitida no dia 10-03-01, paga juros trimestralmente à razão de 2,874% (equivalente a 12% a.a.). Sabendo-se que essa debênture foi emitida com 2 anos de prazo, que os juros são pagos no dia 10 dos meses de junho, setembro, dezembro e março de cada ano e que a mesma foi negociada no dia 02-05-02 por $950,00, calcular a taxa efetiva anual dessa transação (sem considerar o imposto de renda). R: 21,40% a.a. 5. Um televisor de 29” é posto a venda por $1.200,00 à vista com 10% de desconto, ou em três parcelas iguais “sem juros” (1 + 2). Qual dessas duas opções é mais vantajosa? A inflação é de 1% a.m. e deve manter-se constante nos próximos meses. ( R: 1ª opção: VP = $1.080,00 e 2ª opção: VP = $1.188,16, logo a 1ª opção é a mais vantajosa. � Valor Presente Líquido Trata-se de uma técnica de análise de fluxos de caixa que consiste em calcular o valor presente de uma série de pagamentos, a uma taxa conhecida, e deduzir deste o valor do fluxo inicial (valor do empréstimo, do financiamento ou do investimento). Exemplo: Um empréstimo de $22.000,00 será liquidado em 3 prestações mensais e sucessivas de $12.000,00, $5.000,00 e $8.000,00. Considerando uma taxa de juros de 7% ao mês, calcular o valor presente líquido. O Fluxo de caixa é representado esquematicamente como segue: 12.000,00 8.000,00 5.000,00 0 1 2 3 22.000,00 A solução desse problema implica resolver a seguinte equação: em que NPV representa o valor presente líquido (net present value) = 112,53 A calculadora HP-12C, na função NPV, executa esses cálculos, como se segue: Teclas Visor Significado f clear REG 0,00 Limpa registradores 22000 CHS g CF0 -22.000,00 Valor do empréstimo 12000 g CFj 12.000,00 Valor do 1º pagamento 5000 g CFj 5.000,00 Valor do 2º pagamento 8000 g CFj 8.000,00 Valor do 3º pagamento 7 i 7,00 Taxa mensal de juros f NPV 112,53 Valor presente líquido Isso significa que o valor presente dos 3 pagamentos mensais, à taxa de 7% a.m., é de $22.112,53, isto é, 112,53 + 22.000,00. EXERCÍCIOS PROPOSTOS Um equipamento é financiado em 18 prestações mensais iguais e sucessivas de $3.250,00 e mais 3 prestações semestrais (prestação-reforço) de $7.750,00, $8.750,00 e $9.750,00. Calcular o valor financiado, sabendo-se que a taxa cobrada foi de 8,7% a.m. ( R: $39.120,00 Um apartamento foi colocado à venda pelo valor de $300.000,00 a vista, ou em 2 anos de prazo, com $80.000,00 de entrada, mais 12 prestações mensais de $18.000,00 e mais 12 de $28.186,00. Admitindo-se que você está interessado em adquiri-lo e que tenha recursos para comprá-lo até mesmo à vista, qual seria a sua decisão, se você aplicasse recursos em um Fundo de Renda fixa a uma taxa de 1,5% a.m. Calcule a taxa interna de retorno desse financiamento. ( R: Comprar à vista; VP à 1,5% a.m. = $533.473,16 e a TIR = 8% a.m. � 3. Uma empresa, cuja TMA é de 6% a.a., dispõe de duas alternativas para introduzir uma linha de fabricação para um dos componentes de seu principal produto. A alternativa A é para um processo automatizado que exigirá um investimento de $20.000,00 e propiciará saldos anuais de $3.116,00 durante 10 anos. A alternativa B é para um processo semi-automatizado, com investimento mais baixo no valor de $10.000,00, que, devido ao uso mais intenso de mão-de-obra, propiciará um saldo anual de $1.628,00, também durante 10 anos. Qual a melhor alternativa? Calcule a TIR dos dois investimentos e compare com a TMA. Qual a melhor alternativa? Agora, defina a melhor alternativa com base no VPL. Então! Mudou de idéia? Apresente uma proposta para sair desse aparente impasse. Uma empresa deseja adquirir um equipamento no valor de $8.000,00. Em função do tipo de equipamento é possível vende-lo após 5 anos por $13.000,00. Sabendo-se que a TMA (taxa mínima de atratividade) desta empresa é de 13% a.a. e que estão previstos os fluxos de entrada e saída relativos a utilização do equipamentoconforme abaixo, calcule o NPV e a IRR, verificando se a compra é economicamente justificável. Ano Entradas Saídas 01 50 02 650 03 750 04 650 NPV = $439,12 IRR = 14,30% a.a. 5. Uma empresa planeja construir uma nova planta industrial a um custo de $6.900.000,00. Estudos de mercado indicam a possibilidade de venda da nova fábrica de hoje a 10 anos por $11.000.000,00. Sabendo-se que o projeto de construção prevê o fluxo de caixa abaixo (apresentado em milhares de UM) e que a TMA desta empresa é de 13,5% a.a., verificar se o projeto é economicamente aceitável. Ano Entradas Saídas 01 1.400 02 1.100 03 1.000 04 1.000 05 1.000 06 910 07 900 08 900 09 450 IRR = 17,07% NPV = $1.372.642,05 � EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Uma loja vende um eletrodoméstico da seguinte forma: entrada de $300,00 mais 2 prestações mensais de $360,00 cada. Se a loja opera a uma taxa de juros de 3% a.m., qual o valor à vista? ( R: $988,85 2. Uma TV é vendida por $1.200,00 à vista, ou 30% de entrada e mais duas parcelas mensais iguais. Sabendo-se que a taxa de juros é de 5% a.m. qual o valor de cada parcela sabendo que as duas formas de pagamento são equivalentes? ( R: $451,76 3. Resolva o problema anterior, considerando que haja 3 pagamentos mensais e que não foi dado valor algum de entrada. ( R: $440,65 4. Uma empresa deve pagar 3 títulos: o primeiro de $2.500,00, exigível em 3 meses, o segundo de $3.000,00, exigível em 6 meses e o terceiro de $4.500,00 exigível em 8 meses. A empresa pretende substituir esses e títulos por um único que deverá ter prazo de 1 ano. Admitindo-se o regime de juros compostos e uma taxa mensal de 2,5%, determine o valor do novo título. R: $11.568,40 5. Um equipamento no valor de $90.000 é integralmente financiado, para pagamento em sete parcelas mensais; as três primeiras de $10.000, as duas seguintes de $15.000, a sexta de $20.000 e a sétima de $30.000. Determinar a TIR dessa operação. ( R: i ( 4,38% a. m. 6. Um banco credita $19.439,53 na conta de um cliente pessoa jurídica, referente ao desconto de 3 duplicatas de valores: $5.260, $6.340 e $9.357, com prazos de 42, 57 e 85 dias respectivamente. Determinar a taxa mensal de juros cobrada nessa operação, calculada de acordo com o regime de capitalização composta. ( R: i = 3,5% a.m. � 7. Um negociante compra hoje mercadorias no valor de $50.000. Paga $10.000 `a vista e compromete-se a pagar $35.000 no fim de seis meses. Que pagamento ainda deve ser feito no fim de 10 meses para liquidar sua dívida, se o vendedor cobrar uma taxa composta de 3,5% a.m.? ( R: $16.260,04 8. Uma pessoa toma emprestado a quantia de $15.000 comprometendo-se a restituí-la no fim de 20 meses com juros de 36% a.a., compostos mensalmente. No fim de 14 meses propõe o devedor pagar $12.000 imediatamente e o saldo, 4 meses após. Supondo aceitar a proposta à taxa de 2,5% a.m., calcular o valor do saldo. ( R: $10.985,72 � Juros Simples X Juros Compostos Uma das dúvidas mais freqüentes é sobre qual regime de capitalização, juros simples ou juros compostos, é o melhor, o mais vantajoso. No caso de um investidor, se o prazo de aplicação é maior que o do primeiro período de capitalização, os juros compostos são preferíveis. Quando o prazo é inferior ao do primeiro período de capitalização, o regime de juros simples produz um montante maior que o obtido com os juros compostos. Se o prazo de aplicação é igual ao do primeiro período de capitalização, é indiferente fazê-la nos regimes de juros simples ou compostos, pois os montantes obtidos são iguais. S = JUROS COMPOSTOS S S = JUROS SIMPLES S1 P PERÍODOS 1º PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO Na prática das operações financeiras, usa-se indistintamente juro simples ou compostos. O uso dos juros simples no mercado financeiro deve-se principalmente à facilidade de cálculo e, em alguns casos, como argumento de venda. Entretanto, a teoria financeira recomenda que, independentemente da maneira que o cálculo tenha sido efetuado, a análise se faça através das taxas e do regime de juros compostos. � 5 - ANUIDADES O estudo de Anuidades ou Seqüência de Capitais, nos fornece o instrumental necessário para estabelecer planos de poupança, de financiamento, de recomposição de dívidas e avaliações de alternativas de investimentos. Define-se anuidades, seqüência de capitais ou séries, uma sucessão de pagamentos ou recebimentos, exigíveis em épocas predeterminadas, destinadas a extinguir uma dívida ou constituir um capital. Se os pagamentos (ou recebimentos) forem exigidos em épocas cujos intervalos de tempo são iguais, a anuidade se denominará periódica, em caso contrário, se os pagamentos forem exigidos em intervalos de tempo variados, a série se denominará não-periódica. As anuidades periódicas podem ser: ( POSTECIPADAS - quando os pagamentos ou recebimentos forem efetuados no fim de cada intervalo de tempo a que se referir a taxa de juros considerada, cuja representação gráfica é: R R R ( ( ( R 0 1 2 3 ( ( ( n ( ANTECIPADAS - quando os pagamento ou recebimentos são feitos no início de cada período de tempo a que se referir a taxa considerada. Representação gráfica: R R R R ( ( ( R 0 1 2 3 ( ( ( n ( DIFERIDAS - quando o primeiro pagamento ou recebimento só é feito depois de decorridos k períodos de tempo a qual se referir a taxa considerada. R R R R 0 1 2 3 ((( n CÁLCULO DO VALOR ATUAL PARA ANUIDADES POSTECIPADAS No cálculo das anuidades ou séries de pagamentos postecipadas, poderemos utilizar a seguinte fórmula: onde: ( a n i (fator que representa a soma de todos os fatores) Logo: P = R. a n i Exemplo: Uma pessoa possuidora de 10 títulos de valores nominais de $2.500 cada e com vencimentos mensais e sucessivos, o primeiro de hoje a 30 dias, vende estes títulos a 3% a.m.. Quanto apurou com a venda? R = 2.500 n = 10 m i = 3% a.m. P = ? ( ( ( CÁLCULO DO MONTANTE PARA ANUIDADES POSTECIPADAS A exemplo do cálculo do valor atual (principal), o montante de uma anuidade postecipada de “n” termos, dada uma taxa de juros composta por período, será igual a soma dos valores capitalizados, a esta taxa, considerando que: e Substituindo: ( Como: ( S n i Logo: S = R. S n i Exemplo: quanto uma pessoa acumularia no fim de 24 meses se depositasse mensalmente $500 em uma instituição que pagasse juros a taxa de 2,5% a.m.? S = ? n = 24 m i = 2,5% a.m. R = 500 ( ( ( � CÁLCULO DAS ANUIDADES ANTECIPADAS Tomando-se com a data de origem o momento zero, a anuidade antecipada é aquela onde a série de pagamentos ou recebimentos inicia-senesta data. Desta forma, o cálculo do pagamento ou recebimento dá-se como segue: ou P = R + R. a n-1 i Exemplo: A quantia de $50.000 foi financiada em 12 prestações mensais, sendo a primeira paga no ato da liberação do financiamento. Se o credor cobra 2,5%a.m., calcular o valor das prestações. P = 50.000 R = ? n = 12 m i = 2,5% a.m. ( ( ( CÁLCULO DAS ANUIDADES DIFERIDAS Séries diferidas são aquelas que apresentam um prazo de carência para o início dos pagamentos ou recebimentos de prestações. Para representar este período de diferimento em carência, iremos utilizar a nomenclatura k. R . a n i P = ------------------- ( 1 + i )k ( Exemplo: Alfredo adquiriu um aparelho de som para ser pago em 12 prestações iguais de $ 56 . Sabendo que a 1ª prestação vence 120 dias após a data do contrato, que são mensais e sucessivas e que a taxa cobrada é de 5% a.m., calcular o valor financiado. P = ? ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 k = 3 m n = 12 m situação similar a anuidade postecipada n = 12 m R = 56 k = 3 m i = 5%a.m. P = ? ( ( ( � EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Quanto um investidor deve oferece por uma série de 20 títulos mensais e no valor de $5.000 cada, para auferir uma rentabilidade de 4% a.m.? R: $67.951,63 2. Determinar o valor das prestações mensais que em 18 meses amortizaria hoje um débito de $ 80.000 para uma taxa de juros composta de 3% a.m.? R: 5.816,70 3. Uma coleção de livros é vendida por $6.500 à vista ou 6 pagamentos mensais e iguais a taxa de 4% a.m.. Determinar o valor dos pagamentos mensais. ( R: $1.239,95 4. Quanto uma pessoa acumularia no fim de 12 meses se depositasse mensalmente $250 em uma instituição que pagasse juros a uma taxa composta de 4% a.m.? ( R: $3.756,45 5. Se uma pessoa deseja acumular a quantia de $5.000 no fim de 18 meses, quanto ela deve depositar mensalmente em uma caderneta de poupança que pague uma taxa composta de 2,5% a.m.? ( R: $223,35 6. Quanto terei de aplicar mensalmente para acumular no final de 36 meses um montante de $3.000, sabendo que o rendimento auferido é de 3% a.m. ? R: $47,41 7. Uma pessoa levanta um empréstimo de $7.500 para amortizá-lo em 38 pagamentos mensais e sucessivos a partir de hoje. Se o credor cobra uma taxa composta de 4% a.m., qual o valor das prestações? ( R: 387,24 8. Uma loja de departamentos tem por prática em suas vendas a prazo cobrar uma taxa de juros composta de 3,8% a.m. Um cliente assumiu uma dívida na compra de mercadorias no valor de $5.200. Sabendo que serão 12 prestações, a primeira paga no dia da compra, calcule o valor das mesmas. ( R: $527,61 9. Ao levantar um financiamento de $ 14.500 a ser pago em 17 meses, uma pessoa negocia uma taxa de 2,5% a.m., sendo a 1ª paga no ato da liberação do dinheiro. Calcule o valor das prestações. ( R: $1.031,66 10. Uma pessoa adquiriu uma lancha para ser paga em 20 prestações mensais e iguais, a taxa de 3,5% a.m. Sabendo-se que a 1ª prestação vence no final do 5º mês e que o valor financiado foi de $ 25.000, pede-se calcular o valor das prestações. ( R: $2.018,52 11. Uma loja financia um automóvel para ser pago em 14 prestações mensais e iguais de $1.628 cada. Sabendo que a taxa de juros composta é de 1% a.m. determinar o valor financiado, uma vez que o cliente teve três meses de carência. ( R: 20.547,42 12. Luiz solicitou em um banco um empréstimo para sua empresa, assumindo 20 parcelas no valor de $1.000, acertaram uma taxa de 9% a.m. além de conseguir uma carência de 6 meses para o início dos pagamentos. Calcule o valor da dívida na data em que foi concedido o empréstimo. ( R: $5.443,05 13. Uma imobiliária vende um pequeno apartamento usado por $150.000,00 à vista. Como alternativas aos clientes, oferece dois planos de financiamento: Entrada de $50.000,00 mais 4 prestações trimestrais de 34.600,00. Entrada de $30.000,00 mais 8 prestações trimestrais de 28.000,00. O Sr. João, capitalista, que aplica seu dinheiro a 10% a.t., deseja saber qual é a melhor opção de compra. R: À vista, ( em a) TIR ( 14,40% a.t. e o VPL = $9.677,34 b) TIR ( 16,42% a.t. e o VPL = $29.377,93 � 6 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Aqui vamos estudar quatro sistemas de amortizações: Sistema de Amortização Constante - SAC; Sistema Francês - Tabela Price; Sistema de Amortização Misto - SAM. Sistema Americano de Amortização - SAA Sistema de Amortização Constante - SAC Tal sistema consiste em se fazer com que todas as quotas (parcelas) de amortização sejam iguais. Assim, considerando um principal P a ser amortizado em n parcelas q1, q2, q3, ..., qn e supondo pagamentos dos juros em todos os períodos, à juros simples, teremos: , o valor dos juros é dado por: e o das prestações por: Exemplo: Um empréstimo de $100.000 deve ser devolvido em 5 prestações semestrais pelo sistema SAC, a taxa de 10% a.s. Obtenha a planilha. q = P / n ( q = 100.000 / 5 ( q = 20.000 n saldo devedor q-amortização juros prestação 0 100.000 - - - 1 80.000 20.000 10.000 30.000 2 60.000 20.000 8.000 28.000 3 40.000 20.000 6.000 26.000 4 20.000 20.000 4.000 24.000 5 0 20.000 2.000 22.000 total 100.000 30.000 130.000 Sistema Francês – Tabela Price Tal sistema se desenvolveu na França, porém foi concebido pelo matemático inglês Richard Price. Neste sistema as prestações são iguais e consecutivas ( a partir do instante que começam a ser pagas as amortizações). Assim, considerando um principal P a ser amortizado, a uma taxa i ( no período ), as prestações sendo constantes, constituem uma seqüência uniforme (anuidade). Sabemos que: , logo: Como: , teremos: Exemplo: Um empréstimo de $100.000 deve ser amortizado pelo Sistema Price em 5 prestações semestrais, à taxa de 10% a.s. Obter a planilha desprezando os centavos. n saldo devedor q-amortização juros prestações 0 100.000 - - - 1 83.620 16.380 10.000 26.380 2 65.603 18.018 8.362 26.380 3 45.783 19.819 6.560 26.380 4 23.982 21.801 4.578 26.380 5 0 23.982 2.398 26.380 total 100.000 31.899 131.899 � Sistema de Amortização Misto – SAM Este sistema foi criado pelo BNH em maio de 1979, e constitui-se num misto entre o Sistema Francês de amortização (Tabela Price) e o Sistema de Amortização Constante, originando-se daí a sua denominação. O SAM é um plano de pagamento composto por prestações cujos valores são resultantes da média aritmética dos valores das prestações dos planos SAC e Price, correspondentes aos respectivos prazos; os valores das parcelas de amortização e juros resultam da mesma regra. Vamos utilizar os exemplos já vistos anteriormente: Pelo sistema SAC n saldo devedor q-amortização juros prestação 0 100.000 - - - 1 80.000 20.000 10.000 30.000 2 60.000 20.000 8.000 28.000 3 40.000 20.000 6.000 26.000 4 20.000 20.000 4.000 24.000 5 0 20.000 2.000 22.000 total 100.000 30.000 130.000 Pelo sistema Price n saldodevedor q-amortização juros prestações 0 100.000 - - - 1 83.620 16.380 10.000 26.380 2 65.603 18.018 8.362 26.380 3 45.783 19.819 6.560 26.380 4 23.982 21.801 4.578 26.380 5 0 23.982 2.398 26.380 total 100.000 31.899 131.899 Pelo sistema SAM n saldo devedor q-amortização juros prestações 0 100.000 - - - 1 81.810 18.190 10.000 28.190 2 62.801 19.009 8.181 27.190 3 42.892 19.910 6.280 26.190 4 21.991 20.901 4.289 25.190 5 21.991 2.199 24.190 total 100.000 30.949 130.949 Sistema Americano de Amortização - SAA Por este sistema o mutuário obriga-se a devolver o principal em uma única parcela, após ter decorrido o prazo de carência estipulado. Os juros podem ser pagos durante a carência ou capitalizados e devolvidos juntamente com o principal. Exemplo: Um empréstimo de $100.000 deve ser amortizado pelo Sistema Americano, à taxa de 10% a.s., com prazo de utilização unitário, para ser devolvido após uma carência de 2 anos Obter a planilha desprezando os centavos. SAA com devolução dos juros durante a carência Os juros são calculados sobre o saldo devedor. n saldo devedor q-amortização juros prestações 0 100.000 - - - 1 100.000 - 10.000 10.000 2 100.000 - 10.000 10.000 3 100.000 - 10.000 10.000 4 100.000 10.000 110.000 total 100.000 40.000 140.000 SAA com a capitalização dos juros Os juros de um período são acrescidos ao saldo devedor. n saldo devedor q-amortização juros prestações 0 100.000 - - - 1 110.000 - 2 121.000 - 3 133.100 - 4 100.000 46.410 146.410 total 100.000 46.410 146.410 � EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Carlos comprou um carro financiando $ 14.000 em 5 prestações mensais a um juro de 3% a.m.. Construa as planilhas pelos sistemas: SAC, Price, SAM e SAA. SAC n Saldo Devedor Amortização Juros Prestações Price n Saldo Devedor Amortização Juros Prestações SAM n Saldo Devedor Amortização Juros Prestações SAA n Saldo Devedor Amortização Juros Prestações 2. Um empréstimo de $5.000 deve ser amortizado em 5 prestações semestrais a uma taxa de 10% a.s. Construa as planilhas pelos sistemas SAC, Price e SAM: SAC n Saldo Devedor Amortização Juros Prestações Price n Saldo Devedor Amortização Juros Prestações SAM n Saldo Devedor Amortização Juros Prestações SAA n Saldo Devedor Amortização Juros Prestações � 7 – UTILIZANDO ( HP-12C Significado das principais teclas utilizadas nas funções financeiras: n Number Número de períodos i Interest Rate Taxa de juros PV Present Value Valor presente PMT Periodic Pay Ment Valor de cada prestação da série uniforme FV Future Value Valor Futuro AMORT Amortization Amortização INT Interest Juros NPV Net Present Value Valor presente Líquido IRR Internal Rate Return Taxa interna de retorno CHS Change Sign Troca o sinal CLX Clear X Limpa o conteúdo da memória STO Store Guardar RCL Recall Chamar CF Cash Flow Fluxo de caixa � Operações Básicas: Soma, Subtração, Multiplicação e Divisão 1- Efetuar: 2,0 + 8,0 - 1,0 2,0 E N T E R 8,0 + 1,0 - 9,00 2- Efetuar: (2,0 x 8,0) 4,0 2,0 E N T E R 8,0 X 4,0 ( 4,00 3- Efetuar: (4,0 + 8,0) (3,0 + 1,0) 4,0 ENTER 8,0 + 3,0 ENTER 1,0 + ( 3,00 Porcentagem e Diferença Percentual Ex: Efetuar 5,25% de 14.432,00 A tecla % permite o cálculo da porcentagem. 14.342,00 ENTER 5,25 % 757,68 A tecla (% permite o cálculo da diferença percentual entre 2 números. Ex: 1) Calcular o valor da correção monetária de 1974 sabendo que: ORTN - dez/73 - 79,07 ORTN - dez/74 - 105,41 Solução: 79,07 ENTER 105,41 (% 33,31 Logo, 105,41 é 33,31% maior que 79,07. Ex. 2) Realizar as operações: ORTN - jan/76 - 120 ORTN - dez/75 - 100 120 ENTER 100 (% -16,67% Logo 100 é ( 83% de 120. A Troca do Ponto Pela Vírgula A HP-12C fornece a possibilidade de se trocar o ponto pela vírgula, facilitando assim a representação dos números no seu visor. Ex. Seja o número 12456,78. A sua representação no visor HP-12C poderá ser: 12.456,78 (sistema brasileiro) ou 12,456.78 (sistema americano) Vamos agora mostrar como obter essas duas modalidades de representar. Efetuar a seguinte operação: visor 12.456,78 ENTER ( 12.456,78 Para trocar o ponto pela vírgula precisamos realizar as seguintes operações: desligar a máquina apertando ON com a máquina desligada aperte ao mesmo tempo as teclas ON ( solte primeiro a tecla ON e depois a tecla ( Assim teremos: 12,456.78 Fazendo a operação ao contrário, trocar a vírgula pelo ponto. As Funções Calendário Permitem operações com datas de calendário e são bastante úteis no mercado financeiro por possibilitarem o relacionamento das datas de aplicação. o resgate e o prazo de aplicação. A função permite o cálculo do número exato de dias entre 2 datas. A função permite subtrair ou somar um número de dias sobre uma data. ATENÇÃO: Para trabalhar com estas teclas, tome as seguintes providências: fixe o número de casas decimais em 6, para que o visor possa mostrar as datas digitadas; verifique a função azul escolhida - se foi: datas deverão entrar dia-mês-ano - se foi: datas deverão entrar mês-dia-ano Exemplo 1: Calcular o número de dias entre 19/07/81 e 25/12/81. Solução: Fixe o número de casas decimais em 6, apertando e 6 a) com a função azul, efetuamos: g D. MY (D. MY indicado no visor). 19.071981 ENTER Visor 25.121981 g (. DYS ( 159 diasou b) com a função azul, efetuamos: g M. DY 07.191981 ENTER Visor 12.251981 g (. DYS ( 159 dias Observações: A respeito das operações calendário utilizando Datas Futuras ou Passadas. Para determinar a data e o dia, tendo decorrido um certo número de dias a partir de uma dada data: Introduza a data fornecida e pressione ENTER 2. Introduza o número de dias 3. Se a data for no passado, pressione CHS 4. Pressione g DATE DATE * A resposta calculada pela função apresentada num formato especial. Os dígitos do mês e ano (ou dia, mês e ano) são isolados por separadores de dígitos, e o dígito à direita da resposta indica o dia da semana: 1 para segunda-feira e 7 para domingo. � Exemplo 2: Somar 159 dias à data 19/07/81 Solução: Com a função D. MY , efetuamos: g D. MY. (D. MY indicado no visor) 19.071981 ENTER Visor 159 g DATE ( 25.12.1981 5 sexta-feira Observe: O visor vai mostrar ainda, à direita, o número 5, indicando que 25/12/1981 caiu numa 6ª feira, o 5º dia útil da semana. Exercício Proposto: Somar 6 dias à data 23/05/1995. 23.051995 ENTER Visor 6 g DATE ( 29.05.1995 1 segunda-feira Exercício Proposto: Tome a data de seu nascimento e compare com a data de hoje, com o propósito de saber quantos dias você já viveu. Uso de Memórias - As teclas e A tecla serve para guardar e operar valores nas 20 memórias fixas da máq., indexadas de 0 a 9 e .0 a .9. Assim, 20 STO 1 (número 20 guardado na memória 1) 30 STO 2 (número 30 guardado na memória 2) 100 STO 3 A tecla serve para chamar os valores das 20 memórias (0 a 9 e .0 a .9)para o visor (memória x). Assim RCL 1 (número 20, que estava na memória 1, é chamado para o visor). Efetuando a somatória do conteúdo das memórias 1, 2 e 3 acima temos: RCL 1 ENTER RCL 2 + Visor RCL 3 + ( 150 O que acontece quando acionamos RCL ? o conteúdo da memória chamada é transferido para o visor (memória x) o conteúdo de x é transferido para y o conteúdo de y é transferido para z o conteúdo de z é transferido para t o conteúdo de t é perdido. Exemplo 1 - Avaliar a expressão: (5+4)² (2+1)² Solução: 5 ENTER 4 + 2 Y STO 1 (numerador guardado na memória 1) 2 ENTER 1 + 2 Y STO 2 (numerador guardado na memória 2) RCL 1 RCL 2 (chamar denominador para x, e colocar o numerador em y) Visor ( (efetua a divisão). 9 ATENÇÃO: Além dessa finalidade, a tecla também é usada para verificação de valores contidos nas 5 teclas financeiras , , , , Exemplo: PV = 100 STO 1 FV = 158 STO 2 n = 6 STO 3 i = 2 STO 4 PMT = 36 STO 5 Fazendo a Digitação: 100 PV STO 1 158 FV STO 2 6 n STO 3 2 i STO 4 36 PMT STO 5 Recuperando o PV e FV: RCL PV 100 RCL FV 158 Limpeza dos Registros da Máquina A limpeza da HP-12C é feita através de diversas teclas ou funções, conforme explicado a seguir. CLx - limpa apenas o visor (memória) Fin f x y - limpa apenas o conteúdo das memórias financeiras, isto é, coloca zeros para n , i , PV , PMT e FV Reg f CLx - limpa de uma só vez, os seguintes conteúdos: X, Y, Z, T (memória temporária) 0 a 9; e .0 a .9 (memórias fixas) • n , i , PV , PMT e FV (memórias financeiras) Prefix f cancela o prefixo f ou g PRGM f R ( - limpa os programas que estão guardados na máquina. Para isso é preciso P/R colocar a HP-12C na fase de programação (acionar as teclas ) e PRGM depois acionar essas teclas de limpeza ( ). As Teclas Financeiras Convenções adotadas: número de períodos de capitalização, expresso em anos, semestre, trimestres, meses, dias. taxa de juros por período de capitalização, expressa em percentagem. valor do principal, ou seja, do capital inicial empregado. valor de cada prestação de série uniforme que ocorre em cada período. Essa série pode ser postecipada ou antecipada. valor do montante após n períodos de capitalização, à taxa de juros i. Se a função adotada for , a série uniforme será postecipada (ocorrerá nos fins dos períodos). Este esquema obedece aos padrões clássicos da Matemática Financeira e foi adotado nas tabelas financeiras e no desenvolvimento de nossos módulos. Se a função azul adotada for , a série será antecipada (ocorrerá nos inícios dos períodos), e a palavra BEGIN é indicada no visor. Atenção: A máquina HP-12C sempre inter-relaciona os 5 elementos: n, i, PV, PMT e FV. Por exemplo, no caso de PV = valor atual de FV + valor atual da série uniforme PMT. Os problemas que envolvem 4 elementos são resolvidos com anulação do 5º elemento, que não participa do problema. Os valos de n e i devem ser expressos em unidades compatíveis. (Se n estiver em meses, i deverá ser informado em % ao mês, se n estiver em dias, i será informado em % ao dia. O valor de n não precisa ser inteiro; a máquina HP-12C aceita o valor fracionário. É preciso convencionar-se o sinal para o fluxo de caixa. Cálculo dos Juros Simples A HP-12C calcula os juros simples na base de 360 dias e na base de 365 dias, simultaneamente. Você pode apresentar qualquer um dos resultados, como indicado em seguida. Além disso, se o valor dos juros acumulados estiver no visor, você poderá calcular a quantia total (montante), bastando pressionar + Exemplo: Você possui um bom amigo que precisa de um empréstimo para iniciar um empreendimento e lhe pediu emprestado $ 45.000,00 por 60 dias. Você emprestou o dinheiro a juros simples de 7% a.a.. No fim de 60 dias qual será os juros acumulados e a quantia total que le lhe devolverá? Pressione Visor 60 n 60.00 Armazena o número de dias 7 i 7.00 Armazena a taxa de juro anual 45000 CHS PV -45.000.00 Armazena o principal f INT 525.00 Juros acumulados, na base de 360 dias. + 45.525.00 Valor total - montante No exemplo anterior, seu amigo concordou em pagar 7% de juros, mas solicitou que você os calculasse na base de 365 dias. Qual deverá ser o valor dos juros acumulados e qual o valor a ser reposto? Pressione Visor 60 n 60.00 Armazena o número de dias 7 i 7.00 Armazena a taxa de juro anual 45000 CHS PV -45.000.00 armazena o principal f INT R( x(y 517.81 Juros acumulados, na base de 365 dias. + 45.517.81 Valor total - montante TABELAS FINANCEIRAS Na utilização das Tabelas Financeiras considerar as seguintes notações e seus respectivos significados: FPS (dadoo valor presente encontrar o montante) ( S/PV ( (1 + i)n FSP (dado o montante encontrar o valor presente) ( PV/S ( 1/(1 + i)n FPR (dado o valor presente encontrar o PMT) ( PMT/PV ( 1/(a n( i) FRP (dado o PMT encontrar o valor presente) ( PV/PMT ( a n( i FRS (dado o PMT encontrar o montante) ( FV/PMT ( S n( i FSR (dado o montante encontrar o valor futuro) ( PMT/FV ( 1/(S n( i) � TABELA FINANCEIRA DE 3% n FPS FSP FPR FRP FRS FSR n 1 1,030000 0,970874 1,030000 0,970874 1,000000 1,000000 1 2 1,060900 0,942596 0,522611 1,913470 2,030000 0,492611 2 3 1,092727 0,915142 0,353530 2,828611 3,090900 0,323530 3 4 1,125509 0,888487 0,269027 3,717098 4,183627 0,239027 4 5 1,159274 0,862609 0,218355 4,579707 5,309136 0,188355 5 6 1,194052 0,837484 0,184598 5,417191 6,468410 0,154598 6 7 1,229874 0,813092 0,160506 6,230283 7,662462 0,130506 7 8 1,266770 0,789409 0,142456 7,019692 8,892336 0,112456 8 9 1,304773 0,766417 0,128434 7,786109 10,159106 0,098434 9 10 1,343916 0,744094 0,117231 8,530203 11,463879 0,087231 10 11 1,384234 0,722421 0,108077 9,252624 12,807796 0,078077 11 12 1,425761 0,701380 0,100462 9,954004 14,192030 0,070462 12 13 1,468534 0,680951 0,094030 10,634955 15,617790 0,064030 13 14 1,512590 0,661118 0,088526 11,296073 17,086324 0,058526 14 15 1,557967 0,641862 0,083767 11,937935 18,598914 0,053767 15 16 1,604706 0,623167 0,079611 12,561102 20,156881 0,049611 16 17 1,652848 0,605016 0,075953 13,166118 21,761588 0,045953 17 18 1,702433 0,587395 0,072709 13,753513 23,414435 0,042709 18 19 1,753506 0,570286 0,069814 14,323799 25,116868 0,039814 19 20 1,806111 0,553676 0,067216 14,877475 26,870374 0,037216 20 TABELA FINANCEIRA DE 4% n FPS FSP FPR FRP FRS FSR n 1 1,040000 0,961538 1,040000 0,961538 1,000000 1,000000 1 2 1,081600 0,924556 0,530196 1,886095 2,040000 0,490196 2 3 1,124864 0,888996 0,360349 2,775091 3,121600 0,320349 3 4 1,169859 0,854804 0,275490 3,629895 4,246464 0,235490 4 5 1,216653 0,821927 0,224627 4,451822 5,416323 0,184627 5 6 1,265319 0,790315 0,190762 5,242137 6,632975 0,150762 6 7 1,315932 0,759918 0,166610 6,002055 7,898294 0,126610 7 8 1,368569 0,730690 0,148528 6,732745 9,214226 0,108528 8 9 1,423312 0,702587 0,134493 7,435332 10,582795 0,094493 9 10 1,480244 0,675564 0,123291 8,110896 12,006107 0,083291 10 11 1,539454 0,649581 0,114149 8,760477 13,486351 0,074149 11 12 1,601032 0,624597 0,106552 9,385074 15,025805 0,066552 12 13 1,665074 0,600574 0,100144 9,985648 16,626838 0,060144 13 14 1,731676 0,577475 0,094669 10,563123 18,291911 0,054669 14 15 1,800944 0,555265 0,089941 11,118387 20,023588 0,049941 15 16 1,872981 0,533908 0,085820 11,652296 21,824531 0,045820 16 17 1,947900 0,513373 0,082199 12,165669 23,697512 0,042199 17 18 2,025817 0,493628 0,078993 12,659297 25,645413 0,038993 18 19 2,106849 0,474642 0,076139 13,133939 27,671229 0,036139 19 20 2,191123 0,456387 0,073582 13,590326 29,778079 0,033582 20 � TABELA FINANCEIRA DE 5% n FPS FSP FPR FRP FRS FSR n 1 1,050000 0,952381 1,050000 0,952381 1,000000 1,000000 1 2 1,102500 0,907029 0,537805 1,859410 2,050000 0,487805 2 3 1,157625 0,863838 0,367209 2,723248 3,152500 0,317209 3 4 1,215506 0,822702 0,282012 3,545951 4,310125 0,232012 4 5 1,276282 0,783526 0,230975 4,329477 5,525631 0,180975 5 6 1,340096 0,746215 0,197017 5,075692 6,801913 0,147017 6 7 1,407100 0,710681 0,172820 5,786373 8,142008 0,122820 7 8 1,477455 0,676839 0,154722 6,463213 9,549109 0,104722 8 9 1,551328 0,644609 0,140690 7,107822 11,026564 0,090690 9 10 1,628895 0,613913 0,129505 7,721735 12,577893 0,079505 10 11 1,710339 0,584679 0,120389 8,306414 14,206787 0,070389 11 12 1,795856 0,556837 0,112825 8,863252 15,917127 0,062825 12 13 1,885649 0,530321 0,106456 9,393573 17,712983 0,056456 13 14 1,979932 0,505068 0,101024 9,898641 19,598632 0,051024 14 15 2,078928 0,481017 0,096342 10,379658 21,578564 0,046342 15 16 2,182875 0,458112 0,092270 10,837770 23,657492 0,042270 16 17 2,292018 0,436297 0,088699 11,274066 25,840366 0,038699 17 18 2,406619 0,415521 0,085546 11,689587 28,132385 0,035546 18 19 2,526950 0,395734 0,082745 12,085321 30,539004 0,032745 19 20 2,653298 0,376889 0,080243 12,462210 33,065954 0,030243 20 TABELA FINANCEIRA DE 6% n FPS FSP FPR FRP FRS FSR n 1 1,060000 0,943396 1,060000 0,943396 1,000000 1,000000 1 2 1,123600 0,889996 0,545437 1,833393 2,060000 0,485437 2 3 1,191016 0,839619 0,374110 2,673012 3,183600 0,314110 3 4 1,262477 0,792094 0,288591 3,465106 4,374616 0,228591 4 5 1,338226 0,747258 0,237396 4,212364 5,637093 0,177396 5 6 1,418519 0,704961 0,203363 4,917324 6,975319 0,143363 6 7 1,503630 0,665057 0,179135 5,582381 8,393838 0,119135 7 8 1,593848 0,627412 0,161036 6,209794 9,897468 0,101036 8 9 1,689479 0,591898 0,147022 6,801692 11,491316 0,087022 9 10 1,790848 0,558395 0,135868 7,360087 13,180795 0,075868 10 11 1,898299 0,526788 0,126793 7,886875 14,971643 0,066793 11 12 2,012196 0,496969 0,119277 8,383844 16,869941 0,059277 12 13 2,132928 0,468839 0,112960 8,852683 18,882138 0,052960 13 14 2,260904 0,442301 0,107585 9,294984 21,015066 0,047585 14 15 2,396558 0,417265 0,102963 9,712249 23,275970 0,042963 15 16 2,540352 0,393646 0,098952 10,105895 25,672528 0,038952 16 17 2,692773 0,371364 0,095445 10,477260 28,212880 0,035445 17 18 2,854339 0,350344 0,092357 10,827603 30,905653 0,032357 18 19 3,025600 0,330513 0,089621 11,158116 33,759992 0,029621 19 20 3,207135 0,311805 0,087185 11,469921 36,785591 0,027185 20 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS PÁGINA 13: 01 – a) $180.000,00 e b) $130.000,00 02 - $1.500,00 03 – 14 anos 04 - $133.422,67 05 - $146.121,43 06 - $91.157,14 07 – 8 meses 08 - $9.071,97 PÁGINA 16: 01 - $3.840,00 02 - $960,00 03 – 3% a.m. 04 - $600,00 05 – 3 meses 06 – 3,125% a.m. 07 – 3 meses 08 - $64.330,00 09 – a) $304,80 b) 5,64% a.m. e c) 6,25% a.m. 10 – a) $113.169,00 e b) 1,32% a.m. 11 - $1.598,40 PÁGINA 21: 01 - $1.708.984,38 02 - $7.386.414,98 03 - $3.216,87 04 - $2.364,21 05 - $1.306.526,02 06 - $87.149,37 07 - $1.270,49 08 – 2 anos, 11 meses e 29 dias ( 3 anos. 09 – 1 ano, 11 meses e 13 dias ( 704 dias. 10 – 1 ano e 3 meses = 5 trimestres 11 – 8% a.m. 12 – 2 anos 13 – 2% a.m. 14 – 3% a.m. 15 - $724.569,58 PÁGINA 32: 01 - $39.120,00 02 – VP = $533.473,16 e TIR = 8% a.m. PÁGINA 35:
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