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Lista 2 (2013/2) 1. Explique, com suas palavras, o significado da equação lim x→2 f(x) = 5 É possível, diante da equação acima, que f(2) seja igual a 3? Explique. 2. Explique o que significa dizer que lim x→1− f(x) = 3 e lim x→1+ = 7 Nessa situação, é possível que limx→1 exista? Explique. 3. Esboce o gráfico da função a seguir e use-o para determinar os valores de a para os quais limx→a f(x) existe: f(x) = 2− x se x < −1 x se − 1 ≤ x < 1 (x− 1)2 se x ≥ 1 4. Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas: (a) lim x→3+ f(x) = 4, lim x→3− f(x) = 2, lim x→−2 f(x) = 2, f(3) = 3, f(−2) = 1 (b) lim x→0− f(x) = 1, lim x→0+ f(x) = −1, lim x→2− f(x) = 0, lim x→2+ f(x) = 1, f(2) = 1, f(0) não está definida 5. Determine os limites infinitos (a) lim x→5+ 6 x− 5 (b) lim x→5− 6 x− 5 (c) lim x→3 1 (x− 3)8 (d) lim x→0 (x− 1) x2(x+ 2) (e) lim x→−2+ (x− 1) x2(x+ 2) (f) lim x→−2− (x− 1) x2(x+ 2) Obs: notem que a reta x = 5 nas letras (a) e (b), a reta x = 3 na letra (c) e as retas x = −2 e x = 0 nas letras (d), (e) e (f) são assíntotas verticais. 1 6. Determine as assíntotas verticais da função y = x x2 − x− 2 7. Calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique o por quê: (a) lim x→1 ( x4 + x2 − 6 x4 + 2x+ 3 )8 (b) lim u→−2 √ u4 + 3u+ 6 (c) lim x→−3 x2 − x− 12 x+ 3 (d) lim x→1 x2 + x− 2 x2 − 3x+ 2 (e) lim h→0 (h− 5)5 − 25 h (f) lim h→0 (2 + h)3 − 8 h (g) lim x→−4 |x+ 4| x+ 4 (h) lim x→1,5 2x2 − 3x |2x− 3| (i) lim t→0 √ 2− t−√2 t (j) lim x→1 √ x− x2 1−√x 8. Encontre o limite. (a) lim r→∞ r4 − r2 + 1 r5 + r3 − r (b) lim t→−∞ 6t2 + 5t (1− t)(2t− 3) (c) lim x→∞ √ 1 + 4x2 4 + x (d) lim x→∞ 1−√x 1 + √ x (e) lim x→∞ ( √ x2 + 1− √ x2 − 1) (f) lim x→∞ (x−√x) (g) lim x→∞ x7 − 1 x6 + 1 2 9. Esboce o gráfico de um exemplo de uma função que satisfaça todas as condições dadas. (a) f(0) = 0, f(1) = 1, lim x→∞ f(x) = 0, f é ímpar (b) lim x→0+ f(x) =∞, lim x→0− f(x) = −∞, lim x→∞ f(x) = 1, lim x→−∞ f(x) = 1 (c) lim x→2 f(x) = −∞, lim x→∞ =∞, lim x→−∞ f(x) = 0, lim x→0+ f(x) =∞, lim x→0− f(x) = −∞ (d) lim x→−2 f(x) =∞, lim x→−∞ f(x) = 3, lim x→∞ f(x) = −3 10. Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Em seguida, esboce o gráfico. (a) y = x x+ 4 (b) y = x3 x2 + 3x− 10 (c) y = x2 + 4 x2 − 1 (d) y = x3 + 1 x3 + x (e) y = x 4 √ x+ 4 (f) y = x− 9√ 4x2 + 3x+ 2 11. Utilizando o teorema do confronto, resolva as seguintes questões. (a) Demonstre que lim x→0 x4 cos 2 x = 0 (b) Se 3x ≤ f(x) ≤ x3 + 2 para 0 ≤ x ≤ 2, encontre lim x→1 f(x) (c) Determine lim x→−∞ cos2(pix) 5x+ 3 (d) Determine lim x→∞ x8(1 + cos2(3x)) 5 + x4 3
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