Cálculo III - Exercícios de A1 a A10 - 2018.1

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Disciplina: CEL0499 - CÁLCULO III - EX_A1 11/05/2018 17:54:03 
1a Questão 
(h tendendo a zero) 
Nenhuma das respostas anteriores 
(- sen t, cos t , 1) 
(sen t, cos t , 1) 
(- sen t, cos t , t) 
(- cos t, sen t , 1) 
2a Questão 
Determine a parametrização da cicloide. 
s(t) = ( sen q, r cos q) , q Î Â. 
s(t) = (r (q -cos q), r (1 -sen q)) , q Î Â. 
s(t) = (r (q - sen q), r (1 - cos q)) , q Î Â. 
s(t) = (r (q - sen q), r ( cos q)) , q Î Â. 
Nenhuma das respostas anteriores 
3a Questão 
Seja F→(t)=(cost,sent). Determine lim(h→0)F→(t+h)-F→(t)h 
0 
( - sen t, - cos t)
( sen t, - cos t) 
1 
( -sent, cos t)
4a Questão 
Determine a parametrização da hélice circular sabendo que é a curva descrita por um ponto P = 
(x,y,z) que se move em torno do eixo z mantendo uma distância constante a > 0 desse 
eixo. Sabemos também que simultaneamente ela se move paralelamente ao eixo z de modo que sua 
terceira componente é proporcional ao ângulo de rotação com constante de proporcionalidade b≠ 0. 
Considerando o início do movimento em P = (0,0,0). 
s(t) = (cos q, sen q, bq) , q ∈ Â. 
s(t) = (r/q sen q, r/q sen q, b) , q ∈ Â. 
s(t) = (r cos q, cos q,sen bq) , q ∈ Â. 
s(t) = (r sen q, r cos q, bq) , q ∈ Â. 
s(t) = (r cos q, r sen q, bq) , q ∈ Â. 
Explicação: 
s(t) = (r cos q, r sen q, bq) , q ∈ Â. 
A componente x = r cos q e y = r sen q representa a componente da circunferência e a componente z 
= bq representa a altura da hélice circular. 
q representa o ângulo de rotação 
 
 
 5a Questão 
 
 
 Seja x = 3t - 4 e y = 6 -2t Determine a equação cartesiana da curva. 
 
 3y + 2x - 10 = 0 
 4xy - 34x = 0 
 Nenhuma das respostas anteriores 
 3y + 2x2 -10 = 0 
 Não representa nenhuma curva. 
 
 
 6a Questão 
 
 
 Determine a parametrização para a função f(x) = x 2 , utilizando a parametrização natural. 
 
 (t, t 2) 
 Nenhuma das respostas anteriores 
 (a sent , a cos t) 
 (t, log t) 
 ( t,t) 
 
 
 7a Questão 
 
 
 Seja a função σ(t) contínua no intervalo I, o ponto final P do vetor σ(t)=(x(t),y(t),z(t)) descreve a 
curva C no R3 para cada t ∈ I . Obtemos um ponto P= (x,y,z) ∈ C onde x= x(t), y = (t) e z = z(t). Esta 
equação é dita equação paramétrica da curva C e t é o parâmetro. Podemos afirmar sobre a 
parametrização de uma curva que: 
 
 Existem sempre duas maneiras de parametrizar uma curva. 
 Temos n - 2 maneiras de parametrizar uma curva. 
 A parametrização de uma curva não é única. 
 A parametrização de uma curva é única. 
 Existe sempre n-1 maneiras de parametrizar uma curva. 
 
 
Explicação: 
Podemos afirmar que a parametrizacao não é única 
 
 
 8a Questão 
 
 
 Determine a parametrização natural da equação da reta y = 6x + 9. 
 
 s(t) = (2t ,6t+9). 
 s(t) = (t ,6t+9). 
 s(t) = (t ,t). 
 s(t) = (t ,t+9). 
 Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
 
Disciplina: CEL0499 - CÁLCULO III - EX_A2 11/05/2018 17:54:03 
 
 
 
1. 
 
 
Determine respectivamente os vetores velocidade, velocidade escalar e aceleração 
correspondes a função (4 + cos 2t, 2 + sen 2t) esta representa a posição de uma 
partícula. 
 
 
V(t) = (-2 sen 2t, 2 cos 2t), v(t)= 2 e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
V(t) = (- sen 2t, cos 2t), v(t)= 0 e A(t) = (-cos 2t, - sen 2t) 
 
V(t) = (sen 2t, cos 2t), v(t)= (2 cos t, 4 sen t) e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) 
 
V(t) = (2t, 2 cos 2t), v(t)= 2cost e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) 
 
 
2. 
 
 
Dada a função  (t) = (t2 , cos t, t3) então o vetor derivada será? 
 
 
(2t , cos t, 3t2) 
 
(2t , - sen t, 3t2) 
 
(2 , - sen t, t2) 
 
(t , sen t, 3t2) 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
3. 
 
 
 Seja a função vetorial F = t i + (t2 +3)j. Calcule o limite de F quando t tendendo a 
zero. 
 
 
(9,4) 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
(4,4) 
 
(0,3) 
 
(10,9) 
 
 
 
4. 
 
 
Sabendo que a circunferência de raio r tem como parametrização (r cos t, r sen t) , 
0 ≤ t ≤ 2 π. Determine o comprimento desta circunferência. 
 
 
2 π 
 
4 π r / 3 
 
2π r 
 
4 π 
 
π2 
 
 
5. 
 
 
Dada a função vetorial r(t) = senti+costj+tk, determine o comprimento da curva 
entre 0≤t≤π4 . 
 
 
2π4 
 
2π8 
 
2π2 
 
2π 
 
2π16 
 
6. 
 
 
Determine o limite da função (t , cos t, (8-t3)/(4-t2)) quando t tende a 2. 
 
 
(2,cos 2, 3) 
 
(2,cos 4, 5) 
 
(2,0, 3) 
 
(2,sen 1, 3) 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
7. 
 
 
Sabendo que cos t, sen t, 2) representa o vetor posição de uma partícula que se 
move em cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração A(t). 
 
 
V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (cos t, - sen t , 0 ) 
 
V(t) = (- sen t, cos t, 0) e A(t) = ( - cos t, - sen t, 0) 
 
V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (- cos t, - sen t , 0 ) 
 
V(t) = ( sen t, cos t, 0) e A(t) = ( cos t, sen t , 0 ) 
 
V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (- cos t, sen t , 0 ) 
 
8. 
 
 
Dada a seguinte equação Z=((3t)2-4t)i+(1+2t)j+2tk , as equações paramétricas que 
representa ela são: 
 
 x = ((3t)2-4t) e y = (1+2t) 
 x = ((3t)2-4t) e y = (4t)2+2t e Z = 2t 
 x = ((6t)2-2t) e y = 2t 
 x=t+1 e y=t2+2t 
 x = ((3t)2-4t) e y = 2t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: CEL0499 - CÁLCULO III - EX_A3 11/05/2018 17:54:03 
 
 
 
1a Questão 
 
 Sabendo que a parametrização da hélice C é determinada por r(t) = (cos 2t, sem 2t, 
4t), t ∈ [0,4π], determine o comprimento da hélice C. 
 
 20 
 20 π 
 π 
 4 π 
 4sqrt20 π 
 
 2a Questão 
 
 A curvatura da função vetorial r(t)=t3i+t2j+tk, avaliada no ponto t = 2 está mostrada em: 
 
 1.73 
 0.166 
 1 
 0.01316 
 1.41 
 
 
 3a Questão 
 
 Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente, as estradas A e B, tendo seus movimentos 
descritos por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t >= 0 (maior ou igual a 
zero). Sabendo que o limite de velocidade na estrada onde os carros estão percorrendo é de 
80 Km/h, determine se algum dos carros será multado e se for o caso qual deles será 
multado. 
 
 Nenhum dos dois carros será multado 
 O carro R2 será multado. 
 Nenhuma das respostas anteriores 
 O carro R1 será multado. 
 Os dois carros R1 e R2 recebem multa por estar acima de 80 km/h. 
 
 
 4a Questão 
 
 Calcular a reta tangente para a curva s(t) = (t3,t2, t) no ponto P=(1,1,1) 
 
 x = 3t+1 y= 2t+1 
 x(t) = 3t+1 y(t)= 2t+1 z(t)= t+1 
 x = 3t+1 y= 2t+1 z=2t+1 
 Nenhuma das respostas anteriores 
 x = 3t+1 
 
 
 
 
5a Questão 
Dada a função vetorial r(t) = senti + costj + tk, determine o vetor normal que representa a 
curva entre 0≤ t≤π4. 
N(t) = senti + costj + 1 
N(t) = -senti-costj4 
N(t) = -senti-costj2 
N(t) = -sent-cost 
N(t) = -senti-costj 
6a Questão 
Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente, as estradas A e B, tendo seus 
movimentos descritos por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t >= 0 (maior 
ou igual a zero). Observando o tempo que cada carro chega ao ponto P conclua quem 
chega primeiro. 
O carro R1 chega primeiro de que o carro R2 
Nenhuma das respostas anteriores 
Os dois carros chegam juntos 
Os dois carros não conseguem chegar 
O carro R2 chega primeiro de que o carro R1 
7a Questão 
Analisando a equação z = sen y podemos afirmar que: 
I - O gráfico é um plano. 
II - o gráfico é um cilindro.III - A diretriz do cilindro no plano yz tem como equação z = sen y. 
IV - A geratriz do cilindro paralela ao eixo x. 
Podemos afirmar que I, II, III e IV são Verdadeiras. 
Podemos afirmar que I é verdadeira e II, III e IV são falsas. 
Podemos afirmar que I, II, III e IV são falsa. 
Podemos afirmar que I é falsa e II, III e IV são verdadeiras. 
Podemos afirmar que I, III, são verdadeiras. III e IV são falsas. 
Disciplina: CEL0499 - CÁLCULO III - EX_A4 11/05/2018 17:54:03 
 
 
1a Questão 
 
 Analisando a equação z = sen y podemos afirmar que: 
I - O gráfico é um plano. 
II - o gráfico é um cilindro. 
III - A diretriz do cilindro no plano yz tem como equação z = sen y. 
IV - A geratriz do cilindro paralela ao eixo x. 
 
 Podemos afirmar que I, III, são verdadeiras. III e IV são falsa. 
 Podemos afirmar que I, II, III e IV são Verdadeiras. 
 Podemos afirmar que I é verdadeira e II, III e IV são falsas. 
 Podemos afirmar que I, II, III e IV são falsa. 
 Podemos afirmar que I é falsa e II, III e IV são verdadeiras. 
 
 2a Questão 
 
 Analisando a equação 2x + 3 y + 4z = 12 podemos afirmar que: 
I - o traço no plano xy é dada por 2x+ 3y = 12. 
II - o traço no plano yz é dado por 3y + 4z= 12 
III - o traço no plano xz é dado por 2x + 4z = 12 
IV - Temos (6,0,0) como interseção com o eixo x, (0,4,0) interseção com o eixo y e (0,1 , 
3) interseção com o eixo z. 
 
 I, II, sao falsas. III, IV são verdadeiras 
 I, II, III, e IV sao verdadeiras 
 I, II, sao Verdadeiras. III, IV são falsas 
 I, II, III são verdadeiras e IV é falsa 
 I, II, III, e IV sao falsas 
 
 3a Questão 
 
 Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( -3, 2, 5 ) e tem N = 
< 6, -3, -2 > como vetor normal? 
 6x + 3y + 2z + 34 = 0 
 3x - 2y - 6z = 0 
 3x + 2y + 6z + 17 = 0 
 3x - 2y - 6z + 17 = 0 
 6x - 3y - 2z + 34 = 0 
 
 
 
 4a Questão 
 
 Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 3, 0, 0 ), ( 0, 3, 0 
) e ( 0, 0, 3 ) ? 
 6x - 3y - 2z + 3 = 0 
 6x + 10y + 15z - 30 = 0 
 x + 2y + 3z - 9 = 0 
 x + 2y - 3z + 1 = 0 
 x + y + z - 3 = 0 
5a Questão 
Analisando a equação 2x + 3 y + 4z = 12 podemos afirmar que: 
I - o traço no plano xy é dada por 2x+ 3y = 12. 
II - o traço no plano yz é dado por 3y + 4z= 12 
III - o traço no plano xz é dado por 2x + 4z = 12 
IV - Temos (6,0,0) como interseção com o eixo x, (0,4,0) interseção com o eixo y e (0,1 , 
3) interseção com o eixo z.
I, II, são Verdadeiras. III, IV são falsas 
I, II, são falsas. III, IV são verdadeiras 
I, II, III, e IV sao verdadeiras 
I, II, III, e IV sao falsas 
I, II, III são verdadeiras e IV é falsa 
6a Questão 
Seja 4y + 2z - 12 = 0. Esta equação define 
Nenhuma das respostas anteriores 
É uma esfera 
É um cilindro reto 
Um plano paralelo ao eixo x, interceptando o eixo y em (0,3,0) e z em (0,0,6). 
Um plano paralelo ao eixo x, interceptando o eixo y em (0,0,0) e z em (0,0,6). 
7a Questão 
Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 4, 0, 0 ), ( 0, 2, 0 
) e ( 0, 0, 1 ) ? 
6x + 10y + 15z - 30 = 0 
x + y + z - 3 = 0 
x + 2y + 4z - 4 = 0 
6x - 3y - 2z + 34 = 0 
x + 2y - 3z + 1 = 0 
8a Questão 
Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( 0, -1, 2 ) e tem N = 
< 0, 1, -1 > como vetor normal? 
x + y + z - 3 = 0 
x - y + z = 0 
x + y + z + 3 = 0 
x - y + 3 = 0 
y - z + 3 = 0 
Disciplina: CEL0499 - CÁLCULO III - EX_A5 11/05/2018 17:54:03 
 
 
 1a Questão 
 
 Determine o traço do elipsóide no plano xy 
 
 Plano xy - Elipse 
 Plano xy - reta 
 Plano xy - vazio 
 Plano xy - plano 
 Nenhuma das respostas anteriores 
 
 2a Questão 
 
 Considere a superfície de revolução obtida pela rotação de z = x2 em torno do eixo z. 
Podemos afirma que: 
I - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta parábola em 
torno do eixo z é um parabolóide circular. 
II - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta parábola em 
torno do eixo z é um cone. 
III - z = x2 é uma reta e a superfície de revolucoa obtida pela rotacao desta parábola em 
torno do eixo z é um cone. 
 
 I, II e III são verdadeiras 
 II é verdadeira. I e III são falsas 
 III é verdadeira. I e II falsas 
 I, II, III são falsas 
 I é verdadeira . II e III são falsas 
 
 
 3a Questão 
 
 Qual das equações abaixo representa um hiperbolóide elíptico de uma folha? 
 9x2 - 4z2 - 36y = 0 
 4x2 + 9y2 + z2 = 36 
 x2 = y2 - z2 
 9x2 - 4y2 + 36z2 = 36 
 x2 + 16z2 = 4y2 - 16 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 Identifique a superfície quadrática representada pela equação: 2 x2 + 4 y2 + z2 - 16 = 0 
 
 elipsoide 
 parabolóide 
 esfera 
 Cone 
 Parabola 
 
5a Questão 
Qual das parametrizações abaixo é a parametrização da elipse (x/a)2 +(y/b)2= 1, x maior 
ou igual a zero. 
(a sen t, b cos t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
Nenhuma das respostas anteriores 
(cos t, sen t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
(a cos t, b sen t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
(a sen t+ c, b cos t + d) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
Ref.: 201603604155 
6a Questão 
 Identifique a opção que relaciona figura e equação de forma correta 
-(x/a)2 + (y/b)2 -(z/c)2 = 1 
Nenhuma das respostas anteriores 
x2 + y2+ z2 = r2
(x/r)2+(y/r)2- cz2 = 0 
-(x/a)2 +(y/b)2 -(z/c)2= 1 
7a Questão 
Podemos afirmar que: 
I - (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse 
x2 / a2) +(y2 / b2)= 1 
 II - (x2 / a2) +(y2 / b2) + (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a 
elipse x2 / a2) +(y2 / b2)= 1 . 
III- (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xz é
a hiperbole x2 / a2) -(z2 / c2)= 1
I e III são falsas e II verdadeira 
I, II e III sao verdadeiras 
I e III sao verdadeiras e II falsa. 
I, II e III são falsas 
I e II sao verdadeiras e III falsa. 
Disciplina: CEL0499 - CÁLCULO III - EX_A6 11/05/2018 17:54:03 
1a Questão 
Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) tende a (0,0). 
O limite existe e tem valor zero 
Nenhuma das respostas anteriores 
O limite existe e tem valor 4 
O limite não existe 
O limite existe e tem valor 5 
2a Questão 
Descreva o domínio da função z=(x+y-2)1/2 
{(x,y) Î Â2| x+y ≥ 2} 
Nenhuma das respostas anteriores 
 {(x,y) Î Â2| x+y = 2} 
{(x,y) Î Â3| x+y ≥ - 2} 
{(x,y) Î Â2| x+y2 ≥ 2} 
3a Questão 
A representação gráfica do domínio da função f dada por 
f(x,y) = (y-x)1/2 + (1-y)1/2 
um ponto na origem 
Nenhuma das respostas anteriores 
uma parábola passando na origem. 
4a Questão 
Determine caso exista o limite da função (x2y)/(x2+y2) quando (x,y) tende a (0,0). 
tende a 1 
Nenhuma das respostas anteriores 
tende a zero 
tende a 9 
tende a x 
5a Questão 
Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) tende a (1,2). 
3 
7/9 
5/6 
Nenhuma das respostas anteriores 
3/6 
6a Questão 
Seja f(x,y) = 5xy + 3 x2 . Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,1). 
O limite será 5x 
O limite será 0. 
O limite será 8. 
O limite será 8xy. 
O limite será 5. 
7a Questão 
Considere a função de produção P = L 0,5 K 0,5 , em que L representa o trabalho envolvido e 
K o capital. As curvas de nível c = 1 e c = 2 são: 
Nenhuma das respostas anteriores8a Questão 
Seja f(x,y) = xy + 3 xy2. Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,2). 
O limite será 14xy. 
O limite será 0. 
O limite será xy. 
O limite será 14. 
O limite será 1. 
Disciplina: CEL0499 - CÁLCULO III - EX_A7 11/05/2018 17:54:03 
1a Questão 
Determine a taxa e variação de f (x,y,z) = xz/ (x2+y2 + 1) no ponto (1,0, -1) na direção do 
vetor u = r ' (t) onde r(t) = (t, 1 + 2t, -1 + t). 
2 
6 /12 
2 
6 
1/2 
2a Questão 
Dada a função de várias váriáveis f(x,y) = 2 x2 y2 - 3y, determine o limite de f(x,y) quando 
(x,y) tende a (-1,2). 
O limite será 9. 
O limite será 2. 
O limite será 0. 
O limite será 3. 
O limite será 7. 
3a Questão 
Seja f(x,y) = 2xy - 4y. Calcule fx e fy 
Nenhuma das respostas anteriores 
fx = 2x e fy = 2xy 
fx = 2y e fy = 2x - 4x 
fx = 2y e fy = 2x 
fx = 2y e fy = 2x - 4 
4a Questão 
Um trem sai de SP. A equação que representa a posição dos trens são TRJ=(-t,t
2) com t
maior ou igual a zero. Determine a velocidade escalar mínima do trem 
v(t) = 50 
v(t) = 1 
v(t) = 20 
v(t) =30 
Nenhuma das respostas anteriores 
5a Questão 
Suponha f(x,y) ≤ g(x,y) ≤ h(x,y) e o limite de f(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a 
(0,0) e o limite de h(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) podemos afirmar que: 
limite de g(x,y) é igual a 10 quando (x,y) tende a (0,0) 
limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 3 quando (x,y) tende a (0,0) 
limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) 
limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 7 quando (x,y) tende a (0,0) 
limite de g(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) 
6a Questão 
F = (x+y)/(x-y) tem domínio D todos os pares ordenados (x,y) R2 , tais que: 
Df={ (x,y) R2/ x y } 
Df={ (x,y) R2/ x < y } 
Nenhuma das respostas anteriores 
Df={ (x,y) R2/ x 
Df={ (x,y) R2/ x y } 
7a Questão 
Podemos afirmar sobre a parametrização de uma curva que: 
Nenhuma das respostas anteriores. 
Existe sempre duas maneiras de parametrizar uma curva. 
A parametrização de uma curva é única. 
Existe sempre n-1 maneiras de parametrizar uma curva. 
A parametrização de uma curva não é única. 
>
=
 8a Questão 
 
 
Determine as derivadas parciais fxx e fxy da função f(x,y) = 
 
 fxx = e
x fxy = 4e
2 
 fxx = 4x2 ex fxy = 4x e3 
 fxx = - 4xy + ; fxy = x2 + 
 fxx = 4 x 2 - 2 ; fxy = 4 xy 
 fxx = e
x -1 fxy = 4e
2 
 
 
Explicação: 
 
Se for derivada de exponencial elevado a qualquer coisa é então no seu caso u é o 
que esta no expoente e u ' a derivada dessa função. 
fx = vezes (-2x) 
fy = vezes (-2y) 
fxx = regra do produto = (-2x) * (-2x) + (-2) 
fyy = regra do produto= (-2y) * (-2y) + (-2) 
fxy = regra do produto = . (-2y) (-2x) + . 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: CEL0499 - CÁLCULO III - EX_A8 11/05/2018 17:54:03 
 
 
 1a Questão 
 
 Determine a taxa de variação da função f(x,y,z) = xyz + e(2x+y) no ponto P = (-1,2,1) na 
direção do vetor u =(1,1, 2 ). 
 
 2 - 2 
 3 
 2 2 
 2 
 2 
 
 
 
 2a Questão 
 
 Determine a taxa e variação de f (x,y,z) = xz/ (x2+y2 + 1) no ponto (1,0, -1) na direção do 
vetor u = r ' (t) onde r(t) = (t, 1 + 2t, -1 + t). 
 
 2 
 1/2 
 2 
 6 /12 
 6 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 Seja a curva C definida por y = 2/x. Determine o raio de curvatura de C no ponto (2,1). 
 
 O raio de curvatura é 4 
 O raio de curvatura é (5 sqrt(5) )/ 4 
 O raio de curvatura é 2/3 
 O raio de curvatura é 7 
 O raio de curvatura é 5 / 4 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 Determine a derivadas direcionais, para a função de duas variáveis f(x,y) = x2 y + y(1/2) , 
calcule a taxa de variação no Ponto P = (2,1) na direção do vetor u = (5, - 2) 
 
 8 
 12/3 
 11 / (29)(1/2) 
 5/7 
 2/3 
 
Disciplina: CEL0499 - CÁLCULO III - EX_A9 11/05/2018 17:54:03 
1a Questão 
Determine a curvatura da elipse (x/2)2 +(y/3)2= 1 no ponto (0,3). 
2 
4 
3/4 
5 
Nenhuma das respostas anteriores. 
2a Questão 
Determine a curvatura da função y = x2 na origem 
5 
2 
55 
Nenhuma das respostas anteriores 
4 
3a Questão 
Seja a função de várias variáveis f(x,y) = 1 + x2 + y2, analise a função e encontre seu 
ponto crítico. 
O ponto crítico será (1,0). 
O ponto crítico será (0,1). 
O ponto crítico será (0,0). 
O ponto crítico será (2,1). 
O ponto crítico será (1,2). 
4a Questão 
Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto (3, 1, 2 ) e tem N = < 
1, 2, -3 > como vetor normal? 
-x + 2y + 3z + 1 = 0
-x - 2y + 3z + 1 = 0
2x + 3y - z + 1 = 0 
x + 2y - 3z + 1 = 0 
3x + 2y - z + 1 = 0 
 
 5a Questão 
 
 Seja a função de várias variáveis f(x,y) = 2 x3 + y3 - 3x2 - 3y, analise a função e encontre 
o ponto crítico da função. 
 
 Temos como pontos críticos: (0,-1) 
 Temos como pontos críticos: (0,-1) (0,1), (1,1) e (1,-1) 
 Temos como pontos críticos: (0,-1) (0,1) e (1,-1) 
 Temos como pontos críticos: (0,-1) (0,1)e (1,1) 
 Temos como pontos críticos: (0,1), (1,1) e (1,-1) 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 Com relação a função f(x,y) = 3xy^2+x^3-3x, podemos afirmar que: 
 
 O ponto (1,0) e ponto de Mínimo local. 
 O ponto (1,1) e ponto de Máximo. 
 O ponto (0,1) e ponto de Máximo. 
 O ponto (-1,0) e ponto de Sela. 
 O ponto (0,-1) e ponto de Máximo local. 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos (5, 0, 0 ), ( 0, 3, 0 
) e ( 0, 0, 2 ) ? 
 
 x + 2y + 4z - 4 = 0 
 6x - 3y - 2z + 34 = 0 
 x + y + z - 3 = 0 
 x + 2y - 3z + 1 = 0 
 6x + 10y + 15z - 30 = 0 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 Determine a equação cartesiana para x = t2 - 4; y = 1 - t; 
 
 y = 1 - x 
 x + 1 
 y =x + 4 
 x - 1 
 y = - x - 3 
 
 
Disciplina: CEL0499 - CÁLCULO III - EX_A10 11/05/2018 17:54:03 
1a Questão 
Resolva a equação diferencial abaixo por separação de variáveis. 
dx+e3xdy=0 
y=e3x+C 
y=ex+C 
y=13e-3x+C 
y=13e3x+C 
y=12e3x+C 
2a Questão 
Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema: 
Minimizar x2 + y2 + z2 
Sujeito a: 2x + y + 3z = 6 
Determine a função Lagrangeana do problema dado. 
L(x,y,λ) = - λ (2x + y + 3z - 6) 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 - λ (2x + y + 3z - 6) 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 + λ (2x + y + 3z + 6) 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 + λ (2x + y + 3z - 6) 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 - λ (2x + y + 3z + 6) 
3a Questão 
Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema: 
Maximizar xy 
Sujeito a: x + 2y = 20 
Determine a função Lagrangeana do problema dado. 
L(x,y,λ) = - λ (x + 2y - 20) 
L(x,y,λ) = xy - λ (x + 2y + 20) 
L(x,y,λ) = xy - λ (x + 2y - 20) 
L(x,y,λ) = xy + λ (x + 2y - 20) 
L(x,y,λ) = λ (x + 2y - 20) 
4a Questão 
Determine a curvatura de um círculo de raio a, com centro na origem definida por s(t) = (a 
cos t, a sen t), t pertencendo ao intervalo fechado de [0, 2p] 
1/a 
a/2 
Nenhuma das respostas anteriores 
a 
pi 
5a Questão 
Uma casa retangular deve ser construída num terreno com a forma de triângulo. 
Aplicando o Método dos Multiplicadores de Lagrange chegamos ao seguinte sistema: 
y- λ = 0
x - 2λ = 0 
-x - 2y + 20 = 0
A partir deste sistema determine a área máxima possível para a casa. 
40 m2 
60 m2 
100 m2 
20 m2 
50 m2 
6a Questão 
Analisando as afirmações abaixo, classifique-ascomo verdadeira ou falsa. 
Podemos afirmar que: 
I : - ( x2/ a2) + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa uma hipérbole de uma folha. 
II: - ( x2/ a2) + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa uma hipérbole de duas folha. 
III: - ( x2/ a2) + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa um cone elíptico. 
I, II é verdadeira. III é falsa. 
II é verdadeira. I e II são falsas. 
II é falsa. I e II são verdadeira. 
I , II e II sào falsas. 
I , II e II sào verdadeiras. 
 7a Questão 
 
 A função f(x,y) é dividida em duas partes: (-x3 +y3) ÷ (x3+y3) se (x,y)≠ (0,0) e 0 se (x,y) 
= (0,0). Determine se a função é contínua o (0,0) e o porque da afirmação. 
 
 No ponto (0,0) a função esta definida. Portanto é contínua no ponto (0,0). 
 No ponto (0,0) a função não esta definida, portanto calculamos o limite quando (x,y) 
tende a (0,0) ao longo de cada caminho estipulado e concluímos que o limite não 
existia. Portanto não é contínua no ponto (0,0). 
 No ponto (0,0) a função esta definida, portanto calculamos o limite quando (x,y) 
tende a (0,0) ao longo de cada caminho estipulado e concluímos que 
o limite existia. Portanto é contínua no ponto (0,0). 
 No ponto (0,0) a função esta definida, portanto calculamos o limite quando (x,y) 
tende a (0,0) ao longo de um único caminho e concluímos que 
o limite existia. Portanto é contínua no ponto (0,0). 
 Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 Calcule o comprimento da hélice circular (cos t, sen t , t) , t no intervalo [0,2pi] 
 
 pi 
 3pi 
 2pi 
 2pi (2) 1/2 
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