TEORIA DOS NÚMEROS - Exercício A1 até A10 - 2018.1

Prévia do material em texto

Exercícios Aula1 
Disciplina: CEL0530 - TEORIA DOS NÚMEROS 2018.1 EAD 04/06/2018 20:49:54 
 
1a Questão 
 
 O número 43Y72 é divisível por 6 se Y for o algarismo: 
 
 3 
 4 
 2 
 0 
 1 
 
 
 2a Questão 
 
 
 Substitua as letras a e b por algarismos no número 2a3b, de modo que se obtenha um número 
divisível por 9 e que dividido por 10, dê resto 2. 
 
 a=b=3 
 a=b=4 
 a=b=1 
 a=b=2 
 a=b=5 
 
 
 3a Questão 
 
 
 É divisível por 2, 3 e 5, simultaneamente, o número: 
 
 230 
 532 
 510 
 520 
 235 
 
 
 4a Questão 
 
 
 Dividindo-se um número x por 19 , obtém-se quociente 12 e resto 11.O resto da divisão de x por 15 é: 
 
 11 
 14 
 10 
 12 
 13 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 Dado o número 3y8z, substitua as letras por algarismos de modo que se obtenha um número divisível 
por 9 e 10 ao mesmo tempo. O valor de y é: 
 
 8 
 4 
 7 
 6 
 5 
 
 6a Questão 
 
 
 Substituindo as letras a e b por algarismos em 1a16b, de modo que o número resultante seja 
múltiplo comum de 5, 2 e 9, encontramos para valor de a + b : 
 
 1 
 5 
 4 
 3 
 2 
 
 
 7a Questão 
 
 
 Substituindo Y e Z no número 57Y3Z, respectivamente, por algarismos que tornem esse número 
divisível por 2, 5 e 6, ao mesmo tempo, encontramos: 
 
 3 e 0 
 1 e 1 
 7 e 5 
 7 e 0 
 7 e 9 
 
 
 8a Questão 
 
 
 Qual o número, ao mesmo tempo, divisível por 2, 3 e 5? 
 
 530 
 738 
 930 
 453 
 1035 
 
CEL0530 - TEORIA DOS NÚMEROS Exercícios Aula 2 04/06/2018 20:49:54 
 
 1a Questão 
 
 O mdc(o,x) =16. Podemos afirmar que x vale: 
 
 16 
 +/-1 
 0 
 +/-16 
 2 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 Os números 756 e 2x.3y têm 9 como MDC. Podemos afirmar que : 
 
 xy=2 
 x=2 
 y=0 
 x-y=2 
 x+y =2 
 
 3a Questão 
 
 
 Determinar o menor número natural que dividido por 12 ,15,18 e 24 deixa resto 7. 
 
 487 
 367 
 287 
 387 
 567 
 
 
 4a Questão 
 
 
 Determine o maior número natural que deve dividir 580 e 743 , a fim de que os restos sejam 21 e 12 , 
respectivamente. 
 
 17 
 13 
 1 
 37 
 43 
 
 
 5a Questão 
 
 
 Numa operação de divisão entre números naturais, o quociente é o MMC(25,125) e o divisor é o menor 
número natural de três algarismos distintos. Sabendo-se que o resto é o MDC(25,125), qual é o valor 
do dividendo? 
 
 12775 
 12851 
 12750 
 3227 
 2675 
 
 
 6a Questão 
 
 
 Seja x um número natural. Sabendo-se que o m.d.c (x,15)=3 e o m.m.c (x,15)=90, então, o valor de 
x +2 é igual a: 
 
 24 
 21 
 22 
 20 
 23 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 Tenho menos de duzentas bolas de gude. Se agrupá-las de 7 em 7 , não sobra nenhuma.Agrupando-as 
de 6 em 6 ou de 8 em 8 ,sempre restam 3. Se resolver agrupá-las de 11 em 11 , sobrarão: 
 
 Oito bolas de gude. 
 Duas bolas de gude. 
 Quatro bolas de gude. 
 Seis bolas de gude. 
 Dez bolas de gude. 
 
 
 8a Questão 
 
 
 Um apaixonado professor de Matemática escreveu duas poesias, sendo que uma possui 180 versos e 
a outra 96 versos. Ele resolveu editá-las em forma livro, de forma que contenha o menor número de 
páginas e o mesmo número de versos por página. Qual é o número de páginas do livro? 
 
 20 
 21 
 22 
 24 
 23 
 
CEL0530 - TEORIA DOS NÚMEROS Exercícios Aula 3 04/06/2018 20:49:54 
 
 1a Questão 
 
 Seja A um inteiro quadrado perfeito. Podemos afirmar que A sempre será da forma: 
 
 2k ou 3k 
 2k+1 ou 3k 
 2k+1 ou 2k+3 
 2k ou 2k+2 
 3k ou 3k+1 
 
 2a Questão 
 
 
 O menor inteiro positivo que devemos multiplicar 252 para que o resultado seja um cubo perfeito é: 
 
 294 
 384 
 486 
 356 
 324 
 
 
 3a Questão 
 
 
 Quantos números naturais existem entre 452 e 462 que não são quadrados perfeitos? 
 
 92 
 90 
 89 
 93 
 91 
 
 
 4a Questão 
 
 
 Os fatores primos do inteiro 2100 são: 
 
 7,9,13,17 
 2,3,5,7 
 7,11,13,17 
 1,2,3,5 
 7,9,11,17 
 
 
 5a Questão 
 
 
 Podemos representar um inteiro impar por 2k1+1 e outro por 2k2+1, com K∈ℤ. Assim o produto de 
dois inteiros impares será sempre da forma: 
 
 2k ou seja um par 
 3k ou seja um inteiro par ou impar 
 3k+1 ou seja um inteiro par ou impar 
 Um primo 
 2k+1 ou seja um impar 
 
 
 6a Questão 
 
 
 Se 2K é um divisor de 2304,então o maior valor possível de k é: 
 
 7 
 6 
 8 
 9 
 5 
 
 
 7a Questão 
 
 
 O menor número inteiro e positivo que devemos multiplicar por 1944 de modo a se obter um quadrado 
perfeito é: 
 
 7 
 6 
 4 
 5 
 3 
 
 
 8a Questão 
 
 
 O produto de dois números naturais consecutivos é igual a 240. O maior deles é um número: 
 
 Primo 
 Ímpar 
 Quadrado perfeito 
 Múltiplo de 7 
 Divisor de 45 
 
CEL0530 - TEORIA DOS NÚMEROS Exercícios Aula 4 04/06/2018 20:49:54 
 
 1a Questão 
 
 Resolvendo a equação linear 25x ≡ 15(mód.29), encontramos: 
 
 x≡22(mód.29) 
 x≡21(mód.29) 
 x≡18 (mód.29) 
 x≡19 (mód.29) 
 x≡ 20(mód.29) 
 
 
 2a Questão 
 
 
 Para qual das sentenças abaixo existe um valor de x que a torne verdadeira? 
 
 3x≡7(mod12) 
 2x≡3(mod12) 
 10x≡5(mod12) 
 5x≡9(mod12) 
 6x≡11(mod12) 
 
 
 3a Questão 
 
 
 Se 7≡2 (mod5), podemos afirmar que: 
 
 720≡750(mod 2) 
 730≡230(mod 7) 
 730≡230(mod 5) 
 730≡215(mod 15) 
 720≡250(mod 2) 
 
 
 4a Questão 
 
 
 Considerando as afirmativas abaixo e observando a noção de divisibilidade, é SOMENTE correto afirmar 
que 
(I) 5|0⇔ ∃d∈Z tal que 0=5⋅d 
(II) 0|5⇔ ∃d∈Z tal que 5=0⋅d 
(III) 3|5⇔ ∃d∈Z tal que 5=3⋅d 
 
 (I) e (II) 
 (II) e (III) 
 (II) 
 (I) 
 (III) 
 
 
 5a Questão 
 
 
 O resto da divisão de 3100 por 7 é igual a : 
 
 1 
 4 
 3 
 5 
 2 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 Se g ≡w (mod m) e se 6|m então podemos afirmar que: 
 
 g ≡w ( mod 6) 
 g ≡w ( mod 10) 
 g ≡w ( mod 5) 
 g ≡w ( mod 8) 
 g ≡w ( mod 4) 
 
 
 7a Questão 
 
 
 O quadrado de um número ímpar quando dividido por 4 deixa sempre resto igual a : 
 
 3 
 2 
 0 
 1 
 4 
 
 8a Questão 
 
 
 Sejam a, b números inteiros e m um número natural. Se a≡b (mod m) , então podemos afirmar 
que: 
 
 Nenhuma das anteriores 
 a.b≡0 (mod m) 
 a-b≡0 (mod m) 
 a/b ≡0 (mod m) 
 a+b≡0 (mod m) 
 
CEL0530 - TEORIA DOS NÚMEROS Exercícios Aula 5 04/06/2018 20:49:54 
 
 1a Questão 
 
 O par (m, m+3) é uma dentre as infinitas soluções da equação diofantina linear 2x+3y=-1. Podemos 
afirmar que o valor de m é: 
 
 1 
 0 
 2 
 -1 
 -2 
 
 
 2a Questão 
 
 
 Questão 31: Resolvendo o sistema de congruências lineares x ≡ 2 (mód.3); x ≡ 3(mód 4), 
encontramos: 
 
 x≡ 2 (mód.12) 
 x≡ -1 (mód.12) 
 x≡ 1(mód.12) 
 x≡ 0 (mód.12) 
 x≡ -2 (mód.12) 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 O par (1,-2) é uma solução da equação diofantina linear : 
 
 x+2y =5 
 x-2y=6 
 2x-y = 5 
 3x+y = 1 
 x+y =4 
 
 4a Questão 
 
 
 Dentre as equações abaixo, a única equação diofantina linear é a: 
 
 xy+z=3 
 x2+y2=4 
 x2+y=4 
 x-2y=3 
 x2-y2=9 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 Dada a equação diofantina 14x+ 22y = 50, determine a menor solução natural. 
 
 (2, 5) 
 (2, 1) 
 (0, 1) 
 (3, 2) 
 (5, 1) 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 O único par abaixo solução da equação diofantina linear 2x +3y= 7, é: 
 
 (-2,3) 
 (-1,4) 
 (-1,3) 
 (-1,5) 
 (1,1) 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 Dada a equação diofantina 14x + 22y = 50, determine a menor solução natural. 
 
 t = 4 
 t = 6 
 t = 5 
 t = 3 
 t = 7 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 A congruência linear 5x≡ 2 (mód.4) tem como uma de suas soluções: 
 
 3 
 5 
 4 
 2 
 1 
CEL0530 - TEORIA DOS NÚMEROS Exercícios Aula 6 04/06/2018 20:49:54 
 
1a Questão 
 
 Uma solução para a equação diofantina 4x-6y=5 é: 
 
 Tal equação não tem solução no conjunto dos números inteiros 
 x=-1, y=5 
 x=-1, y=4 
 x=-2, y=5 
 x=-2, y=4 
 
 
 2a Questão 
 
 
 Qual valor de x satisfaz x≡4 (mod 6)? 
 
 x = 31 
 x = 26 
 x = 30 
 x = 32 
 x = 28 
 
 
 3a Questão 
 
 
 Marque a alternativa que indica a solução particular da equação diofantina linear 
 48x+7y =17. 
 
 3 e 12 
 35 
 4 e -25 
 3 e 5 
 -15 
 
 
 4a Questão 
 
 
 Qual valor de x satisfaz 3x≡7 (mod 4)? 
 
 x = 2 
 x = 0 
 x = -2 
 x = -7 
 x =7 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 Resolvendo o sistema de congruências lineares x≡ 1(mód.2); x≡1 (mód 3), encontramos: 
 
 x≡2 (mód.6) 
 x≡4 (mód.6) 
 x≡5 (mód.6) 
 x≡1(mód.6) 
 x≡3 (mód.6) 
 
 
 6a Questão 
 
 
 Se o M.M.C (A,B) =90 e o produto AB=1350 , então o M.D.C (A,B) é igual a: 
 
 30 
 90 
 15 
 45 
 9 
 
 
 7a Questão 
 
 
 Seja a congruência 65x ≡143(mod 130). Podemos afirmar que: 
 Não tem solução 
 Só tem solução com valores positivos de x. 
 Só tem solução com valores negativos de x 
 -1 é uma solução 
 Zero é uma solução 
 
 
 8a Questão 
 
 
 Resolvendo a congruência linear 2x ≡ 31(mód.31), encontramos: 
 x≡16 (mód.31) 
 x≡20 (mód.31) 
 x≡17 (mód.31) 
 x≡19 (mód.31) 
 x≡18 (mód.31) 
 
CEL0530 - TEORIA DOS NÚMEROS Exercícios Aula 7 04/06/2018 20:49:54 
 
1a Questão 
 
 Um criador de aves tem um certo número de ovos; quando os divide por 3, sobra-lhe 1; quando os 
divide por 4, sobram 2 ovos; e quando os divide por 5, sobram 3. Quantos ovos tem o criador de aves, 
sabendo que esse número não ultrapassa 70 ovos? 
 
 59 
 57 
 55 
 56 
 58 
 
 
 2a Questão 
 
 
 Ao formar grupos de trabalho numa turma, o professor verificou que, tomando grupos com 3 
componentes sobrariam 2 alunos, com 4 componentes sobraria 1 aluno e que conseguiria formar 
grupos com 5 componentes, sem sobras, desde que ele próprio participasse de um dos grupos. 
Sabendo que a turma tem menos de 50 alunos, quais são as possíveis quantidades de alunos nessa 
turma? 
 
 31 
 29 
 27 
 30 
 28 
 
 3a Questão 
 
 
 Vejamos mais um problema: um inteiro par compreendido entre 300 e 400, dividido por 5, deixa o 
resto 2 e, dividido por 11, deixa o resto 9. Marque a alternativa que indica este inteiro. 
 
 420 
 324 
 526 
 427 
 425 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 Determine o inverso de 7 módulo 11, ou seja, precisamos resolver a congruência linear 7.x = 
1(mod11). 
 
 12 
 7 
 8 
 10 
 45 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 Dispomos de uma quantia em dólares maior do que 1000 e menor do que 2000. Se distribuirmos 
essa quantia entre 11 pessoas, sobra 1 dólar; se a distribuirmos entre 10 pessoas, sobram 2 dólares 
e se a distribuirmos entre 9 pessoas sobram 4 dólares. De quantos dólares dispomos? 
 
 1552 
 1542 
 1582 
 1562 
 1572 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 Marque a menor solução inteira e positiva do seguinte sistema de congruências lineares: 
x é côngruo a 2 (módulo 3), 
x é côngruo a 3 (módulo 5), 
x é côngruo a 5 (módulo 2). 
 
 15 
 120 
 10 
 113 
 30 
 
 
CEL0530 - TEORIA DOS NÚMEROS Exercícios Aula 8 04/06/2018 20:49:54 
 
1a Questão 
 
 Determinar o resto da divisão de 5100 e 5101 por 24, em seguida marque a alternativa correta: 
 
 5 e 2 
 1 e 1 
 1 e 2 
 1 e 5 
 5 e 1 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 Determine o resto da divisão euclidiana de 2313por 5. 
 
 0 
 3 
 4 
 2 
 1 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 Determine o resto da divisão de 3102 por 101, em seguida, marque a alternativa correta: 
 
 0 
 9 
 3 
 1 
 5 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 A resto da divisão de 241947 por 17 ,é: 
 
 12 
 10 
 14 
 11 
 13 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 Determinar o resto da divisão de 4165 por 7. 
 
 4 
 5 
 3 
 2 
 6 
 
 
 6a Questão 
 
 
 Determine o resto da divisão de 250 por 7. 
 
 5 
 3 
 2 
 6 
 4 
 
Explicação: 
N = 250 (mod 7) 
50 : 6 = resto 2 
logo, 50 = 6 . 8+ 2 
N = 26.8+2(mod 7) 
N = (26)8.22 (mod 7) 
N = 18 . 22 (mod 7) 
N = 4 (mod 7), então o resto da divisão de 250 igual a 4. 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 Qual é o resíduo positivo de 516 (mod 17)? 
 
 1 
 0 
 3 
 13 
 2 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 O resto da divisão de 51600 por 17 é igual a: 
 
 3 
 2 
 5 
 4 
 1 
 
 
CEL0530 - TEORIA DOS NÚMEROS Exercícios Aula 9 04/06/2018 20:49:54 
 
 
1a Questão 
 
 Calcular o resto da divisão de x por y sendo x = 15! e Y = 17. 
 
 5 
 3 
 4 
 2 
 1 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 Escrevendo os algarismos 1,2,3,4,5, cinquenta vezes, mantendo a mesma ordem, obtemos um 
número y = 1234512345...12345. Calcule o resto da divisão por 9, em seguida assinale a alternativa 
correta. 
 
 1 
 3 
 0 
 2 
 5 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 Segundo o Teorema de Wilson sobre congruência (p-1)!≡-1(modp) sendo p primo. Logo podemos 
afirmar que 
 
 742!≡-1(mod743) 
 5!≡-1(mod4) 
 26!≡-1(mod27) 
 322!≡-1(mod323) 
 628!≡-1(mod629) 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 Segundo o Teorema de Wilson sobre congruência (p-1)!≡-1(modp) sendo p primo. 
A partir daí, podemos afirmar que 
 
 476!≡-1(mod477) 
 130!≡-1(mod131) 
 548!≡-1(mod549) 
 146!≡-1(mod147) 
 636!≡-1(mod637) 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
 
 
 7 
 1 
 2 
 5 
 3 
 
 
CEL0530 - TEORIA DOS NÚMEROS Exercícios Aula 10 04/06/2018 20:49:54 
 
1a Questão 
 
 Qual é o valor da função de Euler para o inteiro 16, isto é, qual o valor de φ(16)? 
 
 8 
 5 
 9 
 6 
 7 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 Sejam φ∶ N →N a função de Euler. O valor de φ(18) é: 
 
 5 
 8 
 4 
 6 
 7 
 
 3a Questão 
 
 
 O valor de phi(4!) é: 
 
 6 
 4 
 8 
 3 
 5 
 
 4a Questão 
 
 
 Seja φ∶ N →N a função de Euler. O valor de φ(7) é: 
 
 7 
 6 
 9 
 5 
 8 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 Calcule o valor de φ(5!). 
 
 32 
 12 
 35 
 22 
 24 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 O valor de phi(phi(5)) é igual a: 
 
 5 
 6 
 2 
 3 
 4 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 Determine o valor de φ(91) da função de Euler. 
 
 70 
 72 
 48 
 73 
 36 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 Calcule o valor de φ(pq) sendo p e q primos. 
 
 (p -1)q2 
 (p + 1)(q- 1) 
 (p -1)(q - 1) 
 (p + 1)(q + 1) 
 (p -1)(q + 1)