Física 2-06

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Ensino Superior 
2. Integral Definida 
Amintas Paiva Afonso 
Cálculo 2 
 
b
a
f x dx
Simbolo de 
Integração 
(integral) 
Limite inferior de integração 
limite superior de integração 
integrando 
Variável de integração 
(diferencial) 
 
Notação para a Integral Definida 
)dx 
-5/2 

b
a
dxxfS )(
3
1
4 dx
2
1
4y 
Avalie as seguintes integrais definidos usando fórmulas de 
área geométrica. 
2
1
2
2
-2
 4 x dx
2 2 24 4y x x y    
Metade superior só! 
3
0
 ( 2) x dx
2
1
2y x 
Teorema: 
Se f(x) é contínua e não negativa em [a, b], então a 
integral definida representa a área da região sob a curva e 
acima do eixo x entre as linhas verticais x = a e x = b . 
a b 
A Integral de uma Constante 
 
Se F(x) = c, onde c é a constante, no intervalo [a, b], então 
  
b
a
b
a
o abccdxdxxf )()(
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx 
( ) 0
b
a
f x dx 
Se f é integrável e não negativa em [a, b] então 
Se f e g são integráveis e não negativa em [a, b] e 
f (x) < g (x) para todo x em [a, b], então 
Usando regras de integrais definidas 
Avaliar a usar os seguintes valores: 
 
4
3
2
2x dx
     
4 4 4
3 3
2 2 2
2 2x dx x dx dx    
   
4 4 4
3 3
2 2 2
2 2x dx x dx dx    
= 60 + 2(2) = 64 
Quando as funções são não-negativos, as somas 
de Riemann representam as áreas sob as curvas, 
acima do eixo x, sobre algum intervalo [a, b]. 
 
Quando as funções são negativos, no entanto, as 
somas de Riemann representam o negativo (ou 
oposto) os valores das referidas zonas. Em outras 
palavras, as somas de Riemann NÃO tem sentido 
e pode assumir valores negativos. 
18 
f 
a b 
A 
Adxxf
b
a
 )(
a b 
f 
A1 
A2 
A3 
231)( AAAdxxf
b
a

= área superior - área abaixo 
Para resumir esse pensamento ... 
 ax3 + bx2 + cx + d = 0 

2
1
4dxx6
5
198

 
2
1
34 dx)x8x5( 24
37

2
0
dx)x2sen(
 





2
2
2
3
dx1x7x2
3
x
 
4
0
dx)1x2(
 
2
1
dx)1x6(
 
2
1
3 dx)x1(x
10
81
1) Calcule as integrais definidas abaixo: 
- 6,667 
 
 8,667 
 
8 
0 
.a.u
6
73
.a.u
3
8
xy  .a.u
3
16
.a.u
3
16
2) Calcular a área determinada pelas curvas de equações y = x2 – 3x – 4; 
 y = 0; x = 0 e x = 5. 
3) Calcular a área compreendida entre a curva y = x2, o eixo x, e as 
 ordenadas correspondentes às abcissas x = 0 e x = 2. 
4) Calcule a área compreendida entre os gráficos das funções 
 ; y = 0 e a reta x = 4 
5) Calcule a área compreendida entre a curva y = 5x + 1, o eixo x e as 
 retas x = – 3 e x = 1. R: 23,2 u.a 
 
6) Calcular a área entre as curvas y = – x2 + 4 e y = 1 no intervalo [–1, 1]. 
7) Calcular a área entre as curvas y = x2 – 4 e y = x – 3 . R: 1,86 u.a. 
Relações de Girard 
02  cbxax
a
b
xx  21
a
c
xx  21
Polinômios 
Relações de Girard 
023  dcxbxax
a
b
xxx  321
     
a
c
xxxxxx  323121
a
d
xxx  321
Polinômios 
Relações de Girard 
0...22
1
10 

n
nnn axaxaxa
0
1
321 ...
a
a
xxxx n 
       
0
2
1413121 ...
a
a
xxxxxxxx nn  
     
0
3
12421321 ...
a
a
xxxxxxxxx nnn  
 
0
321 1...
a
a
xxxx n
n
n 
Polinômios