Análise de Sensibilidade em Programação Linear

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PESQUISA OPERACIONAL
AULA 8 – ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE – AULA 8
PESQUISA OPERACIONAL
Conteúdo Programático
1. Introdução
2. Análise de sensibilidade
3. Mudanças
4. Análise dos coeficientes da função 
objetivo
5. Análise das constantes das restrições
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Considere o seguinte problema de programação linear:
INTRODUÇÃO
0
0
;0
,
:
,,1
2
1
2211
3232131
2222121
11212111
2211



+++
+++
+++
+++
=+++=
n
mnmnmm
nn
nn
nn
nn
x
x
x
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
asujeito
njxcxcxcZMax







0
:


=
x
bAxoubAx
asujeito
cxZOtimizar
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ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
Técnica utilizada para avaliar os impactos que o 
programa sofre quando existem modificações nas 
condições de modelagem. 
0
:


=
x
bAxoubAx
asujeito
cxZOtimizar
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MUDANÇAS
➢Nas quantidades de recursos;
➢Nos coeficientes da função objetivo;
➢Nos coeficientes das atividades;
➢Acréscimo de uma nova variável;
➢Acréscimo de uma nova restrição.
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DOIS TIPOS DE ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
O primeiro estabelece limites 
inferiores e superiores para 
todos os coeficientes da 
função objetivo e para as 
constantes das restrições.
O segundo verifica se mais de uma 
mudança simultânea em um 
problema altera a sua solução ótima.
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ANÁLISE DE SENSIBILIDADE ATRAVÉS DE LIMITES
Vamos estabelecer limites inferiores e superiores para
os coeficientes e constantes.
➢Análise dos coeficientes da função objetivo
➢Análise das constantes das restrições
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ANÁLISE DOS COEFICIENTES DA FUNÇÃO OBJETIVO
Vamos voltar ao problema da aula passada:
0,
21
5
20
3040max
21
210
3
15
3
25
1
22
1
15
2
21

+

+
+=
xx
xx
x 
xx
s.r.
xxZ
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Obtivemos a solução gráfica:
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Restrição representada por (A): 
Restrição representada por (B): 
 xx 20
22
1
15
2 +
21
210
3
15
3 + xx
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As três retas possuem um ponto em comum: o ponto 
(25,20). A diferença entre elas é no coeficiente 
angular de cada uma, ou seja, as suas inclinações.
Se modificarmos um coeficiente da função objetivo, 
teremos uma alteração no coeficiente angular da 
função objetivo. 
16003040 21 =+ xx
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Observe que enquanto o coeficiente angular da função 
objetivo estiver entre os das retas (A) e (B), ou seja, as 
retas consideradas limites, a solução ótima não se 
alterará.
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Vamos determinar o coeficiente angular ( declividade) 
das retas: 
Coeficiente angular de (A):
 xx 20
22
1
15
2 +
12
15
2
22
1
22
1
15
2
5/440
20
xx
x - 20 x
xx
−=
=
=+
Coeficiente angular de (A): -4/5= - 0.8
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Vamos determinar o coeficiente angular ( declividade) 
das retas: 
Coeficiente angular de (B):
Coeficiente angular de (B): -2
21
210
3
15
3 + xx
12
15
3
210
3
210
3
15
3
270
21
21
xx
xx
xx
−=
−=
=+
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Comparando os coeficientes angulares, ou seja, as 
declividades: 
Assim, a declividade da função objetivo está entre -2 e -
0,8.
-2  declividade da função objetivo -0,8
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Determinando o coeficiente angular da função objetivo na 
sua forma geral:
Coeficiente angular da função objetivo: -c1/c2
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Coeficiente angular da função objetivo: -c1/c2
Como estamos interessados em estudar uma variação 
de cada vez.
-2  declividade da função objetivo -0,8
 8.02
2
1 −−−
c
c
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




−−
−−
−−−
248.0
30
60 2
308.0
30
2
1
1
1
1
1
c
c
c
c
c
Manteremos constante c2=30.
Dessa forma, ficamos com os seguintes limites 
envolvendo c1:
6024 1  c
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Manteremos constante agora c1=40.
 8.02
2
1 −−−
c
c
Fazendo c1=40.






−−
−−
−−−
508.0
40
20 2
40
8.0
40
2
2
2
2
2
2 c
c
c
c
c
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Dessa forma, ficamos com os seguintes limites 
envolvendo c2:
5020 2  c
Com relação a função objetivo, teremos então:
Valor
atual
Valor
Mínimo
Valor
Máximo
Coeficiente de x1 40 24 60
Coeficiente de x2 30 20 50
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Pensando na variável x1 e seu coeficiente na função 
objetivo, o limite superior e inferior: 
Valor
atual
Valor
Mínimo
Valor Máximo
Coeficiente de x1 40 24 60
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Valor
atual
Valor
Mínimo
Valor
Máximo
Coeficiente de
x2
30 20 50
Pensando na variável x2 e seu coeficiente na função 
objetivo, o limite superior e inferior será: 
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OBSERVAÇÃO
Quando a rotação da função objetivo em torno do
extremo ótimo passa pela reta vertical, significa que
não existirá o limite superior ou inferior para a
declividade.
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ANÁLISE DAS CONSTANTES DAS RESTRIÇÕES
Os limites relacionados às constantes das restrições
têm a ver com os Preços Sombra, e não à solução
ótima.
Lembrando que os Preços-Sombra equivalem à
solução ótima do dual, onde as constantes das
restrições são os coeficientes da Função Objetivo.
Para a informação dos limites das constantes das
restrições, basta observar as colunas referentes às
restrições.
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RESUMINDO
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