utf-8''9 DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE

Prévia do material em texto

Probabilidade e Estatística
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Professora: Divanete Maria Bitdinger de Oliveira
Neste estudo, combinamos os métodos da 
estatística descritiva com os métodos da 
probabilidade para descrever e analisar 
distribuições de probabilidade.
Distribuições de probabilidade descrevem o que 
provavelmente acontecerá.
A figura abaixo representa um resumo 
de nosso estudo:
DEFINIÇÃO
Uma variável aleatória é uma variável 
(normalmente representada por X) que assume 
um único valor numérico, determinado pelo 
acaso, para cada resultado de um experimento.
Uma distribuição de probabilidade é uma 
descrição que dá a probabilidade para cada 
valor da variável aleatória. Ela é frequentemente 
expressa na forma de um gráfico, de uma tabela 
ou de uma fórmula.
EXEMPLO: PLACAS EM NAVES 
ESPACIAIS
Cada nave espacial é coberta por mais de 23.000 
placas térmicas especiais para proteger a 
tripulação da nave do calor intenso da reentrada 
na atmosfera da terra. Depois de um voo, cada 
placa é inspecionada cuidadosamente e 
reparada, se necessário. Suponha que 3 placas 
sejam selecionadas aleatoriamente e cada uma 
seja rotulada como A (aceitável) ou D 
(danificada). Seja a variável aleatória X definida 
como o número de placas danificadas.
O espaço amostral do experimento é dado por:
S={AAA, AAD, ADA, ADD, DAA, DAD, DDA, DDD}
Assim, temos a seguinte tabela associando a 
variável aleatória X com o número de placas 
danificadas:
Mais formalmente, poderíamos escrever:
X(AAA) = 0, X(AAD) = 1, ..., X(DDD) = 3
Eis o segredo: não estamos mais interessados na 
sequência de letras, ou resultados, mas antes 
nos números associados aos resultados.
Precisamos considerar o número de valores que 
X pode assumir e a probabilidade de que X 
assuma cada um deles.
Para encontrar, digamos, a probabilidade de que 
X assuma o valor 1, somamos as probabilidades 
dos resultados associados ao 1.
A probabilidade de que a variável aleatória seja 
igual a 1 é:
P(X = 1) = P(AAD) + P(ADA) + P(DAA)
TIPOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Há dois tipos de variáveis aleatórias: as variáveis 
aleatórias discretas e as variáveis aleatórias 
contínuas.
Variáveis aleatórias discretas são usualmente 
associadas a contagens, e variáveis aleatórias 
contínuas são usualmente associadas a medidas.
APARELHOS USADOS PARA CONTAR E 
MEDIR VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Toda distribuição de probabilidade deve 
satisfazer cada um dos dois requisitos seguintes:
Σ𝑃 𝑋 = 1
em que X assume todos os valores possíveis (a 
soma de todas as probabilidades deve ser 1).
0 ≤ 𝑃 𝑋 ≤ 1
para todo valor individual de X.
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE PARA 
UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA X
c) Para construir o histograma de probabilidade, desenhe um
retângulo para cada valor y, centrado em y, com altura igual a
P(y).
VALOR ESPERADO DE UMA DISTRIBUIÇÃO 
DISCRETA DE PROBABILIDADE
O valor esperado de uma distribuição discreta 
de probabilidade, ou esperança matemática da 
distribuição, ou, mais simplesmente, média da 
distribuição é uma das chamadas medidas de 
tendência central de uma distribuição.
VALOR ESPERADO DE UMA DISTRIBUIÇÃO 
DISCRETA DE PROBABILIDADE: E(X)
O valor esperado é calculado como a média 
ponderada dos valores da variável aleatória, sendo 
as probabilidades respectivas os pesos dessa 
ponderação. Assim temos:
𝐸 𝑋 = 𝑋1𝑃 𝑋1 + 𝑋2𝑃 𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑛𝑃 𝑋𝑛 = 𝑋𝑖𝑃(𝑋𝑖)
sendo 𝑋𝑖 e 𝑃(𝑋𝑖) cada um dos valores da variável 
aleatória e sua respectiva probabilidade.
Exemplo
Vamos supor que um lote de peças, quando inspecionado, pode
apresentar 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 defeitos, não sendo possível nenhum
outro número de defeitos, ou seja, esses valores esgotam o
espaço amostral. Imaginemos ainda que possamos atribuir a
esses valores as seguintes probabilidades:
Número de defeitos Probabilidade
0 0,10 
1 0,25
2 0,15
3 0,20
4 0,20
5 0,10
Total 1,00
Do exemplo anterior, temos:
Logo, E(X) = 2,45, ou seja, o número médio de 
defeitos encontrados no lote é 2,45.
Número de 
defeitos
Probabilidade 𝑋𝑖𝑃(𝑋𝑖)
0 0,10 0
1 0,25 0,25
2 0,15 0,30
3 0,20 0,60
4 0,20 0,80
5 0,10 0,50
Total 1,00 2,45
VARIÂNCIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO 
DISCRETA DE PROBABILIDADE
Mede a dispersão da distribuição, ou seja, o 
afastamento maior ou menor em relação à 
média.
Quanto mais próximos entre si os valores da 
variável aleatória X, menor a dispersão.
A variância é dada por:
𝜎2 = 𝑋𝑖 − 𝐸 𝑋
2𝑃(𝑋𝑖)
Do exemplo anterior, temos:
(0−2,45)20,10 + (1−2,45)20,25 + (2−2,45)20,15 +
(3−2,45)20,20 + (4−2,45)20,20 + (5−2,45)20,10 = 
2,3475
Se extrairmos a raiz quadrada da variância, temos o 
desvio padrão 𝜎.
No exemplo:
𝜎 = 𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 = 2,3475 = 1,5321
EXEMPLOS
1. Uma população de 1.000 crianças foi analisada
num estudo para determinar a efetividade de
uma vacina contra um tipo de alergia. No
estudo, as crianças recebiam uma dose de
vacina e, após um mês, passavam por um novo
teste. Caso ainda tivessem tido alguma reação
alérgica, recebiam outra dose da vacina. Ao fim
de 5 doses todas as crianças foram consideradas
imunizadas. Os resultados completos estão na
tabela a seguir.
Supondo que uma criança dessa população é
sorteada ao acaso, qual será a probabilidade de
ela ter recebido 2 doses?
A probabilidade desejada é de 288/1000=0,288.
A função de probabilidade da variável aleatória
número de doses recebidas fica sendo:
Doses 1 2 3 4 5
Frequência 245 288 256 145 66
Doses 1 2 3 4 5
𝒑𝒊 0,245 0,288 0,256 0,145 0,066
Suponha ,agora, que desejamos calcular a
probabilidade de a criança ter recebido até duas
vacinas. Assim,
𝐹 2 = 𝑃 𝑋 ≤ 2 = 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2
= 0,533.
2. Um jogo consiste em atirar um dado; se der
faces dois ou cinco, a pessoa ganha R$ 50,00
por ponto obtido; se der faces um ou seis, a
pessoa ganha R$ 100,00 por ponto obtido; se
der faces três ou quatro, a pessoa paga R$
150,00 por ponto obtido. Responda: o jogo é
honesto?
Resposta: sim.
3. Em um jogo de azar, um homem recebe R$
5,00, se consegue três caras ou três coroas
quando três moedas são jogadas, e paga R$ 3,00
se uma ou duas caras são obtidas. Qual é seu
ganho esperado?
Solução: O espaço amostral é:
𝑆 = 𝐻𝐻𝐻,𝐻𝐻𝑇,𝐻𝑇𝐻, 𝑇𝐻𝐻,𝐻𝑇𝑇, 𝑇𝐻𝑇, 𝑇𝑇𝐻, 𝑇𝑇𝑇
Pode-se argumentar que cada uma dessas possibilidades é igualmente provável e
ocorre com probabilidade igual a 1/8. Observe que
𝑃 𝐻𝐻𝑇 = 𝑃 𝐻 𝑃 𝐻 𝑃 𝑇 =
1
2
.
1
2
.
1
2
=
1
8
A variável aleatória de interesse é Y, quantia que o apostador pode ganhar; e os
valores possíveis de Y são R$ 5, se o evento 𝐸1 = {𝐻𝐻𝐻, 𝑇𝑇𝑇} ocorrer, e R$ 3, se o
evento 𝐸2 = {𝐻𝐻𝑇,𝐻𝑇𝐻, 𝑇𝐻𝐻,𝐻𝑇𝑇, 𝑇𝐻𝑇, 𝑇𝑇𝐻} ocorrer. Já que 𝐸1 e 𝐸2 ocorrem
com probabilidades de 1/4 e ¾, respectivamente, segue-se que
𝜇 = 𝐸 𝑌 = 5
1
4
+ −3
3
4
= −1
Neste jogo, o jogador perderá, em média, R$ 1 por lançamento das três moedas.
Um jogo é considerado ‘justo’ se o apostador sai sem perder nem ganhar. Portanto,
um valor zero para o valor esperado de ganho define um jogo justo.
4. Suponha que o número de carros X que passam
por um lava-rápido entre 16h e 17h, numa sexta-
feira ensolarada, tenha a seguinte distribuição de
probabilidade:
Seja g(X)=2X-1 a quantia (em dólares) paga ao
atendente pelo gerente. Determine os ganhos
esperados do atendente para esse período em
particular.
x 4 5 6 7 8 9
P(X=x) 1/12 1/12 1/4 1/4 1/6 1/6
Solução: O atendente pode esperar receber:
𝐸 𝑔 𝑋 = 𝐸 2𝑋 − 1 = 
𝑥=4
9
2𝑥 − 1 𝑓(𝑥)
= 7
1
12
+ 9
1
12
+ 11
1
4
+ 13
1
4
+ 15
1
6+ 17
1
6
= 𝑅$ 12,67
Bibliografia:
• Barbetta, P. A.; Reis, M. M.; Bornia, A. C. Estatística para 
cursos de engenharia e informática. 3 ed. São Paulo, Atlas, 
2010. 
• Fonseca, J. S.; Martins, G. A. Curso de Estatística. 6 ed. São 
Paulo, 1996.
• Levine, D. M. [et al.]. Estatística: teoria e aplicações: usando 
Microsoft Excel em português. Rio de Janeiro: LTC, 2013.
• Magalhães, Marcos N.; Lima, Antonio P. Noções de 
Probabilidade e Estatística. 6 ed. São Paulo: EDUSP, 2004.
• Walpole, R. E.; Myers, R. H.; Myers, S. L.; Ye, K. 
Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. São 
Paulo: Pearson, 2009.