Cônicas (1)

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Cônicas 
GEOMETRIA ANALITICA
INTRODUÇÃO
As Cônicas, foram estudadas por Menecmo, Euclides e Arquimedes. A elipse, a parábola, a hipérbole e a circunferência eram obtidas como secções de cones circulares retos com planos perpendiculares a um dos elementos do cone, conforme variação do ângulo no vértice (agudo, reto ou obtuso). Menecmo descobriu a elipse pesquisando sobre a parábola e a hipérbole, pois ofereciam as propriedades necessárias para a solução da duplicação do cubo. Também era de seu conhecimento as equações das curvas conforme a sua secção: quando formada por secção de um cone circular retângulo era (l uma constante), quando secção de cone acutângulo e quando secção de cone obtusângulo. O tratado sobre as cônicas estavam entre algumas das mais importantes obras de Euclides, porém se perderam, talvez porque logo foram superadas pelo trabalho mais extenso escrito por Apolônio.
A obra de nível mais avançado foi precisamente a feita por Apolônio de Perga, que substituiu qualquer estudo anterior. O tratado sobre as Cônicas certamente foi a obra-prima de Apolônio e teve grande influência no desenvolvimento da matemática. Devido fundamentalmente a este estudo sobre as cônicas ele era conhecido como o Geômetra Magno.
O tratado consistia em oito livros que contém 387 proposições separadas. [Heath, 1921] diz que o texto sobre as cônicas é um grande clássico e que merecia ser mais conhecido, porém sua forma original é muito extensa.
Apenas os quatro primeiros livros foram preservados em grego e felizmente os três seguintes tinham sido traduzidos para árabe e também se preservaram.
Os quatro livros iniciais foram escritos como uma introdução elementar incluindo as proposições básicas das cônicas. A maioria dos resultados destes livros já eram sabidas por Euclides, Aristaeus e outros, como o próprio Apolônio afirmou. Os quatro últimos livros são extensões do assunto, estudos mais avançados.
No Livro 1 se estudam as propriedades dos diâmetros e tangentes das cônicas. No Livro 2 se investigam as relações entre as hipérboles e suas assíntotas. Também se estuda como desenhar tangentes às cônicas dadas. O Livro 3 é o que contém maior número de resultados novos que Apolônio considera os mais belos possíveis.
Os Livros de 5 a 7 são altamente originais. Neles se estuda o problema de achar normais às cônicas e se obtém proposições que determinam o centro de curvatura, o que conduz à equação cartesiana de evoluta. Heath diz que o Livro 5 é o mais notável dos livros existentes.
Foi Apolônio quem pela primeira vez mostrou que a partir de um único cone é possível obter as três espécies de secções cônicas, apenas variando a inclinação do plano de secção. Também provou que o cone não precisa ser reto. Finalmente substituiu o cone de uma só folha por um cone duplo, sendo assim o primeiro a reconhecer a existência dos dois ramos da hipérbole.
Também foi Cayley quem introduziu os nomes parábola, elipse e hipérbole, utilizados até hoje para identificar as cônicas correspondentes.
 A importância do estudo de Apolônio sobre as cônicas dificilmente pode ser questionada. Temos a inegável influência dele sobre os estudos de Ptolomeu. Este foi astrônomo e geógrafo e fez observações em Alexandria de 127-151 d.C.. Suas obras mais famosas são o Almagesto (astronomia) e a Geografia (8 volumes). Ptolomeu introduziu o sistema de latitude e longitude tal como é usado hoje em cartografia e usou métodos de projeção e transformações estereográficas. Este estudo faz uso de um Teorema de Apolônio que diz que todo cone oblíquo tem duas famílias de seções circulares. As Cônicas de Apolônio também tiveram forte influência nos estudos de Kepler. O interesse de Kepler pelas cônicas surgiu devido às suas aplicações à óptica e à construção de espelhos parabólicos. Em 1.609, Kepler edita a Astronomia Nova, onde apresenta a principal lei da astronomia: "os planetas descrevem órbitas em torno do Sol, com o Sol ocupando um dos focos". A propósito, a palavra foco é devida a Kepler e provém da forma latinizada foccus cujo significado é fogo, lareira. Outra aplicação prática das cônicas aparece na obra de Galileu (1.632), onde "desprezando a resistência do ar, a trajetória de um projétil é uma parábola". Galileu se reporta à componente horizontal e à componente vertical de uma parábola. Foi a Matemática pura de Apolônio que permitiu, cerca de 1.800 anos mais tarde, os "Principia " de Sir Isaac Newton. A lei da gravitação de Newton matematizou as descobertas empíricas de Kepler e, a partir do século dezessete, possibilitou o estudo analítico das cônicas e das suas aplicações aos movimentos no espaço, este, por sua vez, deu aos cientistas de hoje condições para que a viagem de ida e volta à Lua fosse possível.
Também não podemos deixar de falar em aplicações práticas usuais recentes como nos receptores parabólicos, telescópios, navegação LORAN, etc.
Coube a Pierre de Fermat (1.601-1.665) a descoberta das equações cartesianas da reta e da circunferência, e as equações mais simples da elipse, da parábola e da hipérbole. Ele aplicou uma transformação equivalente à atual rotação de eixos para reduzir uma equação do 2° grau à sua forma mais simples.
conicas : Elipse 
O que é uma Elipse?
 
Definição: Dados dois pontos quaisquer do plano F1 e F2 e seja 2c a distância entre eles, elipse é o conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a (2a > 2c).
 
Elementos da Elipse:
F1 e F2 → são os focos
C → Centro da elipse
2c → distância focal
2a → medida do eixo maior
2b → medida do eixo menor
c/a → excentricidade
Há uma relação entre os valores a, b e c→ a2 = b2+c2
Equação da Elipse.
1º caso: Elipse com focos sobre o eixo x.
Nesse caso, os focos têm coordenadas F1( - c , 0) e F2(c , 0). Logo, a equação reduzida da elipse com centro na origem do sistema cartesiano e com focos sobre o eixo x será:
2º Caso: Elipse com focos sobre o eixo y.
Nesse caso, os focos apresentam coordenadas F1(0 , -c) e F2(0 , c). Assim, a equação reduzida da elipse com centro na origem do sistema cartesiano e com focos sobre o eixo y será:
Exemplo 1. Determine a equação reduzida da elipse com focos sobre o eixo x, com eixo maior medindo 12 e eixo menor 8.
Solução: temos que
2a = 12 → a =6
2b = 8 → b = 4
Assim,
 
Exemplo 2. Determine a equação reduzida da elipse sabendo que um dos focos é F1(0 , -3) e que o eixo menor mede 8.
Solução: temos que
Se F1(0 , -3) → c = 3 e o foco está sobre o eixo y.
2b = 8 → b = 4
Usando a relação notável: a2 = b2+c2, obtemos:
a2 = 42+32 → a2 = 16 + 9 → a2 = 25 → a = 5
Assim, a equação reduzida da elipse será:
conicas : hiperbole
O que é uma hipérbole?
Definição: Sejam F1 e F2 dois pontos do plano e seja 2c a distância entre eles, hipérbole é o conjunto dos pontos do plano cuja diferença (em módulo) das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c).
Elementos de uma Hipérbole:
F1 e F2 → são os focos da hipérbole
O → é o centro da hipérbole
2c → distância focal
2a → medida do eixo real ou transverso
2b → medida do eixo imaginário
c/a → excentricidade
Existe uma relação entre a, b e c → c2 = a2 + b2
 
Equação reduzida da hipérbole
1º caso: Hipérbole com focos sobre o eixo x.
Fica claro que nesse caso os focos terão coordenadas F1 (-c , 0) e F2( c , 0).
Assim, a equação reduzida da elipse com centro na origem do plano cartesiano e focos sobre o eixo x será:
2º caso: Hipérbole com focos sobre o eixo y.
Neste caso, os focos terão coordenadas F1 (0 , -c) e F2(0 , c).
Assim, a equação reduzida da elipse com centro na origem do plano cartesiano e focos sobre o eixo y será:
Exemplo 1. Determine a equação reduzida da hipérbole com eixo real 6, focos F1(-5 , 0) e F2(5, 0).
Solução: Temos que
2a = 6 → a = 3
F1(-5, 0) e F2(5, 0) → c = 5
Da relação notável, obtemos:
c2 = a2 + b2 → 52 = 32 + b2 → b2 =25 – 9 → b2 = 16 → b = 4
Assim, a equação reduzida será dada por:
Exemplo 2. Encontre aequação reduzida da hipérbole que possui dois focos com coordenadas F2 (0, 10) e eixo imaginário medindo 12.
Solução: Temos que
F2(0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
Utilizando a relação notável, obtemos:
102 = a2 + 62 → 100 = a2 + 36 → a2 = 100 – 36 → a2 = 64 → a = 8.
Assim, a equação reduzida da hipérbole será dada por:
Exemplo 3. Determine a distância focal da hipérbole com equação 
Solução: Como a equação da hipérbole é do tipo  temos que
a2 = 16 e b2 =9
Da relação notável obtemos
c2 = 16 + 9 → c2 = 25 → c = 5
A distância focal é dada por 2c. Assim,
2c = 2*5 =10
Portanto, a distância focal é 10.
conicas : parabola 
O que é parábola?O QUE É MATEMÁTICA?
Para entender o que é parábola, deve-se saber que essa figura geométrica plana é o conjunto de pontos cuja distância até a reta r é a mesma até um ponto F.
Considerando-se um ponto F e uma reta r no plano, o conjunto que contém todos os pontos cuja distância até F é igual à distância até r é chamado parábola. O ponto F é o foco da parábola e jamais poderá ser um dos pontos da reta r. Caso contrário, a distância entre F e r sempre será igual a zero.
A seguir, um exemplo de parábola com a demonstração de seu ponto F e a reta r.
No ensino fundamental, as parábolas são usadas apenas para representar geometricamente funções do segundo grau. No ensino médio, elas também são resultado de estudos das cônicas, em Geometria Analítica.
Elementos de uma parábola
São cinco os principais elementos da parábola. Eles são figuras geométricas que recebem nomes especiais devido à sua função e à sua importância na definição das parábolas. São eles:
a) Foco
É o ponto F usado para a definição da parábola.
b) Diretriz
É a reta r, também usada na definição da parábola. Lembre-se de que a distância entre um ponto qualquer da parábola e a reta r tem a mesma distância que esse mesmo ponto e o seu foco.
c) Parâmetro
O parâmetro de uma parábola é a distância entre o seu foco e sua diretriz. Essa distância é o comprimento do segmento de reta que liga o foco e a diretriz, formando com ela um ângulo reto. Para encontrar esse valor, pode-se usar a distância entre ponto e reta.
d) Vértice é o ponto da parábola que fica mais próximo de sua diretriz. Uma das propriedades desse ponto é que a sua distância até o foco da parábola é igual à metade do parâmetro. Também podemos dizer que a distância entre esse ponto e a diretriz da parábola é igual à metade do parâmetro.
Seja a medida do parâmetro de uma parábola representada pela letra p, a medida do segmento VF será dada por:
VF = P
         2
e) Eixo de simetria
O eixo de simetria de uma parábola é uma reta perpendicular à diretriz que passa pelo seu vértice. Consequentemente, essa reta também passa pelo foco da parábola e contém o segmento chamado parâmetro.
A imagem a seguir mostra cada um dos elementos de uma parábola:
Equações reduzidas da parábola
Existem duas equações reduzidas da parábola:
y2 = 2px
e
x2 = 2py
Essas equações são obtidas colocando o vértice de uma parábola na origem de um plano cartesiano. Primeiramente, suponha que a diretriz dessa parábola é paralela ao eixo y do plano, como mostra imagem a seguir.
Escolhendo um ponto P(x, y) qualquer na parábola, teremos as seguintes hipóteses:
1 – Coordenadas de F: como o segmento VF = p/2, então as coordenadas de F são (p/2, 0). Para perceber isso, note que o eixo x, nessa construção, é o eixo de simetria da parábola.
2 – Coordenadas de A: o ponto A pertence à diretriz, e a distância de P até A é igual à distância de P até F. Assim, mudando a posição do ponto P, sempre teremos essa característica. As coordenadas de A são: (– p/2, y).
Isso acontece porque A sempre estará à mesma altura de P, e sua distância até o eixo y é a mesma que a distância de V até F, com sinal invertido.
3 – A distância de P até A é igual à distância de P até F, pois essa é a definição da parábola.
Diante dessas hipóteses, podemos calcular a seguinte equação, substituindo nela as coordenadas de cada um dos pontos P, A e F:
A segunda equação da parábola tem seus cálculos e construções feitos de maneira análoga a esses, entretanto, apresenta a diretriz paralela ao eixo x.
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