DINÂMICA DAS ESTRUTURAS II

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Técnico em Edificações 
Introdução à Construção Civil 
 
AULA 08 
Prof. Adeildo Cavalcante 
adeildocavalcante@residenciasaude.com.br 
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DINÂMICA DAS ESTRUTURAS II 
Conceitos 
Em termos gerais, a análise dinâmica de 
estruturas difere da análise estática, pois tem 
em consideração a variação no tempo das 
solicitações, bem como a existência de 
movimentos (associados ao comportamento 
dinâmico das estruturas) que induzem forças 
de inércia devido à aceleração. 
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Conceitos 
Face a estas importantes particularidades, 
convém introduzir alguns conceitos iniciais 
que são essenciais para o estudo da dinâmica 
de estruturas, assim, define-se: 
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Conceitos 
• Ação dinâmica, como uma ação que 
varia de grandeza, direção, e ponto de 
aplicação com o tempo. 
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Conceitos 
• Resposta dinâmica, como a resposta à 
ação dinâmica, usualmente expressa 
em termos de deslocamentos, 
velocidades, acelerações e tensões, 
que obviamente também variam com 
o tempo. 
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Conceitos 
• Neste enquadramento inicial é ainda 
importante introduzir os tipos de 
análises usualmente utilizados na 
dinâmica de estruturas, bem como os 
modelos de análise. 
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Tipos de Análise 
Análise dinâmica de estruturas depende 
do conhecimento, ou não, da lei de 
variação da ação dinâmica no tempo, 
subdividindo-se por esta razão em: 
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Tipos de Análise 
Análise determinística, quando a lei de 
variação da ação dinâmica no tempo é 
conhecida: 
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Tipos de Análise 
Análise estocástica, quando a lei de variação 
da ação dinâmica no tempo não é 
completamente conhecida, mas pode ser 
definida em termos estatísticos: 
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Tipos de Análise 
Usualmente a resposta estrutural a uma 
carga dinâmica é expressa em termos dos 
deslocamentos da estrutura. 
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Tipos de Análise 
Numa análise determinística, a análise 
estrutural é efetuada analisando, em primeiro 
lugar, a história de deslocamentos, obtida para 
a história de carga considerada, enquanto a 
análise utilizando as outras grandezas, como 
sé o caso das tensões, deformações, esforços 
etc. Apenas é concretizada numa segunda fase 
da análise. 
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Modelos de Análise 
Geralmente, recorre-se à análise 
dinâmica de estruturas para efetuar 
verificações de segurança em projetos de 
novas estruturas e no controlo de 
segurança de estruturas existentes. 
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Modelos de Análise 
Nestas tarefas, a análise do comportamento 
dinâmico das estruturas pode ser assegurada por 
via analítica e/ou por via experimental, sendo que 
em qualquer uma destas vias é necessário utilizar 
modelos matemáticos que sejam adequados para 
idealizar o comportamento estrutural do sistema 
físico real, para incluírem todas as hipóteses 
simplificativas necessárias. 
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Modelos de Análise 
Análise dinâmica de estruturas por via analítica Análise dinâmica de estruturas por via experimental. 
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Modelos de Análise 
Os modelos matemáticos podem ser 
contínuos ou discretos, nos modelos contínuos 
é possível caracterizar a totalidade da 
deformada das estruturas, enquanto nos 
modelos discretos apenas é possível 
caracterizar os valores da deformada para os 
pontos considerados na discretização da 
estrutura. 
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Modelos de Análise 
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Modelos de Análise 
São utilizados modelos analíticos apenas em 
algumas circunstâncias muito específicas, isto 
é, apenas em alguns casos simples em que é 
possível descrever analiticamente o 
comportamento de uma estrutura, sendo que 
na generalidade dos casos utilizam-se modelos 
numéricos. 
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Modelos de Análise 
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Modelos de Análise 
Na via experimental, recorre-se a diversos 
tipos de ensaios para medir as grandezas 
físicas de interesse para caracterizar o 
comportamento dinâmico das estruturas. 
Usualmente medem-se histórias de 
acelerações (também designadas por séries 
temporais de aceleração). 
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Modelos de Análise 
A partir das quais se extraem as 
grandezas que mais facilmente se 
correlacionam com o comportamento 
dinâmico das estruturas, tais como, 
frequências naturais, modos de vibração 
e estimativas de coeficientes de 
amortecimento modal. 
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Modelos de Análise 
Ensaios dinâmicos: a) equipamentos utilizados para impor ações impulsivas; b) excitadores utilizados em 
vibração forçada; 
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Modelos de Análise 
Ensaios dinâmicos: vibração livre da ponte Vasco da Gama (Cunha, Caetano, Magalhães, & Moutinho,2006). 
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Abordagem para o estudo da 
dinâmica de estruturas 
A grande motivação para estudar 
dinâmica de estruturas … 
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Abordagem para o estudo da 
dinâmica de estruturas 
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Abordagem para o estudo da 
dinâmica de estruturas 
Antes de se avançar para o estudo dinâmico 
de estruturas com vários graus de liberdade, é 
importante estudar com detalhe o caso mais 
simples, correspondente ao comportamento 
dinâmico de modelos de 1 G.L. Designados 
usualmente por osciladores de 1 G.L. 
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Abordagem para o estudo da 
dinâmica de estruturas 
De fato, o estudo destes modelos mais 
simples, além de permitir introduzir os 
principais conceitos envolvidos na análise 
dinâmica de estruturas, permite também 
obter resultados que podem ser utilizados 
diretamente na análise de modelos de vários 
G.L. 
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Abordagem para o estudo da 
dinâmica de estruturas 
Dado que a resposta dinâmica destes modelos 
mais complexos pode ser estudada através da 
sobreposição da resposta de modelos de 1 G.L., 
se for utilizada uma transformação de 
coordenadas adequada (transformação de 
coordenadas estruturais, correspondentes aos 
deslocamentos nos diversos graus de liberdade, 
para a denominadas coordenadas modais). 
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Caracterização de um Sistema com 
1 G.L. 
Os sistemas de um grau de liberdade (1 G.L.), 
também conhecidos por osciladores de 1 G.L. 
encontram-se usualmente idealizados na 
literatura como sistemas constituídos por uma 
massa, uma mola e um amortecedor, tal como 
se mostra na figura a seguir. 
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Caracterização de um Sistema com 
1 G.L. 
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Caracterização de um Sistema com 
1 G.L. 
Neste tipo de esquema, é ainda usual 
representar a aplicação de forças, 
dependentes do tempo, f(t), e os 
deslocamentos originados pela aplicação 
dessas forças u(t). Na Figura acima mostra-se o 
equilíbrio (dinâmico) das forças que atuam no 
corpo, a partir do qual se pode escrever a 
equação seguinte: 
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Caracterização de um Sistema 
com 1 G.L. 
Sendo que nesta fase importa caracterizar as 
forças que intervêm no equilíbrio (dinâmico), 
expresso pela equação anterior, bem como 
abordar a equação diferencial que daí resulta, a 
denominada equação diferencial do 
movimento. 
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Forças de Equilíbrio Dinâmico 
Como já referido anteriormente, os principais 
aspectos que diferenciam os problemas de 
análise dinâmica dos problemas de análise 
estática são a variação das solicitações no 
tempo e a existência de movimento oscilatório 
(usualmente designado por vibrações). 
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Forças de Equilíbrio Dinâmico 
O movimento oscilatório é usualmente 
caracterizado através das grandezas posição 
(deslocamento), velocidade e aceleração, os quais 
são associadas às forças que asseguram o 
designado equilíbrio dinâmico (contrapondo-se às 
forças externas), designadas respectivamente por 
forças elásticas, forças de amortecimento e forças 
de inércia. 
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Forças de Equilíbrio Dinâmico 
Assim, para analisar convenientemente o 
movimento oscilatório de uma estrutura 
é necessário caracterizar adequadamente 
as diferentes forças que ajudam a 
equilibrar as forças externas, as quais 
formam apresentadas na figura anterior. 
35Forças de Equilíbrio Dinâmico 
Neste sentido, apresentam-se em 
seguida os principais aspectos físicos 
associados a cada uma das referidas 
forças. 
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Forças de Equilíbrio Dinâmico 
As forças elásticas são proporcionais aos 
deslocamentos e em termos 
matemáticos representam-se por: 
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Forças de Equilíbrio Dinâmico 
Em que e f representa a designada força 
elástica, k é usualmente conhecida por 
constante elástica ou rigidez, enquanto u (t) 
representa a componente de deslocamento 
em função do tempo. Na figura apresenta-se 
um esquema representativo do conceito físico 
associado a este tipo de força. 
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Forças de equilíbrio Dinâmico 
As forças de amortecimento (viscoso) são 
proporcionais à velocidade, na usual 
hipótese de amortecimento viscoso, e 
representam-se matematicamente por: 
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Forças de Equilíbrio Dinâmico 
Em que f representa a força de 
amortecimento, c a constante de 
amortecimento e u(t) a componente de 
velocidade em função do tempo. 
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Forças de Equilíbrio Dinâmico 
As forças de inércia são proporcionais à 
aceleração, representando-se 
matematicamente na seguinte forma: 
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Forças de Equilíbrio Dinâmico 
Na expressão anterior, i f representa a força de 
inércia, m a massa e u (t) a componente de 
aceleração em função do tempo. 
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Forças de Equilíbrio Dinâmico 
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Forças de Equilíbrio Dinâmico 
Relativamente às forças apresentadas, existe um 
interesse particular em caracterizar um pouco melhor 
a força elástica, a qual se considera, nas situações 
correntes, como apresentando um comportamento 
linear. No entanto, podem ocorrer cenários em que 
exista necessidade de considerar situações com 
comportamento não linear, nas quais a lei de variação 
é forçosamente diferente da apresentada pela 
expressão anterior, podendo-se representar 
matematicamente na forma seguinte: 
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Forças de Equilíbrio Dinâmico 
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OBRIGADO!!!!!! 
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Prof. Adeildo Cavalcante 
adeildocavalcante@residenciasaude.com.br