Lista_Teoria_dos_Jogos

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�Universidade Federal Fluminense 
Profª. Lídia – Lista Nº 3 1 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
PESQUISA OPERACIONAL II 
PROFª. LÍDIA 
Lista Nº 3 – Teoria dos Jogos 
 
1. Determine a solução de ponto de equilíbrio, as estratégias puras associadas e o valor do 
jogo para cada um dos seguintes jogos. Caso o jogo não tenha ponto de equilíbrio 
encontre os intervalos de variação do valor dos jogos. Os ganhos são para o jogador A. 
a. b. 
 
 
 
 
 
 
c. d. 
 
 
 
 
 
 
 
2. Determine as estratégias ótimas para os jogadores dos jogos a seguir considerando que 
os ganhos correspondem ao jogador A. 
 
a. b. c. 
 
 
 
 
 
 
3. Duas equipes, A e B, estão preparando as suas estratégias para um campeonato de 
basquete. Eles estão tentando determinar as suas bancas durante o jogo e definiram 
quatro formas de rotar seus jogadores baseados na habilidade de marcar 2 pontos, 3 
pontos e tiros livres. A tabela a seguir resume os pontos que A marcará como função das 
diferentes estratégias contempladas por cada equipe. 
 
 B1 B2 B3 B4 
A1 3 -2 1 2 
A2 2 3 -3 0 
A3 -1 2 -2 2 
A4 -1 -2 4 1 
 
a. Resolver o jogo com programação linear e determine uma estratégia pra o jogo do 
campeonato. 
b. Baseado na informação anterior, qual das duas equipes ganhará o campeonato? 
 
 
4. Construa uma matriz de ganhos para o seguinte jogo: cada uma de duas redes de 
supermercados propõe construir uma loja em uma região rural que é composta por três 
cidades. As distancias entre as cidades são mostradas na figura a seguir. 
 B1 B2 B3 B4 
A1 4 -4 -5 6 
A2 -3 -4 -9 -2 
A3 6 7 -8 -9 
A4 7 3 -9 5 
 B1 B2 B3 B4 
A1 8 6 2 8 
A2 8 9 4 5 
A3 7 5 3 5 
 B1 B2 B3 B4 
A1 1 9 6 0 
A2 2 3 8 4 
A3 -5 -2 10 -3 
A4 7 4 -2 -5 
 B1 B2 B3 B4 
A1 -1 9 6 8 
A2 -2 10 4 6 
A3 5 3 0 7 
A4 7 -2 8 4 
 B1 B2 B3 
A1 1 -3 7 
A2 2 4 -6 
 B1 B2 
A1 5 8 
A2 6 5 
A3 5 7 
 B1 B2 B3 
A1 3 -1 3 
A2 -2 -4 -1 
A3 -5 6 2 
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Aproximadamente 45% da população da região vive próxima à cidade A, 35% próxima à 
cidade B e 20% próxima à cidade C. dado que a rede I é maior e tem uma melhor 
reputação que a rede II, ela controlará a maior parte dos negócios, sempre que suas 
situações forem idênticas. Cada rede está ciente do interesse da outra na região, e ambas 
fizeram pesquisas de mercado que dão projeções idênticas. Se ambas as redes se 
localizarem na mesma cidade ou eqüidistantes de uma cidade, a rede I controlará 65% dos 
negócios dessa cidade. Se a rede I ficar mais perto de uma cidade que a rede II, a rede I 
controlara 90% dos negócios dessa cidade. Se a rede I ficar mais distante de uma cidade 
que a rede II, ela controlará ainda 40% dos negócios desta cidade. O resto dos negócios 
irá sempre para a rede II. Além disso, ambas as redes sabem que a rede I não localizará 
em cidades muito pequenas e a cidade C pertence a esta categoria. 
 
 
 
5. O exército azul e o exército vermelho estão disputando dois locais de aterragem, de 
valores iguais a 20 e 8 milhões de u.m. os quais estão ambos sob controle do exercito 
vermelho. O exército azul pretende atacar um ou ambos os campos e provocar o máximo 
de prejuízos (medidos em u.m.) nas instalações. O objetivo do exército vermelho é 
minimizar estes prejuízos. Para conseguir os seus respectivos objetivos, cada exercito 
pode aplicar a sua força total em um dos dois locais de aterragem ou pode dividi-la ao 
meio e cobrir ambos locais de aterragem com capacidade reduzida. 
Uma instalação terá 25% de danos se ela for atacada e defendida com a totalidade das 
forças, mas apenas 10% de danos se ela for atacada e defendida a media força. Se uma 
instalação for atacada com a totalidade das forças e defendida a media força sofrerá 50% 
de danos. Qualquer instalação atacada a meia força ou força total, mas não defendida, terá 
completa destruição. Uma instalação não atacada ou uma que é atacada a media força, 
mas defendida com a totalidade das forças, não terá danos. Determine as estratégias 
ótimas para ambos os exércitos. 
 
6. O exército A pretende carregar mantimentos para um posto de fronteira, o qual pode ser 
atacado pelo exército B dentro de algumas horas. O depósito de mantimentos mais 
próximo está ligado ao posto de fronteira por duas estradas separadas, uma passando 
através da floresta e outra numa planície. Um comboio de mantimentos move-se mais 
rapidamente pela planície, mas consegue uma melhor camuflagem na rota da floresta. O 
comboio deve tomar uma ou outra rota. 
O exército B previu o envio do reforço de mantimentos ao longo de uma das rotas e 
planeia impedi-lo com ataques aéreos. Tem disponível um único esquadrão de aviões, o 
qual não pode ser dividido. Se o exército B enviar os seus aviões sobre a rota da floresta e 
encontrar o exército A, o exército B tem tempo para quatro ataques contra o comboio. Se o 
exército B enviar os seus aviões sobre a rota de planície e o exercito A está usando esta 
rota, o exercito B terá tempo para três ataques. Se o exército B envia seus aviões sobre a 
rota errada, é perdido um tempo valioso. Uma vez ocorrido um erro e localizado o comboio 
na outra rota, o exército B terá tempo para dois ataques na rota de planície, mas só terá 
tempo para um ataque na rota da floresta (dada a dificuldade em encontrar o comboio 
entre as árvores). Determine as estratégias ótimas dos dois exércitos. 
 
7. Determine um ponto de equilíbrio (se existir um de estratégias puras) os jogos de soma 
não constante apresentados nas tabelas a seguir. 
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Profª. Lídia – Lista Nº 3 3 
 
 a. b. 
(9,-1) (-2,-3) (9,9) (-10,10) 
(8,7) (-9,11) (10,-10) (-1,1) 
 
 
8. Os Vulcanos e os Klingons estão no meio de uma carreira armamentista na qual supõe-se 
que cada uma das nações tem duas estratégias possíveis: criar um novo míssil ou manter 
o status quo. Supõe-se que a matriz de ganhos é a que se encontra na tabela a seguir. 
Esta matriz de ganhos está baseada na suposição de que se somente uma nação cria um 
míssil novo, a nação que o tiver vencerá a outra nação. Neste caso, a nação vencedora 
ganha uma recompensa de 20 unidades y a nação conquistada perde 100 unidades. 
Supõe-se também que o custo de criar um novo míssil é de 10 unidades 
 
Klingons 
Vulcanos Criar um novo míssil Manter o status quo 
Criar um novo míssil (-10,-10) (10,-100) 
Manter o status quo (-100,10) (0,0) 
 
9. Dois restaurantes Hot Dog King e Hot Dog Chef pretendem determinar seus orçamentos 
para publicidade para o próximo ano. Os dois restaurantes terão vendas conjuntas 240 
milhões de dólares e podem gastar 6 ou 10 milhões em publicidade. Se um restaurante 
gastar mais dinheiro que o outro, então o restaurante que gasta mais dinheiro era vendas 
de 190 milhões de dólares. Se ambos os restaurantes gastam a mesma quantidade em 
publicidades, então terão vendas iguais. Cada dólar em vendas produz 10 centavos em 
ganhos. Suponha que cada restaurante está interessado em maximizar os lucros. Encontre 
o ponto de equilíbrio para este jogo. 
 
10. Um estudo realizado em 1986 no mercado norte-americano de refrigerantes sabor cola 
identificou curvas de elasticidade-demanda e custos-marginais para a Coca-Cola e a 
Pepsi-Cola. Para q a quantidade vendida (em milhões de caixas) e p o preço praticado (em 
US$ de 1986), o estudo identificou as seguintes relações entre os produtos: 
63 4 2
50 5
coca coca pepsi
pepsi pepsi coca
q p p
q p p
= − +
= − +
 
Além disso, o estudo sugeriu que o custo marginal da Coca é de U$5/caixa e da Pepsi é de 
US$4/caixa. Construa a matriz de ganhos e resolva o problema para as duas empresas. 
Leve em conta os preços da Pepsi por caixa variam de [6,00;6,50; 7,00..; 12,00] e os 
preços de da Coca [11,00; 11,50; 12,00; ..; 14,50]. 
 
11. Dois jogadores de tênis são A e B. O jogador A tem duas estratégias: “Alto” e “Baixo”. Já o 
jogador B tem duas estratégias: “Esquerda” e “Direita”. A tabela a seguir mostra as 
recompensas, para cada jogador, de cada u ma das quatro possíveis combinações 
estratégicas é a matriz de ganhos. Quais as estratégias a serem utilizados pelos 
jogadores? 
Jogador B
Jogador A
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Jogador B
Jogador A
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
E D
A
B
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)