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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA 1 2 3 4 5 T 2a Prova de MAT 157 - CA´LCULO III - Turma B - 08/03/2013 Profa. Lucy Tiemi Takahashi Nome: Matr´ıcula: Importante Justifique com argumentos matema´ticos cada resposta dada. 1. (15 pontos) Obtenha a curvatura e o raio de curvatura de r(t) = 〈sen(1 + t 2 ), cos(1 + t 2 ), √ 3(1 + t 2 )〉 em func¸a˜o de t. ————————————————————————————– 2. (15 pontos) Mostre que r(t) = 〈t, t2〉 (−1 ≤ t ≤ 1) e´ uma func¸a˜o vetorial suave (lisa), mas a mudanc¸a de paraˆmetro t = τ 3 produz uma func¸a˜o vetorial que na˜o e´ suave. Fac¸a esboc¸os das duas curvas. Como pode ser explicada a causa do problema? ————————————————————————————– 3. (20 pontos) Verifique se ponto ( √ 2 2 , 0) pertence a equac¸a˜o da reta tangente a` curva x2− y2 = 1 no ponto ( √ 2, 1). ————————————————————————————– 4. Considere a curva, C, de intersec¸a˜o das superf´ıcies 9x2 + y2 + 9z2 = 81, y = x2 (z > 0). (a)(05 pontos) Fac¸a um esboc¸o da curva C. (b)(10 pontos) Obtenha uma parametrizac¸a˜o para a curva C. (c)(15 pontos) Calcule ∫ D (ex ln(y)− e y x )dx+( ex y −ey ln(x))dy+0 dz, onde D ⊂ C e 1 ≤ x ≤ 2. ————————————————————————————– 5. Considere C a fronteira da regia˜o, R, compreendida por y = x2 e x = y2. (a)(20 pontos) Determine ∮ C x2ydx+ (y + xy2)dy, por caminhos. (b)(20 pontos) Determine ∮ C x2ydx+ (y + xy2)dy, pelo Teorema de Green.
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