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Prova 2 Calculo III Lucy 2013.2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
1
2
3
4
5
T
2a Prova de MAT 157 - CA´LCULO III - Turma B - 08/03/2013
Profa. Lucy Tiemi Takahashi
Nome: Matr´ıcula:
Importante
Justifique com argumentos matema´ticos cada resposta dada.
1. (15 pontos) Obtenha a curvatura e o raio de curvatura de
r(t) = 〈sen(1 + t
2
), cos(1 +
t
2
),
√
3(1 +
t
2
)〉
em func¸a˜o de t.
————————————————————————————–
2. (15 pontos) Mostre que
r(t) = 〈t, t2〉
(−1 ≤ t ≤ 1) e´ uma func¸a˜o vetorial suave (lisa), mas a mudanc¸a de paraˆmetro t = τ 3 produz
uma func¸a˜o vetorial que na˜o e´ suave. Fac¸a esboc¸os das duas curvas. Como pode ser explicada
a causa do problema?
————————————————————————————–
3. (20 pontos) Verifique se ponto (
√
2
2
, 0) pertence a equac¸a˜o da reta tangente a` curva x2− y2 = 1
no ponto (
√
2, 1).
————————————————————————————–
4. Considere a curva, C, de intersec¸a˜o das superf´ıcies 9x2 + y2 + 9z2 = 81, y = x2 (z > 0).
(a)(05 pontos) Fac¸a um esboc¸o da curva C.
(b)(10 pontos) Obtenha uma parametrizac¸a˜o para a curva C.
(c)(15 pontos) Calcule
∫
D
(ex ln(y)− e
y
x
)dx+(
ex
y
−ey ln(x))dy+0 dz, onde D ⊂ C e 1 ≤ x ≤ 2.
————————————————————————————–
5. Considere C a fronteira da regia˜o, R, compreendida por y = x2 e x = y2.
(a)(20 pontos) Determine
∮
C
x2ydx+ (y + xy2)dy, por caminhos.
(b)(20 pontos) Determine
∮
C
x2ydx+ (y + xy2)dy, pelo Teorema de Green.

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