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Apostila Aneis Cristina Marques

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Introduc¸a˜o a` Teoria de Ane´is
Cristina Maria Marques
Departamento de Matema´tica-UFMG
1999 ( com revisa˜o em 2005)
2
Prefa´cio
Esta apostila consta das notas de aula feitas para as disciplinas A´lgebra I e Estruturas Alge´bricas,
as quais que ja´ lecionei va´rias vezes na UFMG. Ele tem por objetivo introduzir a estrutura alge´brica
dos ane´is .
O pre´ requisito para a leitura desse livro e´ a disciplina Fundamentos de A´lgebra, ou seja, uma
introduc¸a˜o aos nu´meros inteiros. Fazemos uma recordac¸a˜o dessa disciplina no Cap´ıtulo 1.
Esta apostila foi escrita com o intuito de ajudar aos alunos na leitura de outros textos de
A´lgebra como por exemplo o excelente livro do Gallian [1]. Va´rios ane´is sa˜o apresentados como os
ane´is quocientes, ane´is de polinoˆmios sobre ane´is comutativos e outros. No Cap´ıtulo 7 e´ feita uma
generalizac¸a˜o desses ane´is, definindo domı´nios euclidianos, domı´nios de fatorac¸a˜o u´nica e domı´nios
de ideais principais. Tambem apresentamos o Teorema Fundamental dos Homomorfismos que
permite a compararac¸a˜o de ane´is.
Espero alcanc¸ar meu objetivo.
Cristina Maria Marques.
Belo Horizonte,9/3/99.
i
Suma´rio
Prefa´cio i
1 Inteiros 1
1.1 Propriedades ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Teorema Fundamental da Aritme´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Induc¸a˜o matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Relac¸a˜o de equivaleˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Exerc´ıcios do cap´ıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Ane´is 10
2.1 Definic¸o˜es e propriedades ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Subane´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Domı´nios Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Caracter´ıstica de um anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Ideais e ane´is quocientes 19
3.1 Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Ane´is quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Ideais primos e ideais maximais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Homomorfismos de ane´is 26
4.1 Definic¸a˜o e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Propriedades dos homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 O teorema fundamental dos homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4 O corpo de frac¸o˜es de um domı´nio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.5 Lista de exerc´ıcios do Cap´ıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Ane´is de Polinoˆmios 34
5.1 Definic¸a˜o e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2 O Algoritmo da divisa˜o e consequ¨eˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3 Lista de exerc´ıcios do Cap´ıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
ii
SUMA´RIO iii
6 Fatorac¸a˜o de polinoˆmios 41
6.1 Testes de redutibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2 Testes de irredutibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.3 Fatorac¸a˜o u´nica em Z[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.4 Lista de exerc´ıcios do Cap´ıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7 Divisibilidade em domı´nios 51
7.1 Irredut´ıveis e primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.2 Domı´nios de Fatorac¸a˜o u´nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.3 Domı´nios Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.4 Lista de exerc´ıcios do Cap´ıtulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8 Algumas aplicac¸o˜es da fatorac¸a˜o u´nica em domı´nios 60
8.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8.2 O anel Z[ω] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.3 A equac¸a˜o X3 + Y 3 + Z3 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.4 A equac¸a˜o Y 2 + 1 = 2X3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
iv SUMA´RIO
Cap´ıtulo 1
Inteiros
1.1 Propriedades ba´sicas
Vamos recordar aqui as principais propriedades dos inteiros Z = {...,−2,−1, 0, 1, 2, ...} as quais
sera˜o consideradas como axiomas.Elas sera˜o usadas em todo nosso curso.
• Fecho: Se a e b sa˜o inteiros enta˜o a+ b e a.b tambe´m sa˜o.
• Propriedade comutativa: a+ b = b+ a e a.b = b.a para quisquer inteiros a e b.
• Propriedade associativa: (a+ b)+ c = a+(b+ c) e (a.b).c = a.(b.c) para quaisquer inteiros
a, b e c.
• Propriedade distributiva: (a+ b).c = a.c+ b.c para quisquer inteiros a, b e c.
• Elementos neutros: a+ 0 = a e a.1 = a para todo inteiro a.
• Inverso aditivo: Para todo inteiro a existe um inteiro x que e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o a+x = 0.
Tal x e´ denominado inverso aditivo e tem a notac¸a˜o −a.
Obs: a notac¸a˜o b− a significa b+ (−a).
• Cancelamento: Se a, b e c sa˜o inteiros com a.c = b.c com c 6= 0 enta˜o a = b
Tais axiomas nos permitem provar outras propriedades de Z bastante comuns.
Exemplo 1.1.1. Para todo a, b e c em Z temos a.(b+ c) = a.b+ a.c
Com efeito, como sabemos que o produto e´ comutativo em Z segue que
a(b+ c) = (b+ c).a
Pela propriedade distributiva temos que
(b+ c).a = b.a+ c.a
Finalmente usando a propriedade comutativa do produto segue o resultado.
1
2 CAPI´TULO 1. INTEIROS
Exemplo 1.1.2. Podemos provar que 0.a = 0. Para isto, observe que como
0 = 0 + 0
0.a = (0 + 0)a = 0.a+ 0.a
Somando de ambos os lados −0.a teremos que
0 = 0.a = a.0
pela comutatividade do produto.
Exerc´ıcio 1.1.3. Prove que para todo a, b e c em Z temos:
1. (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2
2. (−1)a = −a
3. −(ab) = a(−b)
4. (−a)(−b) = ab
5. −(a+ b) = (−a) + (−b)
A ordem em Z e´ definida usando os inteiros positivos { 1,2,3,...}.
Definic¸a˜o 1.1.4. Se a e b sa˜o inteiros dizemos que a e´ menor que b, e denotamos por a < b
quando b− a for positivo.
Se a < b escrevemos tambe´m b > a.
As principais propriedades da ordem dos inteiros sa˜o :
• Fecho dos inteiros positivos: a soma e o produto de dois inteiros positivos sa˜o positivas.
• Tricotomia : para todo inteiro a, temos que ou a > 0, ou a < 0 ou a = 0.
Outras propriedades da ordem de Z podem ser obtidas atrave´s dessas.
Exemplo 1.1.5. Suponha que a, b e c sa˜o inteiros com a < b e c > 0. Vamos provar que ac < bc.
Por definic¸a˜o a < b significa que
b− a > 0
Pela propriedade do fecho
(b− a)c > 0.
Pela propriedade distributiva e o exerc´ıcio anterior, segue o resultado.
Exerc´ıcio 1.1.6. Prove que se a, b e c ∈ Z, a < b e c < 0 enta˜o ac > bc.
1.1. PROPRIEDADES BA´SICAS 3
Uma propriedade muito importante de Z e´ o princ´ıpio da boa ordenac¸a˜o :
Princ´ıpio da boa ordenac¸a˜o (PBO) Todo subconjunto na˜o vazio de inteiros positivos possui
um menor elemento.
O PBO diz que se S e´ um subconjunto na˜o vazio dos inteiros positivos enta˜o existe um s0 ∈ S
tal que s ≥ s0 para todo s