Distribuição_de_probabilidades_-_parte_3

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DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
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Distribuição Hipergeométrica
Utiliza-se a distribuição hipergeométrica em situações com dois ou mais resultados, em que a probabilidade de sucessos varia de uma prova para outra (extração sem reposição de uma população finita) – observações dependentes.
Se a amostra for menor ou igual a 10 vezes a população, faz-se boa aproximação com a distribuição Binomial.
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Distribuição Hipergeométrica: Exemplo
Numa caixa com 10 fusíveis, 2 são defeituosos. Extraída uma amostra de 4, qual a probabilidade de:
nenhum defeituoso,
1 defeituoso, 
1 ou menos defeituoso? 
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DISTRIBUIÇÃO POLINOMIAL
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Distribuição Multinomial ou Polinomial
Conceito:
Utilizada nas situações onde há mais de dois resultados mutuamente excludentes.
Exigências:
 Que as provas sejam independentes;
 Tenham probabilidade de ocorrência constante;
A probabilidade multinomial de que, em n observações, o resultado E1 ocorra n1 vezes, E2 ocorra n2 vezes, ... , e Ek ocorra nk vezes é dado pela fórmula:
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Distribuição Multinomial ou Polinomial: Exemplo
Exemplo:
Em um processo, 80% da produção de uma máquina é aceitável, 15% necessita de algum reparo, e 5% é imprestável. Numa amostra de 10 itens, qual a probabilidade de obter 8 itens bons, 2 que necessitem de reparos, e nenhum imprestável?
Solução:
n=10 
n1=8 		n2=2 		n3=0
p1=0,80 	p2=0,15 	p3=0,05
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DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA
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Distribuição Geométrica 
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DISTRIBUIÇÃO DE PASCAL OU BINOMIAL NEGATIVA
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Distribuição de Pascal
Nas condições em que foi definida a distribuição geométrica, se considerarmos X como o número de tentativas até se obter o r-ésimo sucesso (exemplo: 17º sucesso), teremos uma distribuição de Pascal.
Sendo r a ordem do sucesso desejado e k o número de tentativas para o obter o sucesso desejado, temos:
k = r , r+1, r+2, .....
média = E(x) = r / p e variância = 2 = r.q / p2
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COMPARAÇÃO ENTRE BINOMIAL E POISSON
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Comparação entre Binomial e Poisson
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RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS
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DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE
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Introdução
Tipos de distribuições contínuas (alguns exemplos):
 UNIFORME OU RETANGULAR
 NORMAL
 BIVARIADA NORMAL
 EXPONENCIAL
 LOGNORMAL
 WEIBULL
 QUI-QUADRADO 2
 t DE STUDENT
 F DE SNEDECOR
 GAMA
 BETA
 ERLANG
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Introdução
Quando se usam as distribuições contínuas?
A variável aleatória discreta apresenta um grande número de resultados.
A variável aleatória em questão é contínua.
Exemplo: Os ponteiros de um relógio podem parar em qualquer dos infinitos pontos do círculo.
Portanto, a probabilidade de parar em um ponto definido é zero.
 Nas distribuições contínuas utilizam-se a probabilidade da ocorrência em um intervalo P(a < x < b).
 Em uma distribuição contínua, a probabilidade é dada pela área contida no intervalo considerado.
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Distribuição Uniforme
Quando se usam as distribuições uniformes?
Quando a variável aleatória pode tomar qualquer valor numa escala contínua entre dois pontos (intervalo) e que estes valores sejam igualmente prováveis.
Distribuição uniforme
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Distribuição Uniforme
Exemplo:
Um vendedor sempre comparece à sua empresa no horário de 3:00 às 4:00h. Neste intervalo cada instante é igualmente provável. Qual a probabilidade dele comparecer entre 3:00 e 3:15h?
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DISTRIBUIÇÃOO NORMAL
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Distribuição Normal
A importância da Distribuição Normal
 Retrata com boa aproximação, as distribuições de freqüência de muitos fenômenos naturais e físicos;
 Serve como aproximação das probabilidades binomiais quando n é grande;
 Representa a distribuição das médias e proporções em grandes amostras, o que tem relevante implicação na amostragem (propriedade mais importante).
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Distribuição Normal
Um pouco de História:
No século XVIII, astrônomos e outros cientistas observaram que medidas repetidas de mensurações como a distância à lua variavam como na figura, quando coletadas em grande número. 
Esta forma gráfica era associada aos erros de mensuração, daí o nome de “Distribuição normal dos erros” e depois “Distribuição normal”.
Também é conhecida por “Distribuição Gaussiana”, em função do modelo matemático desenvolvido por Karl F. Gauss para este comportamento.
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Distribuição Normal
Curva normal típica:
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Distribuição Normal
Características da curva normal:
Tem a forma de sino e é simétrica em relação a média;
Prolonga-se de - a + (apenas em teoria);
Fica completamente especificada por sua média e seu desvio padrão;
A área total sob a curva é considerada 100% ou igual a 1;
A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma variável normalmente distribuída tomar um valor entre esses pontos;
A probabilidade de uma variável aleatória normalmente distribuída tomar exatamente determinado valor é zero;
A área sob a curva entre a média e um ponto arbitrário é função do número de desvios padrões entre a média e aquele ponto.
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Distribuição Normal
A probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área sob a curva normal entre aqueles pontos.
P(a<x<b)
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Distribuição Normal
Equação para traçar uma distribuição normal:
Nesta equação, temos:
f(x) = função de densidade de probabilidade = altura da curva normal no ponto x (não é probabilidade);
x = Ponto da distribuição;
 = média da variável aleatória x;
 = desvio padrão da variável aleatória x.
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Distribuição Normal
Observações:
x -  = distância do ponto considerado até a média.
			= Número de desvios padrões a partir da média.
z = valor z = score z. 
Pode-se ter valores negativos de z para valores de x inferiores à média.
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Distribuição Normal
A distância entre a média e um ponto qualquer é dado em número de desvios padrões (z).
Esta característica nos permite traçar uma outra distribuição normal, com média igual a zero e desvio padrão 1, conhecida como distribuição normal padronizada.
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Distribuição Normal
E porque é importante fazermos a conversão para z? 
Os valores de probabilidade para z são tabelados. 
Como todas as distribuições podem ser convertidas para z, precisamos então somente desta tabela para calcular as probabilidades para todas as distribuições normais.
Tabela z:
Lista os valores de probabilidade para valores de z entre 0 e 3 (para valores negativos, basta olhar o valor positivo correspondente).
Normalmente, a área tabelada mostra valores entre 0 e z. 
Existem outros tipos de tabelas portanto, deve-se sempre verificar a qual área a tabela se refere.
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Distribuição Normal
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Distribuição Normal
Exemplo: 
Qual a probabilidade de 0 < z < 1,25?
Solução:
1,25 = 1,2 + 0,05
Portanto:
P(0<z<1,25) = 0,3944 = 39,44%
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Distribuição Normal
Como determinar outras áreas:
P(-1<z<1) = P(-1<z<0) + P(0<z<1)
Como a curva normal é simétrica:
P(-1<z<0) = P(0<z<1)
Então, buscando na tabela:
P(-1<z<1)=0,3413 + 0,3413
P(-1<z<1)=0,6826 = 68,26%
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