Primeira Lista de Exercicios - Dinamica de Estruturas Aeronauticas

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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA 
Faculdade de Engenharia Mecânica 
Colegiado do Curso de Graduação em Eng. Aeronáutica 
 
 
 
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PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS 
DINÂMICA DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS - FEMEC43061 
ftp://ftp.mecanica.ufu.br/LIVRE/Aldemir/Disciplinas/FEMEC43061/ 
 
 
1º Exercício: Utilizando o Princípio do Trabalho Virtual, e admitindo pequenos deslocamentos e rotações, 
obtenha as equações do movimento para o sistema mecânico ilustrado na figura abaixo. Sabe-se que na 
posição  = 0o as duas molas estão indeformadas. 
 
 
 
2º Exercício: Utilizando o Princípio de Hamilton, obtenha as equações do movimento para o sistema 
considerado no 1º Exercício. 
 
3º Exercício: Utilizando o Princípio de Hamilton, e admitindo pequenos deslocamentos e rotações, obtenha as 
equações do movimento para o sistema mecânico ilustrado na figura abaixo. Sabe-se que na posição  = 0o 
todas as molas estão indeformadas. 
 
 
 
4º Exercício: Utilizando as Equações de Lagrange, obtenha as equações do movimento para o sistema 
considerado no 3º Exercício. 
 
 
 
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5º Exercício: Dois pêndulos com massas concentradas m dispostas nas extremidades de hastes extremamente 
finas são acoplados por meio de uma mola k. Considerando os ângulos 1 e 2 como as coordenadas 
generalizadas, determine as equações do movimento do sistema com base nas Equações de Lagrange. Admita 
pequenos deslocamentos e rotações. 
 
 
 
6º Exercício: Obtenha as equações do movimento para o sistema considerado no 5º Exercício quando uma 
força f(t) é aplicada horizontalmente na massa do pêndulo com origem O’. 
 
7º Exercício: Uma viga rígida de massa m suporta uma massa M em sua extremidade. Esta mesma barra é 
suportada por duas molas. Contudo, a base na qual a mola de rigidez k1 está fixada é móvel (deslocamento 
z(t)). Considerando a força F(t) aplicada no centro de massa do sistema, obtenha as equações do movimento 
utilizando as Equações de Lagrange. Admita pequenos deslocamentos e rotações. 
 
 
 
8º Exercício: Um modelo dinâmico de um automóvel é ilustrado na figura abaixo, sendo formado por um 
corpo rígido horizontal AB de massa M e momento de inércia de massa em relação ao centro de massa IG. As 
suspensões dianteira e traseira são modeladas por associações de massas, amortecedores viscosos e molas 
concentradas. Considerando o sistema em equilíbrio estático, obter as equações do movimento e representá-
las na forma matricial utilizando as Equações de Lagrange. Admitir que os deslocamentos e rotações sejam 
pequenos. 
 
z(t) 
 
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9º Exercício: Considere o modelo aeroelástico conhecido por seção típica, ilustrado na figura abaixo, onde: 
 P é o centro elástico, no qual o aerofólio é conectado à base por meio das molas cujos coeficientes de 
rigidez são kh e k; 
 C é o centro de massa do aerofólio; 
 Q é centro aerodinâmico, no qual está aplicada a força de sustentação; 
 b é a semicorda; 
 e e a são valores adimensionais que determinam as posições de C e P, respectivamente; 
 Ic é o momento de inércia em relação ao ponto C. 
 
Sabendo ainda que, de acordo com a teoria da aerodinâmica estacionária, a sustentação é dada por 
L = 2πρ∞bU
2, onde U é a velocidade do escoamento e ρ∞ é a densidade do ar, utilizando as Equações de 
Lagrange, considerando h(t) e  (t) como coordenadas generalizadas, obtenha as equações do movimento para 
o sistema aeroelástico em questão. Admita pequenos deslocamentos e rotações. 
 
 
 
 
10º Exercício: A aeronave, de envergadura 30 m, constituída de uma fuselagem rígida e duas semi-asas 
flexíveis, é suportada pelos seus trens de aterrissagens como ilustrada na Figura abaixo. A aeronave tem sua 
massa mf = 20.000 kg e momento de inércia de massa J0 = 5x10
6 kgm2 para rotações de arfagem em torno do 
centro de gravidade da aeronave (ponto CG). Cada semi-asa flexível, fixa à fuselagem, é considerada como 
uma viga em balanço (engastada-livre) e apresenta massa m = 2.500 kg e rigidez à flexão k = 3 EI/L3, onde L é a 
semi-envergadura e EI = 15x109 Nm2. O trem de pouso dianteiro, localizado 3 m à frente do CG da aeronave 
tem rigidez e amortecimento dados pelas variáveis k1 = 5 kN/m e c1 = 5 kNs/m, enquanto o trem de pouso 
principal está localizado à 1,5 m atrás do CG da aeronave e tem sua rigidez e amortecimento dados pelas 
constantes k2 = 10 kN/m e c2 = 2 kNs/m. Considere que a vibração da aeronave seja descrita pelo 
z2(t) z1(t) 
F(t) 
 
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deslocamento vertical xCG(t) do CG, rotação de arfagem CG (t) da aeronave em torno do CG e deslocamentos 
verticais das extremidades de cada semi-asa x1(t) e x2(t), todos medidos à partir do equilíbrio estático. 
 
 
 
 
 
Figura – Representação Esquemática da aeronave em Análise. 
 
Para o sistema de quatro graus de liberdade ilustrado acima, obtenha as equações diferenciais do 
movimento utilizando as Equações de Lagrange em termos de xCG(t), CG(t), x1(t) e x2(t). Admita pequenos 
deslocamentos e rotações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bom estudos! 
 
Prof. Aldemir. 
f (t) 
CG (t) 
xCG (t) 
x1 (t) x2 (t) 
m k = 3EI/L3 m k = 3EI/L
3
 
L
 
L