UCA001 Estatistica Tema16 (1)

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Correlação linear simples e coeficiente 
de correlação e covariância
José Tadeu de Almeida
Introdução
Nesta aula, estudaremos indicadores que permitem avaliar o grau de associação entre diferen-
tes variáveis. Por meio dos conceitos de correlação e covariância, veremos em quais situações a tra-
jetória de uma variável afeta uma segunda variável, e em qual medida tal situação pode se verificar. 
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • compreender os conceitos de correlação linear e covariância.
1 Correlação Linear
Um levantamento estatístico pode trazer, como resultado, dados que se entrecruzam e se 
relacionam. Tal situação ocorre, por exemplo, quando o pesquisador efetua análises conhecidas 
como bidimensionais. Imagine um caso em que se associa o tempo de estudo às notas conse-
guidas na prova por um grupo de pessoas: são tomadas observações de cada aluno em relação a 
essas duas variáveis. 
Com base nos resultados obtidos, será possível verificar a relação entre o tempo de estudo e 
a nota. Pode-se esperar que haja notas melhores entre os alunos que mais estudaram? Se a res-
posta for positiva, teremos uma relação entre variáveis. 
FIQUE ATENTO!
Análises também podem ser multidimensionais. Podemos, por exemplo, estudar a 
altura, o peso e a idade de uma população, e efetuar deduções sobre o comporta-
mento dessas variáveis em conjunto.
Nesse sentido, para podermos saber se a relação é mais ou menos intensa, sobretudo 
para amostras com um número grande de elementos, utilizamos o coeficiente de correlação. 
Este índice nos mostra, por meio de um único número, o grau de associação de uma variável em 
relação a outra (BUSSAB; MORETTIN, 2010).
SAIBA MAIS!
Esse índice também é conhecido como coeficiente de correlação de Pearson, em 
referência a Karl Pearson (1857-1936).
Quando essas variáveis são quantitativas, ou seja, envolvem valores que podem ser separa-
dos por frequências (que são o número de vezes que um determinado valor é observado), verifi-
camos o grau de associação entre variáveis por meio da análise da correlação existente entre as 
elas, e também por análise gráfica.
FIQUE ATENTO!
Pode-se também usar variáveis qualitativas em análises bidimensionais, como a 
análise do peso e do gênero de uma população, por exemplo.
Pela análise gráfica, podemos verificar – embora não de forma conclusiva – a relação entre 
diferentes variáveis de pesquisa. Tomemos, como exemplo, um estudo que procurou avaliar a 
relação entre altura e idade de um grupo de crianças entre oito e nove anos. Confira a disposição 
dos dados coletados. 
Figura 1 – Amostras de altura e idade de um grupo
95 100 105 110
110
115
120
125
130
135
Al
tu
ra
 (c
m
)
Idade (meses)
Fonte: elaborada pelo autor, 2017
Você pode observar, pelo gráfico apresentado, que parece não haver uma relação intensa 
entre o aumento da idade e o aumento da estatura das crianças, uma vez que há algumas com 
menor idade e altura maior, e outras com menor altura e maior idade. 
Agora, considere o segundo exemplo: um indivíduo deseja efetuar um teste ergométrico em 
esteira para verifi car sua saúde cardíaca. Para isso, foi medida sua frequência cardíaca (em bati-
mentos por minuto) ao longo de vinte minutos. Os dados colhidos estão dados a seguir. 
Figura 2 – Frequência cardíaca em um intervalo de tempo
70
0 5 10 15
Tempo (minutos)
50
90
110
130
150
170
190
210
20
FC
 (B
pm
)
Fonte: elaborada pelo autor, 2017. 
Aqui, podemos concluir que há uma relação entre variáveis bastante signifi cativa: à medida 
que o exame prossegue, a frequência cardíaca segue aumentando. 
Figura 3 – Correlação de frequência cardíaca e tempo 
Fonte: Ververidis Vasilis / Shutterstock.com
Nesse caso, portanto, visualizamos, pela análise gráfi ca, uma correlação linear entre variá-
veis: o tempo e a frequência cardíaca (BUSSAB; MORETTIN, 2010). 
2 Correlação Simples
Tenha em mente que a análise gráfi ca é bastante útil para verifi carmos as correlações, porém 
nem sempre é efi ciente. Podemos, com ela, saber se há uma relação entre as variáveis e o modo 
como ela ocorre (se é direta ou inversamente proporcional), mas não sua intensidade. 
Assim, precisamos abordar novos conceitos. Com a correlação linear simples, podemos veri-
fi car em que medida uma variável dita independente (ou seja, que não é gerada por nenhuma outra) 
afeta uma variável dependente, cujas observações dependem de outra variável para serem geradas 
(BUSSAB; MORETTIN, 2010). Se voltarmos ao exemplo anterior, a frequência cardíaca é a variável 
dependente, pois seus resultados estão associados ao tempo de desenvolvimento do exame. 
Por outro lado, quando tratamos de correlação, não estamos atribuindo relações de causa 
e efeito. Não se trata de defi nir que Y ocorre apenas porque X ocorre! A correlação demonstra a 
tendência da variação de uma variável Y perante a variação de X. 
Há diversos tipos de associação entre variáveis, mas, aqui, trataremos do exemplo mais sim-
ples para estudo: a correlação linear simples. Neste caso, por meio do exame do comportamento 
de duas variáveis, podemos obter o grau de correlação entre elas. Observe!
Figura 4 – Perfi s de correlação entre variáveis
Y
X
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Você pode perceber que no conjunto de dados mais à esquerda, há um perfi l de crescimento 
das observações da variável dependente Y em relação à variável independente X: os valores de 
Y crescem à medida que crescem os valores de X. Assim, podemos afi rmar que a correlação é 
positiva. No conjunto à direita, verifi camos uma situação de correlação negativa, ou inversa, pois 
as observações de Y diminuem à medida que X cresce. Por fi m, o conjunto de dados ao meio 
não aparenta nenhuma inclinação, podendo-se assim afi rmar que a correlação é nula (BUSSAB; 
MORETTIN, 2010).
Para obtermos com precisão a correlação entre diferentes variáveis, lançamos mão do coefi -
ciente de correlação de Pearson, sobre o qual trataremos na próxima seção.
3 Coefi ciente de correlação
O coefi ciente de correlação é um indicador que permite ao pesquisador avaliar o grau de 
associação entre variáveis em uma pesquisa. Por meio dele, podemos detectar precisamente em 
que proporção a variável independente afeta a variável dependente (BUSSAB; MORETTIN, 2010).
O coefi ciente de correlação entre duas variáveis (X,Y), é dado pela seguinte fórmula:
( ) 1,
         
= ×= ×   
   
   
   
   
   
   
   
= ×   = ×         (   (   (   ( )   )   )   ) (   (   (   ( )   )   )   )         
= ×   = ×   = ×   = ×(
= ×
(   (
= ×
(   (
= ×
(   (
= ×
( )
= ×
)   )
= ×
)   )
= ×
)   )
= ×
)
= ×   = ×   = ×   = ×
   (   ( )   ) (   ( )   )         )   )   )   )
         
   
         )   )   )   )   )
   )   )   )∑= ×∑= ×
n
         
i i         = ×   = ×   = ×   = ×
i i= ×   = ×   = ×   = ×
   x X y Y      − −   x X y Y   − −   
   
x X y Y
   
   
   
   x X y Y   
   
   
   
x X y Y
   
   
   
   x X y Y   
   
   
= ×   = ×
x X y Y
= ×   = ×         
x X y Y
         = ×   = ×   = ×   = ×
x X y Y
= ×   = ×   = ×   = ×
   
i i
   x X y Y   i i      i i   
x X y Y
   i i   
   
   
   
i i
   
   
   x X y Y  
   
   
i i
   
   
   
= ×   = ×i i= ×   = ×
x X y Y
= ×   = ×i i= ×   = ×         
i i         
x X y Y
         
i i         = ×   = ×   = ×   = ×
i i= ×   = ×   = ×   = ×
x X y Y
= ×   = ×   = ×   = ×
i i= ×   = ×   = ×   = ×Corr X Y(Corr X Y( ,Corr X Y, n dp X dp Y1n dp X dp Y1=n dp X dp Y=
         n dp X dp Y         (   (   (   (n dp X dp Y(   (   (   ( )   )   )   )n dp X dp Y)   )   )   ) (   (   (   (n dp X dp Y(   (   (   (   n dp X dp Y   (   (n dp X dp Y(   ( )   )n dp X dp Y)   ) (   (n dp X dp Y(   (         n dp X dp Y         (   (   (   (n dp X dp Y(   (   (   ( )   )   )   )n dp X dp Y)   )   )   ) (   (   (   (n dp X dp Y(   (   (   (
         
   
         n dp X dp Y            
         (   (   (   (   (
   (   (   (n dp X dp Y(   (   (   (   (
   (   (   ( )   )   )   )   )
   )   )   )n dp X dp Y)   )   )   )   )
   )   )   ) (   (   (   (   (
   (   (   (n dp X dp Y(   (   (   (   (
   (   (   (∑n dp X dp Y∑in dp X dp Yi
Estamos, portanto, efetuando um cálculo da média da somatória dos desvios médios 
padronizados.
Perceba que as identidades ( )i( )i( )( )x X( )( )−( )x X( )−( )( )i( )x X( )i( ) e ( )i( )i( )( )y Y( )( )−( )y Y( )−( )( )i( )y Y( )i( ) representam os desvios médios de cada valor 
das variáveis, ou seja, demonstram a distância entre cada valor i (sendo i = 1, 2, 3...n) e a média da 
variável. Se temos, por exemplo, que a média Y é 3, e o valor 1y é igual a 5, o desvio médio de 1y 
é igual a 2.
Os desvios padrões ( )dp X(dp X( de uma amostra são dados pela raiz quadrada da soma dos des-
vios médios divididos por (n-1) graus de liberdade, por meio da fórmula:
( )
( )22 1
1
==
−
∑
n
ii
x X−x X−ix Xidp X(dp X(
n
O desvio padrão, enquanto raiz quadrada da variância, que é uma medida da dispersão geral 
dos dados em torno da média, demonstra se a distribuição dos dados de uma variável é ou não sig-
nifi cativa. Valores baixos de desvio padrão demonstram uma baixa dispersão, e vice-versa (BUS-
SAB; MORETTIN, 2010).
Com base nesses conceitos, percebemos que o coefi ciente de correlação
( ) 1, ), )corr X Y(corr X Y( , corr X Y, 
n dp X dp Y
, 
n dp X dp Y
, 
         x X y Y   x X y Yi ix X y Yi i   i ix X y Yi ix X y Y   x X y Y− −x X y Y   x X y Y= ×= ×, = ×,    
x X y Y
   
x X y Yi ix X y Yi i   i i
x X y Yi i      
   x X y Y   x X y Y
   
x X y Y   x X y Yi ix X y Yi i   i ix X y Yi i   i i
x X y Yi i   i ix X y Yi i= ×   = ×
x X y Y
= ×
x X y Y
   
x X y Y
= ×
x X y Yi ix X y Yi i= ×i ix X y Yi i   i i
x X y Yi i= ×i ix X y Yi i         (   (   (   ( )   )   )   ) (   (   (   ( )   )   )   )         
i i   i i   
i i   i i
x X y Y
   
x X y Y
   
x X y Y
   
x X y Yi ix X y Yi i   i i
x X y Yi i
   
i ix X y Yi i   i i
x X y Yi i
n dp X dp Y   n dp X dp Y   n dp X dp Y   n dp X dp Y(n dp X dp Y(   (n dp X dp Y(   (n dp X dp Y(   (n dp X dp Y( )n dp X dp Y)   )n dp X dp Y)   )n dp X dp Y)   )n dp X dp Y) (n dp X dp Y(   (n dp X dp Y(   (n dp X dp Y(   (n dp X dp Y(
= ×   = ×   = ×   = ×(
= ×
(   (
= ×
(   (
= ×
(   (
= ×
( )
= ×
)   )
= ×
)   )
= ×
)   )
= ×
)
= ×   = ×   = ×   = ×
i i= ×i i   i i= ×i i   
i i= ×i i   i i= ×i i
x X y Y
= ×
x X y Y
   
x X y Y
= ×
x X y Y
   
x X y Y
= ×
x X y Y
   
x X y Y
= ×
x X y Yi ix X y Yi i= ×i ix X y Yi i   i i
x X y Yi i= ×i ix X y Yi i   
i ix X y Yi i= ×i ix X y Yi i   i i
x X y Yi i= ×i ix X y Yi i
   (   ( )   ) (   ( )   )n dp X dp Y   n dp X dp Y(n dp X dp Y(   (n dp X dp Y( )n dp X dp Y)   )n dp X dp Y) (n dp X dp Y(   (n dp X dp Y(         )   )   )   )n dp X dp Y   n dp X dp Y   n dp X dp Y   n dp X dp Y(n dp X dp Y(   (n dp X dp Y(   (n dp X dp Y(   (n dp X dp Y( )n dp X dp Y)   )n dp X dp Y)   )n dp X dp Y)   )n dp X dp Y) (n dp X dp Y(   (n dp X dp Y(   (n dp X dp Y(   (n dp X dp Y(
         
   
         )   )   )   )   )
   )   )   )n dp X dp Y   n dp X dp Y   n dp X dp Y   n dp X dp Y   n dp X dp Y
   n dp X dp Y   n dp X dp Y   n dp X dp Y(n dp X dp Y(   (n dp X dp Y(   (n dp X dp Y(   (n dp X dp Y(   (n dp X dp Y(
   (n dp X dp Y(   (n dp X dp Y(   (n dp X dp Y( )n dp X dp Y)   )n dp X dp Y)   )n dp X dp Y)   )n dp X dp Y)   )n dp X dp Y)
   )n dp X dp Y)   )n dp X dp Y)   )n dp X dp Y) (n dp X dp Y(   (n dp X dp Y(   (n dp X dp Y(   (n dp X dp Y(   (n dp X dp Y(
   (n dp X dp Y(   (n dp X dp Y(   (n dp X dp Y(∑, ∑, n dp X dp Y∑n dp X dp Y, n dp X dp Y, ∑, n dp X dp Y, = ×∑= ×, = ×, ∑, = ×, 
 consiste em uma padronização dos dados da distribuição. Ao 
dividir a soma dos desvios médios pelo desvio padrão, e depois novamente pelo total de dados, 
podemos confi nar os valores de qualquer distribuição em torno de um conjunto de valores com-
preendido por A = {-1, 1}, de modo que:
( )1 , 1(1 , 1( )1 , 1)− ≤ ≤1 , 1− ≤ ≤1 , 1)1 , 1)− ≤ ≤)1 , 1)1 , 1corr X Y1 , 1(1 , 1(corr X Y(1 , 1(1 , 1− ≤ ≤1 , 1corr X Y1 , 1− ≤ ≤1 , 1(1 , 1(− ≤ ≤(1 , 1(corr X Y(1 , 1(− ≤ ≤(1 , 1(
Assim, se o coefi ciente de correlação linear entre duas variáveis X e Y é 1 dizemos que existe 
uma forte correlação linear positiva entre as mesmas. O mesmo pode ser dito se o coefi ciente de 
correlação entre X e Y for -1, nesse caso, há uma forte correlação linear negativa entre X e Y. 
n
i=1
SAIBA MAIS!
Conheça mais sobre a correlação com a leitura do artigo de Maria Eugénia Martins, 
no link: <https://www.fc.up.pt/pessoas/jfgomes/pdf/vol_2_num_2_69_art_coefi cien-
teCorrelacaoAmostral.pdf>. 
Continuemos a análise da fórmula do coefi ciente de correlação. Transformando essa 
fórmula algebricamente a partir de um conjunto fi nito de dados de associação entre variáveis 
( ) ( ) ( ){ }1 1 2 2)1 1 2 2) (1 1 2 2( n nx y x y x y)x y x y x y) (x y x y x y( )x y x y x y) (x y x y x y(x y x y x y)x y x y x y) (x y x y x y(1 1 2 2x y x y x y1 1 2 2)1 1 2 2)x y x y x y)1 1 2 2) (1 1 2 2(x y x y x y(1 1 2 2(, , , , , ,x y x y x y, , , , , ,), , , , , ,)x y x y x y), , , , , ,) (, , , , , ,(x y x y x y(, , , , , ,(1 1 2 2, , , , , ,1 1 2 2x y x y x y1 1 2 2, , , , , ,1 1 2 2)1 1 2 2), , , , , ,)1 1 2 2)x y x y x y)1 1 2 2), , , , , ,)1 1 2 2) (1 1 2 2(, , , , , ,(1 1 2 2(x y x y x y(1 1 2 2(, , , , , ,(1 1 2 2( …x y x y x y…, , , , , ,…, , , , , ,x y x y x y, , , , , ,…, , , , , ,n nx y x y x yn n, , , , , ,n n, , , , , ,x y x y x y, , , , , ,n n, , , , , , , temos a seguinte expressão:
( ) ( )
( )( )2 2 2 22 2 2 2
1,
          ∑ −)∑ −)
= × == × =   
   
   
   
= × =   = × =         (   (   (   ( )   )   )   ) (   (   (  ( )   )   )   )
= × =   = × =   = × =   = × =(
= × =
(   (
= × =
(   (
= × =
(   (
= × =
( )
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)
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= × =
(   (
= × =
(   (
= × =
(   (
= × =
( )
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      )   )(   (2 2 2 2   2 2 2 22 2 2 2   2 2 2 2)2 2 2 2)   )2 2 2 2)(2 2 2 2(   (2 2 2 2(   (   ( )   ) (   ( )   )         )   )   )   )
         
   
         )   )   )   )   )
   )   )   ) 2 2 2 2∑ − ∑ −2 2 2 2   ∑ − ∑ −   2 2 2 2   2 2 2 2∑ − ∑ −2 2 2 2   2 2 2 2)2 2 2 2)   )2 2 2 2)∑ − ∑ −)2 2 2 2)   )2 2 2 2)(2 2 2 2(   (2 2 2 2(∑ − ∑ −(2 2 2 2(   (2 2 2 2(   )   )(   (         ∑ − ∑ −   ∑ − ∑ −   ∑ − ∑ −         ∑ − ∑ −   
∑= × =∑= × =
n
i i= × =   = × =   = × =   = × =
i i= × =   = × =   = × =   = × =
   i i   )   )i i)   )(   (i i(   (
x y nXY)x y nXY)∑ −x y nXY∑ −)∑ −)x y nXY)∑ −)i ix y nXYi i∑ −i i∑ −x y nXY∑ −i i∑ −   x X y Y      − −   x X y Y   − −      x X y Y   
   
   
   x X y Y   
   
   
= × =   = × =
x X y Y
= × =   = × == × =   = × =   = × =   = × =
x X y Y
= × =   = × =   = × =   = × =
   
i i
   x X y Y   i i      i i   
x X y Y
   i i   
   
   
   
i i
   
   
   x X y Y   
   
   
i i
   
   
   
= × =   = × =i i= × =   = × =
x X y Y
= × =   = × =i i= × =   = × == × =   = × =   = × =   = × =
i i= × =   = × =   = × =   = × =
x X y Y
= × =   = × =   = × =   = × =
i i= × =   = × =   = × =   = × =Corr X Y(Corr X Y( ,Corr X Y, n dp X dp Y1n dp X dp Y1=n dp X dp Y=
         n dp X dp Y         (   (   (   (n dp X dp Y(   (   (   ( )   )   )   )n dp X dp Y)   )   )   ) (   (   (   (n dp X dp Y(   (   (   (   n dp X dp Y   (   (n dp X dp Y(   ( )   )n dp X dp Y)   ) (   (n dp X dp Y(   (         n dp X dp Y         (   (   (   (n dp X dp Y(   (   (   ( )   )   )   )n dp X dp Y)   )   )   ) (   (   (   (n dp X dp Y(   (   (   (
         
   
         n dp X dp Y            
         (   (   (   (   (
   (   (   (n dp X dp Y(   (   (   (   (
   (   (   ( )   )   )   )   )
   )   )   )n dp X dp Y)   )   )   )   )
   )   )   ) (   (   (   (   (
   (   (   (n dp X dp Y(   (   (   (   (
   (   (   (∑n dp X dp Y∑in dp X dp Yi x nX y nY2 2 2 2x nX y nY2 2 2 2∑ − ∑ −x nX y nY∑ − ∑ −2 2 2 2∑ − ∑ −2 2 2 2x nX y nY2 2 2 2∑ − ∑ −2 2 2 2   ∑ − ∑ −   x nX y nY   ∑ − ∑ −   2 2 2 2   2 2 2 2∑ − ∑ −2 2 2 2   2 2 2 2x nX y nY2 2 2 2   2 2 2 2∑ − ∑ −2 2 2 2   2 2 2 2)2 2 2 2)   )2 2 2 2)∑ − ∑ −)2 2 2 2)   )2 2 2 2)x nX y nY)2 2 2 2)   )2 2 2 2)∑ − ∑ −)2 2 2 2)   )2 2 2 2)(2 2 2 2(   (2 2 2 2(∑ − ∑ −(2 2 2 2(   (2 2 2 2(x nX y nY(2 2 2 2(   (2 2 2 2(∑ − ∑ −(2 2 2 2(   (2 2 2 2(   x nX y nY   ∑ − ∑ −   ∑ − ∑ −x nX y nY∑ − ∑ −   ∑ − ∑ −∑ − ∑ −   ∑ − ∑ −x nX y nY∑ − ∑ −   ∑ − ∑ −   ∑ − ∑ −         ∑ − ∑ −   x nX y nY   ∑ − ∑ −         ∑ − ∑ −   )   )∑ − ∑ −)   )   )   )∑ − ∑ −)   )x nX y nY)   )∑ − ∑ −)   )   )   )∑ − ∑ −)   )(   (∑ − ∑ −(   (   (   (∑ − ∑ −(   (x nX y nY(   (∑ − ∑ −(   (   (   (∑ − ∑ −(   (2 2 2 2   2 2 2 2∑ − ∑ −2 2 2 2   2 2 2 2   2 2 2 2   2 2 2 2∑ − ∑ −2 2 2 2   2 2 2 2x nX y nY2 2 2 2   2 2 2 2∑ − ∑ −2 2 2 2   2 2 2 2   2 2 2 2   2 2 2 2∑ − ∑ −2 2 2 2   2 2 2 2)2 2 2 2)   )2 2 2 2)∑ − ∑ −)2 2 2 2)   )2 2 2 2)   )2 2 2 2)   )2 2 2 2)∑ − ∑ −)2 2 2 2)   )2 2 2 2)x nX y nY)2 2 2 2)   )2 2 2 2)∑ − ∑ −)2 2 2 2)   )2 2 2 2)   )2 2 2 2)   )2 2 2 2)∑ − ∑ −)2 2 2 2)   )2 2 2 2)(2 2 2 2(   (2 2 2 2(∑ − ∑ −(2 2 2 2(   (2 2 2 2(   (2 2 2 2(   (2 2 2 2(∑ − ∑ −(2 2 2 2(   (2 2 2 2(x nX y nY(2 2 2 2(   (2 2 2 2(∑ − ∑ −(2 2 2 2(   (2 2 2 2(   (2 2 2 2(   (2 2 2 2(∑ − ∑ −(2 2 2 2(   (2 2 2 2(   i i   x nX y nY   i i   )   )i i)   )x nX y nY)   )i i)   )(   (i i(   (x nX y nY(   (i i(   (∑ − ∑ −   ∑ − ∑ −i i∑ − ∑ −   ∑ − ∑ −x nX y nY∑ − ∑ −   ∑ − ∑ −i i∑ − ∑ −   ∑ − ∑ −)∑ − ∑ −)   )∑ − ∑ −)i i)∑ − ∑ −)   )∑ − ∑ −)x nX y nY)∑ − ∑ −)   )∑ − ∑ −)i i)∑ − ∑ −)   )∑ − ∑ −)(∑ − ∑ −(   (∑ − ∑ −(i i(∑ − ∑ −(   (∑ − ∑ −(x nX y nY(∑ − ∑ −(   (∑ − ∑ −(i i(∑ − ∑ −(   (∑ − ∑ −(   ∑ − ∑ −         ∑ − ∑ −   i i   ∑ − ∑ −         ∑ − ∑ −   x nX y nY   ∑ − ∑ −         ∑ − ∑ −   i i   ∑ − ∑ −         ∑ − ∑ −   )   )∑ − ∑ −)   )   )   )∑ − ∑ −)   )i i)   )∑ − ∑ −)   )   )   )∑ − ∑ −)   )x nX y nY)   )∑ − ∑ −)   )   )   )∑ − ∑ −)   )i i)   )∑ − ∑ −)   )   )   )∑ − ∑ −)   )(   (∑ − ∑ −(   (   (   (∑ − ∑ −(   (i i(   (∑ − ∑ −(   (   (   (∑ − ∑ −(   (x nX y nY(   (∑ − ∑ −(   (   (   (∑ − ∑ −(   (i i(   (∑ − ∑ −(   (   (   (∑ − ∑ −(   (
Quanto mais o coefi ciente estiver próximo de -1, a correlação entre duas variáveis será inversa 
(observe o conjunto de dados à direita última fi gura); estando próximo de 1, a correlação é positiva, 
sendo nula quando for igual a zero.
EXEMPLO
Qual o coefi ciente de correlação entre os pares ordenados (X,Y) = {(1,3), (2,2), (3,1)}? 
Para responder a essa questão, trace o gráfi co correspondente. Você verá que a 
correlação é inversa. Porém, para o cálculo preciso, iniciemos pelas médias:
1 1 2 3 6 2
3 3
= 1 2 3 6+ +1 2 3 6= = = == = = == = = == = = =∑
n
ii
 x
X
n
1 3 2 1 6 2
3 3
= 3 2 1 6+ +3 2 1 6= = = == = = == = = == = = =∑
n
ii
y
Y
n
Calculamos, por fi m, o coefi ciente de correlação:
( ) ( )
( ) ( )2 2 2 22 2 2 2)2 2 2 2)2 2 2 2(2 2 2 2(
1,
          ∑ −)∑ −)
= × == × =   
   
   
   
= × =   = × =         (   (   (   ( )   )   )   ) (   (   (   ( )   )   )   )
= × =   = × =   = × =   = × =(
= × =
(   (
= × =
(   (
= × =
(   (
= × =
( )
= × =
)   )
= × =
)   )
= × =
)   )
= × =
)
= × =   = × =   = × =   = × =(
= × =
(   (
= × =
(   (
= × =
(   (
= × =
( )
= × =
)   )
= × =
)   )
= × =
)   )
= × =
)
= × =   = × =   = × =   = × = ∑ − × ∑ −2 2 2 2∑ − × ∑ −2 2 2 2)2 2 2 2)∑ − × ∑ −)2 2 2 2) (2 2 2 2(∑ − × ∑ −(2 2 2 2(   (   ( )   ) (   ( )   )         )   )   )   )
         
   
         )   )   )   )   )
   )   )   )∑= × =∑= × =
n
i i= × =   = × =   = × =  = × =
i i= × =   = × =   = × =   = × =
i i)i i) (i i(
x y nXY)x y nXY)x y nXY∑ −x y nXY∑ −)∑ −)x y nXY)∑ −)i ix y nXYi i∑ −i i∑ −x y nXY∑ −i i∑ −   x X y Y      − −   x X y Y   − −      x X y Y   
   
   
   x X y Y   
   
   
= × =   = × =
x X y Y
= × =   = × == × =   = × =   = × =   = × =
x X y Y
= × =   = × =   = × =   = × =
   
i i
   x X y Y   i i      i i   
x X y Y
   i i   
   
   
   
i i
   
   
   x X y Y   
   
   
i i
   
   
   
= × =   = × =i i= × =   = × =
x X y Y
= × =   = × =i i= × =   = × == × =   = × =   = × =   = × =
i i= × =   = × =   = × =   = × =
x X y Y
= × =   = × =   = × =   = × =
i i= × =   = × =   = × =   = × =Corr X Y(Corr X Y( ,Corr X Y, n dp X dp Y1n dp X dp Y1=n dp X dp Y=
         n dp X dp Y         (   (   (   (n dp X dp Y(   (   (   ( )   )   )   )n dp X dp Y)   )   )   ) (   (   (   (n dp X dp Y(   (   (   (   n dp X dp Y   (   (n dp X dp Y(   ( )   )n dp X dp Y)   ) (   (n dp X dp Y(   (         n dp X dp Y         (   (   (   (n dp X dp Y(   (   (   ( )   )   )   )n dp X dp Y)   )   )   ) (   (   (   (n dp X dp Y(   (   (   (
         
   
         n dp X dp Y            
         (   (   (   (   (
   (   (   (n dp X dp Y(   (   (   (   (
   (   (   ( )   )   )   )   )
   )   )   )n dp X dp Y)   )   )   )   )
   )   )   ) (   (   (   (   (
   (   (   (n dp X dp Y(   (   (   (   (
   (   (   (∑n dp X dp Y∑in dp X dp Yi x nX y nY2 2 2 2x nX y nY2 2 2 2x nX y nY∑ − × ∑ −x nX y nY∑ − × ∑ −)∑ − × ∑ −)x nX y nY)∑ − × ∑ −) (∑ − × ∑ −(x nX y nY(∑ − × ∑ −(2 2 2 2∑ − × ∑ −2 2 2 2x nX y nY2 2 2 2∑ − × ∑ −2 2 2 2)2 2 2 2)∑ − × ∑ −)2 2 2 2)x nX y nY)2 2 2 2)∑ − × ∑ −)2 2 2 2) (2 2 2 2(∑ − × ∑ −(2 2 2 2(x nX y nY(2 2 2 2(∑ − × ∑ −(2 2 2 2(i ix nX y nYi i)i i)x nX y nY)i i) (i i(x nX y nY(i i(∑ − × ∑ −i i∑ − × ∑ −x nX y nY∑ − × ∑ −i i∑ − × ∑ −)∑ − × ∑ −)i i)∑ − × ∑ −)x nX y nY)∑ − × ∑ −)i i)∑ − × ∑ −) (∑ − × ∑ −(i i(∑ − × ∑ −(x nX y nY(∑ − × ∑ −(i i(∑ − × ∑ −(
( ) ( ) ( )
( ) ( )2
1 3 2 2 3 1 3 2 2)1 3 2 2 3 1 3 2 2) (1 3 2 2 3 1 3 2 2( )1 3 2 2 3 1 3 2 2) (1 3 2 2 3 1 3 2 2( )1 3 2 2 3 1 3 2 2) 2 1
21 4 9 12 9 4 1 12)1 4 9 12 9 4 1 12) (1 4 9 12 9 4 1 12(
1 3 2 2 3 1 3 2 2× + × + × − × ×1 3 2 2 3 1 3 2 2)1 3 2 2 3 1 3 2 2)× + × + × − × ×)1 3 2 2 3 1 3 2 2) (1 3 2 2 3 1 3 2 2(× + × + × − × ×(1 3 2 2 3 1 3 2 2( )1 3 2 2 3 1 3 2 2)× + × + × − × ×)1 3 2 2 3 1 3 2 2) (1 3 2 2 3 1 3 2 2(× + × + × − × ×(1 3 2 2 3 1 3 2 2( )1 3 2 2 3 1 3 2 2)× + × + × − × ×)1 3 2 2 3 1 3 2 2) −
= = = −
(
= = = −
( )
= = = −
) (
= = = −
( )
= = = −
) (
= = = −
( )
= = = −
)
= = = −= = = −
1 4 9 12 9 4 1 12+ + − × + + −1 4 9 12 9 4 1 12)1 4 9 12 9 4 1 12)+ + − × + + −)1 4 9 12 9 4 1 12) (1 4 9 12 9 4 1 12(+ + − × + + −(1 4 9 12 9 4 1 12(
Desse modo, obtemos uma estimação precisa das relações entre variáveis e seu grau 
de associação. 
FIQUE ATENTO!
Apenas como referência, o coefi ciente de correlação associado à distribuição de 
dados da fi gura 2 é de 0,99. Há, portanto, uma associação muito forte entre a dura-
ção do teste ergométrico e a aceleração dos batimentos cardíacos de um paciente. 
Por sua vez, o coefi ciente associado aos dados da primeira fi gura é de 0,06. Há, 
portanto, uma relação muito fraca entre a idade e a altura da amostra selecionada.
A partir do desvio padrão, porém, podemos transformar a fórmula do coefi ciente de correla-
ção e incluir um novo conceito: o de covariância. Acompanhe!
4 Covariância
Podemos separar o numerador da fórmula do coefi ciente de correlação e isolá-lo, obtendo o 
indicador conhecido como covariância. A covariância é a média dos produtos dos valores centra-
dos das variáveis, como segue:
( )
( ) ( )( )1, == ∑
n
i i)i i) (i i(i x X y Y)x X y Y) (x X y Y(− × −x X y Y− × −)− × −)x X y Y)− × −) (− × −(x X y Y(− × −(i ix X y Yi i)i i)x X y Y)i i) (i i(x X y Y(i i(− × −i i− × −x X y Y− × −i i− × −)− × −)i i)− × −)x X y Y)− × −)i i)− × −) (− × −(i i(− × −(x X y Y(− × −(i i(− × −(Cov X Y(Cov X Y( ,Cov X Y,
n
Mas não confunda: a expressão ( )ix X−x X−ix Xi diz respeito aos desvios médios, ou seja, ao afas-
tamento dos valores observados em relação à média. Se você somar todos os desvios médios, 
a soma fi nal será zero, logo, será que a fórmula da covariância dará sempre zero? De modo 
algum. O que estamos calculando primeiramente é um produto entre pares ordenados de valo-
res ( ) ( )1 1)1 1)1 1(1 1(x X y Y)x X y Y) (x X y Y(1 1x X y Y1 1)1 1)x X y Y)1 1)1 1x X y Y1 1(1 1(x X y Y(1 1(− × −x X y Y− × −)− × −)x X y Y)− × −) (− × −(x X y Y(− × −(1 1− × −1 1x X y Y1 1− × −1 1)1 1)− × −)1 1)x X y Y)1 1)− × −)1 1) (1 1(− × −(1 1(x X y Y(1 1(− × −(1 1( , por exemplo. Nesse caso, teremos como resultado um valor que demons-
tra o grau de afastamento de cada par ordenado ( , )n n( , )n n( , )( , )x y( , )( , )n n( , )x y( , )n n( , ) em relação à média ( ),X Y,X Y, (BUSSAB; 
MORETTIN, 2010).
EXEMPLO
Considere os pares ordenados (X,Y) = {(2,3), (3,5), (4,7)}. Observamos que n=3 e 
as médias ( ),X Y,X Y, têm, respectivamente, valor 3 e 5. Assim, a covariância entre as 
variáveis X e Y é dada por:
( )
( ) ( )( )1, == ∑
n
i i)i i) (i i(i x X y Y)x X y Y) (x X y Y(− × −x X y Y− × −)− × −)x X y Y)− × −) (− × −(x X y Y(− × −(i ix X y Yi i)i i)x X y Y)i i) (i i(x X y Y(i i(− × −i i− × −x X y Y− × −i i− × −)− × −)i i)− × −)x X y Y)− × −)i i)− × −) (− × −(i i(− × −(x X y Y(− × −(i i(− × −(Cov X Y(Cov X Y( ,Cov X Y,
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5)2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5) (2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5( )2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5) (2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5( )2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5) (2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5( )2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5) (2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5( )2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5) (2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5( 2 2
1,33
3 3
2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5− × − + − × − + − × −2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5)2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5)− × − + − × − + − × −)2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5) (2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5(− × − + − × − + − × −(2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5( )2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5)− × − + − × − + − × −)2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5) (2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5(− × − + − × − + − × −(2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5( )2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5)− × − + − × − + − × −)2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5) (2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5(− × − + − × − + − × −(2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5( )2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5)− × − + − × − + − × −)2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5) (2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5(− × − + − × − + − × −(2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5( )2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5)− × − + − × − + − × −)2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5) (2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5(− × − + − × − + − × −(2 3 3 5 3 3 5 5 4 3 7 5( 2 2+2 2
= = =
(
= = =
( )
= = =
) (
= = =
( )
= = =
) (
= = =
( )
= = =
) (
= = =
( )
= = =
) (
= = =
( )
= = =
) (
= = =
( )
= = =
)
= = == = =
Embora seja um importante indicador, entenda que a covariância não é um parâmetro con-
sistente para calcularmos a associação entre variáveis. Ela não é um indicador padronizado, sendo 
então sensível à notação de cada conjunto de dados. Por exemplo, se uma covariância de duas 
amostras que estão expressas em reais é dada por ( ),Cov X Y n(Cov X Y n( )Cov X Y n),Cov X Y n, =Cov X Y n= , a mesma covariância, expressa 
em centavos, seria ( ), 100), 100)Cov X Y n(Cov X Y n( )Cov X Y n), 100Cov X Y n,100), 100)Cov X Y n), 100), 100=, 100Cov X Y n, 100=, 100 . Portanto, para eliminarmos imprecisões de cálculo, utilizamos 
o coefi ciente de correlação.
Em resumo, recuperando a fórmula da covariância e aplicando-a sobre a fórmula do coefi -
ciente de correlação, temos a seguinte expressão (BUSSAB; MORETTIN, 2010):
( ) ( )( ) ( )
,1
,  
(
,  
( )
,  
) (
,  
(
,  ),  ) )
,  
)
         
= × == × =,  = × =,  = × =,  = × =,     
   
   
   
= × =   = × =,     ,     ,     ,  (
,  
(   (
,  
(   (
,  
(   (
,  
( )
,  
)   )
,  
)   )
,  
)   )
,  
) (
,  
(   (
,  
(   (
,  
(   (
,  
( )
,  
)   )
,  
)   )
,  
)   )
,  
)
= × =   = × =   = × =   = × == × =   = × =   = × =   = × == × =   = × =   = × =   = × =,  = × =,     ,  = × =,     ,  = × =,     ,  = × =,  (
,  
(
= × =
(
,  
(   (
,  
(
= × =
(
,  
(   (
,  
(
= × =
(
,  
(   (
,  
(
= × =
(
,  
( )
,  
)
= × =
)
,  
)   )
,  
)
= × =
)
,  
)   )
,  
)
= × =
)
,  
)   )
,  
)
= × =
)
,  
) (
,  
(
= × =
(
,  
(   (
,  
(
= × =
(
,  
(   (
,  
(
= × =
(
,  
(   (
,  
(
= × =
(
,  
( )
,  
)
= × =
)
,  
)   )
,  
)
= × =
)
,  
)   )
,  
)
= × =
)
,  
)   )
,  
)
= × =
)
,  
)   (   ( )   ) (   ( )   )
∑,  ∑,  = × =∑= × =,  = × =,  ∑,  = × =,  
n
= × =   = × =   = × =   = × =
i i= × =   = × =   = × =   = × =
Cov X Y(Cov X Y( ,Cov X Y,   x X y Y      − −   x X y Y   − −   
   
x X y Y
   
   
   
   x X y Y   
   
   
= × =   = × =
x X y Y
= × =   = × == × =   = × =   = × =   = × =
x X y Y
= × =   = × =   = × =   = × =
   
i i
   x X y Y   i i      i i   
x X y Y
   i i   
   
   
   
i i
   
   
   x X y Y   
   
   
i i
   
   
   
= × =   = × =i i= × =   = × =
x X y Y
= × =   = × =i i= × =   = × == × =   = × =   = × =   = × =
i i= × =   = × =   = × =   = × =
x X y Y
= × =   = × =   = × =   = × =
i i= × =   = × =   = × =   = × =Corr X Y(Corr X Y( ,  Corr X Y,  n dp X dp Y dp X dp Y(n dp X dp Y dp X dp Y( )n dp X dp Y dp X dp Y) (n dp X dp Y dp X dp Y(1n dp X dp Y dp X dp Y1
,  
n dp X dp Y dp X dp Y
,  
(
,  
(n dp X dp Y dp X dp Y(
,  
( )
,  
)n dp X dp Y dp X dp Y)
,  
) (
,  
(n dp X dp Y dp X dp Y(
,  
(
,  
n dp X dp Y dp X dp Y
,  
*n dp X dp Y dp X dp Y*
,  
*
,  
n dp X dp Y dp X dp Y
,  
*
,  
=n dp X dp Y dp X dp Y=
         n dp X dp Y dp X dp Y         (   (   (   (n dp X dp Y dp X dp Y(   (   (   ( )   )   )   )n dp X dp Y dp X dp Y)   )   )   ) (   (   (   (n dp X dp Y dp X dp Y(   (   (   ( )   )   )   )n dp X dp Y dp X dp Y)   )   )   )
,     ,     ,     ,  n dp X dp Y dp X dp Y
,     ,     ,     ,  (
,  
(   (
,  
(   (
,  
(   (
,  
(n dp X dp Y dp X dp Y(
,  
(   (
,  
(   (
,  
(   (
,  
( )
,  
)   )
,  
)   )
,  
)   )
,  
)n dp X dp Y dp X dp Y)
,  
)   )
,  
)   )
,  
)   )
,  
) (
,  
(   (
,  
(   (
,  
(   (
,  
(n dp X dp Y dp X dp Y(
,  
(   (
,  
(   (
,  
(   (
,  
( )
,  
)   )
,  
)   )
,  
)   )
,  
)n dp X dp Y dp X dp Y)
,  
)   )
,  
)   )
,  
)   )
,  
)   n dp X dp Y dp X dp Y   (   (n dp X dp Y dp X dp Y(   ( )   )n dp X dp Y dp X dp Y)   ) (   (n dp X dp Y dp X dp Y(   ( )   )n dp X dp Y dp X dp Y)   )         n dp X dp Y dp X dp Y         (   (   (   (n dp X dp Y dp X dp Y(   (   (   ( )   )   )   )n dp X dp Y dp X dp Y)   )   )   ) (   (   (   (n dp X dp Y dp X dp Y(   (   (   ( )   )   )   )n dp X dp Y dp X dp Y)   )   )   )
         
   
         n dp X dp Y dp X dp Y            
         (   (   (   (   (
   (   (   (n dp X dp Y dp X dp Y(   (   (   (   (
   (   (   ( )   )   )   )   )
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   )   )   ) (   (   (   (   (
   (   (   (n dp X dp Y dp X dp Y(   (   (   (   (
   (   (   ( )   )   )   )   )
   )   )   )n dp X dp Y dp X dp Y)   )   )   )   )
   )   )   )∑n dp X dp Y dp X dp Y∑,  ∑,  n dp X dp Y dp X dp Y,  ∑,  in dp X dp Y dp X dp Yi
Fechamento
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • entender e aplicar os conceitos de correlação linear e correlação simples;
 • conhecer o conceito de covariância e sua função para a avaliação da associação entre 
variáveis de pesquisa.
Referências
BUSSAB, Wilton de Oliveira; MORETTIN, Pedro. Estatística Básica. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
MARTINS, Maria Eugénia Graça. Coefi ciente de Correlação amostral. Revista de Ciência elementar, 
v.2, n.2, Lisboa, 2014. Disponível em: <https://www.fc.up.pt/pessoas/jfgomes/pdf/vol_2_
num_2_69_art_coefi cienteCorrelacaoAmostral.pdf>. Acesso em: 16 mar. 2017.