Integrais Definidas - Áreas e Cálculo

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Integrais Definidas–A´reas (J. Adonai) - 1
UFAL – IM – 2011.1
J. Adonai
Ca´lculo 2 – Lista 1
Integrais Definidas–A´reas
1-1 Fixado o nu´mero real α > 0, calcule o seguinte limite
lim
n→+∞
1α + 2α + · · ·+ nα
nα+1
.
1-2 Use somas de Riemann para mostrar que
(a)
∫ b
a
senxdx = cos a− cos b.
(b)
∫ 1
0
x3 dx =
1
4
.
1-3 Usando o Teorema Fundamental do Ca´lculo, calcule
(a)
∫ pi/2
0
senx dx. (b)
∫ 1
0
ex dx.
1-4 Usando o exerc´ıcio anterior, calcule
(a)
∫ 1
0
arcsenxdx. (b)
∫ e
1
log xdx.
1-5 Seja f : [a, b] −→ [α, β] uma func¸a˜o cont´ınua estritamente crescente. Considere
a func¸a˜o g inversa de f , com g : [α, β] −→ [a, b]. Mostre que∫ b
a
f(x) dx+
∫ β
α
g(y) dy = (b− a)(β − α).
1-6 Usando o exerc´ıcio 1-5 , reobtenha as integrais do exerc´ıcio 1-4 .
1-7 Encontre as integrais:
(a)
∫ 2
−1(x
2 − 2x+ 5) dx. (b) ∫ 2
1
1
x+1 dx.
(c)
∫ x
0
dt
1 + t
, x ≥ 0. (d) ∫ x
1
3etdt, x ∈ R.
(e)
∫ (
x2 +
1
x2
)2
dx. (f)
∫ x+ 1√
x
dx.
1-8 Mostre que
∫ x
0
2|t|dt = x|x|, x ∈ R.
1-9 Calcule f ′(x).
(a) f(x) =
∫ x
0
dt
(1 + t2)3
. (b) f(x) =
∫ x2
0
dt
(1 + t2)3
.
(c) No caso (a), fac¸a um esboc¸o (grosseiro) da curva y = f(x) e determine sua
reta tangente no ponto P = (0, f(0)).
1-10 Em cada caso, determine a a´rea da regia˜o plana limitada pelas curvas abaixo.
(a) y = 4x− x2 e y = 0. (b) y = arcsenx, 0 ≤ x ≤ 1, e y = 0.
(c) y = cos 2x, 0 ≤ x ≤ 2pi, e y = 0. (d) y = sen 4x, 0 ≤ x ≤ 19pi24 , e y = 0.
(e) y = x3, y = 8 e x = 0. (f) y = 2x− x2 e y = −x.
(g) y = ex, y = e−x e x = 1. (h) y =
x2
2
e y =
1
1 + x2
.
(i) y = x2 e x = y2. (j) y = x2, y = x2/2 e y = 2x.
(k) y = tg x, y =
2
3
cosx, x ≥ 0, e x = 0. (l) y = x3 e y = 2x− x2.
(m) 9y = x2 + 81, 4y = x2 + 16 e y = x2 + 1, x ≥ 0.
1-11 Considere uma constante a > 0. Identificando a regia˜o cuja a´rea e´ a integral∫ a
0
√
a2 − x2 dx,
conclua que a integral vale pia2/4. Use este resultado para para mostrar que a
a´rea da regia˜o limitada pela elipse x
2
a2 +
y2
b2 = 1, a > 0, b > 0, vale piab.
Integrais Definidas–A´reas (J. Adonai) - 2
1-12 Esboce os gra´ficos e calcule as integrais das seguintes func¸o˜es em seus intervalos
de definic¸a˜o.
(a) f(x) =
x2, se 0 ≤ x ≤ 12− x, se 1 ≤ x ≤ 2 (b) f(x) =
senx, se 0 ≤ x < pi/22, se pi/2 ≤ x ≤ 2
1-13 Dada a para´bola y2 = 4px, p > 0 cons-
tante, mostre que a a´rea limitada pela
curva e pela reta x = a > 0, vale 2/3 da
a´rea do retaˆngulo indicado na figura ao
lado.
xa
y2 = 4px
y
1-14
(a) Seja y = f(x), −a ≤ x ≤ a, uma func¸a˜o ı´mpar: f(−x) = −f(x). Use a
interpretac¸a˜o geome´trica da integral definida para verificar que∫ a
−a
f(x) dx = 0.
(b) Analogamente, se y = f(x), −a ≤ x ≤ a, e´ uma func¸a˜o par, isto e´, f(−x) =
f(x), enta˜o ∫ a
−a
f(x) dx = 2
∫ a
0
f(x) dx .
(c) Mostre que
∫ 1
−1 x
3001ex
20246
dx = 0.
1-15 Sejam C1 e C2 duas curvas que passam
pela origem (veja a figura ao lado). Dire-
mos que uma curva C determina a me´dia
da a´rea entre C1 e C2 quando, para cada
ponto P de C, sa˜o iguais as a´reas A e B
indicadas. Supondo C1 e´ a para´bola
y =
x2
2
e que C e´ a para´bola
y = x2,
mostre que C2 e´ a para´bola y = 169 x
2.
x
B
A
C1
P
C
y C2
1-16 Considere o movimento de uma part´ıcula ao longo do eixo OX, cuja posic¸a˜o e´
dada pela func¸a˜o hora´ria x = f(t), t ≥ 0, sendo a velocidade
v(t) = vx(t) =
dx
dt
e a acelerac¸a˜o
a(t) = ax(t) =
dv
dt
.
(a) Se x(t) = 3t2 − t3, 0 ≤ t ≤ 4, (x em metros e t em segundos), fac¸a os
gra´ficos de x(t), v(t) e a(t). Ache o deslocamento x(4)− x(0) e a distaˆncia
percorrida no intervalo [0, 4].
(b) Considere o deslocamento x2 − x1 = f(t2) − f(t1) no intervalo [t1, t2].
Mostre que
x2 − x1 =
∫ t2
t1
v(t)dt.
Analogamente, temos
v2 − v1 = v(t2)− v(t1) =
∫ t2
t1
a(t)dt.
(c) Em particular, se a acelerac¸a˜o e´ constante, com ax(t) = a para todo t ≥ 0,
enta˜o
v(t)− v(0) = at,
ou
v(t) = v0 + at,
onde v0 = v(0). Verifique, tambe´m, que
x(t) = x0 + v0t+
1
2
at2, t ≥ 0,
com x0 = x(0). (Tal situac¸a˜o e´ denominada movimento uniformemente
variado).
1-17 Dada uma func¸a˜o cont´ınua por partes f : [a, b] −→ R, o valor me´dio de f em
[a, b] e´ o nu´mero real
f¯ =
1
b− a
∫ b
a
f(x) dx .
Geometricamente, f¯ representa a altura de um retaˆngulo de base b − a, cuja
a´rea e´ igual a` a´rea da regia˜o sob o gra´fico de f . Calcule o valor me´dio das
seguintes func¸o˜es, nos intervalos dados:
Sugesto˜es & Respostas (J. Adonai) - 3
(a) y = mx+ n, a ≤ x ≤ b. (b) y = x2, a ≤ x ≤ b.
(c) y =
√
x, 0 ≤ x ≤ 4. (d) y = A senx, 0 ≤ x ≤ 2pi.
(e) y = A senx, 0 ≤ x ≤ pi. (f) y = A sen2 x, 0 ≤ x ≤ pi.
(g) Nos itens acima, ache c ∈ I tal que f¯ = f(c), onde I e´ o intervalo dado.
(h) Mostre que min[a,b] f ≤ f ≤ max[a,b] f .
(i) Mostre que existe c ∈ [a, b] tal que f¯ = f(c).
Lista 1
Sugesto˜es & Respostas
1-1
1α + 2α + · · ·+ nα
nα+1
.
e´ uma soma de Riemann de func¸a˜o f(x) = xα, no intervalo [0, 1]. Portanto, o
limite e´
∫ 1
0
xα dx.
1-2
(a) Pondo ∆x =
b− a
n
, considere a partic¸a˜o
Pn = {x0 = a < x1 = a+ ∆x, . . . xn = a+ n∆x = b},
a escolha c1 = x1, c2 = x2 . . . cn = xn, e a correspondente soma de Riemann
S = ∆x[sen(a+ ∆x) + sen(a+ 2∆x) + · · ·+ sen(a+ n∆x)]
=
∆x
sen(∆x/2)
[sen(a+ ∆x) sen(∆x/2) + sen(a+ 2∆x) sen(∆x/2)+
+ · · ·+ sen(a+ n∆x) sen(∆x/2)].
Em seguida, use a identidade 2 senα senβ = cos(α− β)− cos(α+ β) para
mostrar que
S =
∆x
2
sen
(
∆x
2
) (cos(a+ ∆x
2
)− cos(b+ ∆x
2
)).
Sugesto˜es & Respostas (J. Adonai) - 4
(b)
S(f,Pn, {ci}) = 1
n
n∑
i=1
x3i =
1
n4
n∑
i=1
i3
=
1
n4
(1 + 23 + 33 + · · ·+ n3)
=
1
n4
(
n(n+ 1)
2
)2
.
Agora passe ao limite, quando n→ +∞.
1-3
(a) 1. (b) e− 1.
1-4
(a) pi2 − 1 (lembre arcsen e´ a inversa do sen). (b) 1.
1-5 A somas das duas integrais e´ a a´rea do retaˆngulo [a, b]× [α, β].
1-6 arcsen e´ a iversa do sen e log e´ a inversa da exponencial.
1-7
(a) 13. (b) log(3/2).
(c) log(1 + x). (d) 3(ex − e).
(e)
x5
5
+ 2x− 1
3x2
+ C (expanda o integrando). (f)
2x3/2
3
+ 2
√
x+ C.
1-8 Calcule a integral para x > 0 e para x < 0. Lembre-se: |x| = x, se x ≥ 0 e
|x| = −x, se x < 0.
1-9
(a) f ′(x) =
1(
1 + x2
)3 . (b) f ′(x) = 2x(
1 + x4
)3 .
(c) Para o esboc¸o, estude f ′′. A reta tangente e´ y−f(0) = f ′(0)(x−0). Como
f(0) = 0 e f ′(0) = 1, ela fica y = x.
1-10
(a) 32/3. (b)
pi
2
− 1.
(c) 4. (d)
14−
√
3
8
.
(e) 12. (f) 9/2.
(g) e+
1
e
− 2. (h) pi
2
− 1
3
.
(i) 1/3. (j) 4.
(k)
1
3
+ log(
√
3/2). (l) 37/12.
(m) 8.
1-11 A integral dada e´ a a´rea da regia˜o B sob a curva y =
√
a2 − x2, 0 ≤ x ≤ a, que
pode ser reescrito como x2 +y2 = a2, y ≥ 0. Logo, B e´ um quadrante do c´ırculo
de raio a, centrado na origem. Para a a´rea da elipse integre y = ba
√
a2 − x2 de
0 a a e multiplique por 4.
1-12
(a) 5/6. (b) 5− pi.
1-14
(c) Note que o integrando e´ ı´mpar.
1-16
(a) −16 m e 24 m.
1-17
(a) y(a)+y(b)2 . (b) (a
2 + ab+ b2)/3.
(c) 4/3. (d) 0.
(e) 2A/pi. (f) A/2.
(h) Note que
f =
1
b− a
∫ b
a
f(x) dx ≤ 1
b− a
∫ b
a
(
max
[a,b]
f
)
dx = max
[a,b]
f.
Agora, obtenha a desigualdade com o min[a,b] f .
(i) Como min[a,b] f ≤ f ≤ max[a,b] f , f deve coincidir com um valor atingido
por f , digamos f(c), para algum c.