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Integrais Definidas–A´reas (J. Adonai) - 1 UFAL – IM – 2011.1 J. Adonai Ca´lculo 2 – Lista 1 Integrais Definidas–A´reas 1-1 Fixado o nu´mero real α > 0, calcule o seguinte limite lim n→+∞ 1α + 2α + · · ·+ nα nα+1 . 1-2 Use somas de Riemann para mostrar que (a) ∫ b a senxdx = cos a− cos b. (b) ∫ 1 0 x3 dx = 1 4 . 1-3 Usando o Teorema Fundamental do Ca´lculo, calcule (a) ∫ pi/2 0 senx dx. (b) ∫ 1 0 ex dx. 1-4 Usando o exerc´ıcio anterior, calcule (a) ∫ 1 0 arcsenxdx. (b) ∫ e 1 log xdx. 1-5 Seja f : [a, b] −→ [α, β] uma func¸a˜o cont´ınua estritamente crescente. Considere a func¸a˜o g inversa de f , com g : [α, β] −→ [a, b]. Mostre que∫ b a f(x) dx+ ∫ β α g(y) dy = (b− a)(β − α). 1-6 Usando o exerc´ıcio 1-5 , reobtenha as integrais do exerc´ıcio 1-4 . 1-7 Encontre as integrais: (a) ∫ 2 −1(x 2 − 2x+ 5) dx. (b) ∫ 2 1 1 x+1 dx. (c) ∫ x 0 dt 1 + t , x ≥ 0. (d) ∫ x 1 3etdt, x ∈ R. (e) ∫ ( x2 + 1 x2 )2 dx. (f) ∫ x+ 1√ x dx. 1-8 Mostre que ∫ x 0 2|t|dt = x|x|, x ∈ R. 1-9 Calcule f ′(x). (a) f(x) = ∫ x 0 dt (1 + t2)3 . (b) f(x) = ∫ x2 0 dt (1 + t2)3 . (c) No caso (a), fac¸a um esboc¸o (grosseiro) da curva y = f(x) e determine sua reta tangente no ponto P = (0, f(0)). 1-10 Em cada caso, determine a a´rea da regia˜o plana limitada pelas curvas abaixo. (a) y = 4x− x2 e y = 0. (b) y = arcsenx, 0 ≤ x ≤ 1, e y = 0. (c) y = cos 2x, 0 ≤ x ≤ 2pi, e y = 0. (d) y = sen 4x, 0 ≤ x ≤ 19pi24 , e y = 0. (e) y = x3, y = 8 e x = 0. (f) y = 2x− x2 e y = −x. (g) y = ex, y = e−x e x = 1. (h) y = x2 2 e y = 1 1 + x2 . (i) y = x2 e x = y2. (j) y = x2, y = x2/2 e y = 2x. (k) y = tg x, y = 2 3 cosx, x ≥ 0, e x = 0. (l) y = x3 e y = 2x− x2. (m) 9y = x2 + 81, 4y = x2 + 16 e y = x2 + 1, x ≥ 0. 1-11 Considere uma constante a > 0. Identificando a regia˜o cuja a´rea e´ a integral∫ a 0 √ a2 − x2 dx, conclua que a integral vale pia2/4. Use este resultado para para mostrar que a a´rea da regia˜o limitada pela elipse x 2 a2 + y2 b2 = 1, a > 0, b > 0, vale piab. Integrais Definidas–A´reas (J. Adonai) - 2 1-12 Esboce os gra´ficos e calcule as integrais das seguintes func¸o˜es em seus intervalos de definic¸a˜o. (a) f(x) = x2, se 0 ≤ x ≤ 12− x, se 1 ≤ x ≤ 2 (b) f(x) = senx, se 0 ≤ x < pi/22, se pi/2 ≤ x ≤ 2 1-13 Dada a para´bola y2 = 4px, p > 0 cons- tante, mostre que a a´rea limitada pela curva e pela reta x = a > 0, vale 2/3 da a´rea do retaˆngulo indicado na figura ao lado. xa y2 = 4px y 1-14 (a) Seja y = f(x), −a ≤ x ≤ a, uma func¸a˜o ı´mpar: f(−x) = −f(x). Use a interpretac¸a˜o geome´trica da integral definida para verificar que∫ a −a f(x) dx = 0. (b) Analogamente, se y = f(x), −a ≤ x ≤ a, e´ uma func¸a˜o par, isto e´, f(−x) = f(x), enta˜o ∫ a −a f(x) dx = 2 ∫ a 0 f(x) dx . (c) Mostre que ∫ 1 −1 x 3001ex 20246 dx = 0. 1-15 Sejam C1 e C2 duas curvas que passam pela origem (veja a figura ao lado). Dire- mos que uma curva C determina a me´dia da a´rea entre C1 e C2 quando, para cada ponto P de C, sa˜o iguais as a´reas A e B indicadas. Supondo C1 e´ a para´bola y = x2 2 e que C e´ a para´bola y = x2, mostre que C2 e´ a para´bola y = 169 x 2. x B A C1 P C y C2 1-16 Considere o movimento de uma part´ıcula ao longo do eixo OX, cuja posic¸a˜o e´ dada pela func¸a˜o hora´ria x = f(t), t ≥ 0, sendo a velocidade v(t) = vx(t) = dx dt e a acelerac¸a˜o a(t) = ax(t) = dv dt . (a) Se x(t) = 3t2 − t3, 0 ≤ t ≤ 4, (x em metros e t em segundos), fac¸a os gra´ficos de x(t), v(t) e a(t). Ache o deslocamento x(4)− x(0) e a distaˆncia percorrida no intervalo [0, 4]. (b) Considere o deslocamento x2 − x1 = f(t2) − f(t1) no intervalo [t1, t2]. Mostre que x2 − x1 = ∫ t2 t1 v(t)dt. Analogamente, temos v2 − v1 = v(t2)− v(t1) = ∫ t2 t1 a(t)dt. (c) Em particular, se a acelerac¸a˜o e´ constante, com ax(t) = a para todo t ≥ 0, enta˜o v(t)− v(0) = at, ou v(t) = v0 + at, onde v0 = v(0). Verifique, tambe´m, que x(t) = x0 + v0t+ 1 2 at2, t ≥ 0, com x0 = x(0). (Tal situac¸a˜o e´ denominada movimento uniformemente variado). 1-17 Dada uma func¸a˜o cont´ınua por partes f : [a, b] −→ R, o valor me´dio de f em [a, b] e´ o nu´mero real f¯ = 1 b− a ∫ b a f(x) dx . Geometricamente, f¯ representa a altura de um retaˆngulo de base b − a, cuja a´rea e´ igual a` a´rea da regia˜o sob o gra´fico de f . Calcule o valor me´dio das seguintes func¸o˜es, nos intervalos dados: Sugesto˜es & Respostas (J. Adonai) - 3 (a) y = mx+ n, a ≤ x ≤ b. (b) y = x2, a ≤ x ≤ b. (c) y = √ x, 0 ≤ x ≤ 4. (d) y = A senx, 0 ≤ x ≤ 2pi. (e) y = A senx, 0 ≤ x ≤ pi. (f) y = A sen2 x, 0 ≤ x ≤ pi. (g) Nos itens acima, ache c ∈ I tal que f¯ = f(c), onde I e´ o intervalo dado. (h) Mostre que min[a,b] f ≤ f ≤ max[a,b] f . (i) Mostre que existe c ∈ [a, b] tal que f¯ = f(c). Lista 1 Sugesto˜es & Respostas 1-1 1α + 2α + · · ·+ nα nα+1 . e´ uma soma de Riemann de func¸a˜o f(x) = xα, no intervalo [0, 1]. Portanto, o limite e´ ∫ 1 0 xα dx. 1-2 (a) Pondo ∆x = b− a n , considere a partic¸a˜o Pn = {x0 = a < x1 = a+ ∆x, . . . xn = a+ n∆x = b}, a escolha c1 = x1, c2 = x2 . . . cn = xn, e a correspondente soma de Riemann S = ∆x[sen(a+ ∆x) + sen(a+ 2∆x) + · · ·+ sen(a+ n∆x)] = ∆x sen(∆x/2) [sen(a+ ∆x) sen(∆x/2) + sen(a+ 2∆x) sen(∆x/2)+ + · · ·+ sen(a+ n∆x) sen(∆x/2)]. Em seguida, use a identidade 2 senα senβ = cos(α− β)− cos(α+ β) para mostrar que S = ∆x 2 sen ( ∆x 2 ) (cos(a+ ∆x 2 )− cos(b+ ∆x 2 )). Sugesto˜es & Respostas (J. Adonai) - 4 (b) S(f,Pn, {ci}) = 1 n n∑ i=1 x3i = 1 n4 n∑ i=1 i3 = 1 n4 (1 + 23 + 33 + · · ·+ n3) = 1 n4 ( n(n+ 1) 2 )2 . Agora passe ao limite, quando n→ +∞. 1-3 (a) 1. (b) e− 1. 1-4 (a) pi2 − 1 (lembre arcsen e´ a inversa do sen). (b) 1. 1-5 A somas das duas integrais e´ a a´rea do retaˆngulo [a, b]× [α, β]. 1-6 arcsen e´ a iversa do sen e log e´ a inversa da exponencial. 1-7 (a) 13. (b) log(3/2). (c) log(1 + x). (d) 3(ex − e). (e) x5 5 + 2x− 1 3x2 + C (expanda o integrando). (f) 2x3/2 3 + 2 √ x+ C. 1-8 Calcule a integral para x > 0 e para x < 0. Lembre-se: |x| = x, se x ≥ 0 e |x| = −x, se x < 0. 1-9 (a) f ′(x) = 1( 1 + x2 )3 . (b) f ′(x) = 2x( 1 + x4 )3 . (c) Para o esboc¸o, estude f ′′. A reta tangente e´ y−f(0) = f ′(0)(x−0). Como f(0) = 0 e f ′(0) = 1, ela fica y = x. 1-10 (a) 32/3. (b) pi 2 − 1. (c) 4. (d) 14− √ 3 8 . (e) 12. (f) 9/2. (g) e+ 1 e − 2. (h) pi 2 − 1 3 . (i) 1/3. (j) 4. (k) 1 3 + log( √ 3/2). (l) 37/12. (m) 8. 1-11 A integral dada e´ a a´rea da regia˜o B sob a curva y = √ a2 − x2, 0 ≤ x ≤ a, que pode ser reescrito como x2 +y2 = a2, y ≥ 0. Logo, B e´ um quadrante do c´ırculo de raio a, centrado na origem. Para a a´rea da elipse integre y = ba √ a2 − x2 de 0 a a e multiplique por 4. 1-12 (a) 5/6. (b) 5− pi. 1-14 (c) Note que o integrando e´ ı´mpar. 1-16 (a) −16 m e 24 m. 1-17 (a) y(a)+y(b)2 . (b) (a 2 + ab+ b2)/3. (c) 4/3. (d) 0. (e) 2A/pi. (f) A/2. (h) Note que f = 1 b− a ∫ b a f(x) dx ≤ 1 b− a ∫ b a ( max [a,b] f ) dx = max [a,b] f. Agora, obtenha a desigualdade com o min[a,b] f . (i) Como min[a,b] f ≤ f ≤ max[a,b] f , f deve coincidir com um valor atingido por f , digamos f(c), para algum c.
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