Unidade - 03 - Modelagem De Sistemas Físicos

Prévia do material em texto

ANÁLISE DE 
SISTEMAS LINEARES 
UNIDADE 03 
MODELAGEM DE 
SISTEMAS FÍSICOS 
● Modelagem Dinâmica 
• Conjunto de equações diferenciais. 
 •Obtidas a partir das leis físicas que governam os 
sistemas: 
 - Leis de Newton. 
 - Leis de Kirchhoff. 
 
• Uma vez obtido um modelo matemático de um sistema, 
várias ferramentas analíticas e de computador podem ser 
usadas para fins de análise e de síntese. 
 
Introdução 
●Simplicidade versus Precisão. 
•A precisão do modelo matemático aumenta a 
complexidade. 
•Pode conter centenas de equações. 
 
•Construir inicialmente um modelo simplificado. 
 
•Posteriormente, um modelo matemático mais completo 
poderá ser elaborado e utilizado. 
 
● Obs.: O Modelo de um Sistema em geral é uma 
aproximação e, na maioria das vezes, um modelo é 
construído de forma a apresentar apenas as funcionalidades 
que nos interessam, ou aquelas que sejam relevantes à 
análise ou ao projeto. 
Introdução 
●Não linearidades. 
•Na maioria dos casos as relações reais não são exatamente 
lineares. 
•Os sistemas são lineares apenas em faixas limitadas de 
operação. 
 
Introdução 
●Não linearidades. 
• Podem exigir soluções extremamente complicadas. 
• Nos força ao uso de Sistemas Lineares "equivalentes”. 
•Válidos dentro de uma faixa limitada de operação. 
 
Introdução 
Função de Transferência e Resposta ao Impulso 
● Função de transferência. 
•Relação entre a transformada de Laplace do sinal de saída 
(função resposta) e a transformada de Laplace do sinal de 
entrada (função excitação), na hipótese de que todas as 
condições iniciais são nulas. 
 
•Seja o sistema linear e invariante no tempo com saída y 
entrada x: 
●Função de transferência. 
•Representação da dinâmica do sistema por equações 
algébricas em s. 
Função de Transferência e Resposta ao Impulso 
●Função de transferência: 
 
 
 
 
 
• Q(s) 
• Polinômio característico. 
• n 
•Ordem do sistema. 
• Q(s) = 0 
• Equação característica do sistema, 
• Raízes de Q(s) 
• Polos. 
• Representados por um x. 
Função de Transferência e Resposta ao Impulso 
●Função de transferência: 
 
 
 
 
• Raízes de P(s) = 0 
• Zeros. 
• Representados por o 
• Polos e zeros. 
• Reais 
• s = . 
• Complexos. 
• s =  + j. 
Função de Transferência e Resposta ao Impulso 
●Função de transferência: 
• Comentários. 
• Modelo matemático que relaciona a variável de saída à 
variável de entrada. 
• Propriedade intrínseca do sistema. 
• Não fornece qualquer informação concernente à estrutura 
física do sistema. 
• Funções de transferência de sistemas fisicamente diferentes 
podem ser idênticas. 
• Pode-se avaliar a saída para várias formas de entradas. 
• Pode ser estabelecida experimentalmente introduzindo-se 
sinais de entrada conhecidos. 
• Fornece uma descrição completa das características dinâmicas 
do sistema. 
• Precisão equivalente a obtida a partir da descrição física. 
Função de Transferência e Resposta ao Impulso 
●Função de transferência: 
• Procedimento. 
• Escrever a equação diferencial do sistema. 
• Obter transformada de Laplace, admitindo-se condições 
iniciais nulas. 
• Obter a relação entre o sinal de saída e o sinal de entrada. 
• Exemplo 3.1. 
• Encontrar a função de transferência para o sistema, com 
condições iniciais nulas, descrito pela equação diferencial. 
Função de Transferência e Resposta ao Impulso 
●Função de transferência: 
• Procedimento. 
• Exemplo 3.2. 
• Determinar a função de transferência para o sistema, com 
condições iniciais nulas, entrada u(t) e saída y(t), descrito 
pela equação diferencial abaixo. 
Função de Transferência e Resposta ao Impulso 
Solução: 
G(s):Função 
de 
Transferência 
●Resposta ao impulso: 
• Saída do sistema a uma excitação impulso unitário, 
quando as condições iniciais são nulas. 
Função de Transferência e Resposta ao Impulso 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Representação pictórica das funções e do fluxo de sinal de 
cada componente do sistema. 
 As variáveis são ligadas por meio de blocos funcionais. 
 Bloco funcional (bloco). 
 Símbolo da operação matemática sobre o sinal de entrada 
que produz o sinal de saída. 
 São conectados por setas para indicar o sentido do fluxo dos 
sinais. 
 Exibe as funções de transferência dos componentes. 
 Contém informação relativa ao comportamento dinâmico. 
 Não inclui informação sobre a construção física do sistema. 
 Sistemas diferentes podem ter o mesmo diagrama de blocos. 
• Diagramas de blocos 
16 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Componentes. 
 Segmento orientado (seta). 
 O que aponta para o bloco indica o sinal de entrada. 
 O que sai do bloco representa o sinal de saída. 
 São referenciados como sinais. 
• Diagramas de blocos 
17 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Componentes. 
 Ponto de soma. 
 As grandezas a serem somadas ou subtraídas devem ter as 
mesmas dimensões. 
 Ponto de derivação. 
 Ponto a partir do qual o sinal de um bloco vai para outros 
blocos ou pontos de soma. 
• Diagramas de blocos 
18 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Componentes. 
 Diagrama de blocos de um sistema a malha fechada. 
 A saída C(s) retroage ao ponto de soma, onde é comparada 
com o sinal de entrada de Referência R(s). 
 A conversão de C(s) para a mesma natureza do sinal de 
entrada é realizada por H(s). 
 
 
• Diagramas de blocos 
19 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Exemplo 3.3 
 Encontrar a função de transferência correspondente ao 
diagrama de blocos. 
 
• Diagramas de blocos 
20 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Sistema a malha fechada sujeito a uma perturbação 
 O sinais podem ser tratados independentemente. 
 Os sinais de saída podem ser adicionados para se obter a 
resposta do sistema. 
 Exemplo 3.4. 
 Encontrar as funções de transferências para cada sinal de 
entrada R(s) e D(s) e a saída C(s) considerando-se as duas 
entradas simultaneamente. 
 
 
• Diagramas de blocos 
21 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Construção de diagrama de blocos 
 Escrever as equações diferenciais. 
 Obter a transformada de Laplace, com condições iniciais 
nulas. 
 Representar em forma de blocos cada equação. 
 Reunir os elementos em um diagrama de blocos completo. 
 Exemplo 3.5. 
 Obter o diagrama de blocos do circuito RC. 
• Diagramas de blocos 
22 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Redução de diagrama de blocos. 
 Diagramas com diversas malhas podem ser simplificados. 
 Os componentes não podem apresentar efeito de 
carregamento. 
 Reduz o trabalho para a análise do sistema. 
 Torna as funções de transferência mais complexas. 
• Diagramas de blocos 
23 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Transformações com diagrama de blocos 
 Blocos em cascata. 
• Diagramas de blocos 
24 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Transformações com diagrama de blocos 
 Deslocando de um ponto de soma. 
• Diagramas de blocos 
25 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Transformações com diagrama de blocos 
 Deslocamento de um ponto de derivação. 
• Diagramas de blocos 
26 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Transformações com diagrama de blocos 
 Eliminação de um laço de retroação. 
• Diagramas de blocos 
27 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Transformações com diagrama de blocos 
 Exemplo 3.6. 
 Simplificar o seguinte diagrama de blocos. 
• Diagramas de blocos28 
29 
Modelagem de Sistemas Físicos 
Tipos de Sistemas Dinâmicos: 
 
 -Sistemas Mecânicos Translacionais. 
 -Sistemas Mecânicos Rotacionais. 
 -Sistemas Elétricos. 
 -Sistemas Fluídicos. 
 -Sistemas Térmicos. 
30 
Sistemas Mecânicos Translacionais: 
 
São os sistemas cujos deslocamentos seguem linhas retas. 
Geralmente apresentam 3 componentes lineares: 
 
 - massa; 
 - mola; 
 - amortecedor. 
 
Cada um destes elementos apresenta equação própria que 
define o seu comportamento dinâmico. 
 
 
Obs.: Em alguns sistemas poderá aparecer um quarto 
elemento a ser considerado: o atrito. 
31 
A Massa: 
- Pode ser submetida a mais de uma força f. 
-Aplica-se a 2ª Lei de Newton ( f = m.a ). 
 
 
 
 
 
 
 
-Aplicando a Transformada de Laplace: 
 derivada da velocidade. 
Obs.: aceleração => 
 segunda derivada do deslocamento. 
32 
A Mola: 
- Possui a constante k (rigidez da mola). 
-Aplica-se a lei de Hooke ( f = - k.y ). 
-A força gerada pela mola é sempre contrária ao deslocamento. 
-As extremidades da mola podem apresentar deslocamentos 
diferentes: y1 e y2. 
 
 
 
 
 
-Força da mola em função da velocidade: 
 
 
 
-Aplicando a Transformada de Laplace: 
33 
O Amortecedor: 
-Resiste ao movimento dos seus terminais. 
-Dissipa a oscilação produzida por uma mola. 
-Sua força é proporcional à velocidade com que as suas 
extremidades se aproximam: ( f = - b . V ) 
 
 
 
 
 
 
-Aplicando a Transformada de Laplace: 
34 
Determine a função de transferência do modelo apresentado 
(X(s)/F(s)) e desenhe o seu diagrama de blocos: 
-Considere que F=0 para t<0. 
- F(t) é a entrada: a força que desloca a massa m no sistema. 
- x(t) é a saída: o deslocamento da massa m. 
 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Exemplo 3.8 
 Obter o modelo matemático para sistema massa-mola-
amortecedor viscoso montado sobre uma carreta sem 
massa. Admite-se que a carreta permanece parada para t < 
0. Neste sistema, u(t) é o deslocamento da carreta e é a 
grandeza de entrada do sistema. Em t = 0, a carreta passa 
a se deslocar com velocidade constante. O deslocamento 
y(t) da massa é a grandeza de saída. 
• Sistemas mecânicos 
35 
36 
Sistemas Mecânicos Rotacionais: 
 
-Considera-se o Momento de Inércia ( I ) como o equivalente 
à massa do sistema translacional. 
-O Momento de Inércia é igual ao produto da massa pelo 
quadrado do raio de giro: 
 Onde: 
 r : raio de giro. 
 V : volume. 
 ρ : densidade do material na posição r. 
m 
ω ou θ 
Obs.: Esfera maciça. 
ω ou θ 
37 
Sistemas Mecânicos Rotacionais: (Cont.) 
 
 
ω ou θ 
Onde: 
-Aplicando a Lei de Newton à inércia 
rotacional: 
 
 
 
-A Transformada de Laplace: 
38 
Sistemas Mecânicos Rotacionais: (Cont.) 
 
 
39 
Exemplo: Encontre o modelo matemático e o diagrama de 
blocos do sistema apresentado na figura: 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Exemplo 3.13. 
 O sistema dado abaixo é constituído por um disco com 
momento de inércia J, suspenso por um fio e imerso num 
fluido. Um conjugado T é aplicado ao disco. O fio produz 
um conjugado de reação proporcional à rigidez K e ao 
ângulo de torção. O amortecimento B requer um conjugado 
proporcional à velocidade do movimento. Obter o modelo 
matemático para o sistema. 
 
• Sistema mecânico com rotação 
40 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Exemplo 3.14. 
 O sistema dado abaixo é constituído por dois discos 
apresentando um amortecimento entre ambos, e entre cada 
um deles e o suporte. Obter o modelo matemático do 
sistema. 
• Sistema mecânico com rotação 
41 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Momento de inércia e amortecimento refletidos por um trem de 
engrenagens. 
 Exemplo 3.15. 
 Obter o modelo matemático do sistema representado abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Sistema mecânico com rotação 
42 
43 
Sistemas Elétricos: 
Nos sistemas elétricos são analisados os seguintes 
elementos: resistores, capacitores e indutores. São 
considerados como variáveis a corrente, que flui através 
desses elementos e a tensão que se distribui sobre esses 
elementos. 
 
O Resistor: Sua propriedade é a resistência elétrica (dada 
em Ohms – Ω), o que torna o resistor um dispositivo capaz 
de dissipar energia elétrica. Na sua modelagem emprega-se 
a lei de Ohm, que estabelece uma relação linear entre a 
corrente e a tensão: 
 
 Símbolo: 
44 
O Capacitor: Sua propriedade é a capacitância a qual 
resulta da relação entre tensão nos seus terminais e a 
carga armazenada pelo mesmo. 
Símbolo: 
45 
O Indutor: Sua propriedade é a indutância a qual resulta 
da relação entre tensão nos seus terminais e taxa de 
variação de corrente que o atravessa. 
Símbolo: 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 As leis básicas que governam os circuitos elétricos são a lei de 
Kirchhoff das correntes e a lei de Kirchhoff das tensões. 
 Exemplo 3.9 
 Obter o modelo matemático para o circuito RLC, ei é tensão 
de entrada e eo é a tensão de saída. 
• Sistemas elétricos 
46 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Sistemas com equações diferenciais de mesma forma. 
 As variáveis e os parâmetros correspondentes são chamados 
de análogos. 
 Um circuito elétrico pode formalmente ter equações iguais 
às de um sistema mecânico. 
 Circuito mecânico. 
 Obtido conectando-se os terminais de elementos com mesmo 
deslocamento. 
 As equações do sistema são escritas segundo as regras das 
equações de nós. 
• Sistemas análogos 
47 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Circuito mecânico 
 Exemplo 3.10. 
 Obter o circuito mecânico análogo ao sistema abaixo. 
• Sistemas análogos 
48 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Analogia força-corrente. 
 
 
 
• Sistemas análogos 
Elemento mecânico de 
translação 
Elemento elétrico 
Símbolo Grandeza Símbolo Grandeza 
f Força i Corrente 
v =dx/dt Velocidade e ou v Tensão 
M Massa C Capacitância 
K Coeficiente de 
rigidez 
1/L Recíproco de 
indutância 
B Coeficiente de 
amortecimento 
G = 1/R Condutância 
49 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Analogia força-tensão. 
 
 
• Sistemas análogos 
Elemento mecânico de 
translação 
Elemento elétrico 
Símbolo Grandeza Símbolo Grandeza 
f Força e ou v Tensão 
v =dx/dt Velocidade i Corrente 
M Massa L Indutância 
K Coeficiente de 
rigidez 
1/C Recíproco da 
capacitância 
B Coeficiente de 
amortecimento 
R Resistência 
50 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Exemplo 3.11. 
 Obter os análogos força-corrente e força-tensão para o 
circuito mecânico dado. 
 
 
• Sistemas análogos 
51 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Exemplo 3.12. 
 Obter o circuito análogo elétrico força-corrente para o 
sistema mecânico abaixo. 
 
• Sistemas análogos 
52 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Sistema sem carregamento. 
 Elimina-se a entrada e a saída intermediárias. 
 
 
 
 Se os dois estágios são isolados a função de transferência 
é igual ao produto das funções de transferências 
individuais. 
• Funções de transferência de elementos em cascata. 
53 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Sistema sem carregamento. 
 Exemplo 3.16. 
 Obter o a função de transferência Eo(s)/Ei(s) para o circuito, 
considerando os estágios acoplados diretamente e os 
estágios isolados. 
• Funções de transferência de elementos em cascata. 
5455 
Modelagem de Sistemas Físicos 
• Aproximações lineares de sistemas físicos: 
Considerando que: 
-A maioria dos sistemas reais existentes não apresenta uma relação 
linear entre as suas entradas e as suas saídas. 
 
-Construir um modelo de um sistema que seja exato, representando 
todas as suas não linearidades, é extremamente complexo e de difícil 
tratamento matemático. 
 
-Para muitos dos objetivos de especificação e projeto de sistemas de 
controle um modelo simplificado aproximado é suficiente. 
 
=> O objetivo agora é determinar, partindo de um sistema não linear, 
um modelo teórico para pequenos sinais que trabalhe em um 
determinado ponto de operação, que possa representar o sistema real. 
56 
Modelagem de Sistemas Físicos 
• Aproximações lineares de sistemas físicos: 
Procedimento: Expande-se a função não linear, em série 
de Taylor, em torno do ponto de operação, desprezando-se 
os termos de ordem superior a 1. 
57 
Seja um sistema com entrada x(t) e saída y(t), então: 
 
Seja y=f(x), onde f é estabelece uma relação não linear entre 
y(t) e x(t). Se x(t) apresentar variações muito pequenas em 
torno de um ponto de operação (ponto fixo), fazendo com 
que as variações de y(t) também sejam pequenas, então, sob 
tais condições, pode-se representar f(x) através de uma série 
de Taylor, desprezando-se os termos de maior ordem. 
Logo: A aproximação linear de f(x) será: 
 
 
 
 
Modelagem de Sistemas Físicos 
• Aproximações lineares de sistemas físicos: 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Exemplo 3.17. 
 Obter o modelo linear para o sistema massa mola, onde a 
mola tem uma característica não linear. 
 
 
 
 
 
• Aproximações lineares de sistemas físicos. 
58 
59 
Modelagem de Sistemas Físicos 
• Modelagem no espaço de estados. 
Definição: 
-Modelo no Espaço de Estados: É uma 
representação da dinâmica de um sistema de 
ordem N em um conjunto de equações de primeira 
ordem em um vetor de dimensão N. Tal vetor é 
chamado de estado. 
 
=> Na modelagem, converte-se a equação 
diferencial de ordem N, que governa o sistema, em 
N equações de primeira ordem. 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Introduzida pela teoria de controle moderno, onde se tem: 
 Sistemas com entradas e saídas múltiplas. 
 Trata sistemas lineares ou não lineares. 
 Trata sistemas variantes ou invariantes no tempo. 
 Abordagem centrada no conceito de estado. 
 Domínio do tempo (t). 
 A Teoria de controle clássico é caracterizada por: 
 Tratar sistemas monovariáveis. 
 Considerar apenas sistemas lineares. 
 Ter foco nos sistemas invariantes no tempo. 
 Abordagem centrada no conceito de função de 
transferência. 
 Domínio de frequência complexa (s). 
• Modelagem no espaço de estados. 
60 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Definições 
 Estado 
 Variáveis de estado. 
 Conhecidas em t = t0. 
 Sinal de entrada. 
 Conhecido para t ≥ t0. 
 Comportamento do sistema. 
 Para t ≥ t0. 
 Variáveis de estado 
 Grandezas cujo conjunto de valores determina o estado do 
sistema. 
 x1, x2, ..., xn 
 Descreve completamente o sistema. 
• Modelagem no espaço de estados. 
61 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Definições 
 Vetor de estado 
 Determina univocamente o estado x(t) do sistema para 
qualquer instante t ≥ t0, uma vez conhecidos o estado em 
t = t0 e a função de entrada u(t) para t ≥ t0. 
 
 
• Modelagem no espaço de estados. 
62 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Definições 
 Espaço de estados 
 O espaço n-dimensional cujos eixos coordenados consistem 
nos eixos x1, x2, . . ., xn. 
 
Exemplo de Espaço de Estados para um sistema com 3 variáveis de estado: 
• Modelagem no espaço de estados. 
63 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Definições 
 As equações no espaço de estados apresentam: 
 Variáveis de entrada. 
 Variáveis de saída. 
 Variáveis de estado. 
 A representação não é única. 
 Mesmo número de variáveis de estado. 
 Número de variáveis de estado relaciona-se. 
 Ao número de integradores do sistema. 
• Modelagem no espaço de estados. 
64 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Equações no modelo em espaço de estados 
 São expressas em notação matricial 
 
 
 
Onde: 
 A : Matriz de estado (ou Matriz dinâmica). 
 B : Matriz de entrada. 
 C : Matriz de saída. 
 D : Matriz de transmissão direta. 
 x(t) : Vetor de estados. 
 u(t) : Entrada. 
 y(t) : Saída. 
• Modelagem no espaço de estados. 
65 
Equação de estado 
Equação de saída 
 Representação das características do sistema dinâmico: 
-Sistemas Variantes no Tempo: 
 
 
 
-Em Diagrama de Blocos: 
 
 
 
66 
Modelagem de Sistemas Físicos 
• Modelagem no espaço de estados. 
As matrizes A(t), B(t), C(t) e D(t) 
estão em função do tempo. 
 Representação das características do sistema dinâmico: 
-Sistemas 
 
 
 
-Em Diagrama de Blocos: 
 
 
 
 Representação das características do sistema dinâmico: 
-Sistemas Invariantes no Tempo: 
 
 
67 
Modelagem de Sistemas Físicos 
• Modelagem no espaço de estados. 
As matrizes A, B, C e D são 
constantes. 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Equações de estado 
 Exemplo 3.18. 
 Obter as equações de estado do circuito. Considerar como 
saída a tensão no indutor e variável de estado a corrente. A 
partir das equações de estado obter o diagrama para o 
sistema. 
• Modelagem no espaço de estados. 
68 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Equações de estado 
 Exemplo 3.19. 
 A partir do modelo no espaço de estados, obter a resposta a 
uma entrada degrau unitário para cada estado do sistema. 
• Modelagem no espaço de estados. 
69 
70 
Exemplo1: Convertendo F.T. em Espaço de Estado: 
Caso 1 – Numerador Simples: 
CONTINUA 
71 
Exemplo: 
72 
Exemplo2: Convertendo F.T. em Espaço de Estado: 
Caso 2 – O numerador é um polinômio com ordem menor que o 
denominador: 
CONTINUA 
73 
74 
Exemplo3: Convertendo F.T. em Espaço de Estado: 
Caso 3 – O numerador é um polinômio com a mesma ordem do 
denominador: 
75 
Obtendo a Função de Transferência partindo do modelo em Espaço de Estado: 
76 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 roots(p) 
 Raízes do polinômio p. 
 poly(r) 
 Coeficientes do polinômio com raízes r. 
 conv 
 Multiplicação de polinômios. 
 polyval 
 Valor do polinômio. 
• Análise com o MATLAB 
77 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Função de transferência. 
 
 
 
 Forma analítica 
 
• Análise com o MATLAB 
78 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Função de transferência. 
 Exemplo 3.21. 
 Representar as seguintes funções de transferência no 
MATLAB. 
 
 
• Análise com o MATLAB 
79 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Função de transferência. 
 Representação zero-pólo-ganho (zpK) 
 
• Análise com o MATLAB 
80 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Função de transferência. 
 Exemplo 3.22. 
 Representar a função de transferência no MATLAB no 
modelo zpK. 
 
 
• Análise com o MATLAB 
81 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Função de transferência. 
 pzmap 
 Diagrama de polos e zeros. 
 
 
 Exemplo 3.23. 
 Dadas as funções de transferência, encontrar os polos e zeros 
de G(s). Representar H(s) como a relação entre dois 
polinômios. Encontrar T(s) = G(s)/H(s). Encontrar os polos e 
zeros de T(s). 
 
• Análise com o MATLAB 
82 
Modelagem deSistemas Físicos 
 Modelos em diagrama de blocos 
 Conexão em cascata. 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 3.24. 
 Encontrar a função de transferência equivalente da conexão 
em cascata de 
 
• Análise com o MATLAB 
83 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Modelos em diagrama de blocos 
 Conexão em paralelo. 
 
 
 
 
 
 
• Análise com o MATLAB 
84 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Modelos em diagrama de blocos 
 Conexão em paralelo. 
 Exemplo 3.25. 
 Encontrar a função de transferência equivalente da conexão 
em paralelo de 
 
 
• Análise com o MATLAB 
85 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Modelos em diagrama de blocos 
 Sistema e malha fechada. 
 
 
 
• Análise com o MATLAB 
sys = feedback(sys1,sys2,sign) 
86 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Modelos em diagrama de blocos 
 Sistema e malha fechada. 
 Exemplo 3.26. 
 Encontrar a função de transferência equivalente Y(s)/R(s). 
 
 
 
• Análise com o MATLAB 
87 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Modelos em diagrama de blocos 
 Redução multimalhas 
 Exemplo 3.27. 
 Encontrar a função de transferência equivalente Y(s)/R(s). 
 
 
 
• Análise com o MATLAB 
88 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Modelos em diagrama de blocos 
 Redução multimalhas 
 Exemplo 3.28 
 Encontrar a função de transferência equivalente. 
 
 
 
• Análise com o MATLAB 
89 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Conversão entre modelos 
 tf2ss. 
 [A, B, C, D] = tf2ss(num, den) 
 ss2tf. 
 [num, den] = ss2tf(A, B, C, D) 
 Exemplo 3.29. 
 Obter a representação em espaço de estado para o sistema 
com função de transferência. 
 
 
• Análise com o MATLAB 
90 
Modelagem de Sistemas Físicos 
 Conversão entre modelos 
 Exemplo 3.30. 
 Obter a função de transferência do sistema com 
representação em espaço de estado dada. 
• Análise com o MATLAB 
91 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
 
1. OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4a Edição, Prentice 
Hall, 2003. 
 
2. DORF, R. C.; Bishop, R. H. Sistemas de Controle Modernos. 11a 
Edição, Livros Técnicos e Científicos, 2009. 
 
3. NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 5a Edição, Livros 
Técnicos e Científicos, 2009. 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
 
1. HSU, Hwei. Sinais e Sistemas. Editora Schaum Bookman Companhia, 
2004. 
 
2. HAYKIN, Simon S. & VEEN, Barry Van. Sinais e Sistemas. Editora 
Bookman Companhia, 2000. 
 
3. BOLTON, W. Engenharia de Controle MAKRON, 1995. 
 
4. PHILLIPS, Charles L. & HARBOR, Royce D. Sistemas de Controle e 
Realimentação Makron, 1996. 
 
5. HAYKIN, Simon. Sinais e sistemas. Colaboração de Barry Van 
Veen.Traduzido por Jose Carlos Barbosa dos Santos. Porto Alegre: 
Bookman, 2001.