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·1 Um próton (massa m = 1,67 H 10-27 kg) está sendo acelerado, em linha reta, a 3,6 × 1015 m/s2 em um acelerador de partículas. Se o próton tem velocidade inicial de 2,4 × 107 m/s e se desloca 3,5 cm, determine (a) a velocidade e (b) o aumento da energia cinética do próton. ·2 Se um foguete Saturno V e uma espaçonave Apolo acoplada ao foguete tinham massa total de 2,9 × 105 kg, qual era a energia cinética quando os objetos atingiram uma velocidade de 11,2 km/s? 1. (a) From Table 2-1, we have v v a x2 0 2 2= + Δ . Thus, ( ) ( )( )22 7 15 2 70 2 2.4 10 m/s 2 3.6 10 m/s 0.035 m 2.9 10 m/s.v v a x= + Δ = × + × = × (b) The initial kinetic energy is ( ) ( )22 27 7 1301 1 1.67 10 kg 2.4 10 m/s 4.8 10 J.2 2iK mv − −= = × × = × The final kinetic energy is ( ) ( )22 27 7 131 1 1.67 10 kg 2.9 10 m/s 6.9 10 J.2 2fK mv − −= = × × = × The change in kinetic energy is ΔK = 6.9 × 10–13 J – 4.8 × 10–13 J = 2.1 × 10–13 J. 2. With speed v = 11200 m/s, we find 2 5 2 131 1 (2.9 10 kg) (11200 m/s) 1.8 10 J. 2 2 K mv= = × = × ·8 Um bloco de gelo flutuante é colhido por uma correnteza que aplica ao bloco uma força = (210 N) – (150 N) fazendo com que o bloco sofra um deslocamento = (15 m) – (12 m) . Qual é o trabalho realizado pela força sobre o bloco durante o deslocamento? 3 ˆ ˆ ˆ ˆ(210 N) i (150 N) j (15 m) i (12 m) j (210 N)(15 m) ( 150 N)( 12 m) 5.0 10 J. W F d ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = − ⋅ − = + − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = × GG ··11 Uma força de 12,0 N e com orientação fixa realiza trabalho sobre uma partícula que sofre um deslocamento = (2,00 – 4,00 + 3,00 ) m. Qual é o ângulo entre a força e o deslocamento se a variação da energia cinética da partícula é (a) +30,0 J e (b) –30,0 J? cosK W F d Fd φΔ = = ⋅ =GG . In addition, 12 NF = and 2 2 2(2.00 m) ( 4.00 m) (3.00 m) 5.39 md = + − + = . (a) If 30.0 JKΔ = + , then 1 1 30.0 Jcos cos 62.3 (12.0 N)(5.39 m) K Fd φ − − ⎛ ⎞Δ⎛ ⎞= = = °⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . (b) 30.0 JKΔ = − , then 1 1 30.0 Jcos cos 118 (12.0 N)(5.39 m) K Fd φ − − ⎛ ⎞Δ −⎛ ⎞= = = °⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . ··14 A Fig. 7-27 mostra uma vista superior de três forças horizontais agindo sobre uma caixa que estava inicialmente em repouso e passou a se mover em um piso sem atrito. Os módulos das forças são F1 = 3,00 N, F2 = 4,00 N, e F3 = 10,0 N e os ângulos indicados são θ2 = 50,0° e θ3 = 35,0°. Qual é o trabalho total realizado sobre a caixa pelas três forças nos primeiros 4,00 m de deslocamento? Figura 7-27 Problema 14. 14. The forces are all constant, so the total work done by them is given by W F x= netΔ , where Fnet is the magnitude of the net force and Δx is the magnitude of the displacement. We add the three vectors, finding the x and y components of the net force: net 1 2 3 net 2 3 sin 50.0 cos35.0 3.00 N (4.00 N)sin 35.0 (10.0 N)cos35.0 2.13 N cos50.0 sin 35.0 (4.00 N) cos50.0 (10.0 N)sin 35.0 3.17 N. x y F F F F F F F = − − °+ ° = − − °+ ° = = − °+ ° = − °+ ° = The magnitude of the net force is 2 2 2 2 net net net (2.13 N) (3.17 N) 3.82 N.x yF F F= + = + = The work done by the net force is net (3.82 N) (4.00m) 15.3 JW F d= = = where we have used the fact that G G d F net|| (which follows from the fact that the canister started from rest and moved horizontally under the action of horizontal forces — the resultant effect of which is expressed by G Fnet ). ·17 Um helicóptero levanta verticalmente, por meio de um cabo, uma astronauta de 72 kg até uma altura 15 m acima da superfície do oceano. A aceleração da astronauta é g/10. Qual é o trabalho realizado sobre a astronauta (a) pela força do helicóptero e (b) pela força gravitacional? Imediatamente antes de a astronauta chegar ao helicóptero, quais são (c) sua energia cinética e (d) sua velocidade? Wa = −(50 N)(0.50 m) = −25 J (the minus sign arises from the fact that the pull from the rope is anti-parallel to the direction of motion of the block). Thus, the kinetic energy would have been 25 J greater if the rope had not been attached (given the same displacement). ··19 Na Fig. 7-30, um bloco de gelo escorrega para baixo em uma rampa sem atrito com uma inclinação θ = 50o enquanto um operário puxa o bloco (por meio de uma corda) com uma força r que tem um módulo de 50 N e aponta para cima ao longo da rampa. Quando o bloco desliza uma distância d = 0,50 m ao longo da rampa, sua energia cinética aumenta 80 J. Quão maior seria a energia cinética se o bloco não estivesse sendo puxado por uma corda? 11( ) 10 F mg ma F m g a mg− = ⇒ = + = , ·34 Um tijolo de 10 kg se move ao longo de um eixo x. A Fig. 7-38 mostra a aceleração do tijolo em função da posição. A escala vertical do gráfico é definida por as = 20,0 m/s2. Qual é o trabalho total realizado sobre o tijolo pela força responsável pela aceleração quando o tijolo se desloca de x = 0 para x = 8,0 m? Figura 7-38 Problema 34. α = = −20 8 0 2 5 2 m / s m s 2 . . . 2 2 2 2 0 0 (10 kg)(2.5 s ) (8.0 m) 8.0 10 J. 2 2 f fx x f mW F dx m x dx xαα − = = = = = ×∫ ∫ 2 4 411 11 (72 kg)(9.8 m/s )(15 m) 1.164 10 J 1.2 10 J 10 10F mgdW Fd= = = = × ≈ × . (a) (b) 2 4 4 (72 kg)(9.8 m/s )(15 m) 1.058 10 J 1.1 10 Jg gW F d mgd= − = − = − = − × ≈ − × (c) 4 4 3 3net 1.164 10 J 1.058 10 J 1.06 10 J 1.1 10 JF gW W W= + = × − × = × ≈ × . (d) Since K mv= 12 2 , her final speed is 32 2(1.06 10 J) 5.4 m/s 72 kg Kv m ×= = = . Note: For a general upward acceleration a, the net work done is net ( )F g gW W W Fd F d m g a d mgd mad= + = − = + − = . Since 2net / 2,W K mv= Δ = by the work-kinetic energy theorem, the speed of the astronaut would be 2v ad= , which is independent of the mass of the astronaut. ·35 A força a que uma partícula está submetida aponta ao longo de um eixo x e é dada por F = F0(x/x0 – 1). Determine o trabalho realizado pela força ao mover a partícula de x = 0 a x = 2x0 de duas formas: (a) plotando F(x) e medindo o trabalho no gráfico; (b) integrando F(x). 35. Given a one-dimensional force ( )F x , the work done is simply equal to the area under the curve: ( ) f i x x W F x dx= ∫ . (a) The plot of F(x) is shown above. Here we take x0 to be positive. The work is negative as the object moves from x x x= =0 0 to and positive as it moves from x x x x= =0 02 to . Since the area of a triangle is (base)(altitude)/2, the work done from x x x= =0 0 to is 1 0 0( )( ) / 2W x F= − and the work done from x x x x= =0 02 to is 2 0 0 0 0 0(2 )( ) / 2 ( )( ) / 2W x x F x F= − = . The total work is the sum of the two: 1 2 0 0 0 0 1 1 0 2 2 W W W F x F x= + = − + = . (b) The integral for the work is 0 0 2 22 0 00 0 0 0 1 0. 2 x x x xW F dx F x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ·36 Um bloco de 5,0 kg se move em linha reta em uma superfície horizontal, sem atrito, sob a influência de uma força que varia com a posição, como é mostrado na Fig. 7-39. A escala vertical do gráfico é definida por Fs = 10,0 N. Qual é o trabalho realizado pela força quando o bloco se desloca da origem até x = 8,0 cm? Figura 7-39 Problema 36. 36. From Eq. 7-32, we see that the “area” in the graph is equivalent to the work done. Finding that area (in terms of rectangular [length × width] and triangular [ 12 base height]× areas) we obtain 0 2 2 4 4 6 6 8 (20 10 0 5) J 25 J.x x x xW W W W W< < < < < < < <= + + + = + + − = ·43 Uma força de 5,0 N age sobre um corpo de 15 kg inicialmente em repouso. Calcule o trabalho realizado pela força (a) no primeiro, (b) no segundo e (c) no terceiro segundo, assim como(d) a potência instantânea da força no fim do terceiro segundo. 43. (a) The power is given by P = Fv and the work done by G F from time t1 to time t2 is given by 2 2 1 1 t t t t W Pdt Fvdt= =∫ ∫ . Since G F is the net force, the magnitude of the acceleration is a = F/m, and, since the initial velocity is v0 0= , the velocity as a function of time is given by v v at F m t= + =0 ( ) . Thus, 2 1 2 2 2 2 2 1 1( / ) ( / )( ). 2 t t W F m t dt F m t t= = −∫ For t1 0= and 2 1.0s,t = 2 21 (5.0 N) (1.0 s) = 0.83 J. 2 15 kg W ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ (b) For 1 1.0s,t = and 2 2.0s,t = 2 2 21 (5.0 N) [(2.0 s) (1.0 s) ] 2.5 J. 2 15 kg W ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠ (c) For 1 2.0st = and 2 3.0s,t = 2 2 21 (5.0 N) [(3.0 s) (2.0 s) ] 4.2 J. 2 15 kg W ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠ (d) Substituting v = (F/m)t into P = Fv we obtain P F t m= 2 for the power at any time t. At the end of the third second P (5.0 N) (3.0 s) 15 kg 5.0 W. 2 = FHG I KJ = ·44 Um esquiador é puxado por uma corda para o alto de uma encosta que faz um ângulo de 12° com a horizontal. A corda se move paralelamente à encosta com velocidade constante de 1,0 m/s. A força da corda realiza 900 J de trabalho sobre o esquiador quando este percorre uma distância de 8,0 m encosta acima. (a) Se a velocidade constante da corda fosse 2,0 m/s, que trabalho a força da corda teria realizado 44. (a) Since constant speed implies ΔK 0,= we require W Wa g= − , by Eq. 7-15. Since Wg is the same in both cases (same weight and same path), then 29.0 10aW = × J just as it was in the first case. (b) Since the speed of 1.0 m/s is constant, then 8.0 meters is traveled in 8.0 seconds. Using Eq. 7-42, and noting that average power is the power when the work is being done at a steady rate, we have 2900 J 1.1 10 W. 8.0 s WP t = = = ×Δ (c) Since the speed of 2.0 m/s is constant, 8.0 meters is traveled in 4.0 seconds. Using Eq. 7-42, with average power replaced by power, we have 900 J 4.0 s WP t = =Δ = 225 W 22.3 10 W≈ × . ··47 Uma máquina transporta um pacote de 4,0 kg de uma posição inicial i = (0,50 m) + (0,75 m) + (0,20 m) em t = 0 até uma posição final f = (7,50 m) + (12,0 m) + (7,20 m) em t = 12 s. A força constante aplicada pela máquina ao pacote é = (2,00 N) + (4,00 N) + (6,00 N) . Para esse deslocamento, determine (a) o trabalho realizado pela força da máquina sobre o pacote e (b) a potência média desenvolvida pela força. 47. (a) Equation 7-8 yields W = Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz = (2.00 N)(7.5 m – 0.50 m) + (4.00 N)(12.0 m – 0.75 m) + (6.00 N)(7.2m – 0.20 m) =101 J ≈ 1.0× 102 J. (b) Dividing this result by 12 s (see Eq. 7-42) yields P = 8.4 W.
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