lista 4 Calculo

Prévia do material em texto

MAT1351 - Cálculo para Funções de uma Variável Real I - Lista 4
1. Decida se as funções abaixo são deriváveis em x = 1. Justifique.
a) f (x) = {3X2 + 4,
6x+ 1,
se x:::; 1
se x » 1
b) f (x) = { x2 ;- X + 1,
-x + 3x-1,
se x < 1
se x ~ 1
{
x3
c) f(x) = ~,
se x < 1
se x ~ 1
2. Verifique se as funções abaixo têm derivadas no O. Justifique sua resposta.
a) f(x) = Ixl - x b) f(x) = xixi
3. Encontre as equações das retas que passam pelo ponto (3,-2) e são tangentes à curva
y = x2 - 7.
4. Demonstre que não existe reta que passa pelo ponto (1,2) e é tangente à curva
y = 4 - x2•
5. A reta normal ao gráfico de uma função y = f(x) num pontoP do mesmo é a reta
perpendicular à tangente ao gráfico da função nesse ponto.
Determine a reta normal ao gráfico de f(x) = vfx no ponto de abcissa x = 4.
6. Encontre as equações das retas tangentes à curva y - 2X2 + 3 e paralelas
à reta 8x - y + 3 = O.
7. Calcule f'(x) sendo:
b) f(x) = Vx + 2vfx + senx
xc) f(x) =-
x+1
d) f(x) = vfx sen x
f x2 + X + 1
e) (x) = sen x + cos x f) f(x) = cotgx
g) f(x) = 5(x - l)(x + 2)(x3 + 1)
8. Calcule a derivada das funções:
a) cos(sen 2x) b) sen (3 + 5 cos x) 2
c) sen(3 + 5 cos2x) d) y'(1 + cos- x3)
Jx2 - 5
e) sen2 x + yff9X l+x )1+ cos- Xf) ~1 + sen? x - x
5 (
{
1
x2 sen-
9. Dada f(x) = O x
se x =I O
se x = O
a) Decida se f é derivável em x = o.
b) Calcule f' e decida se f' é contínua em x = O.
10. Um avião, voando horizontalmente com velocidade constante v e a uma altura h,
deixa cair um objeto. Desprezando-se a resistência do ar, determinar o tempo de
queda e o local onde caiu tomando-se como referência o ponto no solo sob o ponto
de lançamento.
11. Em um tanque cônico entra água a uma velocidade de 3 litros/mino Se a altura do
tanque é 20m e o raio da base é 10m, qual a velocidade de ascenção da água no
instante em que o nível encontra-se na metade da altura?
12. Uma bolinha de naftalina perde sua massa numa taxa que é proporcional à sua
área. Se depois de 1 mês ela perdeu a metade de sua massa, depois de quanto
tempo desaparecerá?
13. Mostre que a reta tangente à parábola y = ax2 no ponto (xo, Yo) corta o eixo x na
metade de Xo.
14. Seja r uma reta tangente aos gráficos de f(x) - _x2 e g(x)
Determine r.
15. Encontre a distância entre a parábola y = x2 + 1 e a reta y = x-L
	Page 1
	Titles
	se x:::; 1 
	a) f(x) = Ixl - x 
	Images
	Image 1
	Image 2
	Page 2
	Titles
	Jx2 - 5 
	d) y'(1 + cos- x3) 
	Images
	Image 1
	Image 2