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Universidade Estadual do Ceara´
Faculdade de Educac¸a˜o de Crateu´s
Curso de Qu´ımica
Ca´lculo Diferencial e Integral II
Prof. Me. Francisco Adriano Gomes Bezerra
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Introduc¸a˜o as equac¸o˜es diferenciais e aplicac¸o˜es
segunda parte
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1 Equac¸o˜es Separa´veis
Uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de primeira ordem e´ separa´vel se for poss´ıvel, por manipulac¸a˜o
alge´bricas elementares, reescrever a equac¸a˜o de modo que todas as varia´veis dependentes (usualmente
a varia´vel y) estejam de um lado e todas as varia´veis independentes (usualmente a varia´vel x), do
outro. vamos aprender o me´todo atrave´s de alguns exemplos.
Exemplo 1. Resolva a equac¸a˜o diferencial ordina´ria
y′ = 2xy
Exemplo 2. Resolva a equac¸a˜o diferencial ordina´ria
(1 + x)dy − ydx = 0
Exemplo 3. Resolva a equac¸a˜o diferencial
dy
dx
=
x2
y2
. Encontre a soluc¸a˜o desta equac¸a˜o que satisfac¸a
a condic¸a˜o inicial y(0) = 2.
Exemplo 4. Resolva a equac¸a˜o diferencial ordina´ria
xy′ = (1− 2x2) tan y
Exemplo 5. Resolva a equac¸a˜o diferencial ordina´ria
dy
dx
=
6x2
2y + cos y
2 Equac¸o˜es Lineares de primeira ordem
Uma equac¸a˜o diferencial e´ considerada linear de primeira ordem se for da seguinte forma
y′ + a(x)y = b(x)
ou seja, apenas derivadas de primeira ordem aparecem na equac¸a˜o, y e suas derivadas na˜o forem
multiplicadas entre si, nem elevadas a poteˆncias.
Para a resoluc¸a˜o existe um procedimento alge´brico que sempre funciona: multiplicamos por ambos
os lados da equac¸a˜o linear por e
∫
a(x)dx (fator integrante).
Exemplo 6. Resolva a equac¸a˜o diferencial
y′ + 2xy = x
Exemplo 7. Resolva a equac¸a˜o diferencial
x2y′ + xy = x3
Exemplo 8. Resolva o problema de valor inicial y(1) = 0
x
dy
dx
+ y = 2x
Exemplo 9. Resolva o problema de valor inicial y(−2) = 0
dy
dx
=
1
x + y2
3 Aplicac¸o˜es
3.1 Crescimento e Decrescimento
O problema de valor inicial
dx
dt
= kx, x(t0) = x0
em que k e´ uma constante de proporcionalidade, ocorre em muitas teorias f´ısicas envolvendo cres-
cimento e decrescimento. Por exemplo, em biologia, e´ frequeˆntemente observado que a taxa de
crescimento de certas bacte´rias e´ proporcional ao nu´mero de bacte´rias presentes no instante.
Exemplo 10. Em uma cultura, ha´ inicialmente b0 bacte´rias. Uma hora depois, t = 1, o nu´mero de
bacte´rias passa a ser 3
2
b0. Se a taxa de crescimento e´ proporcional ao nu´mero de bacte´rias presentes,
determine o tempo necessa´rio para que o nu´mero de bacte´rias triplique.
3.2 Meia-Vida
Em f´ısica, meia-vida e´ uma medida de estabilidade de uma substaˆncia radioativa. A meia-vida
e´ simplismente o tempo gasto para metade dos a´tomos de uma quantidade inicial A0 se desintegrar
ou se transmutar em a´tomos de outro elemento. Quanto maior a meia-vida de uma substaˆncia, mais
insta´vel ela e´. Por exemplo O iso´topo de uraˆnio mais comum, U-238, tem meia-vida de aproximada-
mente 4.500.000.000 de anos. Nesse tempo, metade de uma quantidade de U-238 e´ transmutada em
chumbo, Pb-206.
Exemplo 11. Um reator converte uraˆnio 238 em iso´topo de plutoˆnio 239. Apo´s 15 anos, foi detectado
que 0, 043% da quantidade inicial A0 de plutoˆnio se desintegrou . Encontre a meia-vida desse iso´topo,
se a taxa de desintegrac¸a˜o e´ proporcional a` quantidade remanecente.
3.3 Cronologia do Carbono
Por volta de 1950, o qu´ımico Willard Libby inventou um me´todo para determinar a idade de
fo´sseis usando o carborno radioativo. A teoria da cronologia do carborno se baseia no fato de que
o iso´topo do carborno 14 e´ produzido na atmosfera pela ac¸a˜o de radiac¸o˜es co´smicas no nitrogeˆnio.
A raza˜o entre a quantidade de C-14 na atmosfera parece ser uma constante e, como consequeˆncia, a
proporc¸a˜o da quantidade de iso´topo presente em todos os organismos vivos e´ a mesma proporc¸a˜o da
quantidade da atmosfera. Quando um organismo morre, a absorc¸a˜o de C-14, atrave´s da respirac¸a˜o
ou alimentac¸a˜o, cessa. Logo, comparando a quantidade proporcional de C-14 presente, digamos, em
um fo´ssil com a raza˜o constante encontrada na atmosfera, e´ poss´ıvel obter uma razoa´vel estimativa
da idade do fossil. O me´todo se baseia no conhecimento da meia-vida do carborno radioativo C-14,
cerca de 5.600 anos. (Por esse trabalho Libby ganhou o premio Nobel de qu´ımica em 1960).
Exemplo 12. Um osso fossilizado conte´m 1/1000 da quantidade original do C-14. Determine a
idade do fo´ssil.
3.4 Resfriamento
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variac¸a˜o de temperatura T (t) de um corpo em
resfriamento e´ proporcional a` diferenc¸a entre a temperatura do corpo e a temperatura constante Tm
do meio ambiente, isto e´,
dT
dt
= k(T − Tm)
em que k e´ uma constante de proporcionalidade.
Exemplo 13. Quando um bolo e´ retirado do forno, sua temperatura e´ de 300oF. Treˆs minutos
depois, sua temperatura passa para 200oF. Quanto tempo levara´ para sua temperatura chegar a 70
graus, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for exatamente 70oF?
3.5 Problemas de Misturas
Um problema t´ıpico de mistura envolve um tanque de capacidade fixa preenchido com uma
soluc¸a˜o completamente misturada de alguma substaˆncia (digamos, sal). Uma soluc¸a˜o de uma dada
concentrac¸a˜o entra no tanque a uma taxa fixa e a mistura, bem agitada, sai a uma taxa fixa, que pode
ser diferente da taxa de entrada. Se y(t) denota a quantidade de substaˆncia no tanque no instante
t, enta˜o y′(t) e´ a taxa na qual a substaˆncia esta´ sendo adicionada menos a taxa na qual ela esta´
sendo retirada. A descric¸a˜o matema´tica da situac¸a˜o frequentemente leva a uma equac¸a˜o diferencial
de primeira ordem separa´vel. Podemos usar o mesmo tipo de racioc´ınio para modelar uma variedade
de fenoˆmenos: reac¸o˜es qu´ımicas, descarga de poluentes em um lago, injec¸a˜o de medicamentos na
corrente sangu´ınea, entre outros.
Exemplo 14. Um tanque conte´m 20 kg de sal dissolvido em 5000 L de a´gua. A´gua salgada com 0, 03
kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 25 L/min. A soluc¸a˜o e´ misturada completamente
e sai do tanque a` mesma taxa. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia
hora?
4 Exerc´ıcio
1. Resolva a equac¸a˜o diferencial
(a)
dy
dx
=
y
x
(b) xy2y′ = x + 1
(c) (y + sin y)y′ = x + x3
(d)
dy
dt
=
t
ey+t2
(e)
dy
dx
=
lnx
xy
; y(1) = 2
(f) y′ =
xy sinx
y + 1
; y(0) = 1
2. Resolva a equac¸a˜o diferencial
(a) x− y′ = xy
(b) y′ =
1
x
+
1
y
(c) xy′ + y =
√
x
(d) y′ = x + 5y
(e) x2y′ + 2xy = lnx; y(1) = 2
(f) 2xy′ + y = 6x; x > 0 y(4) = 20
3. A populac¸a˜o de uma cidade cresce a uma taxa proporcional a` populac¸a˜o em qualquer tempo.
Sua populac¸a˜o inicial de 500 habitantes aumenta 15% em 10 anos. Qual sera´ a poluc¸a˜o em 30
anos?
4. O iso´topo radioativo de chumbo, Pb-209, decresce a uma taxa proporcional a` quantidade pre-
sente em qualquer tempo. Sua meia-vida e´ 3,3 horas. Se 1 grama de chumbo esta´ presente
inicialmente, quanto tempo levara´ para 90% de chumbo desaparecer?
5. Um termoˆmetro e´ retirado de dentro de uma sala e colocado do lado de fora, em que a tem-
peratura e´ 5oC. Apo´s 1 minuto, o termoˆmetro marcava 20oC; apo´s 5 minutos, 10oC, Qual a
temperatura da sala?
6. Em um pedac¸o de madeira queimada, ou carva˜o, verificou-se que 85,5% do C-14 tinha se
desintegrado. determine a idade aproximada da madeira.
7. Um barril com 2000L de cerveja conte´m 4% de alcool (por volume). Cerveja com 6% de a´lcool
e´ bombeada para dentro do barril a uma taxa de 20 L/min e a mistura e´ bombeada para fora
do barril a` mesma taxa. Qual e´ a porcentagem de alcool depois de uma hora?