Matemática Financeira unid_2

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9 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE 
EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS
Os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente 
para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, 
envolvendo desembolsos periódicos do principal e encargos 
financeiros.
Sistema Financeiro da Habitação (SFH)
Criado em 1964, com o objetivo de viabilizar a concessão 
de financiamentos de longo prazo para aquisição da casa 
própria, o Sistema Financeiro da Habitação é composto por 
um complexo conjunto de leis e regras próprias que definem 
as condições da concessão do financiamento em cada época.
A concessão de um financiamento inicia-se com a procura, 
pelos interessados, de um agente financeiro. Os recursos para 
o financiamento podem ser oriundos das contas vinculadas 
do FGTS, do Sistema Brasileiro de Poupança e Empréstimo 
(SBPE), demais Fundos ou mesmo recursos próprios do agente 
financeiro.
A hipoteca do imóvel é a garantia do financiamento. Na 
vigência deste sistema, foram criados planos e formas de 
reajuste de prestações, com benefícios aos tomadores, que 
causaram o descasamento entre saldo e prestação, tendo um 
grande déficit a ser coberto pelo Fundo de Compensação de 
Variações Salariais (FCVS).
Fonte: Banco Central do Brasil1
1 Disponível em: <http://www.bcb.gov.br/?SFH>. Acesso em 4 dez. 
de 2010.
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Há várias maneiras de amortizar uma dívida. É imprescindível, 
para cada operação, as partes estabelecerem contrato a fim de 
esclarecer as formas, taxas e afins para o acerto da antecipação 
do montante e quitação da dívida.
Uma característica fundamental dos sistemas de 
amortização é a utilização exclusiva do critério de juros 
compostos, incidindo os juros exclusivamente sobre o saldo 
devedor (montante) apurado em período imediatamente 
anterior.
Para cada sistema de amortização, é construída uma planilha 
financeira, a qual relaciona, dentro de certa padronização, os 
diversos fluxos de pagamentos e recebimentos.
São consideradas também modalidades de pagamento com 
e sem carência. Na carência, não há pagamento do principal, 
sendo pagos somente os juros. Eventualmente, os juros podem 
ser capitalizados durante o prazo de carência.
Os sistemas de amortização mais usados no mercado são:
a) Sistema de Amortização Constante – SAC;
b) Sistema de Amortização Francês (Price) – SAF;
c) Sistema de Amortização Misto – SAM;
d) Sistema de Amortização Americano – SAA;
e) Sistema de amortização Crescente – SACRE;
f) Sistema de Amortização Variável (parcelas intermediárias).
9.1 Definições básicas
Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos 
tratam da forma pela qual o principal e os encargos financeiros 
são restituídos ao credor do capital.
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Antes do estudo desses sistemas, é importante definir os 
principais termos empregados nas operações de empréstimos e 
financiamentos.
Encargos financeiros: representam os juros da operação, 
caracterizados como custo para o devedor e retorno para o credor.
Eles podem ser prefixados ou pós-fixados. O que distingue 
essas duas modalidades é a correção (indexação) da dívida em 
função de uma expectativa (prefixação) ou verificação posterior 
(pós-fixação) do comportamento de determinado indexador.
Nas operações pós-fixadas, há um desmembramento dos 
encargos financeiros em juros e correção monetária (ou variação 
cambial, no caso da dívida ser expressa em moeda estrangeira) 
que vier a se verificar no futuro; e nas prefixadas estipula-se uma 
taxa única, a qual incorpora evidentemente uma expectativa 
inflacionária, para todo o horizonte de tempo.
Dessa forma, para uma operação pós-fixada, a taxa de juros 
contratada é a taxa definida como real, isto é, aquela situada 
acima do índice de inflação verificado no período.
Além do encargo real da taxa de juros, as operações pós-fixadas 
preveem também a correção monetária (ou variação cambial) 
do saldo devedor da dívida, o que representa normalmente 
a recuperação da perda de poder aquisitivo (desvalorização 
perante a inflação) da parte do capital emprestado e ainda não 
restituído.
Nas operações prefixadas, os encargos financeiros são 
medidos por uma única taxa, a qual engloba os juros exigidos 
pelo emprestador e a expectativa inflacionária (correção 
monetária) para o período em vigência.
Amortização: refere-se exclusivamente ao pagamento 
do principal (capital emprestado), o qual é efetuado, 
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geralmente, mediante parcelas periódicas. Alguns tipos 
de empréstimos permitem que o capital emprestado seja 
amortizado por meio de um único pagamento ao final do 
período. Essa situação é descrita no sistema de amortização 
americano.
Saldo devedor: representa o valor do principal da dívida, em 
determinado momento, após a dedução do valor pago ao credor 
a titulo de amortização.
Prestação: composto do valor da amortização mais encargos 
financeiros devidos em determinado período de tempo.
Prestação = Amortização + Encargos financeiros
Carência: muitas operações de empréstimos e 
financiamentos preveem um diferenciamento na data 
convencional do início dos pagamentos. Por exemplo, ao tomar 
um empréstimo por quatro anos, a ser restituído em prestações 
trimestrais, o primeiro pagamento ocorrerá normalmente três 
meses (um trimestre) após a liberação dos recursos, vencendo as 
demais ao final de cada um dos trimestres subsequentes. Pode 
ocorrer um deferimento (carência) no pagamento da primeira 
prestação, iniciando nove meses após o recebimento do capital 
emprestado. Nesse caso, diz-se que a carência corresponde a 
dois trimestres, ou seja, ela equivale ao prazo verificado entre 
a data convencional de início de pagamento (final do primeiro 
trimestre) e a do final do 9º mês.
Carência significa a postergação só do principal, excluídos os 
juros. Os encargos financeiros podem, dependendo das condições 
contratuais, serem pagos ou não durante a carência. É mais 
comum o pagamento dos juros durante o período de carência. 
Na hipótese de decidir pela carência de juros, os mesmos são 
capitalizados e pagos junto à primeira parcela de amortização 
do principal ou distribuídos para as várias datas pactuadas de 
pagamento.
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Características:
• basicamente desenvolvidos para operações de empréstimos 
e financiamentos de longo prazo, envolvendo amortizações 
periódicas do principal e encargos financeiros (juros da 
operação);
• utilizam exclusivamente o critério de juros compostos, 
incidindo os juros sobre o saldo devedor apurado em 
período imediatamente anterior;
• cada sistema de amortização obedece certa padronização, 
tanto nos desembolsos, quanto nos reembolsos;
• podem ter ou não carência, sendo que, no período de 
carência, normalmente são pagos os juros.
10 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
O sistema de amortização constante tem como característica 
básica serem as amortizações do principal sempre iguais em 
todo o prazo da operação. O valor da amortização é facilmente 
obtido mediante a divisão do capital emprestado pelo número 
de prestações.
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante 
decresce após o pagamento de cada amortização, assumem 
valoresdecrescentes nos períodos.
Em consequência do comportamento da amortização 
e dos juros, as prestações periódicas e sucessivas do SAC são 
decrescentes em progressão aritmética.
Exemplo 10
Admita o empréstimo de $ 100.000,00, dentro de um prazo de 
10 anos, em 20 prestações semestrais. Desconsidere a existência 
de um prazo de carência. Foram considerados juros de 7% a.s.
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Períodos 
(semestres)
Saldo 
devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($)
0 100.000 – – –
1 95.000 5.000 6.650,00 11.650,00
2 90.000 5.000 6.300,00 11.300,00
3 85.000 5.000 5.950,00 10.950,00
4 80.000 5.000 5.600,00 10.600,00
5 75.000 5.000 5.250,00 10.250,00
6 70.000 5.000 4.900,00 9.900,00
7 65.000 5.000 4.550,00 9.550,00
8 60.000 5.000 4.200,00 9.200,00
9 55.000 5.000 3.850,00 8.850,00
10 50.000 5.000 3.500,00 8.500,00
11 45.000 5.000 3.150,00 8.150,00
12 40.000 5.000 2.800,00 7.800,00
13 35.000 5.000 2.450,00 7.450,00
14 30.000 5.000 2.100,00 7.100,00
15 25.000 5.000 1.750,00 6.750,00
16 20.000 5.000 1.400,00 6.400,00
17 15.000 5.000 1.050,00 6.050,00
18 10.000 5.000 700,00 5.700,00
19 5.000 5.000 350,00 5.350,00
20 0 5.000 0,00 5.000,00
Total – 100.000 66.500,00 166.500,00
O SAC determina que a restituição do principal (capital 
emprestado) seja efetuada em parcelas iguais. Assim, o valor 
de cada amortização devida semestralmente é calculado pela 
simples divisão do principal e o número fixado de prestações, 
ou seja:
Amortização = valor do empréstimo / nº de prestações
Amortização = 100.000 / 10
Amortização = 10.000 / semestre
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Os pagamentos desses valores determinam decréscimos 
iguais e constantes no saldo devedor em cada um dos períodos, 
ocasionando reduções nos valores semestrais dos juros e das 
prestações.
Nesse exemplo, para o cálculo de juros, trabalhou-se, como 
é mais comum nessas operações de crédito de médio e longo 
prazos, com a taxa equivalente composta. Assim, para uma 
taxa equivalente nominal de 30% ao ano, conforme a taxa 
equivalente semestral atinge:
Taxa equivalente semestral de 30% a.a. = 130, – 1 = 
14.0175% a.s.
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor imediatamente 
anterior, apresentam valores aritmeticamente decrescentes, 
conforme são apurados na penúltima coluna da tabela 
exemplificada acima. Para o final do primeiro semestre, os encargos 
financeiros somam: 14,0175% x 100.000 = $ 14.017,50; para o 
final do segundo semestre: 14,0175% x 90.000 = $ 12.615,80; 
para o final do terceiro semestre: 
14,0175% x 80000 = $ 11.214,00; e assim por diante.
Soma-se, para cada período, o valor da prestação semestral 
do financiamento. Assim, para o primeiro semestre, a prestação 
atinge: $ 10.000,00 + $ 14.017,50 = $ 24.017,50; para o segundo 
semestre: $ 10.000,00 + $ 12.615,80 = $ 22.615,80.
Pode ser observado, uma vez mais, que a diminuição de 
$ 1.401,70 no valor dos juros em cada período é explicada 
pelo fato de as amortizações (fixas) reduzirem o saldo devedor 
da dívida (base de cálculo dos juros) semestralmente em 
$ 10.000,00. Essa diminuição provoca, em consequência, uma 
redução nos juros equivalente: 
14,017% x 10.000,00 = 1401,70.
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10.1 Expressões de cálculo do SAC
São desenvolvidas, a seguir, as expressões genéricas de 
cálculo de cada parcela da planilha do sistema de amortização 
constante.
Amortização (Amort): os valores são sempre iguais e obtidos 
por:
Amort
PV
n
=
Onde: PV = principal (valor do financiamento);
n = número de prestações.
Logo:
PV
n
Amort Amort Amort Amortn= = = = =1 2 3 ...
PV = Amort1 + Amort2 + Amort3 + ... + Amortn
Saldo devedor (SD): é decrescente em PA (progressão 
aritmética) pelo valor constante da amortização. Logo, a redução 
periódica do SD é: PV
n
.
Juros (J): pela redução constante do saldo devedor, os juros 
diminuem linearmente ao longo do tempo, comportando-se 
como uma PA decrescente. O valor periódico da redução é: (P/n) 
x i, sendo i a taxa de juros.
A expressão de cálculo dos juros:
J
PV
n
x n t xi1 1= − +( )
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Prestação (PMT): soma da amortização com juros e com 
encargos administrativos, que deve ser analisada em cada 
situação de empréstimo com a instituição financeira.
PMT=Amort + J (não consideraremos encargos 
administrativos nesse modelo).
Algebricamente:
PMT
PV
n
n t i= + − +.[ ( ). ]1 1
Exemplo 10.1
PV = 100.000,00; n = 5 anos; i = 30% ao ano.
Calcular o valor da prestação no 5º semestre:
PMT5
100 000
10
1 10 5 1 0 140175= + − +. .[ ( ). , ]
PMT5=10.000.[1+6x0,140175]
PMT5=18.410,50
10.2 SAC com carência
A ilustração desenvolvida na tabela anterior não previu 
existência de prazo de carência para a amortização do 
empréstimo. Ao supor uma carência de dois anos (contada a 
partir do final do primeiro semestre), por exemplo, três situações 
podem ocorrer:
a) os juros são pagos durante a carência;
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b) os juros são capitalizados e pagos totalmente quando do 
vencimento da primeira amortização;
c) os juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor 
gerando um fluxo de amortizações de maior valor.
Exemplo 10.2
A próxima tabela demonstra uma situação em que os juros 
são pagos durante a carência estipulada. Ao final dos quatro 
primeiro semestres, a prestação, constituída unicamente dos 
encargos financeiros, atinge $ 14.017,50, ou seja: 14,0175% x 
$ 100.000,00. A partir do quinto semestre, tendo sido encerrada 
a carência de dois anos, inicia-se a amortização do principal 
emprestado, sendo o fluxo de prestações, deste momento em 
diante, idêntico ao desenvolvido no exemplo anterior.
SAC com carência (2 anos) e pagamento dos juros
Períodos 
(semestres)
Saldo 
devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($)
0 100.000 – – –
1 100.000 – 14.017,50 14.017,50
2 100.000 – 14.017,50 14.017,50
3 100.000 – 14.017,50 14.017,50
4 100.000 – 14.017,50 14.017,50
5 90.000 10.000 14.017,50 24.017,5
6 80.000 10.000 12.615,80 22.615,80
7 70.000 10.000 11.214,00 21.214,00
8 60.000 10.000 9.812,30 19.812,30
9 50.000 10.000 8.410,50 18.410,50
10 40.000 10.000 7.008,80 17.008,80
11 30.000 10.000 5.607,00 15,607,00
12 20.000 10.000 4.205,30 14.205,30
13 10.000 10.000 2.803,50 12.803,50
14 – 10.000 1.401,80 11.401,80
TOTAL – 100.000 133.166,50 233.166,50
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Exemplo 10.3
SAC com carência (02 anos) e capitalização dos juros
Períodos 
(semestres)
Saldo 
devedor ($)
Amortização 
($) Juros ($) Prestação ($)
0 100.000 – – –
1 114.017,50 – – –
2 129.999,90 – – –
3 148.222,60 – – –
4 168.999,70 – – –
5 90.000 10.000 92.689,30 102.689,30
6 80.000 10.000 12.615,80 22.615,80
7 70.000 10.000 11.214,00 21.214,00
8 60.000 10.000 9.812,30 19.812,30
9 50.000 10.000 8.410,50 18.410,50
10 40.000 10.000 7.008,80 17.008,80
11 30.000 10.000 5.607,00 15,607,00
12 20.000 10.000 4.205,30 14.205,30
13 10.000 10.000 2.803,50 12.803,50
14 – 10.000 1.401,80 11.401,80
TOTAL – 100.000 155.768,30 255.768,30Exemplo 10.4
SAC com carência (02 anos) com juros capitalizados e 
acrescidos ao saldo devedor
Períodos 
(semestres)
Saldo 
devedor ($) Amortização ($) Juros ($)
Prestação 
($)
0 100.000 – – –
1 114.017,50 – – –
2 129.999,90 – – –
3 148.222,60 – – –
4 168.999,70 – – –
5 152.100,00 16.900 23.689,60 40.589,60
6 135.200,00 16.900 21.320,60 38.220,60
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7 118.300,00 16.900 18.951,70 35.851,70
8 101.400,00 16.900 16.582,70 33.482,70
9 84.500,00 16.900 14.213,70 31.113,70
10 67.600,00 16.900 11.844,80 28.744,80
11 50.700,00 16.900 9.475,80 26.375,80
12 33.800,00 16.900 7.106,90 24.006,90
13 16.900,00 16.900 4.737,90 21.637,90
14 – 16.900 2.369,00 19.269,00
TOTAL – 169.000,00 130.292,70 299.292,70
O quadro do exemplo 10.2 ilustra o plano de amortização 
da dívida na hipótese dos juros não serem pagos durante a 
carência. Nesse caso, os encargos são capitalizados, segundo o 
critério de juros compostos, e devidos integralmente quando do 
vencimento da primeira parcela de amortização.
Exemplo 10.5
Um banco concede um financiamento de $660.000,00 para 
ser liquidado em 8 pagamentos mensais pelo SAC. A operação é 
realizada com uma carência de 3 meses, sendo somente os juros 
pagos nesse período.
Para uma taxa efetiva de juros de 2,5% ao mês, elaborar a 
planilha de desembolsos desse financiamento.
Períodos 
(semestres)
Saldo 
devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($)
0 R$660.000 – – –
1 R$660.000 – R$16.500 R$16.500
2 R$660.000 – R$16.500 R$16.500
3 R$660.000 – R$16.500 R$16.500
4 R$577.500 R$ 82.500 R$16.500 R$99.000
5 R$495.000 R$ 82.500 R$14.438 R$96.938
6 R$412.500 R$ 82.500 R$12.375 R$94.875
7 R$330.000 R$ 82.500 R$10.313 R$92.813
8 R$247.500 R$ 82.500 R$ 8.250 R$90.750
9 R$165.000 R$ 82.500 R$ 6.188 R$88.688
10 R$82.500 R$ 82.500 R$ 4.125 R$86.625
11 – R$ 82.500 R$ 2.063 R$84.563
TOTAL – R$ 660.000 R$123.750 R$83.750
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am
aç
ão
: M
ár
ci
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Exemplo 10.6
Empréstimo ou financiamento: R$ 100.000,00 (Capital, 
principal, PV);
Prazo: 10 anos
Taxa de juros: 25% a.a. (efetiva).
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 – –
1 90.000,00 10.000,00 25.000,00 35.000,00
2 80.000,00 10.000,00 22.500,00 32.500,00
3 70.000,00 10.000,00 20.000,00 30.000,00
4 60.000,00 10.000,00 17.500,00 27.500,00
5 50.000,00 10.000,00 15.000,00 25.000,00
6 40.000,00 10.000,00 12.500,00 22.500,00
7 30.000,00 10.000,00 10.000,00 20.000,00
8 20.000,00 10.000,00 7.500,00 17.500,00
9 10.000,00 10.000,00 5.000,00 15.000,00
10 – 10.000,00 2.500,00 12.500,00
Total – 100.000,00 137.500,00 237.500,00
11 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS
O sistema de amortização francês (SAF), amplamente adotado 
no mercado financeiro do Brasil, estipula que as prestações 
devem ser iguais, periódicas e sucessivas. Equivale, em outras 
palavras, ao modelo-padrão de fluxos de caixa.
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, 
e as parcelas de amortização assumem valores crescentes.
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No SAF, os juros decrescem e as amortizações crescem ao 
longo do tempo. A soma dessas duas parcelas permanece sempre 
igual ao valor da prestação.
Para exemplificar, a planilha financeira desse sistema, a 
qual é mais bem-elaborada partindo-se da última coluna 
para a primeira. Isto é, calculam-se inicialmente as prestações 
e posteriormente, para cada período os juros, as parcelas de 
amortização e o respectivo saldo devedor.
Exemplo 11 SAF sem carência
Períodos 
(semestres)
Saldo 
devedor ($)
Amortização 
($)
Juros ($) Prestação ($)
0 100.000 – – –
1 94.833,10 5.166,90 14.017,50 19.184,40
2 88.941,80 5.891,20 13.293,20 19.184,40
3 82.224,80 6.717,00 12.467,40 19.184,40
4 74.566,20 7.658,60 11.525,90 19.184,40
5 65.834,10 8.732,10 10.452,30 19.184,40
6 55.877,90 9.956,20 9.228,30 19.184,40
7 44.526,20 11.351,80 7.832,70 19.184,40
8 31.583,20 12.943,00 6.241,50 19.184,40
9 16.825,90 14.757,30 4.427,20 19.184,40
10 – 16.825,90 2.358,60 19.184,40
Total – 100.000 91.844,00 191.844,00
As prestações semestrais são determinadas pela aplicação da 
fórmula de valor presente do modelo –padrão.
PV = PMT x FPV (i,n)
Onde:
PV = valor presente;
PMT = valor da prestação periódica, igual e sucessiva;
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FPV = fator de valor presente, sendo:
FPV
i
i
n
= − +
−1 1( )
Substituindo os valores do exemplo ilustrativo na equação, 
tem-se:
100 000 00
1 1140175
0 140175
10
. ,
( , )
,
= −
−
PMT x
PMT = $ 19.184,40/semestre.
Os demais valores da planilha são mensurados de forma 
sequencial em cada um dos períodos. Assim, para o primeiro 
semestre, têm-se:
• Juros (calculados sobre o saldo devedor imediatamente 
anterior): 14,0175% x 100.000,00 = $ 14.017,50.
• Amortização (obtida pela diferença entre o valor da 
prestação e dos juros acumulados para o período): 
$19.184,40 – $14.017,50 = $5.166,90.
• Saldo devedor (saldo anterior no momento zero – parcela 
de amortização do semestre) 
 $100.000,00 – $5.166,90 = $94.833,10.
Para o segundo semestre, os cálculos são os seguintes.
• Juros: 14,0175% x $94.833,70 = $13.293,20.
• Amortização: $19.184,40 – $13.293,20 = $5.891,20.
• Saldo devedor: $94.833,10 – $5.891,20 = $88.941,90, e 
assim por diante.
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11.1 Expressões de cálculo do SAF
No Sistema Francês de Amortização, as prestações são 
constantes, os juros decrescentes e as amortizações são 
exponencialmente crescentes ao longo do tempo. As expressões 
básicas de cálculo desses valores são desenvolvidas a seguir.
Amortização (Amort): é obtida pela diferença entre o valor 
da prestação e os juros:
Amort = PMT – J
A amortização do primeiro período é expressa:
Amort1 = PMT – J1, o que equivale a:
Amort1 = PMT – (PV x i).
Como o seu crescimento é exponencial no tempo, o valor da 
amortização num momento t qualquer é calculado:
Amort1 = Amort1 x (1 + i)
t–1
Por exemplo, o valor da amortização no quarto semestre 
atinge:
Amort4 = 5.166,90 x (1 + 0,140175)
4–1
Amort4 = 7.658,60
Prestação (PMT): conforme demonstrado, o valor da 
prestação é calculado mediante a aplicação da fórmula do 
valor presente desenvolvida para o modelo-padrão de fluxos de 
caixa:
PMT PV
FPV i n
= 1
( , )
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Onde: FPV i n
i
i
n
,
( )( ) = − +
−1 1
Saldo devedor (SD): para cada período, é calculado 
pela diferença entre o valor devido no início do intervalo 
de tempo e a amortização do período. Logo, para uma 
dada taxa de juros, o saldo devedor de qualquer período é 
apurado:
SDt = PMT x FPV (i, n – t)
Por exemplo, o saldo devedor no sexto semestre do 
financiamento atinge:
SD6 = 19.184,40 x FPV (14,175%, 10 – 6)
SD6 = 55.877,90
Juros (J): incidem sobre o saldo devedor apurado 
no início de cada período (ou ao final de cada período 
imediatamente anterior). A expressão de cálculo de juros 
pode ser ilustrada:
J1 = SD0 x i = PV x i
J2 = SD1 x i = (PV – Amort) x i
J3 = SD2 x I = (PV – Amort1 –Amort2) x i
E assim sucessivamente.
11.2 SAF com carência
De modo idêntico aos demais sistemas, no SAF, podem-se 
verificar períodos de carência, nos quais, ainda, os encargos 
financeiros podem ser pagos ou capitalizados.
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A seguir, está ilustrada a situação em que os juros são 
pagos durante a carência e capitalizados para resgate posterior 
(juntamente às prestações).
Exemplo 11.1 SAF com carência (2 anos) e pagamentos 
dos juros
Períodos 
(semestres)
Saldo 
devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($)
0 100.000 – – –
1 100.000 – 14.017,50 14.017,50
2 100.000 – 14.017,50 14.017,50
3 100.000 – 14.017,50 14.017,50
4 100.000 – 14.017,50 14.017,50
5 94.833,10 5.166,90 14.017,50 19.184,40
6 88.941,80 5.891,20 13.293,20 19.184,40
7 82.224,80 6.717,00 12.467,40 19.184,40
8 74.566,20 7.658,60 11.525,90 19.184,40
9 65.834,10 8.732,10 10.452,30 19.184,40
10 55.877,90 9.956,20 9.228,30 19.184,40
11 44.526,20 11.351,80 7.832,70 19.184,40
12 31.583,20 12.943,00 6.241,50 19.184,40
13 16.825,90 14.757,30 4.427,20 19.184,40
14 – 16.825,90 2.358,60 19.184,40
TOTAL – 100.000,00 91.844,00 191.844,00
O sistema francês, com carência e pagamento dos juros no 
período, segue basicamente o mesmo esquema anterior (SAF 
sem carência), diferenciando-se unicamente nas prestações dos 
quatro primeiros semestres (carência). Nestes períodos, estão 
previstos somente pagamentos de $ 14.017,50 referentes aos 
juros do principal não amortizado (14,0175% x $ 100.000,00). 
Para os demais semestres, o raciocínio é idêntico ao formulado 
anteriormente, apurando-se prestações com valores constantes, 
juros decrescentes e amortizações crescentes.
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No quadro SAF com carência, está prevista a capitalização 
dos juros durante o período de carência de quatro semestres. 
Somando-se este montante ao saldo devedor, tem-se um novo 
valor ao final do quarto semestre de $169.000,00, o qual serve 
de base para o cálculo das prestações com vencimento a partir 
do quinto semestre, ou seja:
Saldo devedor (4º semestre) que serve de base para o cálculo 
das prestações após o período de carência (5º semestre):
$ 100.000,00 x (1,140175)4 = $ 169.000,00
Prestação (PMT) semestral a ser paga a partir do 5º 
semestre.
PV PMT x
i
i
n
= − +
−1 1( )
169 000
1 1140175
0 140175
10
.
( , )
,
= −
−
PMT x
169.000 = PMT x 5,212555
PMT = 169.000 / 5,212555 = $ 32.421,70 / semestre
O preenchimento da planilha financeira a partir do final do 
período de carência é análogo ao proposto anteriormente.
Exemplo 11.2
Um equipamento no valor de $ 1.200.000,00 será financiado 
por um banco pelo prazo de 6 anos. A taxa de juros contratada 
é de 15% ao ano, e as amortizações anuais são efetuadas pelo 
sistema francês. O banco concede uma carência de 2 anos 
para o inicio dos pagamentos, sendo os juros cobrados nesse 
intervalo.
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Períodos 
(semestres)
Saldo 
devedor ($)
Amortização ($) Juros ($) Prestação ($)
0 1.200.000,00 – – –
1 1.200.000,00 – 180.000,00 180.000,00
2 1.200.000,00 – 180.000,00 180.000,00
3 1.200.000,00 137.084,00 180.000,00 317.084,00
4 1.042.353,00 157.647,00 159.437,00 317.084,00
5 723.975,00 181.294,00 135.790,00 317.084,00
6 515.487,00 208.488,00 108.596,00 317.084,00
7 275.726,00 239.761,00 77.323,00 317.084,00
8 – 275.726,00 41.358,00 317.084,00
TOTAL – 1.200.000,00 1.062.504,00 2.262.504,00
12 TABELA PRICE
O sistema Price de Amortização (ou Tabela Price) representa 
uma variante do sistema francês. Na realidade, o sistema francês, 
desenvolvido originalmente pelo inglês Richard Price, assumiu 
esta denominação pelo seu uso amplamente generalizado na 
França no século passado.
O sistema Price, fundamentalmente adotado quando 
os períodos das prestações (normalmente mensais, mas não 
necessariamente) se apresentarem menores que o da taxa de 
juros, tem como característica básica o uso da taxa proporcional 
(linear) simples em vez da taxa equivalente composta de 
juros.
No exemplo ilustrativo geral proposto, utilizou-se a taxa 
equivalente semestral de 14,0175% para o cálculo dos juros no 
sistema francês (e no SAC também). Este percentual, conforme 
estudado no capítulo 2, quando capitalizado para um ano, 
é igual à taxa de 30% de acordo com o estabelecido na 
operação de empréstimo [(1,140175) – 1 = 30%]. No entanto, 
se fosse utilizada a denominada Tabela Price no plano de 
amortização da dívida, a taxa semestral a ser considerada seria 
a taxa proporcional simples de 15% (30%/2), a qual, quando 
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capitalizada para um ano, resulta num percentual efetivo 
superior à taxa contratada, ou seja:
• Taxa de Juros Contratada = 30% a.a.
• Taxa Linear Semestral = 30% / 2 = 15% a.s.
• Taxa Efetiva Anual de Juros = (1,15)2 – 1 = 32,25% a.a.
Deve ficar claro que a Tabela Price é o próprio sistema francês 
de amortização, introduzidas as observações comentadas. As 
alterações nos valores do plano de amortização são devidas, 
fundamentalmente ao uso da taxa de juros proporcional simples 
em substituição à taxa equivalente composta.
Fica evidente que se o período de amortização coincidir com 
o da taxa (prestações anuais e taxas de juros definidas também 
para o ano), a taxa nominal de juros será a própria taxa efetiva 
da operação e os valores do plano de amortização para a Tabela 
Price coincidirão com aqueles apurados no sistema francês.
A seguir, temos a simulação de um empréstimo de 
$100.000,00 em 48 meses com taxa de juros de 5% a.m. com 
IOF e, logo após, o mesmo exemplo sem IOF.
Exemplo 12 Sistema Price com IOF
Mês Saldo Devedor Juros Amortização IOF Prestação
0 100.000,00 – – – –
1 97.752,90 5.000,00 2.247,09 5,61 7.432,61
2 95.393,46 4.887,64 2.359,44 11,79 7.432,61
3 92.916,04 4.769,67 2.477,41 18,58 7.432,61
4 90.314,76 4.645,80 2.601,28 26,01 7.432,61
5 87.583,40 4.515,73 2.731,35 34,14 7.432,61
6 84.715,48 4.379,17 2.867,91 43,01 7.432,61
7 81.704,17 4.235,77 3.011,31 52,69 7.432,61
8 78.542,29 4.085,20 3.161,88 63,23 7.432,61
9 75.222,31 3.927,11 3.319,97 74,69 7.432,61
10 71.736,34 3.761,11 3.485,97 87,14 7.432,61
11 68.076,06 3.586,81 3.660,27 100,65 7.432,61
12 64.232,78 3.403,80 3.843,28 115,29 7.432,61
13 60.197,33 3.211,63 4.035,45 121,06 7.432,61
14 55.960,10 3.009,86 4.237,22 127,11 7.432,61
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15 51.511,02 2.798,00 4.449,08 133,47 7.432,61
16 46.839,48 2.575,55 4.671,53 140,14 7.432,61
17 41.934,36 2.341,97 4.905,11 147,15 7.432,61
18 36.783,99 2.096,71 5.150,37 154,51 7.432,61
19 31.376,10 1.839,19 5.407,89 162,23 7.432,61
20 25.697,82 1.568,80 5.678,28 170,34 7.432,61
21 19.735,62 1.284,89 5.962,19 178,86 7.432,61
22 13.475,31 986,78 6.260,30 187,8 7.432,61
23 6.901,99 673,76 6.573,32 197,19 7.432,61
24 0 345,09 6.901,99 207,05 7.432,61
Total – 73.930,17 99.999,99 2.559,91 178.382,64
Exemplo 12.1 Sistema Price sem IOF
Mês Saldo Devedor Juros Amortização Prestação
0 100.000,00 – – –
1 97.752,90 5.000,00 2.247,09 7.247,09
2 95.393,46 4.887,64 2.359,44 7.247,09
3 92.916,04 4.769,67 2.477,41 7.247,09
4 90.314,76 4.645,80 2.601,28 7.247,09
587.583,40 4.515,73 2.731,35 7.247,09
6 84.715,48 4.379,17 2.867,91 7.247,09
7 81.704,17 4.235,77 3.011,31 7.247,09
8 78.542,29 4.085,20 3.161,88 7.247,09
9 75.222,31 3.927,11 3.319,97 7.247,09
10 71.736,34 3.761,11 3.485,97 7.247,09
11 68.076,06 3.586,81 3.660,27 7.247,09
12 64.232,78 3.403,80 3.843,28 7.247,09
13 60.197,33 3.211,63 4.035,45 7.247,09
14 55.960,10 3.009,86 4.237,22 7.247,09
15 51.511,02 2.798,00 4.449,08 7.247,09
16 46.839,48 2.575,55 4.671,53 7.247,09
17 41.934,36 2.341,97 4.905,11 7.247,09
18 36.783,99 2.096,71 5.150,37 7.247,09
19 31.376,10 1.839,19 5.407,89 7.247,09
20 25.697,82 1.568,80 5.678,28 7.247,09
21 19.735,62 1.284,89 5.962,19 7.247,09
22 13.475,31 986,78 6.260,30 7.247,09
23 6.901,99 673,76 6.573,32 7.247,09
24 0 345,09 6.901,99 7.247,09
Total – 73.930,17 99.999,99 173.930,16
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Exemplo 12.2
Empréstimo: R$ 100.000,00
Prazo: 10 anos
Taxa: 25% a.a.
Usando a fórmula séries de pagamentos iguais com termos 
postecipados:
PMT = PV x FRC (i, n) ∴ PMT = 100.000,00 x 0,28007 = R$ 
28.007,00
Períodos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 – – –
1 96.993,00 3.007,00 25.000,00 28.007,00
2 93.234,25 3.758,75 24.248,25 28.007,00
3 88.535,81 4.698,44 23.308,56 28.007,00
4 82.662,76 5.873,05 22.133,95 28.007,00
5 75.321,46 7.341,30 20.665,69 28.007,00
6 66.144,82 9.176,64 18.830,37 28.007,00
7 54.674,03 11.470,79 16.536,20 28.007,00
8 40.335,54 14.338,49 13.668,50 28.007,00
9 22.412,42 17.923,12 10.083,88 28.007,00
10 8,52 22.403,89 5.603,10 28.007,00
Total – 99.991,47 180.078,50 280.070,00
Amort. = PMT – J
Amort1= PMT – J1 ∴ Amort1 = PMT – (PV0 x i)
Que nada mais é que a fórmula da P.G., onde:
an = a1 . q 
n – 1 Pois: 3.007,00 x 1,25 = 3.758,75
 3.758,75 x 1,25 = 4.698,44
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Como o crescimento da amortização é exponencial, o valor 
da amortização em um determinado momento t é calculado: 
Amortt = Amort1 x (1 + i)
t – 1
Logo: Amort6 = 3.007,00 x (1,25)
5 = 3.007,00 x 3,05176 = 
9.176,64
13 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO
O Sistema de Amortização Misto (SAM) foi desenvolvido 
originalmente para as operações de financiamento do 
Sistema Financeiro de Habitação. Representa basicamente 
a média aritmética entre o sistema francês e o sistema 
de amortização constante, daí explicando-se a sua 
denominação. Para cada um dos valores do seu plano de 
pagamentos, devem-se somar aqueles obtidos pelo SAF com 
os dos SAC e dividir o resultado por dois. Ao se adotar o 
sistema misto de amortização para o empréstimo contraído 
têm-se, para o primeiro período (semestre), os seguintes 
valores:
PMTSAM =
+ =24 017 50 19 184 40
2
21 600 95
. , . ,
$ . ,
JurosSAM =
+ =14 017 50 14 017 50
2
14 017 50
. , . , .
$ . ,
AmortSAM =
+ =10 000 5 166 90
2
7 583 45
. . ,
$ . ,
SDSAM =
+ =90 000 94 833 10
2
92 416 55
. . ,
$ . ,
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Para os demais semestres, segue-se o mesmo raciocínio, 
conforme a tabela:
Períodos 
(semestres)
Saldo 
devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($)
0 100.000 – – –
1 92.416,60 7.583,50 14.017,50 21.601,00
2 84.470,90 7.945,60 12.954,50 20.900,10
3 76.112,40 8.358,50 11.840,70 20.199,20
4 67.283,10 8.829,30 10.669,10 19.498,40
5 57.917,00 9.366,00 9.431,40 18.797,40
6 47.939,00 9.978,10 8.118,60 18.096,70
7 37.263,10 10.675,90 6.719,90 17.395,80
8 25.791,60 11.475,50 5.223,40 16.694,90
9 13.413,00 12.378,70 3.615,40 15.994,10
10 – 13.413,00 1.880,20 15.293,20
Total – 100.000,00 84.470,80 184.470,80
14 COMPARAÇÕES ENTRE SAC, SAF E SAM
Uma avaliação comparativa dos três sistemas de amortização 
é desenvolvida no quadro a seguir.
Períodos 
(semestres)
SAC SAF SAM
SD Amort J PMT SD Amort J PMT SD Amort J PMT
0 100.000 – – – 100.000,00 – – – 100.000,00 – – – 
1 90.000 10.000 14.017,50 24.017,50 94.833,10 5.166,90 14.017,50 19.184,40 92.416,60 7.583,50 14.017,50 21.601,00
2 80.000 10.000 12.615,80 22.615,80 88.941,80 5.891,20 13.293,20 19.184,40 84.470,90 7.945,60 12.954,50 20.900,10
3 70.000 10.000 11.214,00 21.214,00 82.224,80 6.717,00 12.467,40 19.184,40 76.112,40 8.358,50 11.840,70 20.199,20
4 60.000 10.000 9.812,30 19.812,30 74.566,20 7.658,60 11.525,90 19.184,40 67.283,10 8.829,30 10.669,10 19.498,40
5 50.000 10.000 8.410,50 18.410,50 65.834,10 8.732,10 10.452,30 19.184,40 57.917,00 9.366,00 9.431,40 18.797,40
6 40.000 10.00 0 7.008,80 17.008,80 55.877,90 9.956,20 9.228,30 19.184,40 47.939,00 9.978,10 8.118,60 18.096,70
7 30.000 10.000 5.607,00 15.607,00 44.526,20 11.351,80 7.832,70 19.184,40 37.263,10 10.675,90 6.719,90 17.395,80
8 20.000 10.000 4.205,30 14.205,30 31.583,20 12.943,00 6.241,50 19.184,40 25.791,60 11.471,50 5.223,40 16.694,90
9 10.000 10.000 2.803,50 12.803,50 16.825,90 14.757,30 4.427,20 19.184,40 13.413,00 12.378,70 3.615,40 15.994,10
10 – 10.000 1.401,80 11.401,80 – 16.825,90 2.358,60 19.184,40 – 13.413,00 1.880,20 15.293,20
Total – 100.000 77.096,50 177.096,50 – 100.000 91.844,00 19.184,40 – 100.000 84.470,80 184.470,80
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14.1 Gráfico de comparação SAC, SAF E SAM
PMT ($)
24.017,50
21.601,00
19.184,40
SAF
SAM
SAC
Período (n)
0 1 2 3 4 5
4,45
6 7 8 9 10
O ponto em que as retas se cruzam indica valores iguais 
para as prestações. Calculando-se analiticamente esse ponto de 
interseção, verifica-se que as prestações se igualam por volta 
da quarta prestação. As prestações pelo SAF tornam-se maiores 
que as determinadas pelos demais sistemas de amortização.
Ponto de igualdade das prestações
PMTSAF = $ 19.184,40 (constante)
PMT
PV
n
x n t xiSAC = + − +( ) 1 1
PMT x t xSAC = + − +( ) 100 00010 1 10 1 0 140175
.
,
Igualando: PMTSAF = PMTSAC
100 000
10
1 10 1 0 140175 19 184 40
.
, . ,x t x+ − +( )  =
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10.000 x [ 1 + 1,40175 – 0,140175 x t + 0,140175 ] = 19.184,40
10.000 + 14.017,50 – 1.401,75 x t + 1.401,75 = 19.184,40
1.401,75 t = 6.234,85
t = 6 234 85
1 40175
. ,
. ,
t = 4,45
15 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO
O Sistema de Amortização Americano (SAA) estipula que a 
devolução do capital emprestado é efetuada ao final do período 
contratado, ou seja, deve ser efetuada de uma só vez. De acordo 
com essa característica básica SAA, amortizações intermediárias 
durante o período de empréstimo não estão previstas. Os juros 
costumam ser pagos periodicamente.
Exemplo 15
Períodos 
(semestres)
Saldo 
devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($)
0 100.000,00 – – –
1 100.000,00 – 14.017,50 14.017,50
2 100.000,00 – 14.017,50 14.017,50
3 100.000,00 – 14.017,50 14.017,50
4 100.000,00 – 14.017,50 14.017,50
5 100.000,00 – 14.017,50 14.017,50
6 100.000,00 100.000,00 14.017,50 114.017,50
Total – 100.000,00 84.105,50 184.105,00
Exemplo 15.1
Um financiamento para capital de giro no valor de 
$ 2.000.000,00 é concedido a uma empresa pelo prazo de 4 
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semestres. A taxa de juros contratada é de 10% a.s., sendo 
adotadoo Sistema Americano de Amortização para essa dívida, 
e os juros pagos semestralmente durante a carência. Calcular o 
valor de cada prestação mensal.
Admita que a taxa de aplicação seja de 4% ao semestre. 
Calcular os depósitos semestrais que a empresa deve efetuar 
nesse fundo de maneira que possa acumular, ao final do prazo 
de financiamento, um montante igual ao desembolso da 
amortização exigido.
Períodos 
(semestres)
Saldo 
devedor ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($)
0 R$2.000.000 – – –
1 R$2.000.000 – R$200.000 R$200.000
2 R$2.000.000 – R$200.000 R$200.000
3 R$2.000.000 – R$200.000 R$200.000
4 – 2.000.000 R$200.000 R$2.200.000
TOTAL – 2.000.000 R$800.000 R$2.800.000
O valor de cada parcela a ser depositada semestralmente no 
fundo de amortização é de $ 470.980,00, isto é:
FV=2.000.000,00
0 1
PMT
2
PMT
3
PMT
 4
PMT
PV=PMTxFPV (i,n)
PV PMTx
i
i
n
= + −( )1 1
PMT PV
i
i n
=
+ −( )1 1
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PMT x=
−
2 000 000
0 04
1 04 14
. .
,
( , )
PMT = 470.098,00
Exemplo 15.2
Valor do Empréstimo: R$ 100.000,00;
Prazo: 10 anos;
Taxa de Juros: 25% a.a.
Períodos Saldo devedor Amortização Juros Prestações
0 100.000,00 – – –
1 100.000,00 – 25.000,00 25.000,00
2 100.000,00 – 25.000,00 25.000,00
3 100.000,00 – 25.000,00 25.000,00
4 100.000,00 – 25.000,00 25.000,00
5 100.000,00 – 25.000,00 25.000,00
6 100.000,00 – 25.000,00 25.000,00
7 100.000,00 – 25.000,00 25.000,00
8 100.000,00 – 25.000,00 25.000,00
9 100.000,00 – 25.000,00 25.000,00
10 100.000,00 100.000,00 25.000,00 125.000,00
Total – 100.000,00 250.000,00 350.000,00
15.1 Sinking fund ou fundo de amortização
No Sistema de Amortização Americano, ocorre o sinking fund, 
ou fundo de amortização, que consiste em acumular poupanças 
periódicas durante o prazo do empréstimo para que, no final do 
período, o montante do fundo seja igual ao valor da dívida.
Esse fundo é usado para evitar que o mutuário desembolse 
uma grande quantia de uma só vez. As taxas de juros dessa 
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aplicação podem ser maiores, menores ou iguais às taxas de juros 
do empréstimo, sendo o uso de taxas menores mais frequente.
Considerando i a taxa de juros, n o período, S o montante 
igual ao principal, R o depósito do período e k o fator de valor 
presente em séries uniformes postecipadas (valor da tabela), 
tem-se:
R=S/k
Em um empréstimo de $100.000,00 a uma taxa de juros de 
12% ao ano e um prazo de quatro anos, pode-se criar um fundo 
de amortização com uma taxa de aplicação de 10% ao ano, por 
exemplo.
Nesse caso, consideraremos S= $100.000,00; k a constante 
para uma taxa de 10% e um período de quatro anos (4, 641) e R 
o valor do depósito anual:
R=S/k
R=100.000/4, 641
R=21.547,08
Dessa forma, obtém-se a seguinte planilha:
Anos Saldo credor Depósito Juros
0 – – –
1 21.547,08 21.547,08 –
2 45.248,87 21.547,08 2.154,71
3 71.320,84 21.547,08 4.524,89
4 100.000,00 21.547,08 7.132,08
Total – 86.188,32 13.811,68
Nesse caso, o saldo credor é obtido através da soma do saldo 
credor anterior com os juros e depósito atual.
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16 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE 
(SACRE)
Este é o sistema que a CEF chama de Sistema de 
Amortização Crescente. Na verdade, este sistema usa para 
o cálculo do valor das prestações a metodologia do sistema 
de amortização constante (SAC anual), sem levar em conta 
o valor da TR. Com a inclusão, posteriormente, do valor da 
TR nos cálculos, este sistema resulta em uma amortização 
variável. A denominação é inadequada, pois com um valor da 
TR baixo, este sistema pode resultar até em uma amortização 
decrescente.
O sistema SACRE foi desenvolvido com o objetivo de 
permitir maior amortização do valor emprestado, reduzindo-se, 
simultaneamente, a parcela de juros sobre o saldo devedor.
A prestação inicial, no SACRE, pode comprometer até 30,0% 
da renda, enquanto que pela Tabela Price o comprometimento 
inicial é de até 25,0%. Entretanto, ao longo do contrato 
verifica-se que, a partir de um determinado período de 
recálculo, o valor da prestação calculada no sistema SACRE 
começa a diminuir, enquanto que a da Tabela Price aumenta 
sempre.
No SACRE, conhecido também como Sistema Misto, 
as prestações decrescem de acordo com uma determinada 
progressão aritmética e podem ser calculadas usando-se as 
expressões que veremos a seguir.
Valor da razão da progressão aritmética (corresponde ao 
decréscimo das prestações)
r b
i PV
n
 = • •
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Valor da 1ª prestação
PMT
PV b i i
i
b
n
i PV
n
n1
1 1
1 1
1
 = • − • • +
+ −
+ • +

 •
( ) ( )
( )
Valor das prestações no período t ( t > 1 )
PMT PMT rt t+ = −1 
Juros na data t)
J i SDt t = • −1
Onde:
PV = valor do principal;
PMT1 = valor da primeira prestação;
b = coeficiente variável por tipo de plano;
r = razão da progressão (corresponde ao decréscimo do valor 
das prestações sucessivas).
Dependendo do valor de b, o sistema de reembolso pode 
resultar no Sistema Price (para b = 0) ou no SAC (no caso 
de b = 1). O denominado SACRE é um caso particular em 
que b = 0,5. Nesse sistema, devido à ponderação 0,5, o 
valor das prestações, amortizações, juros e saldos devedores 
correspondem à média aritmética dos sistemas Price e SAC.
Exemplo 16
Calcular as prestações de um empréstimo de $ 200.000,00 a ser 
pago em quatro prestações mensais a juros efetivos de 10% a.m., 
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fazendo a variável b assumir os valores 0 (Sistema Price), 0,5 
(SACRE) e 1 (SAC). Apresentar, também, a planilha completa do 
Sistema SACRE.
Solução: cálculo da primeira prestação e da razão de 
decréscimo.
Para b = 0 (sistema Price): primeira prestação:
PMT
PV b i i
i
b
n
i PV
n
n1
1 1
1 1
1
 = • − • • +
+ −
+ • +

 •
( ) ( )
( )
PMT1
4
4
200 000 1 0 0 1 1 0 1
1 0 1 1
0
1
4
0 1 = • − • • +
+ −
+ • +


. ( ) , ( , )
( , )
,  • =200 000 63 094. .
razão de decréscimo das prestações:
r b
i PV
n
 = • •
r = • • =0 0 1 200 000
4
0
, .
 
 as prestações são 
constantes
Para b = 0,5 (SACRE): primeira prestação:
PMT
PV b i i
i
b
n
i PV
n
n1
1 1
1 1
1
 = • − • • +
+ −
+ • +

 •
( ) ( )
( )
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PMT1
4
4
200 000 1 0 5 0 1 1 0 1
1 0 1 1
0 5
1
4
0 1 = • − • • +
+ −
+ • +. ( , ) , ( , )
( , )
, ,

 • =200 000 66 547. .
razão de decréscimo das prestações:
r b
i PV
n
 = • •
r = • • =0 5 0 1 200 000
4
2 500,
, .
.
 
 as prestações
 
diminuem em $2.500,00 ao mês
Para b = 1,0 (SAC): primeira prestação:
PMT
PV b i i
i
b
n
i PV
n
n1
1 1
1 1
1
 = • − • • +
+ −
+ • +

 •
( ) ( )
( )
PMT1
4
4
200 000 1 1 0 1 1 0 1
1 0 1 1
1
1
4
0 1 = • − • • +
+ −
+ • +


. ( ) , ( , )
( , )
,  • =200 000 70 000. .
razão de decréscimo das prestações:r b
i PV
n
 = • •
r = • • =1 0 1 200 000
4
5 000
, .
.
 
 as prestações diminuem
 
em $5.000,00 ao mês
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Valor das prestações para b = 0; 0,5 ; 1,0
Mês
Sistema Price SACRE SAC
b = 0; r =0 b = 0,5; r =2.500 b = 1,0; r =5.000
1 63.094,00 66.547,00 70.000,00
2 63.094,00 64.047,00 65.000,00
3 63.094,00 61.547,00 60.000,00
4 63.094,00 (*) 59.047,00 (*) 55.000,00
* Observe-se que as prestações decrescem na razão r respectiva.
A planilha completa do SACRE é mostrada a seguir:
Mês Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 200.000,00 – – –
1 153.453,00 46.547,00 20.000,00 66.547,00
2 104.751,30 48.701,70 15.345,30 64.047,00
3 53.679,43 51.071,87 10.475,13 61.547,00
4 – 53.679,43 5.367,94 59.047,00
17 SISTEMA PRICE X SISTEMA SACRE
Veja um exemplo de financiamento feito com ambos os 
sistemas de amortização:
Exemplo 17 (parâmetros usados)
Valor do financiamento: 50.000,00
Taxa de juros: 10,5% a.a.
Prazo: 180 meses
TR Projetada: 1,006 a.m.
Renda PRICE 2.210,80
Renda SACRE 2.384,26
Comprometimento da renda inicial PRICE: 25%
Comprometimento da renda inicial SACRE: 30%
Reajuste anual durante o contrato: Zero
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Nº da 
Prest.
SACRE PRICE % SACRE PRICE
A B C D A/C
1 715,28 – 552,7 – 129,42% 30,00% 25,00%
13 739,88 3,44% 597,01 8,02% 123,93% 31,03% 27,00%
25 763,91 3,25% 645 8,04% 118,44% 32,04% 29,17%
37 787,15 3,04% 696,99 8,06% 112,94% 33,01% 31,53%
49 809,3 2,81% 753,37 8,09% 107,42% 33,94% 34,08%
61 830,05 2,56% 814,57 8,12% 101,90% 34,81% 36,85%
73 849,04 2,29% 881,1 8,17% 96,36% 35,61% 39,85%
85 865,85 1,98% 953,55 8,22% 90,80% 36,32% 43,13%
97 880,03 1,64% 1.032,64 8,29% 85,22% 36,91% 46,71%
109 891,03 1,25% 1.119,29 8,39% 79,61% 37,37% 50,63%
121 898,24 0,81% 1.214,75 8,53% 73,94% 37,67% 54,95%
133 900,94 0,30% 1.320,87 8,74% 68,21% 37,79% 59,75%
145 898,23 –0,30% 1.440,87 9,08% 62,34% 37,67% 65,17%
157 888,9 –1,04% 1.581,86 9,79% 56,19% 37,28% 71,75%
169 870,31 –2,09% 1.770,04 11,90% 49,17% 36,50% 80,06%
180 870,31 0,00% 1.770,04 0,00% 49,17% 36,50% 80,06%
% Prestação 21,67% 220,25%
%Prest. Maior 25,96% 220,25%
* Composta de amortização e juros (A+J)
Nº da prestação: é o número da prestação que inicia cada 
novo período de 12 meses, quando ela é recalculada.
A: é o valor da prestação calculada no sistema SACRE e que 
vai vigorar no próximo período de 12 meses.
B: é o percentual de acréscimo ou decréscimo da prestação 
SACRE em relação ao ano anterior.
C: é o valor da prestação calculada no Sistema Price e que 
vai vigorar no próximo período de 12 meses.
D: é o percentual de acréscimo da prestação Price em relação 
ao ano anterior.
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A/C: é o percentual que corresponde ao valor da prestação 
no sistema SACRE em relação ao Price.
Comprometimento de renda: é o percentual da prestação 
em relação à renda.
% Prestação: é a variação entre o valor da primeira e o da 
última prestação.
% Prestação Maior: é a variação entre o valor da primeira e 
o da maior prestação verificada durante o contrato (no SACRE a 
maior prestação é a de nº 133 e no Price é a última).
Note que, durante todo o período do contrato, o valor da 
prestação no Sistema Price teve um aumento de 220,25% e no 
SACRE o aumento foi de apenas 25,96% em relação à prestação 
inicial.
Evolução da prestação
PRICE
SACRE
Nº da prestação
1.800
1,500
1,200
900
600
300
0
1 13 25 37 49 61 73 85 97 10
9
12
1
13
3
14
5
15
7
16
9
18
0
Evolução do comprometimento da renda
PRICE
SACRE
Nº da prestação
100%
1 13 25 37 49 61 73 85 97 10
9
12
1
13
3
14
5
15
7
16
9
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0
80%
60%
40%
20%
0%
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Exemplo 17.1
EVOLUÇÃO DO SALDO DEVEDOR: 
SISTEMA SACRE X SISTEMA PRICE
Nº da 
prestação
SACRE PRICE %
E F G H E/G
1 50.024,85 – 50.187,43 – 99,68%
13 50.328,72 0,61% 52.620,81 4,85% 95,64%
25 50.371,29 0,08% 54.942,50 4,41% 91,68%
37 50.109,74 –0,52% 57.082,79 3,90% 87,78%
49 49.496,21 –1,22% 58.954,11 3,28% 83,96%
61 48.477,24 –2,06% 60.446,97 2,53% 80,20%
73 46.993,23 –3,06% 61.425,08 1,62% 76,50%
85 44.977,86 –4,29% 61.719,21 0,48% 72,87%
97 42.357,41 –5,83% 61.119,63 –0,97% 69,30%
109 39.050,15 –7,81% 59.366,59 –2,87% 65,78%
121 34.965,61 –10,46% 56.137,92 –5,44% 62,29%
133 30.004,07 –24,00% 51.032,50 –9,09% 58,79%
145 24.056,10 –19,82% 43.546,33 –14,67% 55,24%
157 17.003,08 –29,32% 33.032,47 –24,14% 51,47%
169 8.720,88 –48,71% 18.607,33 –43,67% 46,87%
Saldo 
Residual –63,54 894,25
Observe que, neste exemplo, após o pagamento da 
última prestação, o Sistema Price apresenta saldo residual de 
responsabilidade do mutuário.
E: é o saldo devedor no Sistema SACRE, considerando-se o 
pagamento regular das prestações.
F: é o percentual de decréscimo do saldo devedor no Sistema 
SACRE em relação ao ano anterior.
G: é o saldo devedor no Sistema Price, considerando-se o 
pagamento regular das prestações.
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H: é o percentual de acréscimo / decréscimo do saldo devedor 
no Sistema Price em relação ao ano anterior.
E / G: é o percentual que corresponde ao valor do saldo 
devedor no Sistema SACRE em relação ao Price.
Saldo residual: é o valor remanescente no fim do prazo 
contratado, decorrente da evolução do financiamento. Quando 
ele é negativo, significa que a dívida foi liquidada e o mutuário 
terá direito à devolução daquele valor. Quando positivo, é devido 
o pagamento pelo mutuário para que a dívida seja liquidada.
Evolução do saldo devedor
Nº da prestação
70.000
1 13 25 37 49 61 73 85 97 10
9
12
1
13
3
14
5
15
7
16
9
18
0
PRICE
SACRE
60.000
50.000
40.000
30.000
20.000
10.000
0
(10.000)
18 CUSTO EFETIVO
Quando é cobrado unicamente juro nas operações de 
empréstimos e financiamentos, o custo efetivo, qualquer que 
seja o sistema de amortização adotado, é a própria taxa de juro 
considerada. Por outro lado, é comum as instituições financeiras 
cobrarem, além do juro declarado, outros tipos de encargos tais 
como: IOC (Imposto sobre Operações de Crédito), comissões, 
taxas administrativas etc. Essas despesas adicionais devem ser 
consideradas na planilha de desembolsos financeiros.
18.1 Planilha com despesas adicionais
Ilustrativamente, admita que uma empresa tenha obtido 
um financiamento de $50.000,00 para ser amortizado 
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em quatro prestações anuais de $12.500,00 cada. O 
financiamento foi concedido sem carência. O custo da 
operação é constituído de juros de 20% ao ano e o IOC de 
4,5%, incidente sobre o valor do crédito e pago quando da 
liberação dos recursos. O banco cobra ainda uma taxa de 
1% ao final de cada ano, incidente sobre o saldo devedor, 
para cobrir despesas administrativas.
Período 
(anos)
Saldo 
devedor ($) IOC ($)
Taxa 
Administrativa ($) Amortização ($) Juros ($) Prestação ($)
0 50.000,00 2.250,00 – – – 2.250,00
1 37.500,00 – 500,00 12.500,00 10.000,00 23.000,00
2 25.000,00– 375,00 12.500,00 7.500,00 20.375,00
3 12.500,00 – 250,00 12.500,00 5.000,00 17.750,00
4 – – 125,00 12.500,00 2.500,00 15.125,00
Total – 2.250,00 1.250,00 50.000,00 25.000,00 78.500,00
Referências bibliográficas
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BERNI, Mauro Tadeu. Operação e concessão de crédito: 
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FORTUNA, Eduardo. Mercado financeiro: produtos e serviços. 
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HOJI, Masakazu. Administração financeira. São Paulo: Atlas, 
2000.
GITMAN, Lawrence J. Princípios de administração financeira. 
7. ed. São Paulo: Harbra, 1997.
GROPPELLI, Nikbakht. Administração financeira. São Paulo: 
Saraiva, 2001.
LEITE, Luiz Lemos. Factoring no Brasil. São Paulo: Atlas, 2003.
LEMES JUNIOR, Antônio Barbosa, et al. Administração 
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OLIVEIRA, Dilson Campos. Manual: como elaborar controles 
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SAMANEZ, Carlos Patricio. Matemática financeira: aplicações à 
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pequena e média empresa. São Paulo: Atlas, 2001.
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