Análise pelo Lugar das Raízes

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AULA 05 – ANÁLISE PELO LUGAR DAS RAÍZES 
- 1 - 
Aula 5 Análise pelo Lugar das Raízes 
 
5.1 Estudo de Casos 
 
Exemplo: Efeitos do controle derivativo e realimentação de velocidade em sistema de controle 
de posição. 
 
 
R(s) YI(s)5
s( 5s 1)+
 
Sistema I 
 
 
R(s) YII(s)5
s( 5s 1)+ 1 0 ,8 s+
 
Sistema II 
 
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R(s) YIII(s)5
s( 5s 1)+
 1 0 ,8 s+ 
Sistema III 
 
 
 Sistema I Sistema II Sistema III 
FTMA 
5( )
(5 1)I I
G H s
s s
= + 
5(0,8 1)( )
(5 1)II II
sG H s
s s
+= + 
5(0,8 1)( )
(5 1)III III
sG H s
s s
+= + 
FTMF 2
( ) 5
( ) 5 5
IY s
R s s s
= + + 2
( ) 0,8 1
( ) 1
IIY s s
R s s s
+= + + 2
( ) 1
( ) 1
IIIY s
R s s s
= + + 
Pólos de 
MF − 0,1 ± j1 − 0,5 ± j0,87 − 0,5 ± j0,87 
 
Observações: 
Os sistemas II e III possuem funções de transferência de malha aberta idênticas. Portanto, 
ambos têm os mesmos pólos e zeros de malha aberta. 
Os sistemas II e III possuem funções de transferência de malha fechada diferentes. O sistema II 
possui dois pólos de malha fechada e um zero de malha fechada finito. O sistema III possui dois 
pólos de malha fechada e nenhum zero de malha fechada finito. 
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-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Real Axis
Im
ag
 A
xe
s
Root Locus Design
 
-3 -2 -1 0 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Real A x is
Im
ag
 A
xe
s
Root Loc us Des ign
-3 -2 -1 0 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Real A x is
Im
ag
 A
xe
s
Root Loc us Des ign
 
Sistema I 
Sistema II Sistema III
Zero de malha 
aberta 
Zero de malha 
fechada 
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 Sistema I Sistema II Sistema III 
Pólos de MF − 0,1 ± j1 − 0,5 ± j0,87 − 0,5 ± j0,87 
tp 3,14s 3,6s 3,6s 
ts2% 40s 8s 8s 
Mp 73% (ζ = 0,1) 16% (ζ = 0,5) 16% (ζ = 0,5) 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Sistema I
Sistema II
Sistema III
 
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Referência
Sistema II
Sistema III
 
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Considere o diagrama do lugar das raízes da Figura 5.1. Para este sistema, o valor mínimo da 
freqüência natural não-amortecida ocorrer quando K = 0. Este é também o menor valor de cosβ, 
e então o menor valor do coeficiente de amortecimento. À medida que K aumenta, ωn e ζ 
aumentam até o ponto de ramificação de chegada, quando ζ = 1 e o amortecimento é crítico. 
Além disto, o aumento de K resulta apenas em raízes reais, não existindo, portanto, oscilações. 
A variação na freqüência 
natural não-amortecida e/ou 
na razão de amortecimento 
resulta na variação dos 
parâmetros indicadores do 
desempenho do sistema, 
como o instante de pico, 
sobre-sinal e tempo de 
estabilização. 
 
 
 
 
 
 
 
 
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
Real Axis
Im
ag
 A
xe
s
Root Locus Design
β 
Figura 5.1 - Efeito da variação de K em ωn e ζ 
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Exemplo: Dado um sistema com 
2( 4 20)( )
( 2)( 4)
K s sG s
s s
− += + + e H(s) = 1, esboçar seu lugar das raízes e 
determinar o ponto e o ganho exatos onde ζ = 0,45. 
 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Real Axis
Im
ag
 A
xe
s
Root Locus Design
 
2
2
( 4 20)
(1 ) (6 4 ) (8 20 )
K s sFTMF
K s K s K
− += + + − + + 
 
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Equação característica: 2 (6 4 ) (8 20 ) 0s K s K+ − + + = 
 
Comparando a E.C. com o denominador de um sistema de 2ª ordem: 
 
2 2 2
2
(6 4 ) (8 20 ) 2
2 6 4
8 20
n n
n
n
s K s K s s
K
K
ςω ω
ςω
ω
+ − + + = + +
= − = +
 
 
Lembrando que ζ = 0,45: 
 
2 353, 4 147,6 0
0, 417
353,8
K K
K
K
+ − =
= = −
 
 
Portanto, o lugar as raízes cruza a reta de que ζ = 0,45 com um ganho de 0,417. 
 
Sobre-sinal esperado: Mp = 20,5% 
 
 
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
Figura 5.2 - Resposta ao degrau unitário 
 
Sobre-sinal obtido da resposta do sistema: 
0,61 0,51 100 19,6%
0,51 0
Mp −= × =− 
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Deve-se enfatizar que as expressões utilizadas para determinação do sobre-sinal, tempo de 
acomodação e tempo de pico foram deduzidas somente para um sistema com dois pólos 
complexos de malha fechada e sem zeros de malha fechada. Deve-se, portanto, verificar o 
efeito de pólos e zeros adicionais e as condições para justificar uma aproximação de 2ª ordem. 
 
Exemplo: Considere um sistema com realimentação unitário com uma função de transferência 
no ramo direto, 
 
)6s)(4s)(2s(
K)s(G +++= 
 
a) Esboce o LR. 
 
b) Usando uma aproximação de segunda ordem, projetar K que produz sobre-sinal de 10% 
para uma entrada degrau unitário. 
 
c) Calcule o tempo de acomodação (2%), o instante de pico e o erro de estado estacionário 
para o valor de K projetado em (b). 
 
d) Verifique a validade da aproximação de segunda ordem. 
 
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a) 
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Real Axis
Im
a
g A
xe
s
Root Locus Design
 
Figura 5.3 – Lugar das raízes para sistema de 3ª ordem 
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b) 10% 0,59 53,8Mp ς β= ⇒ = ⇒ = ° 
 
Equação característica: 3 2( 2)( 4)( 6) 12 44 48 0s s s K s s s K+ + + + = + + + + = 
 
Observando o diagrama do lugar das raízes, para o sobre-sinal de 10% há dois pólos de malha 
fechada complexos um terceiro real. Portanto, 
3 2 2 2
2 2
3 2 2 2
12 44 48 ( )( 2 )
( )( 1,18 )
(1,18 ) ( 1,18 )
n n
n n
n n n n
s s s K s a s s
s a s s
s a s a s a
ςω ω
ω ω
ω ω ω ω
+ + + + = + + +
= + + +
= + + + + +
 
Comparando-se os termos de mesmo grau: 
2 2
2
1,18 12 12 1,18
1,18 44 1,18 (12 1,18 ) 44
48
n n
n n n n n
n
a a
a
a K
ω ω
ω ω ω ω ω
ω
+ = ⇒ = − + = ⇒ + − = = +
 
Resolvendo a segunda equação do sistema de equações anterior: 
20,39 14,16 44 0
32,8760 26,7937 29007
3,4317 7,9506 45,63
n n
n
n
a K
a K
ω ω
ω
ω
− + =
= → = − → = − = → = → =
 
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Solução do sistema de equações em MATLAB 5.2: 
 
>> [K,a,w] = solve('1.18*w+a=12','w^2+1.18*a*w=44','a*w^2-K-48=0') 
 
c) Substituindo K = 45,63 na equação característica encontram-se os pólos correspondentes em 
malha fechada: 
 
3 2
1
2
3
12 44 93,63 0
7,9453 
2,0273 2,7702
2,0273 2,7702
s s s
s
s j
s j
+ + + =
= − = − + = − −
 
 
Estes pólos de malha fechada podem ser observados na Figura 5.3. 
 
2%
1
4 1,97
2,0273
1,13
2,7702
2,7702 53,8 cos 0,59 10%
2,0273
ts s
tp s
tg Mp
π
β ς β−
= =
= =
 = = °⇒ = = ⇒ =  
 
 
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Erro de estado estacionário para entrada degrau unitário: 
 
0 0
45,63lim ( ) ( ) lim 0,95
( 2)( 4)( 6)
1 0,51
1 1 0,95
s s
ss
Kp G s H s
s s s
Ae
Kp
→ →= = =+ + +
= = =+ +
 
 
d) Comparando-se a componente real dos pólos complexos e do pólo real de malha fechada 
para K = 45,63: 
 
1
2,3
1
2
3
7,9453 
2,0273 2,7702
2,0273 2,7702
7,9453
3,9 5
2,0273S
S
s
s j
s j
= − = − + = − −
−= = <−
\
\
 
 
Portanto, a aproximação de segunda ordem não é válida neste caso. 
 
 
 
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Verificação: 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
Figura 5.4 - Resposta ao degrau unitário 
 
Sobre-sinal obtido da resposta do sistema: 0,53 0,49 100 8,2%
0,49 0
Mp −= × =− 
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Exemplo: Os quatro gráficos a seguir mostram o lugar das raízes para K > 0 de diferentes 
sistemas. Considere os requisitos de desempenho para a resposta ao degrau em malha fechada: 
‰ Erro de estado estacionário (regime permanente) nulo; 
‰ Tempo de acomodação: ts5% ≤ 1,2s 
Com base nos dados apresentados, indicar o sistema que permite atender os requisitos dados. 
 
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1º requisito: erro de estado estacionário. 
 
Para se obter um erro de estado estacionário nulo a uma entrada degrau é necessário que a 
FTMA do sistema apresente um integrador: sistemas dos gráficos 2 e 3. 
 
2º requisito: tempo de acomodação. 
 
5%
3 1,2 2.5ts σσ= ≤ ⇒ ≥ 
 
Satisfazem a este requisito os sistemas representados nos gráficos 1, 3 e 4. Considera-se que os 
sistemas sejam de 2ª ordem dominante. 
 
Portanto, o sistema do gráfico 3 atende simultaneamente aos dois critérios. 
 
 
 
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Exemplo: Considere o sistema de controle dado pelo diagrama de blocos abaixo. 
 
R(s) Y(s) s 4
( s 2 )( s 1)
+
+ −K 
 
 
Determinar os valores de K que satisfazem as seguintes especificações: 
a) sobre-sinal menor ou igual a 5%; 
b) tempo de acomodação de 2% menor ou igual a 4s. 
 
Solução: 
( ) ( 4)
( ) ( 2)( 1) ( 4)
Y s K s
R s s s K s
+= + − + + 
Equação característica: 
2 (1 ) (4 2) 0s K s K+ + + − = 
Equação característica de sistema de 2ª ordem: 
2 2 2 2 2 2 22 ( ) 2 ( ) 0n n d ns s s s sζω ω σ ω σ σ ω+ + = + + = + + + = 
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Das especificações da resposta transitória: 
2%
5% 0,69
4 1
Mp
ts s
ζ
σ
< ⇒ >
< ⇒ > 
 
Comparando-se a equação característica do sistema dado com a equação característica de 
sistema de 2ª ordem: 
1
2 2
2 1 2 1 1
4 2n
K K K
K
σσ σ
σ ω
> = + ⇒ = − → > + = −
 
Ou 
2
2 2 2
2 2 2
2
1
2
4 2
2 1 4 (1 )
4 0,69 (4 2) (1 )
5,6 4,8 0
4,54
1,06
n
n n
K
K K
K K
K K
K
K
ω
ζω ζ ω
 = − = + ⇒ = +
× − = +
− + =
= =
 
 
Supondo o sistema de 2ª ordem dominante, tem-se: 
‰ Para sobre-sinal menor ou igual a 5% deve-se ter 0,5 ≤ K ≤ 1,06 ou K ≥ 4,54. 
‰ Quando K ≥ 1 o tempo de acomodação de 2% é menor ou igual a 4s. 
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- 20 - 
-10 -8 -6 -4 -2 0 2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Real Axis
Im
a
g A
xe
s
Root Locus Design
 
Figura 5.5 – Lugar das raízes 
K = 1 
K = 4,54
K = 0,5