Lista 2 Exercicio Cap 2

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PONTÍFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
ESCOLA DE ENGENHARIA
ENG1389 SISTEMAS LINEARES
CAPÍTULO 02 � LISTA DE EXERCÍCIOS
PROFA. FABRÍCIA NERES BORGES
2.2-1 Um sistema LCIT é especificado pela equação (D2 + 5D + 6)y(t)=(D + 1)x(t)
a) determine o polinômio característico, a equação característica, raízes características, e modos
característicos deste sistema.
b) determine yo(t), a componente de entrada nula da resposta y(t) para t ≥ 0 se as condições
iniciais forem yo(0
−) = 2 e y˙0(t) = −1.
2.2-2 Repita o problema 2.2-1 para (D2 + 4D + 4)y(t) = Dx(t) e y0(0
−) = 3 e y˙0(0−) = 3.
2.2-3 Repita o problema 2.2-1 para D(D + 1)y(t) = (D + 2)x(t) e y0(0
−) = y˙0(0−) = 1.
2.2-4 Repita o problema 2.2-1 para (D2 + 9)y(t) = (3D + 2)x(t) e y0(0
−) = 0 e y˙0(0−) = 6.
2.2-5 Repita o problema 2.2-1 para (D2+4D+13)y(t) = 4(D+2)x(t) e y0(0
−) = 5 e y˙0(0−) =
15, 98.
2.2-6 Repita o problema 2.2-1 para D2(D + 1)y(t) = (D2 + 2)x(t) e y0(0
−) = 4, y˙0(0−) = 3 e
y¨0(0
−) = −1.
2.2-7 Repita o problema 2.2-1 para (D+1)(D2+5D+6)y(t) = Dx(t) e y0(0
−) = 2, y˙0(0−) = −1
e y¨0(0
−) = 5.
2.2-8 Um sistema é descrito por uma equação linear diferencial com coeficiente constante e
possui uma resposta de entrada nula dada por y0(t) = 2e
−t + 3.
a) É possível que a equação característica do sistema seja λ+ 1 = 0? Justifique sua resposta.
b) É possível que a equação característica do sistema seja (λ
2
+ λ) = 0? Justifique sua resposta.
1
c) É possível que a equação característica do sistema seja λ(λ+1)2 = 0? Justifique sua resposta.
2.3-1 Determine a resposta ao impulso unitário do sistema especificado pela equação (D2+4D+
3)y(t) = (D + 5)x(t).
2.3-2 Repita o problema 2.3-1 para (D2 + 5D + 6)y(t) = (D2 + 7D + 11)x(t).
2.3-4 Determine a resposta ao impulso unitário de (D2 + 6D + 9)y(t) = (2D + 9)x(t).
2.4-1 Se c(t) = x(t)∗g(t), mostre que Ac = AxAy, onde Ax, Ag e Ac são as áreas sob x(t), g(t) e
c(t), respectivamente. Verifique esta propriedade da área da convolução nos exemplos 2.7 e 2.9.
2.4-2 Se g(t) ∗ x(t) = c(t) então mostre que x(at) ∗ g(at) =| 1a | .c(at). Esta propriedade
escalonamento no tempo da convolução afirma que se tanto x(t) quanto g(t) forem escalonados
no tempo por a, a convolução deles também será escalonada por a(e multiplicada por | 1a | ).
2.4-3 Mostre que a convolução de uma função ímpar e uma função par é uma função impar e
que a convolução de duas funções ímpares ou duas funções pares é uma função par. Dica : utilize
a propriedade de escalonamento no tempo da convolução do problema 2.4-2.
2.4-5 Usando a integração direta, determine u(t) ∗ u(t), e−atu(t) ∗ e−atu(t) e tu(t) ∗ u(t).
2.4-6 Usando a integração direta, determine sin(t)u(t) ∗ u(t) e cos(t)u(t) ∗ u(t).
2.4-7 A resposta ao impulso unitário de um sistema LCIT é h(t) = e−tu(t). Determine a resposta
do sistema (estado nulo) y(t) se a entrada x(t) for
a) u(t),
b) e−tu(t),
c) e−2tu(t), e
d) sen(3t)u(t).
2.4-8 Repita o problema 2.4-7 para h(t) =
[
2e−3t − e−2t]u(t) se a entrada x(t) for
a) u(t),
b) e−tu(t), e
c) e−2tu(t).
2
2.4-9 Repita o problema 2.4-7 para h(t) = (1− 2t)e−2tu(t) e entrada x(t) = u(t).
2.4-10 Repita o problema 2.4-7 para h(t) = 4e−2tcos(3t)u(t) para
a) u(t), e
b) e−tu(t).
2.4-11 Repita o problema 2.4-7 para h(t) = e−tu(t) para
a) e−2tu(t),
b) e−2(t−3)u(t),
c) e−2tu(t− 3), e
d) o pulso mostrado na figura 2.4-11. Forneça um rascunho de y(t).
Figura 1: 2.4-11
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