Lista 3 - Funções, conceito e análise

Prévia do material em texto

Disciplina: Cálculo Diferencial 1º/2014 – Lista Complementar 3 
Professora: Luciene de Sousa 
Conteúdo: Função – conceito e análise 
 
Definição: Uma função :f A B→ é uma regra que associa cada elemento x A∈ um único elemento 
( )y f x B= ∈ . O conjunto A chama-se domínio e o conjunto B é o contra-domínio da função f . Para cada x ∈ A, o 
elemento f(x) ∈ B chama-se a imagem de x pela função f. 
 
1. Considerando os conjuntos A e B abaixo, determine quais podem ou não ser considerados como uma função 
:f A B→ . Justifique a sua resposta. 
a) A é o conjunto de todos os triângulos que podem ser desenhados num plano e B é o conjunto dos números reais 
que representam as áreas desses triângulos. 
b) A é o conjunto de todos os alunos que estudam no UniBh em 2014 e B é o conjunto dos números reais que 
representam as idades desses alunos. 
c) A é o conjunto de todos os professores de matemática de Belo Horizonte e B é o conjunto de todas as escolas de 
Belo Horizonte. 
d) A é o conjunto dos nomes de todos os alunos que estudam no Unibh em 2014 e B é o conjunto de todos os alunos 
que estudam no Unibh em 2013 
 
2. Para desencorajar o consumo excessivo de água, o Departamento de Água de certo município aumentou o preço 
deste líquido. O valor mensal pago em reais por uma residência, em função da quantidade de metros cúbicos 
consumida, é uma função cujo gráfico é a poligonal representada abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com o gráfico, quanto ao pagamento relativo ao consumo mensal de água de uma residência, foram feitas 
algumas afirmações. 
Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F) e justifique suas respostas. 
( ) Se o consumo for nulo, a residência estará isenta do pagamento. 
( ) Se o consumo for igual a 5 m
3
, o valor pago será menor do que se o consumo for igual a 10 m
3
 . 
( ) Se o consumo for igual a 20 m
3
, o valor pago será o dobro do que se o consumo for igual a 10 m
3
 . 
( ) Se o consumo exceder 25 m
3
, o valor pago será R$ 16,70 acrescido de R$ 3,60 por m
3
 excedente. 
3. A população estimada de uma cidade daqui a t anos, em milhares de habitantes, é dada pela função 
30( ) 160
1
P t
t
= −
+
. 
a) Calcule a população atual. 
b) Qual é a população daqui a 2 anos? 
c) Qual foi o crescimento populacional do 2º para o 3º ano? 
d) Em quantos anos a população será de 157 milhares de habitantes? 
 
4. A unidade usual de medida para a energia contida nos alimentos é kcal (quilocaloria). Uma fórmula aproximada 
para o consumo diário de energia (em kcal) para meninos entre 15 e 18 anos é dada pela função ( ) 17f h h= ⋅ , onde 
h indica a altura em cm e, para meninas nessa mesma faixa de idade, pela função ( ) 15,3g h h= ⋅ . Paulo, usando a 
fórmula para meninos, calculou seu consumo diário de energia e obteve 2975 kcal. Sabendo-se que Paulo é 5 cm mais 
alto que sua namorada Carla (e que ambos têm idade entre 15 e 18 anos), calcule o consumo diário de energia para 
Carla, de acordo com a fórmula, em kcal. 
5. Se f é a função de R em R – {2} dada por 
3x 1f(x)
x 2
+
=
−
, determine: 
a) f(0), f(-4), 
3f
5
 
 
 
; 
b) o valor de x cuja imagem é 0; 
c) o valor de x cuja imagem é ½ . 
 
6. Considere f e g funções de Q em R dadas por 
2f(x) 3x x 5= − + e g(x) 2x 9= − + . 
a) Determine o valor de 
f(0) g( 1)
f(1)
+ −
; 
b) Determine o valor de x tal que f(x) = g(x). 
c) Resolva a equação g(x) = f(- 3) + g(- 4). 
 
7. Determine o domínio de cada uma das funções: 
a) y = x + 1 b) 
x 1y
2x
+
= c) 
5y
2x 4
=
+
 d) y x 9= + e) 3y 2x 7= − f) 2xy
x 5
=
−
 
 
 
8. Considere a função ( )y f x= , definida 
de A → ℝ e representada, graficamente, na 
figura ao lado: 
a) Determine o seu domínio A: 
b) Determine o seu contra domínio: 
c) Determine o seu conjunto imagem: 
d) Determine as raízes dessa função: 
e) Determine os intervalos em que f é crescente: 
f) Determine os intervalos em que f é decrescente: 
g) Determine o intervalo em que f é constante: 
h) Para quais valores de x essa função é positiva? 
i) Para quais valores de x essa função é negativa? 
j) Determine o valor de 
1(2) (4)
2
11(3)
2
f f f
f f
 
+ + 
 
 
−  
 
 
k) Para quais valores de x tem-se ( ) 2f x = ? 
 
9. Observe o gráfico que representa a função f(x), definida para todo o 
conjunto dos números reais. 
a) Escreva a lei de formação da função f(x): 
b) Determine o domínio e a imagem de f(x): 
c) Encontre o valor de: ( ) ( )
( )
f 5 f 26
1f 10 f
3
− +
 
−  
 
 
10. Considere a função f, de [-1,6[ em 
R, dada pelo gráfico. (Use notação de 
conjuntos.) 
a) Determine o seu domínio: 
b) Determine o seu contra domínio: 
c) Determine o seu conjunto imagem: 
d) Determine os intervalos em que f é 
crescente: 
e) Determine as raízes dessa função: 
f) Para quais valores de x essa função é positiva? 
g) Para quais valores de x essa função é negativa? 
h) Determine o valor de 
(1) (2) (4)
5(3)
2
− +
 
−  
 
f f f
f f
: 
11. Sejam f : R R e g : R R→ → definidas por 2f(x) x 5x 3 e g(x) 2x 4= − − = − + . Determine: 
a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(g(2)) d) f o g(-2) e) g(f(2)) f) g(g(5)) 
12. Dada as funções reais 
2f(x) x= − , g(x) x 2= + e 3( ) 5
4
= −h x x , determine: 
a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f g f( 2)−� � d) ( )1−h x e) (0) ( 3)3
5
− −
 
 
 
f g
h
 
13. A figura mostra o gráfico de uma função y = f(x), definida em R em R. Com base no gráfico: 
a) Calcule o valor de 
(0) ( 3)
(3)
− −f f
f : 
b) Calcule o valor de f(f(f(-3))). 
c) Determine os valores de x para os quais essa função é crescente: 
d) Para quais valores de x essa função é negativa? 
 
14. Sejam f e g funções de R em R definidas por f(x) = kx + 3 e g(x) = 2x. 
Se f(g(-3)) = -9, encontre a função que representa a composição g o f: 
 
15. Para a função f(x) = 5x + 3 e um número b, tem-se f(f(b))=-2. Encontre o valor de b: 
 
16. Seja :f R R→ uma função tal que (3 1) 1f x x+ = − . Então f(a) é: 
A) 1 a− B) 3 1a + C) 3a− D) 4
3
a−
 
17. Dada as funções :f R R→ e :g R R→ , ambas bijetoras, definida por f(x) = x3 + 1 e 2( ) 7
3
g x x= − . 
a) Verifique qual das alternativas abaixo corresponde à inversa de f, ou seja, à função ( )1f x− : 
A) 
1 3 3( ) 1f x x− = + B) 1 3( ) 1f x x− = − C) 1 3
1( )
1
f x
x
−
=
+
 D)
1
3 3
1( )
1
f x
x
−
=
+
 
b) Obtenha a inversa de g(x), ou seja, a ( )1g x− : 
c) Determine o valor de ( )( )1 3f g − : 
18. Considere a função: 
 
x, se x é irracional
f(x) 1
, se x é irracional
x


= 

 
Então, é CORRETO afirmar que o maior elemento do conjunto 
7 24f(0), f , f(1), f(3,14), f
31 2
    
         
 é: 
A) 
24f
2
 
  
 
B) 
7f
31
 
 
 
 C)	�(0) D) f(1) E) f(3,14) 
19. Sejam x e y números reais não-nulos tais que 
2
2
x y 2
xy
+ = 
Então, é CORRETO afirmar que 
A) x
2
 – y = 0 B) x - y
2
 = 0 C) x
2
 + y = 0 D) x + y
2
 = 0 E) x – y = 0 
20. Construa o gráfico da função f, f:A →R dada, por 
1 , 3
( ) 4, 3 1
3 , 1 3
− < −

= + − ≤ <
 ≤ <
se x
f x x se x
x se x
 e determine: 
a) O conjunto domínio: 
b) O conjunto imagem: 
c) 
( 50) (1) (0)
(2)
− + −f f f
f 
d) Para quais valores de x essa função é constante? 
21. Construa, no mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções f,g e h abaixo e registre o que você observou: 
 
g(x) x
f(x) x 3
h(x) x 3
=
= +
= +