Cálculo I - Prova 3

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Prova III (CDI0001/ TADS121-01C)
Prof. Helder G. G. de Lima
Nome do(a) aluno(a): Data: 12/05/2017
ˆ Identifique-se em todas as folhas.
ˆ Mantenha o celular e os demais equipamentos eletrônicos desligados durante a prova.
ˆ Justifique cada resposta com cálculos ou argumentos baseados na teoria estudada.
ˆ Resolva apenas os itens de que precisar para somar 10,0 pontos.
1. (2,0) Obtenha a derivada das seguintes funções (os cálculos apresentados devem deixar claro
como encontrou cada resposta):
(a) 𝑓(𝑥) = sen(𝑥)𝑒(1−𝑥
2)
(b) 𝑔(𝑥) =
(2𝑥− 8)5
(𝑥− 3)6
(c) ℎ(𝑥) = ln(cosh(3𝑥 − 9)),
sendo cosh(𝑥) = 𝑒
𝑥+𝑒−𝑥
2
2. (2,0) Seja 𝑓(𝑥) =
tg(𝜋𝑥)
2𝜋
. Calcule 𝑓 ′(0) usando a definição de derivada (isto é, um limite).
3. (2,0) Determine o(s) valor(es) de 𝑎 ∈ R sabendo que a função a seguir é diferenciável:
𝑝(𝑥) =
⎧⎨⎩
1
𝑎𝑥+ 1/2
, se 𝑥 ≥ 0,
√
4− 𝑥, se 𝑥 ≤ 0.
4. (2,0) Verifique se a função 𝑦 = 𝑒−3𝑥 + 2𝑥𝑒−3𝑥 satisfaz a equação 𝑦′′ + 6𝑦′ + 9𝑦 = 0.
5. (2,0) Encontre a equação da(s) reta(s) paralela(s) a 𝑟 : 𝑦 = 6𝑥+1 que tangenciam o gráfico
de 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 6𝑥2 + 6𝑥.
6. (2,0) Dê um exemplo de uma função 𝑓 : R → R que seja contínua em algum ponto 𝑎 ∈ R
mas que não seja diferenciável em 𝑎. Apresente todos cálculos necessários para mostrar que 𝑓
é, de fato, contínua no ponto escolhido, e que não é derivável em tal ponto.
BOA PROVA!