Revisão de integrais

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Integrais definidas e Propriedades
Integrais Indefinidas
Me´todo da substituic¸a˜o
Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica
Integrac¸a˜o por partes
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
Revisa˜o de Integrais
Danilo Sande
October 7, 2013
Danilo Sande Revisa˜o de Integrais
Integrais definidas e Propriedades
Integrais Indefinidas
Me´todo da substituic¸a˜o
Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica
Integrac¸a˜o por partes
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
I´ndice
1 Integrais definidas e Propriedades
Integrais definidas e Propriedades
Exemplos
2 Integrais Indefinidas
3 Me´todo da substituic¸a˜o
4 Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica
Quando utilizar
Exemplos
5 Integrac¸a˜o por partes
6 Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
Objetivo do me´todo
caso 1
caso 2
caso 3
caso 4
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Integrais definidas e Propriedades
Integrais Indefinidas
Me´todo da substituic¸a˜o
Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica
Integrac¸a˜o por partes
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
Integrais definidas e Propriedades
Exemplos
Integrais definidas e Propriedades
Definic¸a˜o de Primitiva
Uma primitiva de f (x) e´ uma func¸a˜o F (x) tal que dF (x)dx = f (x)
Integral definida (Teorema fundamental do ca´lculo)
Se F (x) e´ uma primitiva de f (x), enta˜o:
∫ b
a f (x)dx = F (b)− F (a)
Propriedades:∫ b
a [mf (x) + ng(x)]dx = m
∫ b
a f (x)dx + n
∫ b
a g(x)dx
∫ b
a f (x)dx +
∫ c
b f (x)dx =
∫ c
a f (x)dx
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Me´todo da substituic¸a˜o
Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica
Integrac¸a˜o por partes
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
Integrais definidas e Propriedades
Exemplos
Integrais definidas e Propriedades
Definic¸a˜o de Primitiva
Uma primitiva de f (x) e´ uma func¸a˜o F (x) tal que dF (x)dx = f (x)
Integral definida (Teorema fundamental do ca´lculo)
Se F (x) e´ uma primitiva de f (x), enta˜o:
∫ b
a f (x)dx = F (b)− F (a)
Propriedades:∫ b
a [mf (x) + ng(x)]dx = m
∫ b
a f (x)dx + n
∫ b
a g(x)dx∫ b
a f (x)dx +
∫ c
b f (x)dx =
∫ c
a f (x)dx
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Me´todo da substituic¸a˜o
Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica
Integrac¸a˜o por partes
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
Integrais definidas e Propriedades
Exemplos
Exemplos
Calcule as integrais:∫ 4
0 (2x + 10)dx = 56
∫ e
1
1
x dx = 1∫ 2
1 e
xdx = e2 − e∫ pi
2
0 cos xdx = 1∫ 1
0 (x
2 + 2)dx+
∫ 2
1 (x
2 + 2)dx = 203
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Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica
Integrac¸a˜o por partes
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Integrais definidas e Propriedades
Exemplos
Exemplos
Calcule as integrais:∫ 4
0 (2x + 10)dx = 56∫ e
1
1
x dx = 1
∫ 2
1 e
xdx = e2 − e∫ pi
2
0 cos xdx = 1∫ 1
0 (x
2 + 2)dx+
∫ 2
1 (x
2 + 2)dx = 203
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Exemplos
Exemplos
Calcule as integrais:∫ 4
0 (2x + 10)dx = 56∫ e
1
1
x dx = 1∫ 2
1 e
xdx = e2 − e
∫ pi
2
0 cos xdx = 1∫ 1
0 (x
2 + 2)dx+
∫ 2
1 (x
2 + 2)dx = 203
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Exemplos
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Calcule as integrais:∫ 4
0 (2x + 10)dx = 56∫ e
1
1
x dx = 1∫ 2
1 e
xdx = e2 − e∫ pi
2
0 cos xdx = 1
∫ 1
0 (x
2 + 2)dx+
∫ 2
1 (x
2 + 2)dx = 203
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Exemplos
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Calcule as integrais:∫ 4
0 (2x + 10)dx = 56∫ e
1
1
x dx = 1∫ 2
1 e
xdx = e2 − e∫ pi
2
0 cos xdx = 1∫ 1
0 (x
2 + 2)dx+
∫ 2
1 (x
2 + 2)dx = 203
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Integrais indefinidas
Como calcular integrais indefinidas?
Exemplo de integral indefinida∫
xdx = x
2
2 + C
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Me´todo da substituic¸a˜o
Como calcular
∫
2xex
2
dx?
Exemplo do me´todo da substituic¸a˜o
Queremos calcular
∫
φ(x)dx , onde φ(x) = f (g(x))dgdx .
No exemplo dado φ(x) = 2xex
2
, f (x) = ex e g(x) = x2, assim:
f (g(x))dgdx = e
x22x = φ(x).
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Me´todo da substituic¸a˜o
Como funciona o me´todo:∫
φ(x)dx=
∫
f (g(x))dgdx dx
Fazendo uma mudanc¸a de varia´veis: u = g(x), temos
du = g ′(x)dx∫
φ(x)dx=
∫
f (u)du
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Me´todo da substituic¸a˜o
Calcule:∫
2xex
2
= ex
2
+ C
∫
tan xdx = − ln |cosx |+ C∫
sin4 x cos xdx = sin
5 x
5 + C∫ 1
0
x
x2+1
dx = 12 ln 2
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Calcule:∫
2xex
2
= ex
2
+ C∫
tan xdx = − ln |cosx |+ C
∫
sin4 x cos xdx = sin
5 x
5 + C∫ 1
0
x
x2+1
dx = 12 ln 2
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Calcule:∫
2xex
2
= ex
2
+ C∫
tan xdx = − ln |cosx |+ C∫
sin4 x cos xdx = sin
5 x
5 + C
∫ 1
0
x
x2+1
dx = 12 ln 2
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Me´todo da substituic¸a˜o
Calcule:∫
2xex
2
= ex
2
+ C∫
tan xdx = − ln |cosx |+ C∫
sin4 x cos xdx = sin
5 x
5 + C∫ 1
0
x
x2+1
dx = 12 ln 2
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Me´todo da substituic¸a˜o
Algumas substituic¸o˜es mais elaboradas...
Calcule:∫
e2x√
ex+2
dx = 23(e
x + 2)3/2 − 4(ex + 2)1/2
∫
x√
x+1
dx = 2[ (x+1)
3/2
3 −
√
x + 1]
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Algumas substituic¸o˜es mais elaboradas...
Calcule:∫
e2x√
ex+2
dx = 23(e
x + 2)3/2 − 4(ex + 2)1/2∫
x√
x+1
dx = 2[ (x+1)
3/2
3 −
√
x + 1]
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Quando utilizar
Exemplos
Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica
Quando utilizar:
Quando o integrando conte´m func¸o˜es envolvendo as expresso˜es√
a2 − x2, √a2 + x2 e √x2 − a2, fazemos as seguintes
substituic¸o˜es:
Expressa˜o Substituic¸a˜o (a > 0) Identidade
a)
√
a2 − x2 x = a sin θ, −pi2 ≤ θ ≤ pi2 1− sin2 θ = cos2 θ
b)
√
a2 + x2 x = a tan θ, −pi2 < θ < pi2 1 + tan2 θ = sec2 θ
c)
√
x2 − a2 x = a sec θ, 0 ≤ θ < pi2 ou pi ≤ θ < 3pi2 sec2 θ − 1 = tan2 θ
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Quando utilizar
Exemplos
Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica
Graficamente:
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Quando utilizar
Exemplos
Caso a)
A func¸a˜o integrando envolve
√
a2 − x2:
Exemplo
Calcular
∫ √
a2 − x2dx .
Utilizando x = a sin θ, temos dx = a cos θdθ, assim:∫ √
a2 − x2dx = ∫ a cos θ.a cos θdθ = a2 ∫ cos2 θdθ
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Quando utilizar
Exemplos
Caso a)
Exemplo
Precisamos calcular
∫
cos2 θdθ.
Temos que cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ e cos2 θ + sin2 θ = 1, assim
cos2 θ = 12(cos 2θ + 1).
Desse modo:∫
cos2 θdθ = 12
∫
(cos 2θ + 1) = 12 [
∫
cos 2θ + θ] = 12 sin θ cos θ +
θ
2
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Quando utilizar
Exemplos
Caso a)
Exemplo∫
cos2 θdθ = 12 sin θ cos θ +
θ
2
Como x = a sin θ, temos θ = arcsin xa e cos θ =
√
1− x2
a2
, desse
modo:∫ √
a2 − x2dx = a2 ∫ cos2 θdθ = a2[12 sin θ cos θ + θ2 ] =
x
2
√
a2 − x2 + a22 arcsin xa + C
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Quando utilizar
Exemplos
Caso b)
A func¸a˜o integrando envolve
√
a2 + x2:
Exemplo
Calcular
∫ √
a2 + x2dx .
R =
√
a2+x2
2 x +
a2
2 ln |
√
a2 + x2 + x |+ C
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Quando utilizar
Exemplos
Caso c)
A func¸a˜o integrando envolve
√
x2 − a2:
Exemplo
Calcular
∫
(x>a)
dx√
x2−a2 .
R = ln |x +√x2 − a2|+ C
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Integrac¸a˜o por partes
Fo´rmula∫
f (x)g ′(x)dx = f (x)g(x)− ∫ f ′(x)g(x)dx ou∫
udv = uv − ∫ vdu
Exemplos∫
xexdx = xex − ex∫
ex sin xdx = e
x
2 [sin x − cos x ]∫
ln xdx = x ln x − x
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Objetivo do me´todo
caso 1
caso 2
caso 3
caso 4
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
Queremos integrar func¸o˜es do tipo f (x) = P(x)Q(x) , onde P(x) e Q(x)
sa˜o polinoˆmios.
Como integrar
∫
x+5
x2+x−2dx?
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Objetivo do me´todo
caso 1
caso 2
caso 3
caso 4
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
Veja que 2x−1 − 1x+2 = 2(x+2)−(x−1)(x−1)(x+2) = x+5x2+x−2 , assim:∫
x+5
x2+x−2dx =
∫
2
x−1dx −
∫
dx
x+2 = 2 ln |x − 1| − ln |x + 2|+ C .
Objetivo do me´todo
O Objetivo desse me´todo e´ decompor func¸o˜es racionais em partes
simples, fa´ceis de integrar. O primeiro passo e´ garantir que P(x)
tenha o grau menor que Q(x).
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Objetivo do me´todo
caso 1
caso 2
caso 3
caso 4
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Divisa˜o de polinoˆmios
Se o grau de P(x) ≥ o grau de Q(x), fazemos a divisa˜o de
polinoˆmios:
f (x) = P(x)Q(x) = S(x) +
R(x)
Q(x) , onde o grau de R(x) < o grau de
Q(x).
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Objetivo do me´todo
caso 1
caso 2
caso 3
caso 4
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
Exemplo
Resolva
∫
x3+x
x−1 dx
x3+x
x−1 = x
2 + x + 2 + 2x−1 (ana´logo a uma divisa˜o comum
5
3 = 1 +
2
3). Assim:∫
x3+x
x−1 dx =
∫
(x2+x +2+ 2x−1)dx =
x3
3 +
x2
2 +2x +2 ln |x−1|+C .
O passo a seguir e´ fatorar o denominador tanto quanto poss´ıvel.
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Objetivo do me´todo
caso 1
caso 2
caso 3
caso 4
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
Caso 1: O denominador e´ produto de distintos fatores lineares:
Exemplo
Resolva
∫
x2+2x−1
2x3+3x2−2x dx
Fatorando o denominador, temos:
2x3 + 3x2 − 2x = x(2x2 + 3x − 2) = x(2x − 1)(x+ 2), Assim:
x2+2x−1
2x3+3x2−2x =
x2+2x−1
x(2x−1)(x+2) =
A
x +
B
2x−1 +
C
x+2 .
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Objetivo do me´todo
caso 1
caso 2
caso 3
caso 4
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Exemplo-cont.
Podemos montar o sistema:
x2 + 2x − 1 = A(2x − 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x − 1),
obtemos A=1/2, B=1/5 e C=-1/10.
Desse modo:∫
x2+2x−1
2x3+3x2−2x dx =
∫
A
x dx +
∫
B
2x−1dx +
∫
C
x+2dx =
1/2 ln |x |+ 1/10 ln |2x − 1| − 1/10 ln |x + 2|+ C
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Objetivo do me´todo
caso 1
caso 2
caso 3
caso 4
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
Exemplo
Encontre
∫
dx
x2−a2 , a 6= 0
R= 12a ln | x−ax+a |+ C
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Integrac¸a˜o por partes
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Objetivo do me´todo
caso 1
caso 2
caso 3
caso 4
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
Caso 2: O denominador e´ produto de fatores lineares, alguns deles
repetidos:
Exemplo
Obtenha
∫
x4−2x2+4x+1
x3−x2−x+1 dx
Fatorando:
x4−2x2+4x+1
x3−x2−x+1 = x + 1 +
4x
x3−x2−x+1 =
A
x−1 +
B
(x−1)2 +
C
x+1
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Objetivo do me´todo
caso 1
caso 2
caso 3
caso 4
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
Exemplo-cont.
Resolvendo para A, B e C, obtemos A=1, B=2 e C=-1, assim:∫
x4−2x2+4x+1
x3−x2−x+1 dx =
∫
[x + 1 + 1x−1 +
2
(x−1)2 − 1x+1 ] =
x2
2 + x + ln |x − 1| − 2x−1 − ln |x + 1|+ C
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Integrais definidas e Propriedades
Integrais Indefinidas
Me´todo da substituic¸a˜o
Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica
Integrac¸a˜o por partes
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
Objetivo do me´todo
caso 1
caso 2
caso 3
caso 4
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
Caso 3: O denominador conte´m fatores quadra´ticos irredut´ıveis,
nenhum deles repetidos:
Exemplo
Calcule
∫
2x2−x+4
x3+4x
dx
A decomposic¸a˜o fica: 2x
2−x+4
x3+4x
= 2x
2−x+4
x(x2+4)
= Ax +
Bx+C
x2+4
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Me´todo da substituic¸a˜o
Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica
Integrac¸a˜o por partes
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
Objetivo do me´todo
caso 1
caso 2
caso 3
caso 4
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
Exemplo-cont.
Resolvendo para A, B e C, obtemos A=1, B=1 e C=-1, assim:∫
2x2−x+4
x3+4x
dx =
∫
1
x +
x−1
x2+4
dx = ln |x |+ ∫ x
x2+4
dx − ∫ dx
x2+4
=
ln |x |+ 1/2 ln(x2 + 4)− 1/2 arctan x2 + C
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Me´todo da substituic¸a˜o
Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica
Integrac¸a˜o por partes
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
Objetivo do me´todo
caso 1
caso 2
caso 3
caso 4
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
Exemplo
Calcule
∫
4x2−3x+2
4x2−4x+3dx
A decomposic¸a˜o fica: 4x
2−3x+2
4x2−4x+3 = 1 +
x−1
4x2−4x+3
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Me´todo da substituic¸a˜o
Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica
Integrac¸a˜o por partes
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
Objetivo do me´todo
caso 1
caso 2
caso 3
caso 4
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
Exemplo-cont.
Ficamos com a integral:∫
4x2−3x+2
4x2−4x+3dx = x +
∫
x−1
4x2−4x+3dx = x +
∫
x−1
(2x−1)2+2dx =
x + 1/4
∫
u−1
u2+2
du = x + 1/4
∫
udu
u2+2
− 1/4 ∫ du
u2+2
.∫
4x2−3x+2
4x2−4x+3dx = x + 1/8 ln(4x
2 − 4x + 3)− 1
4
√
2
arctan(2x−1√
2
) + C
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Integrais Indefinidas
Me´todo da substituic¸a˜o
Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica
Integrac¸a˜o por partes
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
Objetivo do me´todo
caso 1
caso 2
caso 3
caso 4
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
Caso 4: O denominador conte´m um irredut´ıvel fator quadra´ticos
repetido.
Exemplo
Calcule
∫
1−x+2x2−x3
x(x2+1)2
dx
A decomposic¸a˜o em frac¸o˜es parciais fica:
1−x+2x2−x3
x(x2+1)2
= Ax +
Bx+C
x2+1
+ Dx+E
(x2+1)2
.
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Integrais Indefinidas
Me´todo da substituic¸a˜o
Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica
Integrac¸a˜o por partes
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
Objetivo do me´todo
caso 1
caso 2
caso 3
caso 4
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais
Exemplo-cont.
Resolvendo para A, B, C, D e E, obtemos A=1, B=-1, C=-1, D=1
e E=0. Assim:∫
1−x+2x2−x3
x(x2+1)2
dx =
∫
[ 1x − ( x+1x2+1) + x(x2+1)2 ]dx =
ln |x | − 1/2 ln(x2 + 1)− arctan x − 1
2(x2+1)
+ C
Danilo Sande Revisa˜o de Integrais
	Integrais definidas e Propriedades
	Integrais definidas e Propriedades
	Exemplos
	Integrais Indefinidas
	Método da substituição
	Integração por substituição trigonométrica
	Quando utilizar
	Exemplos
	Integração por partes
	Integração de funções racionais por frações parciais
	Objetivo do método
	caso 1
	caso 2
	caso 3
	caso 4