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Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Revisa˜o de Integrais Danilo Sande October 7, 2013 Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais I´ndice 1 Integrais definidas e Propriedades Integrais definidas e Propriedades Exemplos 2 Integrais Indefinidas 3 Me´todo da substituic¸a˜o 4 Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Quando utilizar Exemplos 5 Integrac¸a˜o por partes 6 Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Objetivo do me´todo caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Integrais definidas e Propriedades Exemplos Integrais definidas e Propriedades Definic¸a˜o de Primitiva Uma primitiva de f (x) e´ uma func¸a˜o F (x) tal que dF (x)dx = f (x) Integral definida (Teorema fundamental do ca´lculo) Se F (x) e´ uma primitiva de f (x), enta˜o: ∫ b a f (x)dx = F (b)− F (a) Propriedades:∫ b a [mf (x) + ng(x)]dx = m ∫ b a f (x)dx + n ∫ b a g(x)dx ∫ b a f (x)dx + ∫ c b f (x)dx = ∫ c a f (x)dx Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Integrais definidas e Propriedades Exemplos Integrais definidas e Propriedades Definic¸a˜o de Primitiva Uma primitiva de f (x) e´ uma func¸a˜o F (x) tal que dF (x)dx = f (x) Integral definida (Teorema fundamental do ca´lculo) Se F (x) e´ uma primitiva de f (x), enta˜o: ∫ b a f (x)dx = F (b)− F (a) Propriedades:∫ b a [mf (x) + ng(x)]dx = m ∫ b a f (x)dx + n ∫ b a g(x)dx∫ b a f (x)dx + ∫ c b f (x)dx = ∫ c a f (x)dx Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Integrais definidas e Propriedades Exemplos Exemplos Calcule as integrais:∫ 4 0 (2x + 10)dx = 56 ∫ e 1 1 x dx = 1∫ 2 1 e xdx = e2 − e∫ pi 2 0 cos xdx = 1∫ 1 0 (x 2 + 2)dx+ ∫ 2 1 (x 2 + 2)dx = 203 Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Integrais definidas e Propriedades Exemplos Exemplos Calcule as integrais:∫ 4 0 (2x + 10)dx = 56∫ e 1 1 x dx = 1 ∫ 2 1 e xdx = e2 − e∫ pi 2 0 cos xdx = 1∫ 1 0 (x 2 + 2)dx+ ∫ 2 1 (x 2 + 2)dx = 203 Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Integrais definidas e Propriedades Exemplos Exemplos Calcule as integrais:∫ 4 0 (2x + 10)dx = 56∫ e 1 1 x dx = 1∫ 2 1 e xdx = e2 − e ∫ pi 2 0 cos xdx = 1∫ 1 0 (x 2 + 2)dx+ ∫ 2 1 (x 2 + 2)dx = 203 Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Integrais definidas e Propriedades Exemplos Exemplos Calcule as integrais:∫ 4 0 (2x + 10)dx = 56∫ e 1 1 x dx = 1∫ 2 1 e xdx = e2 − e∫ pi 2 0 cos xdx = 1 ∫ 1 0 (x 2 + 2)dx+ ∫ 2 1 (x 2 + 2)dx = 203 Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Integrais definidas e Propriedades Exemplos Exemplos Calcule as integrais:∫ 4 0 (2x + 10)dx = 56∫ e 1 1 x dx = 1∫ 2 1 e xdx = e2 − e∫ pi 2 0 cos xdx = 1∫ 1 0 (x 2 + 2)dx+ ∫ 2 1 (x 2 + 2)dx = 203 Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Integrais indefinidas Como calcular integrais indefinidas? Exemplo de integral indefinida∫ xdx = x 2 2 + C Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Me´todo da substituic¸a˜o Como calcular ∫ 2xex 2 dx? Exemplo do me´todo da substituic¸a˜o Queremos calcular ∫ φ(x)dx , onde φ(x) = f (g(x))dgdx . No exemplo dado φ(x) = 2xex 2 , f (x) = ex e g(x) = x2, assim: f (g(x))dgdx = e x22x = φ(x). Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Me´todo da substituic¸a˜o Como funciona o me´todo:∫ φ(x)dx= ∫ f (g(x))dgdx dx Fazendo uma mudanc¸a de varia´veis: u = g(x), temos du = g ′(x)dx∫ φ(x)dx= ∫ f (u)du Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Me´todo da substituic¸a˜o Calcule:∫ 2xex 2 = ex 2 + C ∫ tan xdx = − ln |cosx |+ C∫ sin4 x cos xdx = sin 5 x 5 + C∫ 1 0 x x2+1 dx = 12 ln 2 Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Me´todo da substituic¸a˜o Calcule:∫ 2xex 2 = ex 2 + C∫ tan xdx = − ln |cosx |+ C ∫ sin4 x cos xdx = sin 5 x 5 + C∫ 1 0 x x2+1 dx = 12 ln 2 Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Me´todo da substituic¸a˜o Calcule:∫ 2xex 2 = ex 2 + C∫ tan xdx = − ln |cosx |+ C∫ sin4 x cos xdx = sin 5 x 5 + C ∫ 1 0 x x2+1 dx = 12 ln 2 Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Me´todo da substituic¸a˜o Calcule:∫ 2xex 2 = ex 2 + C∫ tan xdx = − ln |cosx |+ C∫ sin4 x cos xdx = sin 5 x 5 + C∫ 1 0 x x2+1 dx = 12 ln 2 Danilo Sande Revisa˜o de IntegraisIntegrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Me´todo da substituic¸a˜o Algumas substituic¸o˜es mais elaboradas... Calcule:∫ e2x√ ex+2 dx = 23(e x + 2)3/2 − 4(ex + 2)1/2 ∫ x√ x+1 dx = 2[ (x+1) 3/2 3 − √ x + 1] Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Me´todo da substituic¸a˜o Algumas substituic¸o˜es mais elaboradas... Calcule:∫ e2x√ ex+2 dx = 23(e x + 2)3/2 − 4(ex + 2)1/2∫ x√ x+1 dx = 2[ (x+1) 3/2 3 − √ x + 1] Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Quando utilizar Exemplos Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Quando utilizar: Quando o integrando conte´m func¸o˜es envolvendo as expresso˜es√ a2 − x2, √a2 + x2 e √x2 − a2, fazemos as seguintes substituic¸o˜es: Expressa˜o Substituic¸a˜o (a > 0) Identidade a) √ a2 − x2 x = a sin θ, −pi2 ≤ θ ≤ pi2 1− sin2 θ = cos2 θ b) √ a2 + x2 x = a tan θ, −pi2 < θ < pi2 1 + tan2 θ = sec2 θ c) √ x2 − a2 x = a sec θ, 0 ≤ θ < pi2 ou pi ≤ θ < 3pi2 sec2 θ − 1 = tan2 θ Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Quando utilizar Exemplos Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Graficamente: Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Quando utilizar Exemplos Caso a) A func¸a˜o integrando envolve √ a2 − x2: Exemplo Calcular ∫ √ a2 − x2dx . Utilizando x = a sin θ, temos dx = a cos θdθ, assim:∫ √ a2 − x2dx = ∫ a cos θ.a cos θdθ = a2 ∫ cos2 θdθ Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Quando utilizar Exemplos Caso a) Exemplo Precisamos calcular ∫ cos2 θdθ. Temos que cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ e cos2 θ + sin2 θ = 1, assim cos2 θ = 12(cos 2θ + 1). Desse modo:∫ cos2 θdθ = 12 ∫ (cos 2θ + 1) = 12 [ ∫ cos 2θ + θ] = 12 sin θ cos θ + θ 2 Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Quando utilizar Exemplos Caso a) Exemplo∫ cos2 θdθ = 12 sin θ cos θ + θ 2 Como x = a sin θ, temos θ = arcsin xa e cos θ = √ 1− x2 a2 , desse modo:∫ √ a2 − x2dx = a2 ∫ cos2 θdθ = a2[12 sin θ cos θ + θ2 ] = x 2 √ a2 − x2 + a22 arcsin xa + C Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Quando utilizar Exemplos Caso b) A func¸a˜o integrando envolve √ a2 + x2: Exemplo Calcular ∫ √ a2 + x2dx . R = √ a2+x2 2 x + a2 2 ln | √ a2 + x2 + x |+ C Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Quando utilizar Exemplos Caso c) A func¸a˜o integrando envolve √ x2 − a2: Exemplo Calcular ∫ (x>a) dx√ x2−a2 . R = ln |x +√x2 − a2|+ C Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Integrac¸a˜o por partes Fo´rmula∫ f (x)g ′(x)dx = f (x)g(x)− ∫ f ′(x)g(x)dx ou∫ udv = uv − ∫ vdu Exemplos∫ xexdx = xex − ex∫ ex sin xdx = e x 2 [sin x − cos x ]∫ ln xdx = x ln x − x Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Objetivo do me´todo caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Queremos integrar func¸o˜es do tipo f (x) = P(x)Q(x) , onde P(x) e Q(x) sa˜o polinoˆmios. Como integrar ∫ x+5 x2+x−2dx? Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Objetivo do me´todo caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Veja que 2x−1 − 1x+2 = 2(x+2)−(x−1)(x−1)(x+2) = x+5x2+x−2 , assim:∫ x+5 x2+x−2dx = ∫ 2 x−1dx − ∫ dx x+2 = 2 ln |x − 1| − ln |x + 2|+ C . Objetivo do me´todo O Objetivo desse me´todo e´ decompor func¸o˜es racionais em partes simples, fa´ceis de integrar. O primeiro passo e´ garantir que P(x) tenha o grau menor que Q(x). Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Objetivo do me´todo caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Divisa˜o de polinoˆmios Se o grau de P(x) ≥ o grau de Q(x), fazemos a divisa˜o de polinoˆmios: f (x) = P(x)Q(x) = S(x) + R(x) Q(x) , onde o grau de R(x) < o grau de Q(x). Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Objetivo do me´todo caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Exemplo Resolva ∫ x3+x x−1 dx x3+x x−1 = x 2 + x + 2 + 2x−1 (ana´logo a uma divisa˜o comum 5 3 = 1 + 2 3). Assim:∫ x3+x x−1 dx = ∫ (x2+x +2+ 2x−1)dx = x3 3 + x2 2 +2x +2 ln |x−1|+C . O passo a seguir e´ fatorar o denominador tanto quanto poss´ıvel. Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Objetivo do me´todo caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Caso 1: O denominador e´ produto de distintos fatores lineares: Exemplo Resolva ∫ x2+2x−1 2x3+3x2−2x dx Fatorando o denominador, temos: 2x3 + 3x2 − 2x = x(2x2 + 3x − 2) = x(2x − 1)(x+ 2), Assim: x2+2x−1 2x3+3x2−2x = x2+2x−1 x(2x−1)(x+2) = A x + B 2x−1 + C x+2 . Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Objetivo do me´todo caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Exemplo-cont. Podemos montar o sistema: x2 + 2x − 1 = A(2x − 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x − 1), obtemos A=1/2, B=1/5 e C=-1/10. Desse modo:∫ x2+2x−1 2x3+3x2−2x dx = ∫ A x dx + ∫ B 2x−1dx + ∫ C x+2dx = 1/2 ln |x |+ 1/10 ln |2x − 1| − 1/10 ln |x + 2|+ C Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Objetivo do me´todo caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Exemplo Encontre ∫ dx x2−a2 , a 6= 0 R= 12a ln | x−ax+a |+ C Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Objetivo do me´todo caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Caso 2: O denominador e´ produto de fatores lineares, alguns deles repetidos: Exemplo Obtenha ∫ x4−2x2+4x+1 x3−x2−x+1 dx Fatorando: x4−2x2+4x+1 x3−x2−x+1 = x + 1 + 4x x3−x2−x+1 = A x−1 + B (x−1)2 + C x+1 Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Objetivo do me´todo caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Exemplo-cont. Resolvendo para A, B e C, obtemos A=1, B=2 e C=-1, assim:∫ x4−2x2+4x+1 x3−x2−x+1 dx = ∫ [x + 1 + 1x−1 + 2 (x−1)2 − 1x+1 ] = x2 2 + x + ln |x − 1| − 2x−1 − ln |x + 1|+ C Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Objetivo do me´todo caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Caso 3: O denominador conte´m fatores quadra´ticos irredut´ıveis, nenhum deles repetidos: Exemplo Calcule ∫ 2x2−x+4 x3+4x dx A decomposic¸a˜o fica: 2x 2−x+4 x3+4x = 2x 2−x+4 x(x2+4) = Ax + Bx+C x2+4 Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Objetivo do me´todo caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Exemplo-cont. Resolvendo para A, B e C, obtemos A=1, B=1 e C=-1, assim:∫ 2x2−x+4 x3+4x dx = ∫ 1 x + x−1 x2+4 dx = ln |x |+ ∫ x x2+4 dx − ∫ dx x2+4 = ln |x |+ 1/2 ln(x2 + 4)− 1/2 arctan x2 + C Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Objetivo do me´todo caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Exemplo Calcule ∫ 4x2−3x+2 4x2−4x+3dx A decomposic¸a˜o fica: 4x 2−3x+2 4x2−4x+3 = 1 + x−1 4x2−4x+3 Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Objetivo do me´todo caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Exemplo-cont. Ficamos com a integral:∫ 4x2−3x+2 4x2−4x+3dx = x + ∫ x−1 4x2−4x+3dx = x + ∫ x−1 (2x−1)2+2dx = x + 1/4 ∫ u−1 u2+2 du = x + 1/4 ∫ udu u2+2 − 1/4 ∫ du u2+2 .∫ 4x2−3x+2 4x2−4x+3dx = x + 1/8 ln(4x 2 − 4x + 3)− 1 4 √ 2 arctan(2x−1√ 2 ) + C Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Objetivo do me´todo caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Caso 4: O denominador conte´m um irredut´ıvel fator quadra´ticos repetido. Exemplo Calcule ∫ 1−x+2x2−x3 x(x2+1)2 dx A decomposic¸a˜o em frac¸o˜es parciais fica: 1−x+2x2−x3 x(x2+1)2 = Ax + Bx+C x2+1 + Dx+E (x2+1)2 . Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais Indefinidas Me´todo da substituic¸a˜o Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o trigonome´trica Integrac¸a˜o por partes Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Objetivo do me´todo caso 1 caso 2 caso 3 caso 4 Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais por frac¸o˜es parciais Exemplo-cont. Resolvendo para A, B, C, D e E, obtemos A=1, B=-1, C=-1, D=1 e E=0. Assim:∫ 1−x+2x2−x3 x(x2+1)2 dx = ∫ [ 1x − ( x+1x2+1) + x(x2+1)2 ]dx = ln |x | − 1/2 ln(x2 + 1)− arctan x − 1 2(x2+1) + C Danilo Sande Revisa˜o de Integrais Integrais definidas e Propriedades Integrais definidas e Propriedades Exemplos Integrais Indefinidas Método da substituição Integração por substituição trigonométrica Quando utilizar Exemplos Integração por partes Integração de funções racionais por frações parciais Objetivo do método caso 1 caso 2 caso 3 caso 4
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