Bahiana Matemática

Prévia do material em texto

P r o f e s s o r G i l m a r | 1 
 
 
 
RESOLUÇÃO BAHIANA DE MEDICINA 
1º e 2º fase – 2009.2/2010.1/2010.2/2011.1/2011.2/2012.1 
 
Resolução 2009.2 
1º Fase 
Questão 4 
De acordo com o texto, 16% dos voluntários ingleses e 40% dos 
voluntários brasileiros possuíam o gene do otimismo. 
Considerando-se, dentre os voluntários, um grupo de 500 pessoas 
na razão de três ingleses para cada dois brasileiros e escolhendo-
se aleatoriamente um voluntário desse grupo, a probabilidade de 
ser inglês ou ter o gene do otimismo é igual a 
01) 9,6 04) 56,0% 
02) 16,0% 05) 76,0% 
03) 49,6% 
RESP.: Como existe a relação de 3 ingleses para 2 brasileiros, 
então 
 
 
 = 
 
 
 3B = 2I I = 
 
 
 B = 
 
 
, substituindo em I + B = 500, 
tem-se que B=200 e I=300 
Assim, 40% de 200 = 80, como a questão pede a probabilidade de 
ser inglês ou ter o gene do otimismo, fica p = 
 
 
 = 
 
 
 = 0,76 
= 76% 
 
Questão 6 
Durante um período de experiências, observou-se que duas das 
cobaias que estavam sendo utilizadas, se movimentavam 
simultaneamente, a partir de um mesmo ponto, porém fazendo 
percursos distintos. Para representar graficamente esses 
percursos em um mesmo sistema de coordenadas cartesianas, 
levou-se em consideração os seguintes dados: 
 A trajetória da primeira cobaia poderia ser descrita pelo 
gráfico da função y= - 
 
 
 x
2
 + 4x, y ≥ 0. 
 A trajetória da segunda cobaia poderia ser descrita pelo 
gráfico y = ax, sendo a ≠ 0 e 0 ≤ x ≤ 8. 
 Após saírem do ponto de partida, as cobaias se 
reencontraram no ponto em que a primeira cobaia 
atingiu uma distância máxima em relação à horizontal. 
Com base nessas informações, pode-se concluir que a 
representação gráfica da trajetória da segunda cobaia é um 
segmento de reta que faz com o eixo das abscissas um ângulo 
cujo seno é igual a 
01) 
 
 
 04) 
 
 
 
02) 
 
 
 05) 
 
 
 
03) 
 
 
 
 
RESP.: No xv o valor é máximo, xv = -b/2a = 4, substituindo na 
equação quadrática tem-se o valor máximo yv = 8 (4,8) é o 
ponto de encontro das duas cobaias, substituindo o mesmo na 
equação da reta fica 8 = 4a a = 2 y = 2x 
Através do triângulo pitagórico 
calcula-se a hipotenusa x x2 =8
2
 + 4
2 
 , dessa maneira o sen = 
 
 
 = 
 
 
 
 
Questão 16 
Um robô posicionado em um ponto P, origem do sistema de 
coordenadas cartesianas, e de frente para o lado positivo do eixo 
Ox, está programado para executar dois tipos de movimentos – 
dar um passo de exatamente 20cm à frente ou girar exatamente 
45
o 
(no sentido horário ou anti-horário); para deslocá-lo do ponto 
P até um ponto Q, foram executados consecutivamente os 
seguintes movimentos: 
 Dar um passo a frente; 
 Girar 45
o
 no sentido anti-horário; 
 Dar um passo à frente; 
 Girar 45
o
 no sentido anti-horário; 
 Dar um passo à frente. 
 
Querendo reprogramar o robô para que ele se desloque de P até 
Q, através de um número mínimo de movimentos, será preciso 
girar exatamente 
 
01) 30
o 
no sentido anti-horário e dar um passo à frente de 
exatamente (20 + 10 ) cm. 
02) 45
o
 no sentido anti-horário e dar um passo à frente 
exatamente (20 + 20 ) cm. 
03) 135
o
 no sentido anti-horário e dar um passo à frente de 
exatamente 20cm. 
04) 30
o
 no sentido horário e dar um passo à frente de exatamente 
(20 + 10 ) cm. 
05) 45
o
 no sentido horário e dar um passo à frente de exatamente 
60cm. 
 
 
 
4 
x 8 
 
P r o f e s s o r G i l m a r | 2 
 
 
 
RESP.: 
 
Por Pitágoras u = 10 e a = 20 + 20 
Dessa forma, a distância entre P e Q será 20 + 20 , girando 
45
o
 . 
Questão 24 
O Brasil ainda tem milhões de bacias sanitárias antigas que gastam 
de 30 a 40 litros de água tratada e potável. Considerando uma 
residência com cinco pessoas, na qual se aciona uma descarga 
sanitária desse tipo, 20 vezes por dia, gastando o equivalente a 
18000 litros de água por mês, tem-se um custo de R$ 52,29 por 
esse volume de água. Como o mercado já dispõe de bacias 
modernas que consomem de 6 a 9 litros de água por descarga, a 
substituição das bacias antigas representaria uma economia 
significativa tanto no consumo de água quanto nos valores pagos 
às companhias distribuidoras, tendo-se em vista os valores 
diretamente proporcionais ao consumo. 
Com base nessas informações e levando-se em conta uma casa 
com cinco moradores, pode-se afirmar: 
01) O consumo mensal mínimo de água de uma casa que possui 
bacias antigas é de 1,80m
3
. 
02) O consumo mensal mínimo de água de uma casa que possui 
bacias antigas é de 180m
3
. 
03) Para os valores mínimos do consumo de água gastos na 
descarga, a troca de bacias antigas por bacias modernas 
possibilitará uma economia mensal de 18,6m
3
 de água. 
04) Para os valores mínimos do consumo de água gastos na 
descarga, o valor de R$ 150,00 investido na troca de uma 
bacia antiga por uma moderna será recuperado num prazo 
máximo de quatro meses. 
05) Para os valores mínimos do consumo de água gastos na 
descarga, o valor de R$ 200,00 investido na troca de uma 
bacia antiga por uma moderna será recuperado num prazo 
máximo de quatro meses. 
RESP.: Sendo valor mínimo =6 , 30 dias e 20 descargas, tem-se 
6.30.20 = 3600 litros, logo por regra de três fica: 
18000 ----- 52,29 
 3600 ----- x 
Logo 4 meses vezes 41,8 =167,3 
Dessa maneira, investindo R$ 150,00 na troca das bacias, 
recupera-se em 4 meses, no máximo. 
Questão 29 
O número de decibéis do eco de um determinado som é 
 
 
 do 
número de decibéis desse som. 
Sabendo-se que cada eco resulta em outro eco e considerando log 
2 = 0,30, pode-se afirmar que o número máximo de ecos que o 
ouvido humano médio pode ouvir, até 16dB, a partir e um som de 
80dB é 
01) 4 
02) 5 
03) 6 
04) 7 
05) 8 
RESP.: 
 
 
 = q, a1 = 80 e an = 16 são termos da PG e an = a1 . q
n-1
 
16 = 80. 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 log1 – (log10 – log2) = (n – 
1)(2log
2
 – (log
10
 – log
3
) - 1 + 0,3 = (n – 1)(0,6 – 1 + 0,3) - 0,7 
= (n – 1)(-0,1) n – 1 = 7 n = 8, dessa forma o números de 
ecos é 8 – 1 = 7 
2ª Fase 
Questão 11 
Para desenvolver um trabalho intensivo de combate a dengue, a 
Secretaria de Saúde de determinado município decidiu formar 
grupos, com o mesmo número de agentes de saúde, para serem 
distribuídos nos bairros mais afetados desse município, de modo 
que cada um desses grupos atuasse em um único bairro. Sabe-se 
que, se cada grupo fosse formado por 11 pessoas sobrariam oito 
agentes, mas se cada grupo fosse formado por 16 pessoas, dois 
bairros não receberiam grupo algum, contrariando o objetivo de 
que todos os agentes requisitados participassem do trabalho e de 
que todos os bairros fossem atendidos. 
Com base nessas informações, determine 
 O número de grupos necessários. 
 O número de componentes de cada um desses grupos. 
 A expressão que permite calcular o número máximo de 
formas distintas para compor esses grupos. 
RESP.: Sendo n número de grupos e P número de pessoas tem-se 
1º CASO: 11n + 8 = P e 2º CASO: (n – 2)16 = P, igualando as duas 
equações fica n = 8 e P = 96 
Dessa forma 8 é o número de grupos e 96 é o número decomponentes de cada um desses grupos. A Expressão que 
permite calcular o número máximo para compor esses grupos é 
C93,12, pois 96 ÷ 8 = 12. 
Questão 15 
Os satélites artificiais são instrumentos da era moderna, através 
dos quais se permitem, obter diversos serviços em nível mundial, 
nas mais diversas áreas = meteorologia, astronomia, pesquisas 
cientificas, comunicação, etc. 
Dois satélites, S1 e S2
 
descrevem órbitas circulares em torno da 
Terra. A equação x
2
 + y
2
 – 24x – 32y = 0, com x e y dados em 
milhares de quilômetros, descreve a órbita de S1 e a Terra é um 
ponto no centro da curva. 
 x 10,5 52,29 – 10,5 = lucro = 41,8 
 4 . 62,7 = 250,80 
P r o f e s s o r G i l m a r | 3 
 
 
 
Num dado instante em que S1 passa pelo ponto P(24, 32) de sua 
órbita, S2 se encontra em um ponto Q de sua órbita, 4000km à 
direita de S1, determine 
A razão entre os raios das órbitas de S1 e S2. 
Uma equação da circunferência que descreve a órbita do satélite 
S2. 
RESP.: 
 
 
 
 
 
Sendo S1 = circunferência menor S2 = circunferência maior 
a) Através da equação do satélite 1, x
2
 +y
2
 – 24x – 32y = 0 e 
comparando com a equação modelo: x
2
 +y
2 – 
2xox – 2yoy + 
 
 
- R
2
 = 0 xo = 12 e yo = 16, abscissa e ordenada do centro, por 
Pitágoras R1 = raio = 20, substituindo o ponto (28,32), 
encontraremos o R2 = 16 logo a razão entre os raios 1 e 2 é 
 
 
. 
b) Uma equação da circunferência que descreve a órbita do 
satélite S2 pode ser representada por (x-12)
2
 + (y-16)
2
 = (16 )
2 
 
Resolução 2010.1 
Questão 4 
Interações entre duas espécies 
de uma comunidade, tais como 
competição, predação ou 
mutualismo, em geral, 
provocam alterações na 
dinâmica populacional de ambas 
espécies, que pode ser 
prejudicial ou benéfica para uma 
das espécies ou para ambas. 
Uma aranha (predador) constrói uma teia, que é formada por 
hexágonos regulares concêntricos e igualmente espaçados. Num 
dado instante em que a aranha se encontra no ponto A da teia, 
um inseto (presa) pousa no ponto l dessa mesma teia e não 
consegue se libertar. 
Nessas condições, a menor distância que a aranha pode percorrer 
para devorar sua presa é, em u.c., igual a 
01) 8 04) 14 
02) 10 05) 16 
03) 12 
 
 
RESP.: Sendo = altura do menor triângulo eqüilátero, então 
 
 
 = = 2, como todos os ângulos são iguais a 60
o
 e lados 
iguais observa-se que 
 
 
 
Pela lei dos cossenos tem-se que d
2
 = 10
2 
+ 6
2
 – 2 . 10 . 6 cos (-
60
o
) 
d
2
 = 136 + 2 . 60 . 
 
 
 d = 14 
Questão 18 
A figura ilustra o chamado “modo 
paralelo” de escaneamento, feito 
pelos tomógrafos de primeira 
geração que utilizavam um único 
par fonte de raios X / detector de 
raios X, que inicialmente era 
transladado através do campo de 
visão contendo a secção 
transversal, registrando uma 
grande quantidade de feixes 
paralelos. Em seguida, o par fonte / 
detector era girado de um pequeno ângulo e, então, um novo 
registro de medidas era feito, sendo o processo repetido até 
alcançar o número de medidas desejado. 
Sabe-se que as primeiras máquinas tomavam 160 medidas 
paralelas ao longo de 180 ângulos espaçados de 1º, num total de 
28800 medidas de intensidade de feixe, e que cada escaneamento 
destes lavava cerca de cinco minutos e meio. 
Após alguns aprimoramentos, essa máquina passou a operar 
gastando um terço do tempo para tornar o dobro dessas medidas, 
o que permite afirmar que, ao longo de 100 giros de 1º, passaram 
a ser feitos x medidas em um tempo aproximado t, em segundos, 
tais que x e t são iguais, respectivamente, a 
01) 14400 e 35 04) 43200 e 70 
02) 28800 e 35 05) 57600 e 110 
03) 32000 e 61 
RESP.: 
5,5 min = 330s 
 
 
 . 330 = 110s 
Então 110s -------- 180 giros 
 t -------- 100 giros 
 t 61s 
Nota-se que o gabarito é a proposição 03 
Questão 23 
O aumento da 
pluviosidade, 
associado às condições 
de pobreza acentuada, 
à eficiência de 
estrutura urbana, ao 
32 24 x 
y 
32 
16 
 28 
(24,32) 
(28,32) 
 
(12,16) 
 u.c 
 
l 
6 
A 
d 
120
o
 
10 
P r o f e s s o r G i l m a r | 4 
 
 
 
saneamento e à habitação, encontrados na periferia das grandes 
cidades, tem sido fator determinante na recorrência de 
epidemias, como dengue e leptospirose. 
Da tabela constam dados da leptospirose, referentes ao Estado da 
Bahia, desde 2005 até o primeiro semestre de 2009. 
Com base nessas informações, pode-se afirmar: 
01) Dos casos notificados em 2007, menos de 50% foram 
confirmados. 
02) Sendo 85% do total de casos confirmados em pessoas do sexo 
masculino, o número de casos confirmados de pacientes do 
sexo feminino é maior que 90. 
 
03) O índice de letalidade no primeiro semestre de 2009 é 
equivalente ao de 2005. 
04) a média do número de óbitos ocorridos de 2005 a 2008 é igual 
a 15. 
05) Escolhendo-se aleatoriamente um dentre todos os casos 
notificados em 2006, a probabilidade de esse caso ter sido 
confirmado é igual a 0,81. 
RESP.: Da análise do gráfico, nota-se que o índice letalidade no 
1º semestre de 2009 é equivalente a 2005, pois 
2005 
 
 
 0,15 
2009.1 
 
 
 0,15 
Questão 24 
A pluviosidade P, em 
Salvador, nos meses 
de janeiro a junho de 
2009, está 
representada no 
gráfico de uma função 
y = P(t), em que t = 1 
representa o mês de 
janeiro, t = 2 
representa o mês de 
fevereiro e assim sucessivamente. 
Da análise do gráfico, pode-se concluir que a precipitação 
pluviométrica 
01) foi crescente entre os meses de fevereiro e abril. 
02) foi decrescente entre os meses de fevereiro e abril. 
03) assumiu seu valor máximo e seu valor mínimo nos meses de 
maio e janeiro, respectivamente. 
04) para o mês de julho poderia ser estimada em 12,4mm 
mantendo-se a proporção verificada entre os meses de maio e 
junho. 
05) entre abril e maio teve um crescimento inferior à precipitação 
entre janeiro e fevereiro. 
RESP.: Da análise do gráfico acima nota-se que de janeiro a 
fevereiro = 122, 1 - 30,3 é maior do que de abril a maio = 
549,3 – 505,6 logo gabarito proposição 05 
2ª fase 
Questão 9 
Em alguns procedimentos radiodiagnóstico como, por exemplo, a 
ressonância magnética, injetam-se, no paciente, corantes 
radioativos, que alteram o campo magnético do tecido a ser 
examinado, facilitando a visualização de possíveis anomalias. 
Supondo-se que a quantidade remanescente de radioatividade no 
organismo, t minutos após o corante ter sido injetado, seja dada 
pela equação R(t) = R0(1/2)
kt 
, em que k é constante, 10 é a 
quantidade de radioatividade presente inicialmente, e sabendo-se 
que, após uma hora, a radioatividade no organismo foi reduzida à 
metade, calcule o tempo necessário para que essa radioatividade 
não exceda a 0,03, considerando-se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47.
 
RESP.: Sendo 10 a quantidade inicial então 10 = R0 colocando o 
tempo de 1h encontra-se k = 1, mesmo assim para não exceder 
0,03 0,03 = 10 . (1/2)t 
 
 
 
 = t fazendo a mudança de 
base fica 
 – 
 
 = 
 
 
 = 8,4h = t 
 
Questão 15 
A expressão 
 
 
é utilizada como um modelo matemático através do qual se pode 
estudar o crescimento da população de uma espécie com suposta 
duração de vida máxima, dividida em três faixas etárias, cada uma 
com o mesmo número de anos. 
 
Nessa expressão, 
 F1(t),t ≥ 1, é o número de indivíduos na faixa etária j, 
em t anos; 
 Aj 1 ≤ j ≤ 3, representa o número médio de fêmeas 
nascidas de cada fêmea da faixa etária j; 
 Bk 1 ≤ k ≤ 2, é a probabilidade de uma fêmea da faixa 
etária k sobreviver até a faixa etária k + 1. 
Considerando-se aj = 5(j – 1), bk = (0,5)
k
 e f(1) = 80, calcule o 
número provável de indivíduos dessa população, em cada faixa 
etária, em 3 anos. 
RESP.: 
 F1 (t+1) = a1f1(t) + a2f2(t) = a3f3(t) 
 F2 (t+1) = b1f1(t) 
 F3 (t+1) = b2f2(t) 
f1(1) = f2(1) = f3(1) = 80 
aj = 5(j-1), a1 = 5(1-1) = 0 a2 = 5(2-1) = 5 
a3 = 5(3-1) = 10 
bk (0,5)
k 
 b1 = 0,5 b2 = (0,5)
2
 = 0,25 
f1(2) = 0 + 5.80 + 10 . 80 = 1200 
f2(2) = 0,5 – 80 = 40 
f1(t + 1) a1 a2 a3 f1(t) 
f2(t + 1) = b1 0 0 f2(t) 
f3(t + 1) 0 b2 0 f3(t) 
P r o f e s s o r G i l m a r | 5 
 
 
 
f3(2) = 0,25 . 80 = 20 
Total = 1260 indivíduos nessa faixa etária 
f1(3) = 0.1200 + 5 . 40 + 10 . 20 = 400 
f2(3) = 0,5 . 40 = 20 
f3(3) = 0,25 . 20 = 5 
 
Resolução 2010.2 
1º Fase 
Questão 9 
O cérebro envelhece mais rápido se não for desafiado a cada dia: 
aprender coisas novas, aumentando o número de informações, 
compensa parcialmente as perdas cognitivas; divertir-se com 
jogos baseados em lógica matemática, palavras-cruzadas, quebra-
cabeças, entre outros, ajuda a manter a juventude dos neurônios. 
 
 
 
 
 
 
Para isso, pode-se utilizar fichas circulares em um jogo, divididas 
em seis regiões, na forma de setores circulares, ordenados de 
acordo com a figura 1 e enfileiradas de tal modo que a numeração 
das regiões em que cada uma delas é dividida segue um padrão 
numérico conforme a figura 2. 
De acordo com esse padrão, o primeiro número maior do que 
1000 deve estar na região R da ficha F e assim, F + R é igual a 
01) 19 04) 46 
02) 28 05) 52 
03) 37 
RESP.: Sendo que os números das fichas estão em PA, seguindo 
a ordem das regiões, de razão 30. Sendo a1 = 15, an > 1000 an 
= a1+(n-1)r 1000 = 15+(n+1)30 n 33,8 para an > 1000, n ≥ 
34, estando na terceira região das figuras, dessa forma F+R = 
34+3= 37 
Questão 11 
 
 
 
 
 
O origami é uma tradicional arte japonesa de criar seres ou 
objetos através de dobras geométricas de uma peça de papel, sem 
cortá-la ou colá-la, com o objetivo de desenvolver a atenção a 
coordenação motora e, conseqüentemente, e cérebro. 
Para fazer um objeto, utilizou-se uma peça quadrada de papel, 
representada na figura, sendo que a primeira dobra foi feita 
levando-se o canto inferior esquerdo do quadrado a um ponto P 
da diagonal AC, de tal modo que o triângulo MNP fosse isósceles e 
o MNC, eqüilátero. 
Tendo o triângulo MNP área igual a 32cm
2
, o valor que mais se 
aproxima da área, em cm
2
, da peça de papel utilizada é 
01) 90 04) 118 
02) 98 05) 134 
03) 100 
RESP.: 
 
 
 
 
 
 
Tendo o triângulo MNP isósceles e de área 32cm
2
, 
 
 
 = 32 u 
= 8 , por Pitágoras MN = 8. que é igual o lado do triângulo 
equilátero MNC como a questão quer saber o lado do quadrado 
= BC pelo triângulo retângulo NBC sabe-se que: 
(8. )
2
 = (x)
2
 + (x-8)
2
 128 = x2 + x2 – 16x + 64 2x2– 16x – 64 
= 0 calculando as raízes por ∆ e báskara tem-se x 10,7 como a 
área do quadrado é x
2
 então (10,7)
2
 118 
 
Questão 18 
Após se aposentarem, três amigos, X, Y e Z, resolveram aplicar 
suas economias na fundação de uma empresa e investiram no 
primeiro ano do seu funcionamento, respectivamente R$ 
50.000,00, R$ 45.000,00 e R$ 55.000,00. 
Se, ao final desse ano, a empresa teve um lucro líquido de R$ 
60.000,00 a ser dividido entre os sócios, na proporção direta do 
capital investido por cada um, então 
01) X recebeu o equivalente a 30% do valor que investiu. 
02) Y recebeu o equivalente a 60% do valor que investiu. 
03) Z recebeu R$ 5.000,00 a mais que X. 
04) Cada sócio recebeu mais de R$ 18.000,00. 
05) Nenhum dos sócios recebeu mais de R$ 22.000,00. 
RESP.: Dividindo em partes diretamente proporcionais tem-se 
 
 
 
= 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 x = 10, y = 18 e z = 22 
Dessa maneira o gabarito será a proposição 05 
 
Questão 19 
Para analisar a viabilidade de comercialização de um determinado 
produto, foi utilizado um modelo matemático definido pelas 
funções 
20 
 15 
10 
5 30 
25 4ª 3ª 
2ª 
1ª 6ª 
5ª 
50 
 45 
40 
35 60 
55 
80 
 75 
70 
65 90 
85 
 Ficha 3: Ficha 2: 
 Figura 2: Figura 1: 
 Ficha 1: 
P 
D 
M 
A 
 
N 
C 
B 
 x 
 
P 
D 
M 
A 
 
N 
C 
B 
 
 x 
 u 
 u 
8 
x 
x - 8 
P r o f e s s o r G i l m a r | 6 
 
 
 
 P(x) = 3200 – 100x, em que P é a quantidade de 
unidades vendidas ao preço unitário de x reais. 
 L(x) = x – 6, em que L é o lucro obtido por unidade 
vendida. 
 
De acordo com esse modelo, o lucro total máximo na 
comercialização desse produto, é obtido 
01) na venda de 130 unidades 
02) na venda de 1300 unidades 
03) quando o preço unitário for R$ 13,00 
04) quando o preço unitário for R$ 16,00 
05) na venda de 160 unidades e é igual a R$ 16.900,00 
 
RESP.: Lucro total máximo é igual a quantidade vezes o lucro por 
unidade, LT(x)= (3200 – 100x)(x – 6) = -100x
2 
+ 3800x – 19200, 
quando o lucro é máximo x = xv = - 
 
 
 = 
 
 
 = 19, com isso 
p(19) = 3200 – 100.19 = 1300 unidades 
 
Questão 23 
Segundo dados divulgados pelo IBGE em 2009, a expectativa de 
vida no Brasil cresceu 3,3 anos de 1998 a 2008, chegando à média 
de 73 anos. A situação é mais favorável às mulheres, que 
aumentaram a expectativa de vida de 73,6 para 76,8, enquanto a 
dos homens foi de 65,9 para 69,3 anos. Sabe-se também que o 
aumento da esperança de vida reflete diferenças regionais 
marcantes. 
Supondo-se que, em determinada região, 40% de todos os 
homens com menos de 60 anos e 45% de todas as mulheres com 
menos de 60 anos alcançarão 80 anos de idade e, escolhendo-se 
aleatoriamente um casal que vive nessa região, ambos com 55 
anos de idade, a probabilidade de que apenas um deles chegue 
aos 80 anos é de 
 
01) 22% 4) 49% 
02) 27% 5) 53% 
03) 47% 
 
RESP.: Fazendo 
H1 = porcentagem de homens que chegam 
H2 = porcentagem de homens que não chegam 
M1 = porcentagem de mulheres que não chegam 
M2 = porcentagem de mulheres que chegam 
Com isto a probabilidade apenas um chegar aos 80 anos é 
H1 M1 ou H2 M2 40% 50% + 60% 45% 
 
 
. 
 
 
 + 
 
 
. 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 = 
 
 
 = 49% 
 
 
 
Questão 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados divulgados pelo IBGE relativos à evolução da população 
brasileira de 80 anos ou mais, a partir de 1980 com projeção até 
2050, sugerem um crescimento exponencial dessa população. 
Suponha-se que uma boa aproximação desses números possa ser 
obtida através P(t) = ka
t 
em que t é dado em dezenas de anos e t = 
0 representa o ano de 2000, sendo as constantes k e a positivas a 
≠ 1. 
Com base no gráfico, pode-se estimar que, referente a essa 
população. 
01) Houve um aumento de 300 mil pessoas entre 2000 e 2005. 
02) houve um aumento de 500 mil pessoas entre 2005 e 2010. 
03) houve um aumento de 900 mil pessoas entre 2000 e 2010. 
04) haverá um aumento de 1 milhão de pessoas entre 2010 e 
2020. 
05) haverá um aumento de 1,2 milhões de pessoas entre 2005 e 
2020. 
RESP.:Sendo t = 0 e P(0) = 0,9 substituindo na equação P(t) = ka
t
 
 k = 0,9 como P(1) = 1,6 a = 
 
 
 entre 2000 e 2005 tem-se 
P(0,5) = 0,9 . 
 
 = 1,2 1,2 – 0,9 = 0,3 milhares = 300 logo 
houve um aumento de 300 mil. 
2ª Fase 
Questão 3 
Em um determinado período, uma operadora de planos de saúde 
reajustou suas mensalidades em 18%. Levando-se em conta 
apenas suas despesas com consultas, hospitais e exames nesse 
período, sabe-se que essas despesas aumentaram 8% com 
consultas, 5% com hospitais e diminuíram 1,5% com exames. 
Considerando que 40% dos custos da empresa são relativos ao 
pagamento de consultas, 25% ao pagamento de hospitais e 12% 
ao pagamento de exames, calcule a diferença percentual entre o 
aumento das mensalidades e o aumento dos custos dessa 
empresa no período citado. 
RESP.: 
 
100 
 
 
 
 + = 4,27 
P (em milhões de pessoas) 
+8% 
+5% 
-1,5% 
P r o f e s s o r G i l m a r | 7 
 
 
 
 
Sendo 77 -------- 100% 
 4,27 -------- x% 
Logo a diferença percentual entre as mensalidades e aumentos 
dos custos é igual a 18% - 5,5% = 12,5% 
 
Questão 7 
Segundo o neurolinguística americano Gary Small, uma dieta rica 
em frutas e legumes antioxidantes, azeite de oliva, aves e peixes 
oferece 50% de mais chance de viver mais. 
Com base nessa informação, uma pessoa resolve se submeter a 
uma reeducação alimentar através de uma dieta, que também 
preconiza a compatibilidade dos diferentes alimentos, 
classificando-os por grupos: 
 Grupo A: carnes, aves, queijo, ovos, peixe, soja, iogurte. 
 Grupo B: quase todas as verduras, sementes, frutos 
secos, natas, manteiga, azeite. 
 GRUPO C: bolachas, pão, tortas, massa, aveia, batatas, 
arroz, açúcares, mel, doces. 
Sabe-se que é permitido misturar alimentos do grupo A com 
alimentos do grupo B, alimentos do grupo B com alimentos do 
grupo C, mas alimentos do grupo A e do grupo C não devem ser 
misturados. 
A pessoa, ao iniciar a dieta, opta por utilizar apenas 3 alimentos 
do grupo A, 5 alimentos do grupo B e 4 alimentos do grupo C. 
Nessas condições, calcule o número de cardápios distintos que 
pode ser preparado contendo, no máximo, 1 alimento do grupo A, 
exatamente dois alimentos do grupo B e no mínimo, dois 
alimentos do grupo C. 
RESP.: Alimentos de B e C 
 C5,2.C4,2= 10.6 = 60 
C5,2.C4,3 = 10.4 = 40 + = 110 
C5,2. C4,4= 10.1 = 10 
 
Alimentos de A e B não pode fazer combinação, pois tem que 
haver em todos os cardápios alimentos de C, dessa forma são 
110 cardápios. 
Questão 15 
Arquimedes foi imortalizado como um dos maiores matemáticos 
de todos os tempos e, dentre suas descobertas, estão os treze 
poliedros conhecidos com o “sólidos de Arquimedes”. Um desses 
sólidos é o poliedro convexo regular com 12 faces pentagonais e 
20 faces hexagonais, que inspirou a fabricação do modelo da bola 
de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 
1971. 
 
 
 
Supondo-se que, na confecção de uma bola desse modelo, com 
72cm de circunferência, são gastos de 15 metros de linha para 
costurar todos os gomos entre si e que, se essa bola rolar num 
gramado plano e der 6 voltas no primeiro segundo, percorrendo, a 
cada segundo subseqüente, uma distância equivalente a 
 
 
 da 
distância percorrida no segundo anterior, calcule a distância 
percorrida pela bola nos cinco primeiros segundos de movimento 
e a quantidade média de linha necessária para unir dois desses 
gomos. 
RESP.: Como 72cm é o comprimento da circunferência e ela dar 
seis voltas no primeiro segundo, então 72.6 = 432cm = a1 e 
 
 
 = q 
razão da PG e Sn = 
 
 
 a soma S5 = 432.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1125cm, 12 
pentágonos = 60 arestas e 20 hexágonos = 120 arestas 60 + 
120 = 180 arestas, como quer ligar dois gomos faremos uma 
regra de três 
180 ----- 1500cm x 16,7cm 
 2----- x 
Dessa forma são usados 16,7cm de linha para costurar dois 
gomos. 
 
Resolução 2011.1 
1ª fase 
Questão 14 
Um paciente é monitorado por um aparelho que registra, na tela, 
uma curva representativa da variação da pressão arterial. Em 
termos numéricos, a pressão é dada na forma de S por D, sendo S 
o valor máximo atingido quando o coração se contrai e bombeia o 
sangue e D, o valor mínimo atingido quando o coração está em 
repouso, no intervalo de tempo correspondente a um batimento 
cardíaco. 
Sabendo-se que a variação da pressão desse paciente foi 
modelada através da função P(t) = A + Bcos(Ct), em que A, B e C 
são números reais, constantes, não nulos e que o tempo t é dado 
em segundos, pode-se afirmar que, se pressão for de 13 por 7 e o 
intervalo de tempo de um batimento cardíaco de 0,8 segundos, 
ABC será igual a 
01) 54 04) 91 
02) 105 05) 195 
03) 75 
RESP.: Como o cosseno varia de -1 a 1, o valor mínimo e máximo 
são iguais a 7 e 13 respectivamente. Com isso Ct é igual a 2 
então 
0.8t = 2 C = 5 /2 para P(t) mínimo fica 7 = A + B cos 
7 = A – B e para P(t) máximo fica 13 = A + B cos 2 13 = A + B 
fazendo a substituição A = 3 e B = 10, dessa forma ABC = 3.10. 
5 /2= 75 
 
 x 5,5% 
P r o f e s s o r G i l m a r | 8 
 
 
 
Questão 23 
Muitos hospitais pediátricos têm tido apoio de grupos de 
voluntários que, reunidos em projetos similares aos “Doutores da 
Alegria”, desenvolvem ações, particularmente junto às 
enfermarias desses hospitais, visando amenizar o sofrimento da 
internação infantil através da alegria e do bom humor. 
Inspirados nesse modelo, um grupo de 12 estudantes se dispôs a 
viabilizar um projeto semelhante, sendo o grupo subdividido 
segundo as suas habilidades, como indicado na tabela. 
 
Habilidades A- música e leitura B – Mágica C–pintura e artes manuais 
Nº de estudantes 4 3 5 
 
Supondo-se que cada equipe atue com cinco pessoas, tendo 
representantes de B, C e, pelo menos, dois representantes de A, 
ao se escolher aleatoriamente uma dessas equipes, a 
probabilidade de ela ter 2 componentes de C é igual a 
 
01) 
 
 
 04) 
 
 
 
02) 
 
 
 05) 
 
 
 
03) 
 
 
 
 
RESP.: Sendo cada equipe com 5 pessoas e no mínimo 2 pessoas 
de A, tem-se 2 de A, 1 de B e 2 de C C4,2 . C3,1 . C5,2
= 
6. 3 . 10 = 
180 e sendo 2 de A, 2 de B e 1 de C C4,2 . C3,2 . C5,1
= 
 6 . 3 . 5 = 
90 e 3 de A, 1 de B e 1 de C C4,3 . C3,1 . C5,1 = 4 . 3 . 5 = 60 logo 
180 + 90 + 60 = 330 dessa forma 180/330 = 6/11 
 
Questão 28 
Em hospitais, a assepsia é essencial para evitar as infecções, e a 
solução de hipoclorito de sódio costuma ser utilizada como 
coadjuvante em processos de limpezas. 
Suponha que um hospital tenha uma despesa mensal com a 
aquisição de x centenas de litros de solução de hipoclorito de 
sódio, dada pelo determinante da matriz A = 
 
 
 
 
Sendo k a quantidade de solução de hipoclorito comprada, que 
reduz o preço do litro a um valor mínimo de R$ 1,50, pode-se 
afirmar que, em centenas de litros, k é igual a 
01) 210 04) 320 
02) 250 05) 350 
03) 300 
 
RESP.: O determinante é igual a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = - 14x – 4k2 + 2x3 + 28x = 2x3 – 4kx2 + 
14x como o termo independente é igual a 0 e o último grau é 1, 
uma raiz é nula, então fica 2x
2
 – 4kx + 14 
Sendo Yv = valor mínimo = 1,5 = 
 
 
 = 
 
 
 k = 2,5 
centenas = 250 
 
Questão 38 
 
Qualquer pessoa cuja dieta é baixa em ferro e vitaminas corre 
risco de anemia, pois o corpoprecisa de ferro, de proteínas e de 
vitaminas para produzir um número suficiente de glóbulos 
vermelhos. Alimentos que contêm vitamina C ajudam a aumentar 
a absorção de ferro. 
Embora seja comum a crença de que um suco de laranja perde 
toda a vitamina C se não for ingerido imediatamente, após 
extraído da fruta, pesquisadores da EMBRAPA (Empresa brasileira 
de Pesquisas Agropecuárias) mostraram, através de estudos, que 
essa perda não é tão rápida. 
Para chegar a tal conclusão, foram utilizados 100 gramas de suco 
de laranja contendo, inicialmente, 33 miligramas de vitaminas C, 
mantido em temperatura ambiente. Os resultados dos testes, 
feitos por um período de quatro horas, estão representados no 
gráfico em que V(t) é a quantidade remanescente de vitamina 
detectada na amostra em cada instante t. 
Sabendo-se que a reta contêm o segmento AB faz com o eixo 0x 
um ângulo = arctg 
 
 
 , pode-se afirmar que três horas depois 
de iniciados os testes, verificou-se uma perda de vitamina C 
equivalente, a aproximadamente, 
01) 17,3% 04) 21,0% 
02) 18,0% 05) 22,4% 
03) 19,7% 
RESP.: Sendo = arctg 
 
 
 , tg = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 x = 5 
logo 33 – 5 = 28 então B (2, 28), C(4,25) construindo a reta AC 
tem-se y = ax + b, substituindo os pontos B e C fica 28 = 2a + b e 
25 = 4a + b, dessa forma, resolvendo o sistema a = - 
 
 
 e b = 31 
com isso f(x) = - 
 
 
 . x + 31 que f(3) = - 
 
 
 + 31 = 26,6 33 – 
26,5 = 6,4 dessa maneira 6,4/33 = 0,197 = 19,7% 
Questão 42 
Uma campanha nacional promoveu dois dias de vacinação 
intensiva e estabeleceu um horário-limite para encerrar o 
atendimento nos Postos de Saúde da rede pública a cada dia. No 
segundo e último dia, atingido esse horário, em um dos postos 
P r o f e s s o r G i l m a r | 9 
 
 
 
ainda havia uma fila de pessoas a serem atendidas, havendo uma 
prorrogação do horário até que todas fossem vacinadas. 
As primeiras seis pessoas essa fila eram mulheres e, após serem 
vacinadas, verificou-se que a razão entre o número de pessoas 
restantes passou a ser de três mulheres para cinco homens. As 
duas pessoas seguintes na fila eram homens e, depois de 
vacinados, a razão entre o número de pessoas restantes na fila 
passou a ser de duas mulheres para três homens. 
Nessas condições, o número de pessoas na fila, quando o horário 
limite de atendimento foi atingido era igual a 
01) 20 04) 38 
02) 24 05) 45 
03) 31 
RESP.: Sendo x = total de pessoas retirando 6 
 
 
 3 + 5 = 8, 
logo (x-6) ÷ 8 = P, mesmo assim, retirando mais 2 
 
 
 2 + 3 
= 5, (x-8) ÷ 5= P + 2 portanto, x – 6 = 8P e x – 8 = 5P + 10; 
substituindo tem-se que, P = 4 e x = 38 
Questão 50 
Um acidente com um navio tanque resultou em um vazamento de 
óleo no mar, provocando o aparecimento de uma mancha de 
espessura constante igual a 3cm e de forma circular, cujo raio r, 
medido em metros, duplicava a cada minuto. 
Considerando-se =3 e sabendo-se que o instante t=0, quando a 
mancha foi detectada, a quantidade de óleo vazado correspondia 
a 0,16m
3
, Pode-se estimar que o tempo decorrido até o volume do 
óleo vazado chegar a 5,12m
3 
foi de 
01) 2min30seg 
02) 3min10seg 
03) 3min45seg 
04) 4min40seg 
05) 5min20seg 
RESP.: Como a espessura é constante e igual a 3cm = 0,03m = 
altura e a figura forma um cilindro, tem-se dados π = 3 e h = 0,03. 
Nota-se também que o primeiro volume é igual a 0,16 = πR
2
.h 
0,16 = 3R
2
.0,03 R = 
 
 
, o raio duplicando, o segundo volume 
ficará igual a 0,64. Logo a sequência dos volumes forma uma PG 
cujo primeiro termo é 0,16, último termo igual a 5,12 e razão 
igual a 4, com isto, an = a1.q
n-1
 5,12 = 0,16.(4)n-1 25=22n-2 n 
= 3,5 = três termos e meio. Como cada termo sucede o outro em 
um minuto, tem-se que: 
a1, a2, a3, a3,5 Dessa forma são 1+1+0,5 =2,5min = 2min30s 
 
2ª fase 
Questão 6 
a figura, C indica a localização de 
uma casa de apoio a pacientes 
carentes vindos e outras cidades H 
indica a localização do hospital 
onde são tratados esses pacientes as poligonais HMC e HNC e o 
segmento HC indicam os caminhos que podem ser percorridos por 
esses pacientes e seus acompanhantes para irem e virem da casa 
de apoio até o hospital. 
Com base nessa informação, determine a medida, em metros, do 
maior percurso feito pelos pacientes. 
RESP.: Como 180
o 
– 60
o
 = 120
o
 então o triângulo MNH ficará com 
dois ângulos iguais a 30
o
, sendo esse triângulo isósceles CH = 100 
pela lei dos cossenos pode-se encontrar o segmento CN 
 
 
 
 
 
 
Pela lei dos cossenos x
2
 = 100
2
 + 100
2
 – 2.100.100 (- cos60
o
) 
x = 100 , através do triângulo pitagórico acima o segmento 
MN = MC = 100, dessa maneira o caminho mais longo é CN + NH 
= 100 + 100 270 
Questão 7 
Considere uma fila única de 100m, formada por pessoas que 
querem marcar consultas médicas pelo SUS. Sabendo-se que as 
pessoas são atendidas por cinco recepcionistas, que a distância 
entre as pessoas na fila é de 40,0 e que cada pessoa leva 2,0 min 
para marcar suas consultas, determine o tempo máximo que uma 
pessoa gasta na fila. 
RESP.: 
 
 
Sendo 
 
 
 = 250 logo somado com a extremidade 250 + 1 = 251, 
se existe 5 recepcionistas então cada uma atende 50 pessoas, 
sendo assim, a última pessoa será atendida depois de 50 . 2min = 
100min 
 
Questão 9 
De acordo com uma prescrição médica, um paciente foi preparado 
para receber soro por via intravenosa, durante certo tempo, a 
uma razão de x m de soro, a cada 40 segundos. Seguida a 
prescrição e sabendo que x é um número maior que 2, tal que log2 
(x – 2) = log4x, calcule o volume de soro que o paciente deve 
receber em uma hora. 
RESP.: Sendo log2 (x – 2) = ½ 
 log2 (x – 2) = 
 x 
– 2 = , elevando ambos os membros ao quadrado para 
eliminar a raiz fica: (x – 2)
2
 = ( )
2
 x2 – 5x + 4 = 0 
Calculando as raízes por ∆ e báskara tem-se x = 4 ou x= 1, como 
não existe logaritmando negativo x = 4 por regra de três se 
4 m 40s 
 y 3600s 
1ª P 
 0,4m 
100m 
2ª P 
30o 100m 
120o 
Cos 120o= - cos60o 
 
30o 
1 
2 
 100 
 y = 
 
 
 = 360 
P r o f e s s o r G i l m a r | 10 
 
 
 
Dessa forma em 1h o volume recebido pelo paciente será de 
360 m 
 
Questão 15 
As inscrições para um seminário de atualização foram abertas, 
sendo oferecidas 280 vagas, distribuídas entre médicos e 
estudantes da área de saúde. Para otimizar os resultados do 
seminário, os inscritos deverão ser divididos no menor número de 
grupos que possam ser formados, tendo o mesmo número de 
participantes e de modo que os integrantes de cada grupo sejam 
apenas médicos ou apenas estudantes. 
Supondo que todas as vagas sejam preenchidas e que o número 
de estudantes inscritos exceda o de médicos inscritos em 56, 
calcule o número total de grupos a serem formados. 
RESP.: Sendo M = médicos e E = estudantes, então M + E = 280 e 
E = M + 56 substituindo uma equação na outra encontra-se M = 
112 e E = 168. Tirando o MDC desses dois números 
encontraremos 56, dessa maneira são dois grupos de médicos 
com 56 cada e três grupos de estudantes com 56 cada. 
 
Resolução 2011.2 
1ª fase 
Questão 13 
O estado de saúde de pacientes internados em UTIs costuma ser 
informado aos familiares por meio de boletins, escritos ou 
transmitidos pessoalmente por profissionais que atuam na UTI. 
Esses últimos são mais satisfatórios,pois o contato direto propicia 
a certeza de que as informações dadas serão compreendidas 
corretamente, as dúvidas esclarecidas e possíveis erros de 
interpretação corrigidos. 
Suponha que, no horário estabelecido por um hospital, seis 
familiares de pacientes internados nas UTIs aguardam a equipe 
médica, que falará sobre o estado clinico de cada doente. Para 
tanto, é utilizada uma sala que possui duas fileiras de poltronas 
com cinco cadeiras em cada uma delas. 
Considerando-se que a equipe médica é composta pelo chefe de 
UTI, que ficará de pé, e de dois assistentes, que deverão 
obrigatoriamente ocupar assentos na mesma fileira, pode-se 
afirmar que o número máximo de formas distintas que as cadeiras 
poderão ser ocupadas é igual a 
01) 6A 5,2 
02) 8 C5,2 
03) 2A5,2 A8,6 
04) 3A5,2 C 8,2 
05) C 10,8 C 5,2 
RESP.: 
Como os dois médicos assistentes têm que ficar juntos e na 
mesma fileira, eles podem ficar na 1ª e na segunda fileira. Para 
escolher as poltronas pelas quais os médicos vão se sentar 
observa-se que a ordem interfere e para escolher as poltronas 
das famílias a ordem não interfere logo: 
A5,2 C8,6 + A5,2 C8,6 = 2A5,2 C8,6 
Questão 16 
Para proporcionar mais conforto aos pacientes, uma clínica fez 
uma reforma em sua sala de espera e em duas tentativas para 
arrumar as vinte e cinco cadeiras que já existiam anteriormente 
na sala, observou-se que se fossem colocadas em x fileiras 
horizontais iguais, contendo y cadeiras cada ou, em x – 1, fileiras 
horizontais iguais, contendo y + 2 cadeiras cada, faltaria espaço 
para uma. 
Com base nessas informações, pode-se deduzir que é 
igual a 
01) 2 03) 5 05)10 
02) 2 04) 5 
RESP.: 
Se falta espaço para uma 25 – 1= 24 cadeiras. Com isto, 
I. xy = 24 
II. (x – 1)(x + 2) = 24 
xy + x – y – 2 = 24 
x– y = 2 x = y + 2 
Substituindo em I, tem-se: 
(y + 2) y = 24 
y
2
 +2y – 24 = 0 
 = 100 
y = 
 
 
 se y = 4 então x = 6 
 
Dessa forma 
 
Questão 20 
A Organização Mundial da Saúde (OMS) apresentou recentemente 
um raio-x completo do financiamento da saúde e escancarou uma 
realidade
 __ 
o Brasil está entre os 24 países que menos destinam 
de seu orçamento para a saúde, cerca de 56% dos gastos com 
saúde no país vem de poupança e da renda das pessoas, sendo 
flagrante a explosão dos planos de saúde (em 2008, 41% do 
dinheiro da saúde no Brasil vinha desses planos). 
4 
 -6 
P r o f e s s o r G i l m a r | 11 
 
 
 
Analisando-se o gráfico, no qual estão representados os valores 
do salário recebido por uma pessoa e das mensalidades por ela 
pagas por um plano de saúde, de 2005 a 2010, pode-se concluir: 
01) A curva que descreve a evolução do salário, nesse período, é 
uma função não decrescente do tempo. 
02) O menor percentual no reajuste salarial ocorreu em 2007. 
03) O maior percentual no reajuste da mensalidade do plano 
ocorreu em 2010. 
04) O valor da mensalidade do plano, em 2008, correspondia a 8% 
do valor do salário mensal então recebido pela pessoa. 
05) O percentual médio de aumento salarial, nesse período, foi 
menor do que o percentual médio nas mensalidades do plano. 
RESP.: 
Analisando o gráfico tem-se que o percentual médio de aumento 
salarial, nesse período, foi menor do que o percentual médio nas 
mensalidades do plano, pois 
0,06 + 0,07 + 0,16 + 0,14 0,43 aumento salarial 
0,06 + 0,045 + 0,13 + 0,2 + 0,18 0,61 sendo assim o gabarito 
será a proposição 05. 
 
Questão 24 
Embora muitos clientes considerem que não são ouvidos com a 
devida atenção pelos médicos a quem consultam, nem sempre, 
quando questionados por estes, são absolutamente sinceros no 
relato dos seus sintomas. 
Após participarem de um churrasco, cada um dos irmãos X, Y e Z, 
não necessariamente nessa ordem, teve um único dos sintomas 
__
 
febre, tontura e problemas gástricos. 
Comparecendo juntos a um serviço de emergência, as 
informações prestadas ao médico que os atendeu foram motivo 
de divergência entre lês 
__
 X afirmou que Y teve problemas 
gástricos, Z afirmou que X teve febre e Y também afirmou ter tido 
febre. 
Sabendo-se que só quem teve tontura falou a verdade, pode-se 
concluir: 
01) X teve febre. 
02) Y teve febre. 
03) Z teve tontura. 
04) X teve tontura. 
05) Z teve problemas gástricos. 
RESP.: 
Se x = TONTURA 
Sendo que X fala a verdade, então Y tem problemas gástricos e Z 
teve febre. 
Dessa forma a resposta é a proposição 04 
 
Questão 33 
Anulada 
Questão 38 
O hábito de automedicação no Brasil é visto de forma natural por 
larga parcela da população, muito embora se saiba, que não é 
uma prática recomendável a compra de remédios sem uma 
prescrição feita a partir de consulta e diagnóstico médicos. Tal 
comportamento é influenciado pelas propagandas feitas nos 
meios de comunicação tradicionais e, ultimamente, para quem 
acessa a internet, via e-mails. 
Suponha que determinada empresa farmacêutica, ao lançar um 
novo produto em 2000, se utilizou de estratégias publicitárias para 
inseri-lo no mercado, com a perspectiva de que suas vendas 
tivessem um crescimento médio anual de 12%. 
Sendo esse índice de crescimento mantido e considerando-se log 
2 = 0,30 e log 7 = 0,84, pode-se estimar que o total das vendas 
realizadas em 2000 será quadruplicado em 
01) 2016 
02) 2015 
03) 2014 
04) 2013 
05) 2012 
RESP.: 
Dado i = 12% = 0,12 e juros em cima de juros, ou seja juros 
compostos, assim M= C(1 + i)
t
 para quadruplicar tem-se: 
4C = C(1, 12)
t
 4 = (1, 12)t transformando em log, 
 
 = 
 
= t = 
 
Colocando na base 10, tem-se: 
t= 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 
 
t= 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 15 anos 
Dessa forma 2000 + 15 = 2015 
2ª fase 
Questão 5 
Certo dia, constatou-se que o Sr. X, integrante de uma 
comunidade, havia contraído uma doença contagiosa e que, ao 
final desse primeiro dia, contaminou duas outras pessoas da 
comunidade. Como nenhuma medida foi tomada para controlar a 
propagação da doença, verificou-se que cada doente contaminou 
exatamente duas pessoas, de modo que, no segundo dia, o 
número de doentes aumentou para sete, no terceiro para quinze 
e, assim, sucessivamente. 
Determine uma função D(t) que descreva o número de doentes na 
comunidade t dias após a identificação do primeiro caso. 
RESP.: 
Nota-se que 
D(t1) = 3 , D(t2) = 7 , D(t3) = 15 , D(t4) = 31, D(t5) = 63 
Observa-se que a diferença dos elementos forma uma PG de 
razão 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32...). Usando a fórmula da soma da PG, 
P r o f e s s o r G i l m a r | 12 
 
 
 
encontra-se sempre um termo anterior, para corrigir esse erro 
acrescentamos uma unidade no tempo. 
Dessa forma, a função que descreve o número de doentes t dias 
após a identificação do primeiro caso é: D(t) = 2
t+1
 - 1 
 
Questão 14 
O matemático Joseph Teran, da Universidade da Califórnia, nos 
Estados Unidos, acredita que já está próximo o dia em que 
pacientes poderão ser escaneados, gerando um clone digital 
tridimensional, incluindo os seus órgãos internos. Tal avanço 
causará impacto no ensino da medicina, desde que os estudantes 
não dependerão de cadáveres, podendo operar inúmeros 
pacientes virtuais, com as mais diversas características e doenças 
simuladas. 
Tomar a cirurgia virtual, em um você-virtual, uma realidade, 
depende de progressos na geometria computacional, na ciência 
da computação,e exigirá a solução de equações matemáticas que 
explicam fenômenos físicos. 
É evidente que Teran se refere a equações se refere a equações 
de alto grau de complexidade, diferentemente de equação 
x
3
 – 3x
2
 – 12x + 36 = 0, cujas raízes r1, r2 e r3 são todas reais. 
Com base nessas informações, determine o valor de 
cos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESP.: 
Se x
3
 – 3x
2
 – 12x + 36 = 0 e r1, r2 e r3 raízes reais 
Então cos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cos 
 
 
 = 
cos 
 
 
 = cos 
 
 
 
 
 
 
 
cos 
 
 
 cos 
 
 
 = cos 
 
 
 = 
 
 
 
 
Questão 15 
O tempo é considerado um fator importante para estabelecer a 
comunicação na primeira consulta que, na maioria das vezes, varia 
entre 15 minutos e uma hora. 
Determine o menor ângulo em radiano, descrito pelo ponteiro de 
horas, em radiano, no instante em que o relógio estiver indicando 
12 horas e 15 minutos. 
 
 
 
Ponteiro das horas 
Ângulo tempo 
 30
o
 60min 
 x 15min 
 
 
Dessa maneira, o ponteiro das horas andou 7,5
o
, ou seja, 
 
 
 
radianos. 
 
Resolução 2012.1 
1ª Fase 
 
Questão 10 
Você é feliz no Trabalho 
Responda aos itens abaixo conferindo pontos de 1 a 3, sendo 
1= quase nunca; 
2= às vezes; 
3= frequentemente 
1 Você se sente reconhecido pela sua equipe? 
2 Sente-se orgulhoso de ser quem é? 
3 Seu trabalho possibilita que use sua criatividade? 
4 Você tem controle sobre a maneira como executa 
suas tarefas profissionais? 
 
5 Seus desafios no trabalho são compatíveis com 
os recursos de que dispõe? 
 
6 Mantém o humor no trabalho, mesmo quando 
enfrenta dificuldades? 
 
7 Seu trabalho contribui para sua realização 
pessoal? 
 
 
O questionário foi publicado ao final de uma reportagem da 
revista isto é, Ed. 2189, de 26/10/2011, sobre a satisfação do 
brasileiro relativamente ao trabalho exercido. 
Segundo a revista, ao responder todos os itens, uma pessoa pode 
ser considerada infeliz no trabalho, se sua pontuação for até 9 
pontos; na tangente (oscilando entre momentos de felicidade e 
infelicidade), se sua pontuação variar de 10 até 15 pontos; feliz, se 
sua pontuação exceder 15 pontos. 
Uma pessoa respondeu a todos os itens do questionário, atribuiu 
o mesmo valor a quatro deles e, de acordo com o critério 
estabelecido, foi considerada feliz no trabalho. Sabendo-se que 
essa pessoa poderia ter respondido a todo o questionário de n 
formas distintas, pode-se afirmar que o valor máximo de n é 
01) 56 03) 168 05) 280 
02) 112 04) 224 
 
 
 
 
 
 
 
 x= 7,5o 
 
12h15min 
P r o f e s s o r G i l m a r | 13 
 
 
 
RESP.: De um total de 7 itens, escolhe 4 para atribuir a mesma 
pontuação. 
E os três itens restantes são atribuídos duas notas cada um. 
Dessa forma tem-se: 
 
 
Questão 24 
ANULADA 
 
Questão 26 
A conscientização da importância da atividade física para a 
manutenção e promoção da qualidade de vida tem incentivado a 
população à procura dessa prática. A ioga, por exemplo, já é aceita 
pela medicina ocidental como mais uma opção de terapia 
complementar no tratamento de várias doenças. A meditação, 
exercícios de respiração profunda e posturas corporais realizadas 
com movimentos suaves e alongados trazem bem-estar e 
relaxamento. 
 
A figura 1 ilustra a postura denominada 
“Triângulo”, a cuja prática se atribui 
melhora no equilíbrio físico e emocional, 
benefícios aos músculos laterais do tronco 
e fortalecimento da cintura, dentre outros. 
 
 
Tal postura, remete à composição 
geométrica na figura 2, em que 
 = 
O raio AD do setor circular CAD mede 
0,8u.c e é perpendicular ao segmento 
AB 
O arco DC mede 
 
 
 u. c 
 
Nessas condições, pode-se afirmar que a altura do triângulo ABC 
relativa à base AB é, em unidades de comprimento, igual a 
01) 
 
 
 04) 
 
 
 
02)
 
 
 05) 
 
 
 
03) 
 
 
 
 
 
 
RESP.: 
Analisando a figura tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como sem 75
o 
 = sen (45
o
 + 30
o
 ) = sen 45
o
 cos30
o
 + sen 30
o
 
cos45
o
 = 
= 
 
 
 e usando a lei do seno fica 
 
 
= 
 
 
 
h= 
 
 
 
Dessa forma, o gabarito é a proposição 01. 
Questão 29 
Sabe-se que 70,6% da população com 60 anos ou mais não possui 
plano de saúde, o que deixa evidente o fato de que a maior parte 
dos mais idosos depende do sistema público de saúde. Para essa 
faixa da população, o custo da internação per capta no SUS tende 
a subir a medida que a idade aumenta, passando de R$93,00 para 
pessoas na faixa etária de 60 a 69 anos para R$ 179,00, entre 
aqueles de 80 anos ou mais. 
Supondo-se que esse custo varia segundo uma progressão 
geométrica, pode-se estimar o custo da internação per capita no 
SUS, em reais, para pessoas na faixa etária de 70 a 79 anos em, 
aproximadamente, 
01) 125 
02) 129 
03) 133 
04) 137 
05) 141 
RESP.: 
Sendo (93, x, 179) uma PG 
Então an = a1 . q
n – 1
 
 179 = 93 . q
2
 q 1,39 
 x = a2 = a1 . q a2 93 . 1,39 129 
 
Questão 39 
Ao fazer um estudo sobre a qualidade do ar de determinada 
cidade, pesquisadores observaram que a concentração de 
poluentes no ar variou, ao longo do dia, segundo uma função afim 
do tempo. 
Fig. 1 
Fig. 2 
 75o 
 0,8 
D 
C 
B A 
 0,8 0,8 
 75o 
 75o 
 h 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 15o 
Com isto, 90
o
 – 15
o
 = 75
o
 
 
 
P r o f e s s o r G i l m a r | 14 
 
 
 
Medições feitas às 7 horas e às 12 horas do primeiro dia de 
observação indicaram uma concentração de poluentes no ar de, 
respectivamente, 25 partículas e 90 partículas, em cada milhão de 
partículas. 
Medições feitas às 8 horas e às 10 horas do segundo dia de 
observação indicaram uma concentração de poluentes no ar de, 
respectivamente, 12 partículas e 64 partículas, em cada milhão de 
partículas. 
Comparando-se os resultados obtidos nos dois dias, pode-se 
afirmar que a concentração de poluentes no ar, 
01) às 6 horas do primeiro dia, foi nula. 
02) às 7 horas do segundo dia, foi nula. 
03) às 10 horas do primeiro dia, foi igual à concentração de 
poluentes no ar medida às 11 horas do segundo dia. 
04) às 14 horas do primeiro dia, foi igual a concentração de 
poluentes no a r medida às 12 horas do segundo dia. 
05) a partir das 10 horas no primeiro dia, foi maior do que a 
concentração de poluentes do segundo dia a partir das 10 
horas. 
RESP.: 
Função afim 1º grau 
Os pontos (7,5) e (12,90) 1ª função (y = ax + b) 
Como a = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 13 
Substituindo um dos pontos encontra b = - 66 então f1(x) = 13x – 
66 Os pontos (8,12) e (10,64) 2ª função (y = mx +n) 
m = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , substituindo um ponto n = -196 
f2(x) = 26x – 196 testando nas alternativas fica a proposição 04 
pois 
f1(14) = 13 . 14 – 66 = 116 
f2(12) = 26 . 12 – 196 = 116 
 
Questão 50 
No livro “Os médicos no Brasil: um retrato da realidade”, 
Machado, Ma. Helena (Editora FIOCRUZ; 1997), foram publicados 
resultados da mais extensa e aprofundada pesquisa sociológica 
sobre a profissão médica e o exercício da Medicina nos tempos 
atuaisno Brasil. Dados extraídos dessa pesquisa apontaram, 
dentre outras características da população médica brasileira, para 
o que foi chamado de “vocação urbana”, já que mais de 65% 
viviam e trabalhavam em grandes capitais. 
Em um determinado período, 68% dos médicos de um estado 
atuavam na capital, enquanto 60% da população viviam no 
interior. Para corrigir essa diferença, tentou-se manter constante 
a população da capital e a do interior e transferiu-se para o 
interior uma fração do número de médicos da capital, para que o 
número de habitantes por médico, na capital e no interior, fosse 
equiparado. 
Com base nesses dados, pode-se afirmar que essa fração pertence 
ao intervalo. 
1) 
 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
4) 
 
 
 
 
 
 
 
5) 
 
 
 
 
 
 
 
RESP.: 
Suponhamos que existem neste estado, 100 médicos e 200 
pessoas, sabendo que o número de médicos por pessoa na 
capital=interior. 
CAPITAL = INTERIOR 
 M/P = M/P + n 
 
 
 + 
 
 
 + n n = 0,58 
Dessa forma a fração pertence ao intervalo da proposição 04. 
 
2ª Fase 
Questão 09 
Segundo a Sociedade Brasileira de Otologia, 20% dos brasileiros 
sofrem com problemas de audição, ou seja, pelo menos 30 
milhões de pessoas possuem algum grau de perda na audição, o 
que atinge a comunicação e, por conseqüência, afeta sua 
qualidade de vida ao longo dos anos. Levando-se em conta que o 
ouvido humano percebe o som como uma sensação que varia com 
o logaritmo do estimulo que o produziu, os aparelhos auditivos 
podem ajudar a restaurar muitos dos sons que as pessoas com 
deficiência auditiva estão perdendo. 
 
Sabendo que o determinante da matriz A = 
 
 
 
 
 
 , x > -1, define uma função cujo gráfico 
intersecta os eixos coordenados Ox e Oy nos postos P e Q, 
respectivamente, determine, com base nos conhecimentos de 
matrizes e logaritmos, os pares de coordenadas desses pontos. 
RESP.: 
Det= 
 - 1 + 
 
 
 
 
 - 
 
 + 
 
 
Det = 
 
 
 + 
 
 = 
 
 
 , fazendo x = 0, y = 
 
 = -1 
e fazendo y = 0 x = - 
 
 
 = - 
 
 
 
Logo, os pontos P e Q são respectivamente P(0, -1) e Q(- 
 
 
, 0). 
 
Questão 10 
Estimativas do Instituto de Geografia e Estatística (IBGE) apontam 
que a maioria das pessoas com mais de 60 anos tem alguma 
doença crônica, para o Ministério da Saúde, essa é a principal 
causa de incapacidade prematura no país. Supondo que o risco de 
uma pessoa adquirir uma doença crônica exercendo determinada 
atividade durante sua vida profissional é de 3% e considerando 
duas pessoas que exerçam a mesma atividade, determine a 
P r o f e s s o r G i l m a r | 15 
 
 
 
probabilidade de, pelo menos, uma delas adquirir uma doença 
crônica. 
RESP.: 
Dado duas pessoas a e b 
 a= 97% chance de não adquirir a doença e b= 3% de adquirir a 
doença crônica, tem-se: 
(a + b)
2
 = a
2
 + 2ab + b
2 
 
 
Dessa forma: 2 . 97% . 3% + (3%)
2
 = 
 
 
 + 0,0009 = 0,0591 = 
5,91% 
 
Questão 13 
A utilização de aquecimento solar da água gera menor impacto 
ambiental e menor degradação dos recursos naturais, aspectos 
essenciais para melhor qualidade de vida e desenvolvimento 
sustentável das cidades. 
Supondo que, para testar as vantagens dessa tecnologia, foram 
instalados, em uma região, dois aquecedores solares: o primeiro 
deles, com uma área de placas coletoras de 6,4m
2
, demorou 8,5 
horas para aumentar em t
o
C a temperatura de 272 litros de água, 
enquanto o segundo, com uma área de placas coletoras de ym
2
, 
demorou 6 horas para aumentar t
o
C a temperatura de 510 litros 
de água. Admitindo que os dois coletores foram instalados nas 
mesmas condições de insolação, determine o valor de y. 
RESP.: 
1º Aquecedor 6,4m2 ___ 8,5h ___ 272 
2º Aquecedor ym2 ___ 6h ___ 510 
Como todos as relações são diretamente proporcionais tem-se; 
 
 
 = 
 
 
 . 
 
 
 
y 8,5 
 
 
Pelo menos uma delas adquirir a doença