PARTE 2

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CURSO DE MECÂNICA DOS SÓLIDOS II 2° TRIMESTRE DE 2012 PROF. CLÁUDIO G. S. BAUTZER DOS SANTOS
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CURSO DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 1° SEMESTRE DE 20012 PROF. CLÁUDIO G. S. BAUTZER DOS SANTOS
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
 6 – CISALHAMENTO TRANSVERSAL :
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 6 – CISALHAMENTO TRANSVERSAL :
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 6 – CISALHAMENTO TRANSVERSAL :
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 6 – CISALHAMENTO TRANSVERSAL :
mas
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
 6 – FÓRMULA DO CISALHAMENTO :
Tensão de cisalhamento no ponto localizado a uma distância y’ do eixo
 neutro do elemento, supõe-se que é constante e média.
Força Cortante determinada pelo Método das Seções.
Momento de Inércia de toda a área da seção transversal.
Largura da área da seção transversal no ponto que 
deve ser determinada.
onde A’ é a parte superior (ou inferior) da
área da seção transversal do elemento (onde t é medido) e 
é a distância até o centróide de A’.
MOMENTO ESTÁTICO =
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 6 – CISALHAMENTO TRANSVERSAL :
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
 7 – TENSÕES DE CISALHAMENTO EM VIGAS :
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7 – TENSÕES DE CISALHAMENTO EM VIGAS :
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7 – TENSÕES DE CISALHAMENTO EM VIGAS :
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7 – TENSÕES DE CISALHAMENTO EM VIGAS :
EX: A viga mostrada abaixo é feita de madeira e está submetida a uma força
 cortante resultante interna de V=3kip. Determinar a tensão de cisalhamento
no ponto P e Calcular a tensão de cisalhamento máxima na viga. 
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7 – TENSÕES DE CISALHAMENTO EM VIGAS :
Parte a) - Cálculo do momento de Inércia da seção: 
- Traça-se uma reta horizontal pelo ponto P da seção delimita-se uma área 
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7 – TENSÕES DE CISALHAMENTO EM VIGAS :
Parte b) Cálculo da tensão de cisalhamento máxima:
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EXERCÍCIOS: Cisalhamento Tranversal e Flambagem
1 – A viga AB é constituida por três peças coladas umas às outras
E está submetida ao carregamento indicado, que atua em seu plano de simetria.
Sabendo-se que a largura de cada junta colada é de 20 mm, determinar a tensão 
de cisalhamento média na seção n-n da viga. O esquema indica a localização do 
centróide da seção tranversal,e o momento de inércia da seção é I=8,63e-6 
A tensão de cisalhamento deve ser calculada nas juntas coladas.
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CENTRÓIDES DE FIGURAS PLANAS 
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CENTRÓIDES DE FIGURAS PLANAS
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MOMENTOS DE INÉRCIA – FIGURAS PLANAS 
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7 – TENSÕES DE CISALHAMENTO EM VIGAS :
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CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
1 - CRITÉRIO DA TENSÃO NORMAL MÁXIMA
Depois de termos determinado as tensões principais
quando for dado um estado de tensão em um ponto,
designarmos a maior tensão dessas três tensões 
como 
Então tem-se :
A teoria da tensão normal máxima estabelece que a falha ocorrerá sempre que 
ou
onde
= limite de escoamento
= limite de resistência do material
 (ruptura)
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CRITÉRIO DA TENSÃO NORMAL MÁXIMA 
 PARA TENSÕES BIAXIAS – PREVISÃO 
Como
Falha por escoamento ocorre sempre que:
ou
Falha por ruptura ocorre sempre que:
ou
REGIÃO SEGURA: QUADRANTES I e III
REGIÃO INSEGURA: QUADRANTES II e IV
Fator de Segurança n : Define-se a margem de segurança com este fator.
Critério de Falha 
por escoamento
Critério de Falha 
 por ruptura
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2 - CRITÉRIO DA TENSÃO CISALHANTE MÁXIMA
É usada somente para a previsão do escoamento e, portanto só 
se aplica para materiais dúcteis. 
A teoria da tensão cisalhante máxima estabelece que o escoamento começa sempre a tensão cisalhante máxima torna-se igual à tensão máxima cisalhante resultante quando o corpo está sendo tracionado com uma tensão em que inicia o escoamento. 
Nesta teoria a falha por escoamento ocorre 
sempre que:
= limite de escoamento
à tração
Esta teoria então prevê que o limite de escoamento ao cisalhamento 
seja a metade do limite de escoamento à tração : 
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Fator de Segurança n (margem de segurança) :
GRÁFICO DA TENSÃO NORMAL MÁXIMA 
 PARA TENSÕES BIAXIAS
Observa-se que o gráfico é o mesmo da teoria da tensão máxima quando 
as duas tensões principais têm o mesmo sinal! 
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CRITÉRIO DA TENSÃO NORMAL MÁXIMA 
 PARA TENSÕES TRIAXIAS
É A MAIOR DESTAS TENSÕES DE CISALHAMENTO
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 3 – CRITÉRIO DA TEORIA DA ENERGIA DE DISTORÇÃO 
Teoria da Energia de Cisalhamento 
Teoria de VON MISES - HENCKY
♦ É a melhor teoria para definir o início do escoamento de materiais dúcteis.
♦ Observou-se que os materiais dúcteis tensionados hidrostaticamente (tração 
ou compressão iguais) possuiam limites de escoamento muito acima dos valores 
dados pelos testes de tração.
♦ Postulou-se que o escoamento não era um simples fenômeno de tração ou
 compressão, mas ao contrário, era relacionado de algum modo à distorção angular 
 do elemento tensionado.
ENERGIA TOTAL 
DE DEFORMAÇÃO
ENERGIA PRODUZ
VARIAÇÃO DE
VOLUME
ENERGIA QUE PRODUZ
DISTORÇÃO ANGULAR
 
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TEORIA DE VON MISES - HENCKY
Para um cubo unitário o trabalho realizado em qualquer uma das direções principais:
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Definido-se uma tensão média
TEORIA DE VON MISES - HENCKY
A Energia Total de Deformação :
e substituindo em (I)
(I)
Obtem-se a quantidade de energia que produz somente variação de volume:
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TEORIA DE VON MISES - HENCKY
Substituindo 
na expressão de 
Para obter-se a energia de distorção faz-se:
Note que se 
então
Para tração simples
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TEORIA DE VON MISES - HENCKY
Obtém-se o critério de VON MISES igualando as expressões da 
energia de distorção:
Quando
as tensões são biaxias tem-se:
Para a torção pura onde tem-se:
então
Limite de escoamento 
ao cisalhamento
Limite de escoamento previsto 
pela tensão cisalhante máxima
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TEORIA DE VON MISES - HENCKY
Para fins de análise é conveniente definir-se a tensão de VON MISES 
como:
Então prevê-se a falha por escoamento por meio da energia de distorção 
sempre que:
De modo semelhante, prevê-se a segurança por :
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 FLAMBAGEM DE COLUNAS ELÁSTICAS
Condições :
P está centrada, aplicada na linha de centro longitudinal.
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MODELO ESTRUTURAL SIMPLIFICADO
- DUAS BARRAS RÍGIDAS AC E CB 
LIGADAS EM C POR UM PINO 
E UMA DE TORÇÃO DE CONSTANTE 
DE RIGIDEZ K.
- P CARGA CENTRADA E ALINHADA 
COM A LINHA DE CENTRO DAS BARRAS.
 COEFICIENTE DE ATRITO NULO NA
 APLICAÇÃO DA CARGA P. 
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MF CARGA P = MT MOLA
PERDA DA CONDIÇÃO DE ESTABILIDADE
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PERDA DA CONDIÇÃO DE ESTABILIDADE
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FÓRMULA DE EULER PARA COLUNAS COM EXTREMIDADES
ARTICULADAS
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Equação Diferencial de segunda ordem,
homogênea e com coeficientes constantes
Equação que descreve o movimento harmonico simples (MHS) exceto pela variável independente t (tempo) trocada pela variável x (coordenada).
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A solução geral:
pelas condições de contorno nos pontos A e B do problema: 
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Para ocorrer esta condição:
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Portanto o menor valor de P é para n=1
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Se substituirmos 
 na equação 
 se obtém:
 e substituindo na expressão da solução geral 
 encontra-se para B = 0,
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O valor da tensão crítica corresponde à carga crítica:
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Na equação 
o termo
índice de esbeltez da coluna
é chamado de
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Extremidade A – livre e Extremidade B - engastada
Le – comprimento efetivo 
 de flamagem
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é chamado de
índice efetivo de esbeltez da coluna
CASO I - Considerando em seguida uma coluna com as duas extremidades A e B engastadas e que suporta a força P de compressão.
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A coluna, seu carregamento e os apoios são simétricos :
 Cortante em C é nula.
- Componentes horizontais das reações nos apoios A e B são nulas.
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- Restrições das partes AC e BC são idênticas.
- Partes AC e BC devem ser siméticas com relação aos pontoe D e E respectivamente
- Pontos D e E são pontos de Inflexão
e
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Sabe-se que os momentos fletores nas extremidades de uma 
coluna articulada deve ser zero, pode-se dizer a parte DE tem o mesmo 
comportamento de uma coluna biarticulada.
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Assim pode-se concluir que o comprimento de flambagem 
de uma coluna com as duas extremidades engastadas é:
CASO II – Coluna com uma extremidade engastada B e uma extremidade 
 articulada A que suporta a carga P de compressão.
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DETERMINAÇÃO O COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM :
Carga V é estáticamente indeterminada e analisando só a parte AQ :
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SOLUÇÃO GERAL = SOLUÇÃO PARTICULAR + SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO
SOLUÇÃO PARTICULAR = 
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Substituindo a expressão de P
SOLUÇÃO GERAL :
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DETERMINAÇÃO O COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM :
Dividindo-se :
O menor valor o qual verifica a equação acima é : (pL) = 4,4934
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DETERMINAÇÃO O COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM :
Portanto o valor do comprimento efetivo de falambagem de uma coluna com
Umaextremidade engastada e outra articulada é : 
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COMPRIMENTOS DE FLAMBAGENS
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EXERCÍCIOS: Cisalhamento Tranversal e Flambagem
1 – A viga AB é constituida por três peças coladas umas às outras
E está submetida ao carregamento indicado, que atua em seu plano de simetria.
Sabendo-se que a largura de cada junta colada é de 20 mm, determinar a tensão 
de cisalhamento média na seção n-n da viga. O esquema indica a localização do 
centróide da seção tranversal,e o momento de inércia da seção é I=8,63e-6 
A tensão de cisalhamento deve ser calculada nas juntas coladas.
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CENTRÓIDES DE FIGURAS PLANAS 
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CENTRÓIDES DE FIGURAS PLANAS
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MOMENTOS DE INÉRCIA – FIGURAS PLANAS 
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