Circuitos Complexos e Amplificadores Operacionais

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Aula 3
Circuitos Complexos via Método das Malhas
1. Substituir todos os valores dos elementos passivos por suas impedâncias.
2. Substituir todas as fontes e todas as variáveis no domínio do tempo pelas respectivas transformadas 
de Laplace
3. Arbitrar um sentido para a corrente do circuito transformado em cada malha.
4. Escrever a lei de Kirchhoff das tensões ao longo de cada malha.
5 Definir as variáveis de:
- Entrada
- Saída
- V. Intermediárias
6. Resolver o sistema de equações em termos da saída.
7. Eliminar as V. Intermediárias e elaborar a função de transferência.
Exemplo 2.10
Função de transferência — múltiplas malhas
Ao longo da Malha 1, onde circula I1(s),
Ao longo da Malha 2, onde circula I2(s),
A V. Intermediária I1(s) deve ser eliminada:
Podemos usar a regra de Cramer (ou qualquer outro método para resolver sistemas de 
equações) para resolver a Eq. (2.80) em termos de I2(s)
Problema Dado o circuito da Fig. 
2.6(a), 
obter a função de transferência, 
I2(s)/V(s)
Solução: seguindo os passos 
acima:
Elaborando a função de transferência, G(s), resulta
Antes de deixar o exemplo, observamos a ocorrência de um padrão ilustrado em primeira mão pela 
Eq. (2.72). A forma tomada pela Eq. (2.80) é
(2.83a)
(2.83b)
Circuitos Complexos via Método dos Nós
No exemplo anterior, escrevemos as equações de malha usando a lei de Kirchhoff definamos primeiro 
admitância, Y(s), como o inverso da impedância, ou seja,
(2.84)
Exemplo 2.11
Função de transferência — nós múltiplos
Problema Obter a função de transferência, VC(s)/V(s), para o circuito na Fig. 2.6(b). Usar o método 
dos nós.
Solução Neste problema, somamos correntes nos nós em vez de somar tensões ao longo das 
malhas. Com base na Fig. 2.6(b) as somas das correntes que saem dos nós designados por VL (s) e 
VC (s) são, respectivamente,
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Expressando as resistências como condutâncias, G1 = 1 /R1 e G2 = 1/R2
obtemos:
Observe que VL (s) é uma V. Intermediária. Eliminando VL (s) obtemos a função de 
transferência,
Técnica para Solução de Problemas
Repetição de um padrão nas equações que podemos usar a nosso favor.
Exemplo 2.13
Equações de malha via inspeção
Problema Escrever, mas não resolver, as equações de malha do circuito mostrado na Fig. 2.9.
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Solução A equação para a Malha 1 terá a seguinte forma:
(2.91)
De modo semelhante, as Malhas 2 e 3 são, respectivamente.
(2.92)
(2.93)
Substituindo os valores da Fig. 2.9 nas Eqs. (2.91) a (2.93), resulta
que pode ser resolvida simultaneamente para qualquer função de transferência desejada, por exemplo, 
I3(s)/V(s).
Amplificadores Operacionais
Um amplificador operacional, esboçado na Fig. 2.10(a), é um amplificador eletrônico usado como 
bloco construtivo básico para implementar funções de transferência. Possui as seguintes 
características:
1. Entrada diferencial, v2(t) — v1(t)
2. Elevada impedância de entrada, Zi = � (ideal)
3. Baixa impedância de saída, Zo = 0 (ideal)
4. Elevado ganho de amplificação, A = � (ideal)
A saída, vo(t), é dada por
(2.95)
Amplificador Operacional Inversor
Para o amplificador operacional inversor, 
temos (entrada v1(t) ligada à terra)
função de transferência do amplificador 
operacional inversor
(2.97)
(2.96)
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8 Exemplo 2.14
Função de transferência — circuito com amplificador operacional
Problema Obter a função de transferência, Vo(s)/Vi(s), para o circuito dado na Fig. 2.11.
Solução A função de transferência do circuito amplificador operacional é dada pela Eq. (2.97). Como 
as admitâncias de componentes em paralelo se somam, Z1(s) é o inverso da soma das admitâncias, 
ou seja,
(2.98)
Para Z2(s), as impedâncias se somam, ou seja,
(2.99)
Substituindo as Eqs. (2.98) e (2.99) na Eq. (2.97) e simplificando, obtemos
(2.100)
O circuito resultante é chamado controlador PID e pode ser usado para melhorar o desempenho 
de um sistema de controle. Exploramos esta possibilidade mais adiante no Cap. 9.
Amplificador Operacional Não-inversor
Um outro circuito que pode ser analisado para se obter a função de transferência é o circuito amplificador 
operacional não-inversor mostrado na Fig. 2.12. Vamos agora deduzir a função de transferência. Vemos 
que
Vo(s) = A(Vi(s) - V1(s)) (2.101)
Porém, usando divisão de tensão,
(2102)
Substituindo a Eq. (2.102) na Eq. (2.101), rearrumando e simplificando, obtemos
(2.103)
Para valores elevados de A, despreza-se a unidade no denominador e a Eq. (2.103) se torna
(2.104)
Função de transferência — circuito amplificador operacional não-inversor
Problema Obter a função de transferência, Vo(s)/ Vi(s), para o circuito dado na Fig. 2.13.
Solução Obtemos cada uma das funções impedância, Z1(s), Z2(s) , e em seguida as substituímos 
na Eq. (2.104). Assim,
(2.105)
(2.106)
Substituindo as Eqs. (2.105) e (2.106) na Eq. (2.104) resulta
(2.107)