Elipse_Aula

Prévia do material em texto

ELIPSES
Elipse e´ o conjunto todos os pontos P (x, y) de um plano cuja soma das distaˆncias a dois pontos fixos, F1 e
F2, desse plano e´ constante (2a). A equac¸a˜o geral de uma elipse e´ ax2 + by2 + cx+ dy + f = 0.
ELEMENTOS da elipse
Centro: C (h, k)
Ve´rtices: A1, A2, B1 e B2
medida do eixo maior: 2a
medida do eixo menor: 2b
Focos: F1 e F2
Distaˆncia focal: 2c
onde a2 = b2 + c2 ou c2 = a2 − b2
Excentricidade: e =
c
a
(0 < e < 1)
CASO 1: o eixo maior e´ paralelo ao eixo Ox (como na figura acima)
Equac¸a˜o padra˜o:
(x− h)2
a2
+
(y − k)2
b2
= 1
Equac¸a˜o reduzida:
(x′)2
a2
+
(y′)2
b2
= 1
Equac¸o˜es parame´tricas:
{
x = h+ a cos θ
y = k + bsenθ
(0 ≤ θ ≤ 2pi)
Ve´rtices: A (h± a, k) e B (h, k ± b)
Focos: F (h± c, k)
CASO 2: o eixo maior e´ paralelo ao eixo Oy
Equac¸a˜o padra˜o:
(x− h)2
b2
+
(y − k)2
a2
= 1
Equac¸a˜o reduzida:
(x′)2
b2
+
(y′)2
a2
= 1
Equac¸o˜es parame´tricas:
{
x = h+ b cos θ
y = k + asenθ
(0 ≤ θ ≤ 2pi)
Ve´rtices: A (h, k ± a) e B (h± b, k)
Focos: F (h, k ± c)
1
Exemplo 1 Equac¸a˜o geral da elipse: 16x2 + 25y2 − 400 = 0
16x2
400
+
25y2
400
=
400
400
= 1
x2
400
16
+
y2
400
25
= 1
x2
25
+
y2
16
= 1
x2
52
+
y2
42
= 1
(Equac¸a˜o reduzida)
Centro: C (0, 0)
Semi-eixo maior: a = 5
Semi-eixo menor: b = 4
Ve´rtices: A (±5, 0) e B (0,±4)
c2 = a2 − b2 = 25− 16 = 9⇒ c = 3
Focos: F (±3, 0)
Distaˆncia focal: 2c = 6
Excentricidade: e =
c
a
=
3
5
Equac¸o˜es parame´tricas:
{
x = 5 cos θ
y = 4senθ
Exemplo 2 Equac¸a˜o geral da elipse: 9x2 + 4y2 − 54x+ 16y + 61 = 0
9x2 − 54x+ 4y2 + 16y + 61 = 0 =⇒ 9 (x2 − 6x)+ 4 (y2 + 4y)+ 61 = 0
=⇒ 9
(
(x− 3)2 − 9
)
+ 4
(
(y + 2)2 − 4
)
+ 61 = 0 =⇒ 9 (x− 3)2 − 81 + 4 (y + 2)2 − 16 + 61 = 0
=⇒ 9 (x− 3)2 + 4 (y + 2)2 − 36 = 0 =⇒ 9 (x− 3)2 + 4 (y + 2)2 = 36
=⇒ 9 (x− 3)
2
36
+
4 (y + 2)2
36
=
36
36
=⇒ (x− 3)
2
4
+
(y + 2)2
9
= 1 =⇒ (x− 3)
2
22
+
(y + 2)2
32
= 1 (padra˜o)
Centro: C (3,−2)
Semi-eixo maior: a = 3
Semi-eixo menor: b = 2
Ve´rtices: A (3,−2± 3)⇒ A1 (3,−5) e A2 (3, 1)
B (3± 2,−2)⇒ B1 (1,−2) e B2 (5,−2)
c2 = a2 − b2 = 9− 4 = 5⇒ c = √5
Focos: F
(
3,−2±√5)
Distaˆncia focal: 2c = 2
√
5
Excentricidade: e =
c
a
=
2
√
5
3
Equac¸o˜es parame´tricas:
{
x = 3 + 2 cos θ
y = −2 + 3senθ
2
Exemplo 3 Equac¸a˜o geral: x2 + y2 − 9 = 0
x2
9
+
y2
9
= 1 (forma padra˜o)
Centro: C (0, 0)
Semi-eixos: a = b = 3
Ve´rtices: A (±3, 0) e B (0,±3)
c2 = a2 − b2 = 9− 9 = 0
Excentricidade: e = c/a = 0/3 = 0
Focos: F (±3, 0)
Distaˆncia focal: 2c = 6
Equac¸o˜es parame´tricas:
{
x = 3 cos θ
y = 3senθ
EXERC´ıCIOS
Exerc´ıcio 1 (Pa´gina 191 - 50) Um sate´lite de o´rbitra el´ıptica e excentricidade
1
3
viaja ao redor de um planeta
situado num dos focos da elipse. Sabendo que a distaˆncia mais pro´xima do sate´lite ao planeta e´ de 300 km, calcular
a maior distaˆncia.
Exerc´ıcio 2 (Pa´gina 189 - Em cada um dos problemas de 1 a 10...) Esboc¸ar o gra´fico e determinar os ve´rtices
A1 e A2, os focos e a excentricidade das elipses dadas:
1)
x2
25
+
y2
4
= 1 6) 4x2 + 9y2 = 25 7) 4x2 + y2 = 1
Exerc´ıcio 3 (Pa´gina 189 - Em cada um dos problemas de 12 a 19...) Deterrminar uma equac¸a˜o (padra˜o) da
elipse que satisfac¸a as condic¸o˜es dadas. Esboc¸ar o gra´fico.
13) focos F (0,±5) e eixo menor igual a 10
14) focos F (±3, 0) e ve´rtices A (±4, 0)
16) ve´rtices A (±10, 0) e excentricidade 1
2
19) centro (0, 0), focos no eixo dos x, e =
2
3
, passando por P
(
2,−5
3
)
Exerc´ıcio 4 (Pa´gina 189 - Em cada um dos problemas de 20 a 27...) Obter uma equac¸a˜o (padra˜o) da elipse que
satisfac¸a as condic¸o˜es dadas.
22) focos F1 (−1,−3) e F2 (−1, 5) e excentricidade 23
24) ve´rtices A1 (−7, 2) e A2 (−1, 2) e eixo menor igual a 2
27) centro C (2,−1), tangente aos eixos coordenados e eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados
Exerc´ıcio 5 (Pa´gina 190 - Em cada um dos problemas de 28 a 33...) Determinar a equac¸a˜o reduzida, o centro,
os ve´rtices A1 e A2, os focos e a excentricidade. Esboc¸ar o gra´fico.
29) 25x2 + 16y2 + 50x+ 64y − 311 = 0 31) 16x2 + y2 + 64x− 4y + 52 = 0
Exerc´ıcio 6 (Pa´gina190 - Nos problemas de 34 a 39...) Obter equac¸o˜es parame´tricas da elipse da equac¸a˜o dada.
35) x2 + y2 = 36 37) 9 (x− 1)2 + 25 (y + 1)2 = 225 39) 4x2 + 9y2 − 54y + 45 = 0
3
Exerc´ıcio 7 (Pa´gina190 - Nos problemas de 40 a 43...) Obter uma equac¸a˜o geral da elipse dada por equac¸o˜es
parame´tricas. 42)
{
x = 2 + 4 cos θ
y = 3 + 2senθ
43)
{
x =
√
2 cos θ
y = −1 + senθ
Exerc´ıcio 8 (Pa´gina 190 - 44) Determinar os focos da elipse de equac¸o˜es x = 4 + 3 cos t e y = −2 + 5sent.
Exerc´ıcio 9 (Pa´gina 190 - 45) Determinar uma equac¸a˜o (geral) da curva gerada por um ponto que se move, de
modo que a soma de suas distaˆncias ao pontos (4,−1) e (4, 7) seja sempre 12.
Exerc´ıcio 10 (Pa´gina 191 - 48) Encontrar uma equac¸a˜o (geral) da elipse de centro (0, 0), eixo maior sobre Ox,
excentricidade
1
2
e que passa por (2, 3).
Exerc´ıcio 11 (Pa´gina 191 - 49) Determinar uma equac¸a˜o (geral) das circunfereˆncias inscrita e circunscrita a`
elipse de equac¸a˜o dada. a) 16x2 + y2 − 16 = 0 b) 4x2 + 9y2 − 32x+ 36y + 64 = 0
RESPOSTAS
50) 600 km
1) A (±5, 0) F (±√21, 0) e = √21
5
6) A
(
±5
2
, 0
)
F
(
±5
√
5
6
, 0
)
e =
√
5
3
7) A (0,±1/2) F (0,±√3/2) e = √3/2
.
13)
x2
25
+
y2
50
= 1 14)
x2
16
+
y2
7
= 1 16)
x2
100
+
y2
75
= 1 19)
x2
9
+
y2
5
= 1
.
22)
(x+ 1)2
36
+
(y − 1)2
20
= 1 24)
(x+ 4)2
9
+
(y − 2)2
1
= 1 27)
(x− 2)2
4
+
(y + 1)2
1
= 1
.
29)
(x′)2
16
+
(y′)2
25
= 1 C (−1,−2) A1 (1,−7) e A2 (1, 3) F1 (−1,−5) e F2 (−1, 1) e = 35
31) (x′)2 + (y′)
2
16
= 1 C (−2, 2) A1 (−2,−2) e A2 (−2, 6) F
(−2, 2±√15) e = √15
4
.
35)
{
x = 6 cos θ
y = 6senθ
37)
{
x = 1 + 5 cos θ
y = −1 + 3senθ 39)
{
x = 3 cos θ
y = 3 + 2senθ
.
42) x2 + 4y2 − 4x− 24y + 24 = 0 43) x2 + 2y2 + 4y = 0
.
44) F1 (4,−6) e F2 (4, 2)
45) 9x2 + 5y2 + 72x− 30y + 9 = 0
48) 3x2 + 4y2 − 48 = 0
49) a) x2 + y2 − 1 = 0 x2 + y2 − 16 = 0
b) x2 + y2 − 8x+ 4y + 16 = 0 x2 + y2 − 8x+ 4y + 11 = 0
4