LEIS FUNDAMENTAIS Continuidade

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Mecânica dos Fluidos - ME5320/NM6320 Análise Diferencial 
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Prof.Rossetti 
CONSERVAÇÃO DA MASSA 
 
Equação da Continuidade na Forma Diferencial 
 O princípio da conservação da massa adequado a abordagem de volume de 
controle (VC) pode ser formulado do seguinte modo: 
 
𝜕𝜌
𝜕𝑡𝑉𝐶
𝑑𝑉 + 𝜌𝑉 
𝑆𝐶
. 𝑛 𝑑𝐴 = 0 
 A primeira integral representa a taxa de variação temporal da massa contida no VC 
e a segunda integral representa o fluxo líquido de massa identificado na superfície de 
controle (SC). Esta equação é válida para volumes de controle fixos e móveis, desde que o 
vetor velocidade seja a velocidade absoluta (observador fixo). Quando houver entradas e 
saídas bem definidas a equação pode ser reescrita como: 
 
𝜕𝜌
𝜕𝑡𝑉𝐶
𝑑𝑉 = 𝑚 
𝑒
− 𝑚 
𝑠
 
 Ou seja, a taxa de variação total da massa dentro do 
volume de controle é igual à taxa na qual a massa flui para 
dentro do volume de controle, menos a taxa na qual a massa 
flui para fora do volume de controle. 
 Para dedução da equação da continuidade na forma 
diferencial, em coordenadas retangulares, o volume de 
controle escolhido será um cubo infinitesimal com os lados de 
comprimento dx, dy e dz. 
 A massa específica do fluido no centro do VC é ρ e 
os componentes do vetor velocidade do escoamento, no 
mesmo ponto, são u, v e w. 
 As vazões em massa nas SC do elemento serão 
avaliadas separadamente, ou seja, será tratada 
individualmente os escoamentos nas direções x, y e z. 
Para avaliar as propriedades em cada uma das seis faces 
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da SC, usaremos uma expansão por séries de Taylor em torno do ponto P. Por exemplo, a 
face direita está a uma distância dx/2 do centro do VC na direção x, a massa específica na 
face direita será: 
 𝜌 𝑥+𝑑𝑥 /2 = 𝜌 + 
𝜕𝜌
𝜕𝑥
 
𝑑𝑥
2
+ 
𝜕2𝜌
𝜕𝑥2
 
1
2!
 
𝑑𝑥
2
 
2
+ ⋯ 
 Desprezando os termos de segunda ordem, terceira ordem e posteriores, a massa 
específica na face direita será: 
 𝜌 𝑥+𝑑𝑥 /2 = 𝜌 + 
𝜕𝜌
𝜕𝑥
 
𝑑𝑥
2
 
analogamente, a velocidade na face direita será: 
 𝑢 𝑥+𝑑𝑥/2 = 𝑢 + 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
 
𝑑𝑥
2
 
 A massa específica e a velocidade na face esquerda são: 
 𝜌 𝑥−𝑑𝑥/2 = 𝜌 − 
𝜕𝜌
𝜕𝑥
 
𝑑𝑥
2
 
 𝑢 𝑥−𝑑𝑥 /2 = 𝑢 − 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
 
𝑑𝑥
2
 
 As vazões em massa por unidade de área (𝜌𝑢) nas faces direita e esquerda são: 
 𝜌𝑢 𝑥+𝑑𝑥 /2 = 𝜌 + 
𝜕𝜌
𝜕𝑥
 
𝑑𝑥
2
 𝑢 + 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
 
𝑑𝑥
2
 = 𝜌𝑢 + 𝑢 
𝜕𝜌
𝜕𝑥
 + 𝜌 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
 
𝑑𝑥
2
= 𝜌𝑢 +
𝜕 𝜌𝑢 
𝜕𝑥
𝑑𝑥
2
 
 𝜌𝑢 𝑥−𝑑𝑥 /2 = 𝜌 − 
𝜕𝜌
𝜕𝑥
 
𝑑𝑥
2
 𝑢 − 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
 
𝑑𝑥
2
 = 𝜌𝑢 − 𝑢 
𝜕𝜌
𝜕𝑥
 + 𝜌 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
 
𝑑𝑥
2
= 𝜌𝑢 −
𝜕 𝜌𝑢 
𝜕𝑥
𝑑𝑥
2
 
 Quando multiplicamos as expressões anteriores pela área (dy.dz) obtemos as 
vazões em massa de fluido nas faces direita e esquerda do elemento. Portanto, as vazões 
em massa que entra e sai através 
das faces direita e esquerda do 
elemento, ou seja, a vazão em 
massa líquida na direção x do 
elemento será: 
vazão massa líquidadireção x = 𝜌𝑢 +
𝜕 𝜌𝑢 
𝜕𝑥
𝑑𝑥
2
 𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝜌𝑢 −
𝜕 𝜌𝑢 
𝜕𝑥
𝑑𝑥
2
 𝑑𝑦𝑑𝑧 =
𝜕 𝜌𝑢 
𝜕𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 
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 Consideramos apenas o escoamento na direção x para simplificar a análise mas, 
normalmente, temos escoamentos nas direções y e z do elemento. Para avaliar as vazões 
em massa que entram e saem 
do VC, devemos avaliar a 
vazão em massa através de 
cada uma das seis faces do 
VC. As componentes da 
velocidade em cada uma das 
faces foram admitidas como 
estando nos sentidos positivos 
dos eixos das coordenadas. 
 Vazão em massa para dentro do VC: 
 𝑚 
𝑒
≅ 𝜌𝑢 −
𝜕 𝜌𝑢 
𝜕𝑥
𝑑𝑥
2
 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝜌𝑣 −
𝜕 𝜌𝑣 
𝜕𝑦
𝑑𝑦
2
 𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝜌𝑤 −
𝜕 𝜌𝑤 
𝜕𝑧
𝑑𝑧
2
 𝑑𝑥𝑑𝑦 
 Vazão em massa para fora do VC: 
 𝑚 
𝑠
≅ 𝜌𝑢 +
𝜕 𝜌𝑢 
𝜕𝑥
𝑑𝑥
2
 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝜌𝑣 +
𝜕 𝜌𝑣 
𝜕𝑦
𝑑𝑦
2
 𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝜌𝑤 +
𝜕 𝜌𝑤 
𝜕𝑧
𝑑𝑧
2
 𝑑𝑥𝑑𝑦 
 
 A massa dentro do VC, em qualquer instante, é o produto da massa específica pelo 
volume. Assim, à medida que o VC encolhe para um ponto, a taxa de variação da massa 
dentro do VC é dada por: 
 
𝜕𝜌
𝜕𝑡𝑉𝐶
𝑑𝑉 ≈
𝜕𝜌
𝜕𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 
 Sendo: 
 
𝜕𝜌
𝜕𝑡𝑉𝐶
𝑑𝑉 = 𝑚 
𝑒
− 𝑚 
𝑠
 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜌𝑢 −
𝜕 𝜌𝑢 
𝜕𝑥
𝑑𝑥
2
 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝜌𝑣 −
𝜕 𝜌𝑣 
𝜕𝑦
𝑑𝑦
2
 𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝜌𝑤 −
𝜕 𝜌𝑤 
𝜕𝑧
𝑑𝑧
2
 𝑑𝑥𝑑𝑦 
− 𝜌𝑢 +
𝜕 𝜌𝑢 
𝜕𝑥
𝑑𝑥
2
 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝜌𝑣 +
𝜕 𝜌𝑣 
𝜕𝑦
𝑑𝑦
2
 𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝜌𝑤 +
𝜕 𝜌𝑤 
𝜕𝑧
𝑑𝑧
2
 𝑑𝑥𝑑𝑦 
 
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 Desprezando os termos de segunda ordem e simplificando, tem-se: 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = −
𝜕 𝜌𝑢 
𝜕𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 −
𝜕 𝜌𝑣 
𝜕𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 −
𝜕 𝜌𝑤 
𝜕𝑧
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 
 Dividindo pelo volume do elemento (dx.dy.dz), obtemos a equação diferencial para 
conservação da massa em coordenadas cartesianas, também chamada de equação 
diferencial da continuidade: 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
𝜕 𝜌𝑢 
𝜕𝑥
+
𝜕 𝜌𝑣 
𝜕𝑦
+
𝜕 𝜌𝑤 
𝜕𝑧
= 0 
 A equação da continuidade é uma das equações fundamentais da mecânica dos 
fluidos. Note que ela é válida tanto para os escoamentos incompressíveis quanto para os 
compressíveis. 
 É comum utilizar a notação vetorial para expressar a equação da continuidade, 
sendo o operador vetorial, ∇, em coordenadas retangulares dado por ∇=
𝜕( )
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕( )
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕( )
𝜕𝑧
𝑘 , 
então os termos 
𝜕 𝜌𝑢 
𝜕𝑥
+
𝜕 𝜌𝑣 
𝜕𝑦
+
𝜕 𝜌𝑤 
𝜕𝑧
 da equação da continuidade podem ser escritos assim: 
𝜕 𝜌𝑢 
𝜕𝑥
+
𝜕 𝜌𝑣 
𝜕𝑦
+
𝜕 𝜌𝑤 
𝜕𝑧
= ∇.𝜌V (o operador del ∇ age sobre ρ e V ). 
 Então, a equação diferencial da continuidade pode ser escrita como: 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ ∇. 𝜌V = 0 
 Casos particulares 
 Escoamento compressível e regime permanente (𝜕𝜌 𝜕𝑡 = 0): 
∇.𝜌V = 0 
𝜕 𝜌𝑢 
𝜕𝑥
+
𝜕 𝜌𝑣 
𝜕𝑦
+
𝜕 𝜌𝑤 
𝜕𝑧
= 0 
 Escoamento incompressível (ρ=constante) : 
∇. V = 0 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 0 
 
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Exercícios 
1- Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de 
escoamento incompressível? 
a) 𝑢 = 𝑥 + 𝑦 ; 𝑣 = 𝑥 − 𝑦 
b) 𝑢 = 𝑥 + 2𝑦 ; 𝑣 = 𝑥2 − 𝑦2 
c) 𝑢 = 4𝑥 + 𝑦 ; 𝑣 = 𝑥 − 𝑦2 
d) 𝑢 = 𝑥𝑡 + 2𝑦 ; 𝑣 = 𝑥2 − 𝑦𝑡2 
e) 𝑢 = 𝑥𝑡2 ; 𝑣 = 𝑥𝑦𝑡 − 𝑦2 
f) 𝑢 = 2𝑥2 + 𝑦2 ; 𝑣 = 𝑥3 − 𝑥 𝑦2 − 2𝑦 
g) 𝑢 = 2𝑥𝑦 − 𝑥2 + 𝑦 ; 𝑣 = 2𝑥𝑦 − 𝑦2 + 𝑥2 
h) 𝑢 = 𝑥𝑡 + 2𝑦 ; 𝑣 = 𝑥𝑡2 − 𝑦𝑡 
i) 𝑢 = 𝑥 + 2𝑦 𝑥𝑡 ; 𝑣 = 2𝑥 − 𝑦 𝑦𝑡 
k) 𝑢 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧2 ; 𝑣 = 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 ; 𝑤 = 2𝑥𝑦 + 𝑦2 + 4 
l) 𝑢 = 𝑥𝑦𝑧𝑡 ; 𝑣 = −𝑥𝑦𝑧𝑡2 ; 𝑤 = 0,5𝑧2 𝑥𝑡2 − 𝑦𝑡 
m) 𝑢 = 𝑦2 + 2𝑥𝑧 ; 𝑣 = −2𝑦𝑧 + 𝑥2𝑦𝑧 ; 𝑤 = 0,5𝑥2𝑧2 + 𝑥3𝑦4 
 
2 - Para um escoamento bidimensional a componente y da velocidade é dada por 
 𝑣 = 𝑦2 − 2𝑥 + 2𝑦. Encontre uma possível componente x da velocidade (u) para o 
escoamento permanente incompressível. Quantas possíveis componentes x existem? Qual 
a mais simples componente x da velocidadepara esse campo de escoamento? 
 
3 - Para um escoamento bidimensional a componente x da velocidade é dada por 
 𝑢 = 2𝑥(𝑦 − 1) , onde x e y são medidos em metros. Encontre uma possível componente y 
da velocidade (u) para o escoamento permanente incompressível. 
 
 
 
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4 - Para um certo escoamento em regime permanente e bidimensional, a massa específica 
varia linearmente com a direção x, isto é, 𝜌 = 𝐴𝑥 , onde A é uma constante. Sendo a 
componente x da velocidade dada por 𝑢 = 𝑦 , determine uma possível componente y da 
velocidade (v) para o escoamento.