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CHAPTER 2
Sequeˆncias
1. Aula 25/8/2014: Sequeˆncias de Cauchy
Uma sequeˆncia e´ chamada de Cauchy se seus termos de ordem grande esta˜o
cada vez mais pro´ximos entre s´ı. A acuidade deste conceito e´ traduzida rigorosa-
mente pela seguinte sentenc¸a: Para cada � > 0 e´ poss´ıvel encontrar um ı´ndice n0
tal que |xn − xm| < � para ı´ndices m, n ≥ n0. As sequeˆncias de Cauchy carac-
terizam as sequeˆncias convergentes e nos da˜o crite´rios importantes para fazermos
construc¸o˜es matema´ticas. Veremos como isto aplica-se a construc¸a˜o da func¸a˜o ex-
ponencial na reta e no plano complexo. Desse modo podemos estabeler a equac¸a˜o de
Euler e assim mostrar o relacionamento que existe entre a exponencial e as func¸o˜es
trigonome´tricas. Primeiro vamos estabelecer a equivaleˆncia entre sequeˆncias con-
vergentes e de Cauchy. Depois aplicaremos este conceito na construc¸a˜o de func¸o˜es.
As squeˆncias convergentes possuem os seus valores grandes pro´ximos um dos
outros pois se acumulam em seu limite. Isto nos induz a deduzir que toda sequeˆncia
convergente e´ tambe´m uma sequeˆncia de Cauchy. Este fato e´ fa´cil de estabelecer.
A convergeˆncia nos garante que escolhido � > 0 e´ poss´ıvel encontrar um ı´ndice n0
tal que |xn − L| < �/2 para todo n ≥ n0 onde L = limxn. Se m,n ≥ n0 teremos
|xn − xm| = |xn − L− (xm − L)|(1)
≤ |xn − L|+ |xm − L|(2)
<
�
2
+
�
2
= �, m, n ≥ n0.(3)
Seria poss´ıvel existir uma sequeˆncia de Cauchy que na˜o e´ convergente? Veremos a
seguir que isto na˜o e´ poss´ıvel.
As sequeˆncias convergentes sa˜o sempre limitadas. Com efeito, se limxn = L
enta˜o (tomando � = 1) existe n0 tal que se n ≥ n0 teremos |xn − L| < 1. Segue-se
de
|xn|− |L| ≤ |xn − L| < 1, ou |xn| < |L|+ 1, n ≥ n0,
que o nu´mero C = max{|x1|, · · · , |xn0 |, |L| + 1} satisfaz |xn| ≤ C para todo n =
1, 2, · · · . As sequeˆncias de Cauchy tambe´m sa˜o limitadas. Basta tomar � = 1 e
encontrar n0 satisfazendo |xn − xm| < 1 para todo m,n ≥ n0. Tomando C =
max{|x1|, · · · , |xn0−1|, |xn)|+ 1} encontramos que
|xn| ≤ C n = 1, 2, · · ·
Vamos aprender um pouco mais sobre sequeˆncias limitadas. Isto nos ajudara´ a
entender melhor as sequeˆncias de Cauchy. Um valor de adereˆncia de uma sequeˆncia
(xn) e´ qualquer nu´mero a que e´ limite de uma subsequeˆncia. Por exemplo, se
xn = (−1)n + 1/n existem dois valores de adereˆncia que sa˜o 1 e −1. Sequeˆncias
ilimitadas podem na˜o ter valores de adereˆncia como mostra yn = n. Entretanto as
limitadas obrigatoriamente possuem valores de adereˆncia segundo veremos agora.
5
6 2. SEQUEˆNCIAS
Lema 1. Toda sequeˆncia limitada possui subsequeˆncia convergente, ou seja,
possui pelo menos um valor de adereˆncia.
Prova. Fixemos um nu´mero C > 0 tal que |xn| ≤ C para todo n ∈ N. SejaX o
conjunto dos k ∈ N tais que xn ≥ xk para todo n ≥ k. SeX e´ infinito enta˜o podemos
ordenar X = {n1 < n2 < · · · < nk < · · · } e a subsequeˆncia (xnk) e´ crescente e
limitada superiormente por C. Logo (xnk) converge para a = sup{xn1 , xn2 , · · · } e
a e´ um valor de adereˆncia. Caso X seja finito ou vazio podemos tomar um nu´mero
n0 tal que xn /∈ X para todo n ≥ n0. Portanto existe n1 > n0 tal que xn1 < xn0 .
Tambe´m existe n2 > n1 tal que xn2 < xn1 e assim por diante. A subsequeˆncia
obtida assim e´ decrescente e limitada inferiormente por −C, e portanto convergente.
Podemos concluir entaˆo que em todos os casos existe subsequeˆncia convergente e
pelo menos um valor de adreeˆncia. �
TEOREMA 1. Toda sequeˆncia de Cauchy formada por nu´meros reais (ou
complexos) e´ sempre convergente.
Prova. Ja´ sabemos que toda sequeˆncia (xn) de Cauchy e´ limitada e portanto
possui uma subsequeˆncia convergente limxnk = L. Escolhido � > 0 existe K0 tal
que se k ≥ k0 teremos
|xnk − L| < �/2, k ≥ k0
Sendo (xn) de Cauchy tambe´m existe um n0 tal que
|xn − xm| < �/2, m, n ≥ n0
. Fixemos um k ≥ k0 tal que nk ≥ n0 e fac¸amos m = nk. Enta˜o se n ≥ n0 obtemos
|xn − L| ≤ |xn − xnk |+ |xnk − L|
<
�
2
+
�
2
= � n ≥ n0.
Se (zn) e´ uma sequeˆncia de Cauchy em C escrevendo zn = xn + iyn obtemos duas
sequeˆncias reais (xn) e (yn). Como
max{|xn − xm|, |yn − ym|} ≤ |zn − zn| ≤ |xn − xm|+ |yn − ym|
segue-se que (zn) e´ de cauchy se e so´ se (xn) e (yn) tambe´m o sa˜o. Tomando o
limite em m no lado direito desta u´ltima desigualdade concluimos que se (zn) e´ de
Cauchy enta˜o lim zn = limxn + i lim yn. �
2. Aplicac¸a˜o: Existeˆncia de
�
aj
Consideremos uma srie
�
aj , por exemplo
�
1/n�, ou outra qualquer como�
λn, |λ| < 1, que ja´ apareceram em outras situac¸o˜es. Quando podemos dizer
que existe
�∞
j=0 aj? O que falamos antes foi que faz sentido dizer que o somato´rio
existe desda que exista o limite lim sn das somas parciais sn definidas por
sn =
n�
j=0
aj .
Precisamos de um crite´rio que nos garanta a existeˆncia deste limite. Observe que
se a se´rie de nu´meros positivos
� |aj | converge, ou equivalentemente, e´ limitada,
2. APLICAC¸A˜O: EXISTEˆNCIA DE
�
aj 7
enta˜o existe lim sn. Com efeito, tome um � > 0. A convergeˆncia de
� |aj | garante
a existeˆncia de um n0 tal que
∞�
j=n0
|aj | < �.
Enta˜o se m e n satisfazem n ≥ m ≥ n0 temos
|sn − sm| =
������
n�
j=0
aj −
m�
j=0
aj
������
=
������
n�
j=m+1
aj
������
≤
n�
j=m+1
|aj |
≤
∞�
j=n0
|aj |
≤ �, m, n ≥ n0
Portanto (sn) e´ de Cauchy e converge o que garante a existeˆncia do limite
lim sn =
∞�
j=0
aj .
As se´ries
�
aj tais que
� |aj | converge ou e´ limitado sa˜o cnamadas de se´ries ab-
solutamente convergentes. Ja´ sabemos que se 0 < λ < 1 enta˜o a se´rie
�
λn e´
convergente (absolutamente) e vale
∞�
j=0
λn =
1
1− λ .
Portanto podemos fazer comparac¸o˜es com esta se´rie para decidir quando
�
aj
existe.
Lema 2 (Crite´rio de Comparac¸a˜o). Seja
�
aj uma se´rie com a seguinte pro-
priedade: Existem C > 0, λ ∈ R, 0 < λ < 1 e n0 tais que |an| ≤ Cλn para todo
n ≥ n0. Enta˜o
�
aj converge absolutamente e existe
∞�
j=0
aj = lim
n�
j=0
aj .
8 2. SEQUEˆNCIAS
Prova. Admita que
�
aj tem a propriedade citada acima. Para n > n0
obtemos
n�
j=0
|aj | =
n0−1�
j=0
|aj |+
n�
j=n0
|aj |
≤
n0−1�
j=0
|aj |+ C
n�
j=n0
λj
≤
n0−1�
j=0
|aj |+ C
1− λ
o que garante a limitac¸a˜o de
� |aj | e por conseguinte a sua convergeˆncia. �
Teste da Raiz 1. A t´ıtulo de curiosidade apresentamos aqui o teste da raiz,
uma ferramenta que usamos para decidir quando uma se´rie e´ absolutamente con-
vergente. Na˜o usaremos este crite´rio no que vamos fazer mas me parece um bom
momento para ilustrar como trabalhamos com este assunto, a t´ıtulo de motivac¸a˜o.
Alguns certamente ira˜o precisar deste crite´rio para dominar algumas ferramentas
matemı´ticas. Dada uma sequeˆncia limitada (xn) definimos o seu limite superior
chamado de lim supxn como o maior dos seus valores de adereˆncia. Podemos en-
contrar o lim supxn do seguinte modo. Definimos uma outra sequeˆncia decrescente
(αn) por
αn := sup{xn, xn+1, xn+2, · · · }.
Observe que αn+1 ≤ αn, ou seja, e´ decrescente e e´ limitada pois xn ≥ C =
inf{xj |j = 1, 2, · · · }. Enta˜o (αn) e converge e
lim sup cn = limαn.
O leitor pode verificar facilmente que dado λ > lim supxn existem no ma´ximo um
nu´mero finito de ı´ndices n tais que xn ≥ λ. O seguinte crite´rio e´ conhecido como
teste da raiz.
Lema 3 (TESTE DA RAIZ). Dado a se´rie
�
aj e lim sup |an|1/n < 1 enta˜o�
aj converge absolutamente. Se lim sup |an|1/n > 1 a se´rie na˜o converge, ou seja,�
aj na˜o converge e na˜o faz sentido, na˜o define um nu´mero.
Prova. Sendo lim sup |an|1/n < 1 podemos tomar um nu´mero λ tal que lim sup |an|1/n <
λ < 1. Sabemos que existe um n0 tal que |an|1/n < λ para todo n ≥ n0 pois existem
no ma´ximo um nu´mero finito de valores acima de λ. Portanto
|an|1/n < λ ou |an| < λn, n ≥ n0.
Enta˜ose n ≥ n0 obtemos
n�
j=0
|aj | =
n0−1�
j=0
|aj |+
n�
j=n0
|aj |
≤
n0−1�
j=0
|aj |+
n�
j=n0
λn
≤
n0−1�
j=0
|aj |+ 1
1− λ
3. CONSTRUC¸A˜O DA FUNC¸A˜O EXPONENCIAL 9
o que garante a limitac¸a˜o e por conseguinte a converbeˆncia abdoluta da se´rie.
No caso em que lim sup |an|1/n > 1 existem infinitos termos ank tais que |ank | >
1 para todo k. Se supomos que
�
aj converge as somas parciais formara˜o uma
sequeˆncia de Cauchy. Tomando � = 1/2 deveria existir n0 tal que |sn − sm| < 1/2
para todo n,m ≥ n0. Escolhendo para cada n ≥ n0 + 1 o nu´mero m = n − 1
encontramos
|an| = |sn − sm| < 1/2, n ≥ n0 + 1,
o que e´ imposs´ıvel pois para n = nk > n0 temos |an| > 1. Portanto
�
aj na˜o
converge e na˜o define um nu´mero. �
3. Construc¸a˜o da Func¸a˜o Exponencial
3.1. Existeˆncia da Exponencial. Seja x ∈ R(ou x ∈ C) um nu´mero real(complexo).
Fixemos R ≥ 1 + |x| e um nu´mero inteiro n0 > 0 tal que λ = R/n0 < 1. Observe
que se n ≥ n0 teremos R/n ≤ λ. Enta˜o se n > n0 temos
n�
j=0
|x|j
j!
=
n0−1�
j=0
|x|j
j!
+
n�
j=n0
|x|j
j!
≤
n0−1�
j=0
Rj
j!
+
Rn0
n0!
�
1 +
R
n0 + 1
+ · · ·+ R
n−n0
(n0 + 1) · · · (n− 1)n
�
≤
n0−1�
j=0
Rj
j!
+
Rn0
n0!
�
1 + λ+ · · ·+ λn−n0�
≤
n0−1�
j=0
Rj
j!
+
Rn0
n0!(1− λ)
Portanto a se´rie
� |x|j/j! converge absolutamente e existe o limite que chamaremos
de E(x), ou seja, existe
E(x) :=
∞�
j=0
xj
j!
x ∈ R (ou C).
Precisamos de outra maneira de calcular a func¸a˜o E(x). Conseguimos isto com o
seguinte lema.
Lema 4. E(x) = lim
�
1 + xn
�n
Prova. Seja sn a soma partial de
�
xj/j!. Temos
sn = 1 + x+
x2
2!
+ · · ·+ x
n
n!
(1 +
x
n
)n = 1 + x+
x2
2!
(1− 1
n
) + · · ·+ x
n
n!
(1− 1
n
) · · · (1− n− 1
n
)
10 2. SEQUEˆNCIAS
Enta˜o teremos
|sn − (1 + x
n
)n| =
������
n�
j=2
xj
j!
�
1− (1− 1
n
) · · · (1− j − 1
n
)
�������
≤
n�
j=2
|x|j
j!
����1− (1− 1n ) · · · (1− j − 1n )
����
Observe que a quantidade Ajn multiplicando |x|j/j! e´ menor do que 1, ou seja,
Ajn =
����1− (1− 1n ) · · · (1− j − 1n )
���� < 1
e que limnAjn = 0. Dado � > 0 sabemos que existe n0 tal que
�
k≥n0 |x|k/k! < �/4
pois
�
xj/j! e´ absolutamente converbente. Para cada j, 2 ≤ j ≤ n0, existe nj tal
que
Ajn <
�
2B
, B =
n0�
k=0
|x|k
k!
, n ≥ nj
Portanto se tomarmos n1 = max{n0, n2, · · · , nn0} obtemos para n ≥ n1 que
|E(x)− (1 + x
n
)n| ≤ |E(x)− sn|+ |sn − (1 + x
n
)n|
≤ �
4
+
n0�
j=2
|x|j
j!
Ajn +
�
k≥n0
|x|k
k!
≤ �
4
+
�
2
+
�
4
= �, n ≥ n1
como queriamos demonstrar. �
Lema 5. E(x+ y) = E(x)E(y)
Prova. Escolha n0 tal que |xy|/n0 ≤ 1/2. Para todo n ≥ n0 obtemos
1 ≤ (1 + |x+ y|+ |xy|/n
n
)n−j ≤ (1 + 1 + |x+ y|
n
)n−j ≤ E(1 + |x+ y|),
desde que 0 ≤ j ≤ n, e n ≥ n0. Enta˜o se n ≥ n0 obtemos����(1 + xn )n(1 + yn )n − (1 + x+ yn )n
���� = ����(1 + x+ yn + xyn2 )n − (1 + x+ yn )n
����
≤ |xy|
n2
n−1�
j=0
(1 +
1 + |x+ y|
n
)n−j−1(1 +
|x+ y|
n
)j
≤ |xy|
n2
nE(1 + |x+ y|)2
=
|xy|E(1 + |x+ y|)2
n
.
Tomando o limite de ambos os lados encontramos a igualdade anunciada. �
Segue-se da demonstrac¸a˜o acima que
Lema 6.
(4) |E(x)− E(y)| ≤ |x− y|E(|x|)E(|y|)
3. CONSTRUC¸A˜O DA FUNC¸A˜O EXPONENCIAL 11
Prova. A demonstrac¸a˜o e´ semelhante a` anterior. Temos
|(1 + x
n
)n − (1 + y
n
)n| ≤ |x− y|
n
n−1�
j=0
(1 +
|x|
n
))n−1−j(1 +
|y|
n
)j
≤ |x− y|
n
nE(|x|)E(|y|)
= |x− y|E(|x|)E(|y|)
�
3.2. Propriedades da Exponencial. Agora podemos deduzir algumas pro-
priedades da func¸a˜o exponencial. Primeiro temos
E(0) = 1, E(1) = e, E(n) = E(1)n = en.
Temos tambe´m
(5) en = E(n) = E(m
n
m
) = E(
n
m
)m, m, n ∈ Z
Portanto E( nm ) = e
n
m , ou seja, E(x) = ex se x ∈ Q. Tomando x ∈ Q, e y ∈ R temos
E(x) = ex e o lema (6) nos garante que
ex − |x− y|E(|x|)E(|y|) < E(y) < ex + |x− y|E(|x|)E(|y|), x ∈ Q, y ∈ R.
Se restringirmos x ∈ (y − 1, y + 1) obtemos
ex− |x−y|E(1+ |y|)2 < E(y) < ex+E(1+ |y|)2, y ∈ R, x ∈ (y−1, y+1)∩Q.
Se a e´ um nu´mero real positivo custuma-se definir ay como o supremo de {ax|x ∈
Q, x < y}. Se substituirmos x por uma sequeˆncia crescente (xn) com limxn = y
obtemos das propriedades de limite que
lim exn − lim |xn − y|E(1 + |y|)2 < E(y) < lim exn + lim |y − xn|E(1 + |y|)2
o que nos da´
E(y) = lim exn = sup{ex | ∈ Q, x < y}
Portanto E(x) = ex para todo x ∈ R.
Segue-se de E(x)E(−x) = E(0) = 1 que
E(−x) = 1
E(x)
.
Como E(x) e´ crescente para x ≥ 0 obtemos que E(x) e´ uma func¸a˜o crescente e
positiva.
Para x > 0 temos
E(x) = 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·
≥ 1 + x, x > 0.
o que mostra que sua imagem e´ ilimitada. E se x < 0 segue-se de E(x)E(|x|) =
E(x+ |x|) = E(0) = 1 que
E(x) =
1
E(|x|) ≤
1
1 + |x| , x < 0.
Portanto a imagem de E(x) e´ (0,∞)(isto ficara´ totalmente estabelecido quando
mostrarmos que uma func¸a˜o cont´ınua leva intervalo em intervalo).
12 2. SEQUEˆNCIAS
3.3. Exponencial e func¸o˜es trigonome´tricas. Vimos que a func¸a˜o expo-
nencial existe naturalmente no plano comoplexo, ou seja, existe E : C → C dada
por
E(z) =
� zn
n!
, z ∈ C(6)
= lim(1 +
z
n
)n,(7)
onde z = x+iy ∈ C. Valem tambe´m as propriedades aritme´ticas como E(z)E(w) =
E(z + w). Tomando um nu´mero imagina´rio puro iy obtemos
E(iy)E(−iy) = E(0) = 1, y ∈ R.
Usando que E(iy) = lim(1 + iy/n)n e´ fa´cil concluir que E(−iy) = E(iy) pois vale
que lim zn = lim zn.
Portanto
|E(iy)|2 = E(iy)E(iy) = E(iy)E(−iy) = 1,
ou seja, E(iy) esta´ no c´ırculo unita´rio com centro na origem S1 = {z ∈ C| |z| = 1}
e
E(−iy) = 1
E(y)
= E(iy).
Enta˜o y �→ S1 e´ uma parametrizac¸a˜o do S1. Mais tarde, quando estudarmos
comprimento de curvas veremos que esta parametrizac¸a˜o e´ por comprimento de
arco. Como E(0) = 1 o parametro y representa o comprimento do arco de S1 que
liga o ponto 1 ∈ S1 ao ponto E(iy) ∈ S1. Em suma, y e´ o aˆngulo entre o ponto
E(iy) e o eixo − x medido em radianos, mo´dulo 2π. Portanto adota-se a notac¸a˜o
E(iy) = eiy e temos 1/eiy = e−iy. Em geral temos ez = ex+iy = exeiy e todas as
regras da potenciac¸a˜o sa˜o va´lidas.
Por outro lado, um ponto eiy do S1 tem coordenadas (cos y, sin y). Usando a
notac¸a˜o complexa obtemos a equac¸a˜o de Euler,
EQUAC¸A˜O DE EULER: eix = cos(x) + i sin(x), x ∈ R
A primeira observac¸a˜o e´ que
(8) cos2(x) + sin2(x) = 1, x ∈ R
Em segundo lugar segue-se de
ei(x+y) = eixeiy
que
cos(x+ y) = cos(x) cos(y)− sin(x) sin(y)(9)
sin(x+ y) = cos(x) sin(y) + cos(y) sin(x)(10)
Com efeito,
cos(x+ y) + i sin(x+ y) = (cos(x) + i sin(x)) (cos(y) + i sin(y))(11)
= cos(x)cos(y)− sin(x) sin(y) +
i (cos(x) sin(y) + cos(y) sin(x))(12)
EXERCI´CIOS 13
Em particular temos cos(2x) = cos2(x)− sin2(x). Usando esta equac¸a˜o juntamente
com a equac¸a˜o (8) obtemos
cos2(x) =
1 + cos(2x)
2
(13)
sin2(x) =
1− cos(2x)
2
(14)
Um dos fatos mais importantes que segue-se da equac¸a˜o de Euler e´ a expansa˜o
em se´ries de poteˆncias do seno e consseno. As poteˆncias do nu´mero complexo i
satisfazem i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = i0 = 1. Em geral temos in = ij , j =
0, 1, 2, 3, onde j e´ determinado por n = uk + j, 0 ≤ j ≤ 3, ou seja, n ≡ j mo´dulo
4. Segue-se enta˜o
eix =
� (ix)n
n!
=
∞�
k=0
(−1)k x
2k
(2k)!
+ i
∞�
k=0
(−1)k x
2k+1
(2k + 1)!
= cos(x) + i sin(x)
Portanto
cos(x) =
∞�
k=0
(−1)k x
2k
(2k)!
= 1− x
2
2
+
x4
4!
− x
6
6!
+ · · ·(15)
sin(x) =
∞�
k=0
(−1)k x
2k+1
(2k + 1)!
= x− x
3
3!
+
x5
5!
− x
7
7!
+ · · ·(16)
Exerc´ıcios
1 Encontre os valores de sin(x) e cos(x) quando x = kπ+ π/2, para k um inteiro
qualquer.
2 O aˆngulo π/4 correspondea quantos graus? Calcule o seu seno e cosseno.
3 Dividindo o comprimento do arco do c´ırculo S1 no primeiro quadrante por 3
qual o aˆngulo em graus obtidio? Usando iguladade de triaˆnguos retaˆngulos e o
fato que π/3 = π/6 + π/6 calcule os senos e cossenos de π/3 e π/6.
4 Deduza as equac¸o˜es (13) e (14).
5 Fac¸a um desenho utilizando regua e compasso do c´ırculo S1 e dos eixos. Marque
os aˆngulos correspondentes a 0, π/6, π/4, π/3 e π/2. Agora localize o ponto ei.
Em qual arco do S1 ele se localiza? De qual extremo deste arco ele encontra-se
mais pro´ximo? Voceˆ consegue calcular as suas coordenadas cos(1) e sin(1)?