Fenômeno de Transporte NP1A

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ICET – INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA (D) 
Engenharia – Ciclo Básico – Campus Alphaville 
 
 
 
Gabarito P1 – Fenômenos de Transporte (FT) 
Prof. Gilberto Lima 
29/09/2014 
 
 
 
 
1) (3,0) Uma placa com base quadrada de 25 cm de lado e 
massa 2,5 kg, desce uma rampa com inclinação de 30o com 
velocidade constante. Ela está submetida a uma força de 7,5 N 
para cima e desliza sobre uma camada de óleo de 1 mm de 
espessura e viscosidade de 0,53 Pa.s. 
 Determine a velocidade da placa supondo um perfil linear de 
velocidades nesse fluido. 
 
 
Dados: 
 
L = 25 cm = 0,25 m; 
A = L 2 = (0,25 m)2 = 0,0625 m2; 
m = 2,5 kg; 
g = 10 m/s2; 
G = m.g = (2,5 kg).(10 m/s2) = 25 N; 
φ = 30º; 
ε = 1 mm = 0,001 m; 
μ = 0,53 Pa.s = 0,53 N.s/ m2; 
F = 7,5 N 
 
 
Resolução: 
 
 O conjunto de forças que atuam sobre a placa é mostrado abaixo: 
 
 
 
 Fat y’ 
 
 
 
 
 x’ 
 
 G.senφ 
 
 
 
 
 
 Lembremos que Fat é sempre contrária ao sentido da velocidade, e é a reação do fluido à força 
de cisalhamento aplicada pela placa escorregando sobre ele, portanto: 
 

 o
tat
vA
FF
..

 (para um perfil linear de velocidades). 
 
 
 A velocidade da placa é constante, então não há aceleração no eixo x’ (ax’ = 0), portanto, a 
soma das forças, deve ser nula: 
 
 
∑ 𝑭𝒊, 𝒙′ = 𝒎. 𝒂𝒙′ 
⇒ 𝑮. 𝒔𝒆𝒏 𝝋 − 𝑭 − 𝑭𝒂𝒕 = 𝟎 
 
⇒ 𝑭𝒂𝒕 = 𝑮. 𝒔𝒆𝒏𝝋 − 𝑭 
 
 
 
 
⇒ 
𝝁. 𝑨. 𝒗𝒐
𝜺
= 𝑮. 𝒔𝒆𝒏 𝝋 − 𝑭 
 
 
 
⇒ 
(𝟎, 𝟓𝟑 𝑵. 𝒔/𝒎𝟐). (𝟎, 𝟎𝟔𝟐𝟓 𝒎𝟐). 𝒗𝒐
𝟎, 𝟎𝟎𝟏 𝒎
= (𝟐𝟓 𝑵). 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎𝒐 − 𝟕, 𝟓 𝑵 
 
 
 
 
⇒ (𝟑𝟑, 𝟏𝟐𝟓 𝑵. 𝒔/𝒎). 𝒗𝒐 = (𝟐𝟓 𝑵). (𝟎, 𝟓) − 𝟕, 𝟓 𝑵 
 
 
 
⇒ (𝟑𝟑, 𝟏𝟐𝟓 𝑵. 𝒔/𝒎). 𝒗𝒐 = 𝟏𝟐, 𝟓 𝑵 − 𝟕, 𝟓 𝑵 
 
⇒ (𝟑𝟑, 𝟏𝟐𝟓 𝑵. 𝒔/𝒎). 𝒗𝒐 = 𝟓, 𝟎 𝑵 
 
 
 
⇒ 𝒗𝒐 =
𝟓, 𝟎 𝑵
𝟑𝟑, 𝟏𝟐𝟓 𝑵. 𝒔/𝒎
 
 
⇒ 𝒗𝒐 = 𝟎, 𝟏𝟓 𝒎/𝒔 
 
 
 
 
 
⇒ 𝒗𝒐 = 𝟏𝟓 𝒄𝒎/𝒔 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) (4,0) Numa fábrica de tintas o substrato (base) de um dos produtos da linha tem massa 
específica de 1,25 g/cm
3
, e ele é injetado numa tubulação através de um duto de entrada com 
60 mm de diâmetro e com velocidades de 1,5 cm/s. Já o corante, que tem massa específica de 
0,85 g/cm3, é injetado na mesma tubulação por um outro duto com 1,75 cm de diâmetro, mas com 
velocidade constante e uniforme de 5 cm/s. A tinta produzida é expelida por um duto de 
25 mm de diâmetro direto nos recipientes (latas) para comercialização. 
 Determine as vazões volumétrica e mássica de saída da tinta, a massa específica da tinta e 
também a velocidade de saída supondo-a constante e uniforme. 
 (Dica: trabalhar no sistema CGS – centímetro/grama/segundos.) 
 
Dados: 
 
Base: 
ρ1 = 1,25 g/cm
3; 
∅1 = 60 mm = 6 cm ⟹ R1 = 3 cm; 
A1 = π.(R1)
2 = π.(3 cm)2 ⟹ A1 = 28,27 cm
2; 
v1 = 1,5 cm/s; 
Q1 = A1. v1 = (28,27 cm
2).(1,5 cm/s) ⟹ Q1 = 42,41 cm
3/s; 
Qm,1 = ρ1.Q1 = (1,25 g/cm
3).( 42,41 cm3/s) ⟹ Qm,1 = 53,01 g/s. 
 
Corante: 
ρ2 = 0,85 g/cm
3; 
∅2 = 1,75 cm ⟹ R2 = 0,875 cm; 
A2 = π.(R2)
2 = π.(0,875 cm)2 ⟹ A2 = 2,41 cm
2; 
v2 = 5 cm/s. 
Q2 = A2. v2 = (2,41 cm
2).(5 cm/s) ⟹ Q2 = 12,05 cm
3/s; 
Qm,2 = ρ2.Q2 = (0,85 g/cm
3).( 12,05 cm3/s) ⟹ Qm,2 = 10,24 g/s. 
 
Tinta: 
∅3 = 25 mm = 2,5 cm ⟹ R3 = 1,25 cm; 
A3 = π.(R3)
2 = π.(1,25 cm)2 ⟹ A3 = 4,91 cm
2; 
 
 
Resolução: 
 
 Como se trata de um fluido INCOMPRESSÍVEL, podemos usar a Equação da Continuidade 
para volumes: 
 
 
∑ 𝑄𝑗, 𝑠𝑎𝑖 = ∑ 𝑄𝑖, 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎
𝑛
𝑖=1
𝑚
𝑗=1
 
 
 
 
 Temos duas entradas (base e corante) e uma saída (tinta), portanto: 
 
 
Q3 = Q1+Q2 ⟹ Q3 = 42,41 cm
3/s + 12,05 cm3/s ⟹ Q3 = 54,46 cm
3/s 
 
 
 
Como: 
 
𝑄3 = 𝐴3. 𝑣3 
 
⇒ 𝑣3 =
𝑄3
𝐴3
 
 
⇒ 𝑣3 =
54,46 cm3/s 
4,91 cm2 
 
 
⇒ 𝑣3 = 11,09 cm/s 
 
 
 
Aplicando agora a equação da continuidade para massas: 
 
 
∑ 𝑄𝑚,𝑗, 𝑠𝑎𝑖 = ∑ 𝑄𝑚,𝑖, 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎
𝑛
𝑖=1
𝑚
𝑗=1
 
 
 
 
Teremos: 
 
 
Qm,3 = Qm,1+Qm,2 ⟹ Qm,3 = 53,01 g/s + 10,24 g/s ⟹ Qm,3 = 63,25 g/s 
 
 
 
 
E ainda: 
 
 
𝑄𝑚,3 = 𝜌3. 𝑄3 
 
⇒ 𝜌3 =
𝑄𝑚,3
𝑄3
 
 
⇒ 𝜌3 =
63,25 g/s 
54,46 cm3/s 
 
 
⇒ 𝜌3 = 1,16 g/cm
3 
 
 
 
 
3) (3,0) Um propulsor a jato consome 1,5 kg/s de combustível quando voa a uma velocidade de 
350 m/s. A velocidade de saída dos gases provenientes da combustão é de 1000 m/s. 
Determine a massa específica dos gases ρgases, sabendo que A1 = 1,0 m
2, A3 = 0,70 m
2, e a 
massa específica do ar ρar = 1,2 kg/m
3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
combustível (2) 
ar (1) gases (3) 
Dados: 
 
Qm,2 = 1,5 kg/s; 
v1 = 350 m/s; 
ρ1 = ρar = 1,2 kg/m
3 
v3 = 1000 m/s; 
A1 = 1,0 m
2; 
A3 = 0,70 m
2. 
ρ3 = ρgases = ????? 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 Aplicando a equação da continuidade para massas: 
 
 
∑ 𝑄𝑚,𝑗, 𝑠𝑎𝑖 = ∑ 𝑄𝑚,𝑖, 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎
𝑛
𝑖=1
𝑚
𝑗=1
 
 
 
temos uma saída (gases, 3) e duas entradas (ar, 1, e combustível, 2), portanto: 
 
 
Qm,3 = Qm,1+Qm,2 
 
 
 E como Qm = 𝜌.A.v, então: 
 
 
Qm,3 = Qm,1+Qm,2 ⟹ 𝜌3.A3.v3 =𝜌1.A1.v1 + Qm,2 
 
 
 
⟹ 𝜌3.(0,70 m
2).(1000 m/s) = (1,2 kg/m3).(1,0 m2).(350 m/s) + 1,5 kg/s 
 
 
 
 
⟹ 𝜌3.(700 m
3/s) = 420 kg/s + 1,5 kg/s ⟹ 𝜌3.(700 m
3/s) = 421,5 kg/s 
 
 
 
 
⟹ 𝜌3 =
421,5 kg/s
700 m3/s 
 ⟹ 𝜌3 = 0,60 kg/m
3 
 
 
Boa Prova!