Apostila Raciocinio Logico

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Resumo: Introdução ao Raciocínio Lógico – por Desconhecido 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO AO RACIOCÍNIO 
LÓGICO
 
 
 
 
 
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Resumo: Introdução ao Raciocínio Lógico – por Desconhecido 
 
Resumo de Matemática 
 
 
 
Assunto: 
 
 
INTRODUÇÃO AO 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
 
 
 
 
Autor: 
 
DESCONHECIDO 
 
 
 
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INTRODUÇÃO AO RACIOCÍNIO LÓGICO
 
I - CONJUNTOS NUMÉRICOS E ARITMÉTICA
 
1.1 Operação com números
 
1.1.1 Os números naturais 
Os números 1,2,3,4,5,6,.... chamam-se números naturais, visto surgirem naturalmente no 
processo de contagem. 
 
Sua representação gráfica é uma reta, onde os mesmos estão dispostos em ordem 
crescente: 
1, 2, 3 ,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 
 
Para somar dois desses números, digamos 5 e 7, começamos pelo 5 (ou pelo 7) e contamos 
para a direita sete (ou cinco) números para alcançar 12. 
 
Uma vez que não existe número natural maior que todos os outros, a soma de dois números 
naturais é sempre um número natural, isto é, a adição é sempre possível. 
 
Para subtrair 5 de 7, começamos pelo 7 e contamos para a esquerda cinco números até o 2. 
A operação de subtração não pode ser executada todas as vezes. 
 
Por exemplo, 7 não pode ser subtraído de 5, visto como há somente quatro números à 
esquerda de 5. 
 
Para que a subtração seja sempre possível, é necessário criar novos números para colocar à 
esquerda dos números naturais. 
 
O primeiro deles, 0, chama-se zero e os demais, -1, -2, -3, -4, -5, ...... chamam-se inteiros 
negativos. Os novos números tomados em conjunto com os números naturais (agora 
denominados inteiros positivos e escritos aqui, como +1, +2, +3, +4, +5 ......) formam um 
conjunto que não tem princípio nem fim 
 
...-5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5 ... 
 
As operações de adição e subtração (isto é, a contagem para a direita ou para a esquerda) 
são possíveis, sem exceção. 
 
Por uma questão de comodidade, nos números positivos o sinal + é habitualmente 
suprimido. 
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1.1.3 Adição e Subtração 
Para adicionar dois inteiros como +7 e -5, começamos por +7 e contamos para a esquerda 
(lado indicado pelo sinal de -5) cinco números até +2 ou começamos por -5 e contamos para 
a direita (lado indicado pelo sinal de +7) sete números até +2. 
 
Como você somaria -5 e -7 ? 
 
Para subtrair +7 de -5, começamos por -5 e contamos para a esquerda (lado oposto à 
direção indicada pelo sinal de +7) sete números até -12. 
 
Para subtrair -5 de +7, começamos por +7 e contamos para a direita (lado oposto à direção 
indicada pelo sinal de -5) cinco números até +12. 
 
Como você subtrairia +7 de +5 ? 
 
E -5 de -7 e também -7 de -5 ? 
 
Para calcular de maneira fácil com números positivos e negativos, é necessário evitar o 
processo de contagem. 
 
Para isso, observamos que cada um dos números de +7 e -7 está a sete passos a partir de 
0. 
 
Indicamos este fato dizendo que o valor absoluto de cada um dos números +7 e -7 é 7. Mais 
precisamente, o valor absoluto: 
 
• de 0 é 0 
• de a ≠ 0 a se a é positivo 
• -a se a é negativo 
 
Então, depois de decorar cartas tábuas de adição e de multiplicação, usamos as seguintes 
regras: 
 
Regra 1: Adição 
 
Para somar dois números que têm o mesmo sinal, somam-se seus valores absolutos e 
dá-se à soma o sinal comum. 
 
 
Por exemplo, 
+7 + (+5) = + (7 + 5) = + 12 
 
- 6 + (- 9) = - (6 + 9) = - 15 
 
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Regra 2: Adição 
 
Para somar dois números que têm sinais diferentes, subtrai-se o menor valor absoluto 
do maior e dá-se à diferença o sinal do número que tem o maior valor absoluto. 
 
Por exemplo,
+13 + (-5) = + (13 - 5) = +8 
+ 4 + (-18) = - (18 - 4) = -14 
 
 
 
Regra 3: Subtração 
 
Para subtrair um número, troque seu sinal e some. 
 
Por exemplo,
14 - (- 6) = 14 + 6 = 20 
- 8 - (- 9) = - 8 + 9 = 1 
- 8 - (+ 7) = - 8 + (- 7) = - 15 
 
 
1.1.4. Multiplicação e divisão 
Visto como 
3 . 2 = 2 + 2 + 2 = 6 ou 
3 . 2 = 3 + 3 = 6 
 
admitimos que 
(+3) . (+2) = + 6 
(+3) . (- 2) = - 6 
(- 3) . (+2) = - 6 
 
Resta considerar o produto de dois números negativos, digamos (- 3) . (- 2) 
 
Uma vez que - 3 = - (+ 3), temos 
(-3) . (-2) = - (+3) . (-2) = - (-6) = +6 
 
Assim podemos estabelecer a quarta regra: 
 
 
Regra 4: Multiplicação e Divisão 
 
Para multiplicar dois números ou para dividir um número por outro, multiplique ou 
divida os valores absolutos e anteponha um sinal + se os dois números tiverem o 
mesmo sinal e um sinal - se os dois números tiverem sinais diferentes. 
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Se bem que as regras acima tenham sido ilustradas para inteiros positivos e negativos, deve 
admitir-se que prevaleçam tanto para as frações ordinárias como para os números 
irracionais, que serão introduzidos mais tarde. 
 
 
1.1.5. Divisão Euclidiana 
 Façamos mais algumas considerações sobre a divisão, começando logo por uma das regras 
mais importantes de toda a matemática,. 
 
Regra fundamental da divisão: 
 
NUNCA DIVIDIRÁS POR ZERO.
 
Dados dois números naturais a e b, sendo b ≠ 0, representamos a divisão de a por b assim 
 
a b 
r q 
onde: 
a ? dividendo 
b ? divisor 
q ? quociente (natural) 
r ? resto (natural), r < b 
 
Esta é a representação pelo método da chave ou divisão euclidiana. Podemos, ainda, 
representá-la pelo método de Descartes, ou seja: 
 
a = b x q + r 
 
Se r = 0 dizemos que a divisão é exata ou que a é divisível por b ou, ainda, que b divide a. 
Neste caso, a é múltiplo de b, e b é um divisor de a. 
 
Por exemplo: 143 é divisível por 13, pois 
 
143 = 13 . 11 + 0 
 
Logo, 143 é um múltiplo de 13 e 13 é um divisor de 143. 
 
 
1.1.6. Números primos 
Quando um número natural superior a 1 tem por divisores naturais apenas o 1 e ele próprio 
(portanto, somente dois divisores), dizemos que esse número é primo. 
Assim, são números primos: 
 
 6
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, ...... 
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1.1.7. Números compostos 
Se o número natural superior a 1 possuir mais que 2 divisores distintos, então ele é chamado 
número composto. Por exemplo: 
 
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, ..... 
 
 
1.1.8. Números pares e ímpares 
O conjunto dos números naturais pode ser separado em duas partes: uma dos múltiplos de 
2, os números pares, e outra dos não múltiplos de 2, os números ímpares. Assim: 
 
P = {0, 2, 4, 6, .... } e 
I = {1, 3, 5, 7, .....} 
 
 
1.1.9. Note que: 
• os números 0 e 1 não são primos nem compostos; 
• o 2 é o único número natural que é primo e par; 
• existem infinitos números primos positivos; 
• todo número par pode ser escrito na forma 2k, k ∈ N.; 
• todo número ímpar pode ser escrito na forma 2k + 1, k ∈ N. 
 
 
 
1.1.10. Crivo de Eratóstenes 
Para se verificar se um dado número é ou não primo podemos utilizar os critérios de 
divisibilidade conhecidos como o Crivo (peneira) de Eratóstenes: 
 
 
1.1.11. Teoria Fundamental da Aritmética 
Todo número natural superior a 1 pode ser decomposto em uma multiplicação, onde um dos 
fatores é 1 e os demais são números primos. 
 
Assim, qualquer número natural n pode ser escrito como segue: 
 
n = 2.α + 3.β + 5.χ + 7.θ, onde α, β, χ e θ ∈ NEntão o número de divisores naturais (positivos) de n é dado por: 
 
D+ (n) = (α+1) . (β+1) . (χ+1) . (θ+1) ... 
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1.1.12. Múltiplos e divisores comuns 
Consideremos dois naturais a e b não nulos, os conjuntos M(a) e M(b) de seus múltiplos 
naturais e D(a) e D(b) de seus divisores naturais. 
 
Assim, definimos mínimo múltiplo comum (mmc) entre a e b ao menor elemento comum 
não nulo entre M(a) e M(b) e máximo divisor comum (mdc) entre a e b ao maior elemento 
comum entre D(a) e D(b). Dois números naturais quaisquer são ditos primos entre si se, e 
somente se, o seu mdc for 1. 
 
- TEOREMA 
Sendo a e b naturais, não nulos, temos que o produto de seus respectivos máximos divisores 
comuns e mínimos múltiplos comuns é igual ao produto de a e b: 
 
MDC (a,b) . MMC (a,b) = a.b 
 
 
1.1.12. Frações ordinárias 
Nos exercícios resolvidos até agora, todos os quocientes eram inteiros. Isso era necessário 
porque, no conjunto dos números inteiros, não há símbolo para representar, digamos, o 
resultado da divisão 3 por 4. 
 
Se a divisão por qualquer inteiro diferente de zero deve ser possível, sem exceção, é 
necessário inventar símbolos adicionais (números). 
 
Esses símbolos, chamados frações ordinárias, são construídos indicando-se (por meio do 
sinal __ ou / ) as operações a serem realizadas; 
 
Por exemplo, 
1 : 2 = 1/2 
3 : 4 = 3/4 
-2 : 3 = - 2/3 .... 
 
Sejam a e b dois inteiros positivos diferentes quaisquer. Se na escala (a), o inteiro a ficar à 
esquerda do inteiro b, dizemos que a é menor do que b e escreveremos a < b. 
 
Se, entretanto, a ficar à direita de b, dizemos que a é maior do que b e escrevemos a > b. 
 
Se a < b, a fração (ordinária) a/b chama-se própria; caso contrário, imprópria. As frações 
próprias a/b são: 
 
 8
 1/2 
 1/3 2/3 
 1/4 2/4 3/4 
1/5 2/5 3/5 4/5 
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Sejam c/d e e/f duas frações quaisquer do conjunto acima. O problema que surge é: como 
podemos dizer se 
 
c/d = e/f 
c/d < e/f ou 
c/d > e/f ? 
 
Isso nos leva à regra mais útil para calcular com frações: 
 
Frações Ordinárias - Regra 1 
 
O valor de uma fração não se altera quando o numerador e o denominador forem 
multiplicados ou divididos por um mesmo número diferente de zero. 
 
Por exemplo: 
1/3 = 2/6 = 4/12 e 
8/20 = 4/10 = 2/5 
 
Pelo emprego da regra 1, duas ou mais frações quaisquer podem ser reduzidas ao mesmo 
denominador; por exemplo, 
 
1/3, 2/5 e 3/10 podem escrever-se ? 10/30, 12/30 e 9/30 ou ? 20/60, 24/60 e 18/60 etc 
 
Então, 3/10 < 1/3 < 2/5, visto como ? 9/30 < 10/30 < 12/30. 
 
Ao somar e subtrair frações, é necessário reduzir as diversas frações ao mesmo 
denominador. 
 
Dos muitos denominadores que se podem usar, há sempre um menor de todos, chamado o 
menor denominador comum. 
 
No exemplo acima, 30 é o menor denominador comum. 
 
 
Frações Ordinárias - Regra 2 
 
A soma (diferença) de duas frações reduzidas ao mesmo denominador é uma fração 
cujo denominador é o denominador comum e cujo numerador é a soma (diferença) dos 
numeradores. 
 
 
Por exemplo:
3/5 + 1/4 = 12/20 + 5/20 = (12+5) / 20 = 17/20 e 
 
 9
2/3 + 3/2 - 5/4 = 8/12 + 18/12 - 15/12 = (8 + 18 - 15) / 12 = 11/12 
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Frações Ordinárias - Regra 3 
 
O produto de duas ou mais frações é uma fração cujo numerador é o produto dos 
numeradores e cujo denominador é o produto dos denominadores das várias frações. 
 
 
Por exemplo:
2/3 . 5/4 . 9/10 = 2.5.9 / 3.4.10 = 3/4 
 
 
 
Frações Ordinárias - Regra 4 
 
O quociente de duas frações pode ser avaliado pelo emprego da regra 1 com o menor 
denominador comum das frações como multiplicador. 
 
 
Por exemplo: 
 
22 : 12 = 35.22 : 35.12 = 5 . 22 = 5 . 11 = 55
7 5 7 5 7 . 12 7.6 42 
 
 
 
 
 
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2. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 
2.1. Definições iniciais 
 
Observe a expressão: S = 5 p + 7 
 4 
TABELA 
P S 
20 ---> 32 
24 ---> 37 
28 ---> 42 
32 ---> 47 
 
S e p são variáveis porque podem assumir vários valores, conforme a tabela acima. S 
assume valores em função dos valores atribuídos a p, e os quatro pares da tabela são 
apenas alguns dos infinitos valores possíveis. 
 
- Êpa !!! Variável não é x ??? 
 
- Não necessariamente... Na Matemática usamos diversas letras para representar as 
variáveis, tais como x, y, z, bem como as gregas α, β, δ e π Quem manda é o freguês. 
 
Os números 5/4 e 7 são chamados coeficientes da expressão. 
 
Agora vamos fixar um valor para S, por exemplo 47. Então a expressão fica: 
 
47 = 5 p + 7 
 4 
 
e não podemos mais chamar p de variável, pelo simples fato de que ele não varia, pois se S 
= 47 então p vale 32. Nestas condições chamamos p de incógnita. 
 
 
2.1.1. Definições iniciais 
Observe a expressão: E = m . c2 . Nessa expressão, c é uma constante que indica a 
velocidade da luz, que é de 3.108 metros por segundo. A letra m é uma variável que 
representa a massa de um corpo (em kilogramas) e E é uma variável que representa a 
energia armazenada neste corpo (medida em joules). 
 
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2.1.2. O que são expressões algébricas ? 
Anteriormente já misturamos números e letras através das operações de soma, subtração 
(como soma do simétrico ou oposto), multiplicação, divisão (como multiplicação pelo inverso 
ou recíproco), potenciação e radiciação. As expressões que apresentam uma ou mais letras 
e números (variáveis, incógnitas, etc.), envolvendo as operações elencadas acima, são 
estudadas numa parte da Matemática chamada Álgebra, e por isso são chamadas 
expressões algébricas. Por exemplo: 
 
3x5y2 monômio
xy2 + x3y monômio
x2y - 5xy2 + 6y3 trinômio 
x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 polinômio
 
 
2.1.3. Em resumo 
 
1. Monômios são expressões onde não aparecem operações de soma algébrica 
2. Soma algébrica refere-se tanto à adição como à subtração 
3. Termos semelhantes são aqueles que têm a mesma parte literal. 
4. Binômio: soma algébrica de 2 monômios 
5.Trinômio: soma algébrica de 3 monômios 
6. Polinômios: soma algébrica de 4 ou mais monômios. 
7. Podemos chamar monômios, binômios e trinômios indistintamente de polinômios. 
 
 
 
2.2 Operações 
 
 
2.2.1. Soma algébrica de monômios 
 
Somar monômios é apenas reduzir seus termos semelhantes. Exemplo: 
 
5x2 - 3x2 + 3xy - 10xy - 5x3y + 6x3y = 
 
= (5 - 3)x2 + (3 - 10)xy + (-5 + 6)x3y = 
 
= 2x2 - 7xy + x3y 
 
 
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2.2.2. Multiplicação e divisão de monômios 
 
Exemplos: 
 
x2 . (3x3) . (2y) . y4 = 6x5y5 
coeficientes 3. 2 = 6 
x x2 . x3 = x5 
y y . y = y5 
 
(12x4y3) : (-6x3y2) = -2xy 
coeficientes ) 12 : (-6 = -2 
x x4 : x3 = x1 = x 
y y3 : y2= y1 = y 
 
 
 
 
 
2.2.3 Multiplicação e divisão de monômios 
O produto de polinômios se baseia na propriedade distributiva da multiplicação. Assim, dados 
dois polinômios 
 
P1[x] = x2 - x + 1 e 
 
P2[x] = -x3 + x - 2 
 
 
1. Desenvolvemos os produtos parciais utilizando a propriedade distributiva da 
multiplicação: 
P1[x] . P2[x] equivale a multiplicar o polinômio P1[x] por cada um dos termos do polinômio 
P2[x] 
P1[x] . P2[x] = P1[x] . (-x3 +x - 2) = 
= P1[x] (-x3) + P1[x] (x) + P1[x](-2) = 
= (x2-x+1)(-x3)+(x2-x+1)(x)+(x 2-x+1)(-2) 
= (-x5 +x4 -x3)+(x3 -x2 +x)+(-2x2 +2x -2) 
 
 
2. Reduzimos a termos semelhantes e ordenamos segundo as potências decrescentes 
de uma das variáveis (no caso só temos x): 
(-x5 +x4 -x3)+(x3 -x2 +x)+(-2x2 +2x -2) = 
= -x5 + x4 - 3x2 + 3x - 2 
 
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2.2.4 Multiplicação e divisão de monômios 
Este processo é muito parecido com o Método das Chaves, utilizado na Divisão Euclidiana, 
visto em Conjuntos Numéricos. Vamos recordá-lo: 
 
Exemplo: 
Encontrar o quociente e o resto da divisão de 35 por 17 
 
35 /_17
34 2 
 1 
 
O número 35 chama-se Dividendo e o número 17 chama-se Divisor. 
Quantas vezes o 17 cabe no 35? 
 
O número 2 chama-se quociente. 
 
De 35 subtraímos 17 . 2 = 34 e obtemos o número 1, que se chama Resto. 
Dividendo = Divisor . Quociente + Resto 
 
Resto < Divisor 
 
Utilizando o mesmo algoritmo (sistema de cálculo) vamos dividir dois polinômios onde: 
 
dividendo D[x] = x4 - 4x2 - x + 3 
 
divisor d [x] = x - 2 
 
Para zerar o primeiro termo temos que multiplicar o divisor por x3(que será, portanto, o 
primeiro termo do quociente) e efetuar a subtração 
 
 
 
Continuando com a divisão, vamos baixar os demais itens do dividendo: 
 
 
 14
Vamos achar o termo seguinte do quociente que faça zerar o primeiro termo (2x3) do 
dividendo e assim sucessivamente até o fim da divisão 
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2.3 Fatoração 
 
2.3.1 O que é Fatoração 
Fatorar uma expressão algébrica é escrevê-la como uma multiplicação: quando todos ou 
alguns termos de uma expressão algébrica têm um fator comum, podemos colocá-lo em 
evidência. A forma fatorada é o produto do fator comum pela expressão obtida dividindo-se a 
expressão inicial pelo fator comum. 
 
 
2.3.2 Por que fatorar ? 
Sempre podemos relacionar as expressões algébricas com o que vimos em Conjuntos 
Numéricos. Por que fatorávamos os números? Para simplificá-los, encontrar o MDC e o 
MMC, etc. Será de grande valia aqui, bem como na resolução de equações. 
 
 
2.3.3 Formas de fatoração 
 
- Fator Comum 
Se existir um fator comum a todos os termos de uma expressão algébrica, este deve ser 
colocado em evidência 
 
- Agrupamento 
Se não existir um fator comum a todos os termos de uma expressão algébrica, então: 
- Formamos "grupos" que tenham um fator comum, isto é "agrupamos" os termos. 
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- Em cada grupo colocamos esses fatores comuns em evidência. 
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- Se os fatores comuns a cada grupo forem iguais entre si, então serão colocados em 
evidência multiplicando a expressão toda. 
 
- Utilizando produtos notáveis 
A palavra produto refere-se ao resultado de uma multiplicação. Alguns produtos são 
chamados notáveis porque aparecem inúmeras vezes nas simplificações de expressões e 
equações. São importantes ferramentas de trabalho que aparecerão no decorrer de todo o 
estudo da Matemática. 
 
 
 
 
2.4 Produtos notáveis 
 
2.4.1 Quadrado da soma 
Se pensarmos em números, uma soma elevada ao quadrado não oferece maiores 
dificuldades. Seja por exemplo a soma 
 
(2 + 3)2 = 52 = 25 
Mas, se ao invés de números tivéssemos letras, teríamos que pensar 
(a + b)2 = 
= (a + b) . (a + b) = 
= a2 + ab + ba + b2 = 
= a2 + 2ab + b2 
 
"O quadrado de uma soma é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o 
primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo" 
 
Quadrado da soma: 
 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
 
Usando o exemplo numérico acima, note que: 
 
(2 + 3)2 = 
= 22 + 2.2.3 + 32 = 
= 4 + 12 + 9 = 
= 25 
 
 
Note ainda que (a + b)2 =/= a2 + b2 
 
22 + 32 = 4 + 9 = 13 
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Nas figuras abaixo vamos visualizar graficamente o significado de (a + b)2: 
 
 
2.4.2 Quadrado da diferença 
 
(a - b)2 = 
= (a - b) . (a - b) = 
= a2 - 2ab + b2 
 
"O quadrado de uma diferença é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o 
primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo." 
 
Quadrado da diferença: 
 
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
 
 
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Visualizando temos a2 que representa o quadrado maior. De a tiramos b. Note que (a-b)2 
será igual a a2 menos as áreas em branco. Confira como calcular o valor destas áreas. 
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Visualizando: (a-b)2 seria igual a a2 menos os retângulos ab + ba se nesta operação, b2 não 
tivesse sido subtraído duas vezes, razão pela qual deve ser somado uma vez a a2
 
 
2.4.2 Produto de conjugados 
O produto de um binômio do tipo (a + b) pelo seu conjugado (a - b) é sempre igual ao 
quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo 
 
Produto de conjugados: 
 
(a + b) . (a - b) = a2 - b2
 
 
 
2.4.3 Cubo da soma 
 
= (a + b) . (a2 + 2ab + b2) = 
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
 
 18
 
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O cubo da soma de um binômio é igual a: 
 
o cubo do 1° 
+ 3 vezes o quadrado do 1° pelo 2° 
+ 3 vezes o 1° pelo quadrado do 2° 
+ o cubo do 2° 
 
 
Cubo da soma: 
 
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
 
 
 
 
2.4.4 Cubo da diferença 
 
(a -b)3 = (a - b) . (a - b)2
= (a - b) . (a2 - 2ab + b2) = 
= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
 
O cubo da diferença de um binômio é igual a: 
 
o cubo do 1° 
- 3 vezes o quadrado do 1° pelo 2° 
+ 3 vezes o 1° pelo quadrado do 2° 
- o cubo do 2° 
 
 
Cubo da diferença: 
 
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 
 
 
 
2.4.5. Cubo da diferença 
 
(a -b)3 = (a - b) . (a - b)2
= (a - b) . (a2 - 2ab + b2) = 
= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
 
O cubo da diferença de um binômio é igual a: 
 19
 
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o cubo do 1° 
- 3 vezes o quadrado do 1° pelo 2° 
+ 3 vezes o 1° pelo quadrado do 2° 
- o cubo do 2° 
 
Cubo da diferença: 
 
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
 
 
 
2.4.6. Soma de cubos 
a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) 
 
Do ítem 2.4.4. Cubo da soma temos que 
 
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
 
invertendo: 
 
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 
 
a3 + b3 = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 o que nos leva à equação acima. 
 
a3 + b3 = (a + b) (a + b)2 - 3ab(a + b) 
 
= (a + b) (a2 + 2ab +b2 - 3ab) 
 
= (a + b) (a2 - ab +b2) 
 
2.4.7. Diferença de cubos 
 
a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b) 
= (a - b) (a2 - 2ab +b2 + 3ab) 
= (a - b) (a2 + ab +b2) 
 
 
 
2.4.8. Quadrado do trinômio 
(a+b+c)2 = [(a + b) + c]2 
= a2 + 2ab +b2 + 2ac + 2bc +c2 
= a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) 
 20
 
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RACIOCÍNIO LÓGICO NA TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
Não iremos expor toda a Teoria dos Conjuntos, pois não é esta a proposta deste curso, nem 
há necessidade de nos aprofundarmos tanto 
 
Relembraremos apenas alguns tópicos, para nos familiarizarmos com a linguagem e a 
simbologia. 
 
Apresentaremos alguns exercícios resolvidos que servirão de embasamento para a teoria. 
 
Antes de olhar a solução tente resolvê-los. Será uma ótima forma de relembrar este assunto. 
 
 
3.1. Recordando 
 
3.1.1. Relações de pertinência: 
 
∈ e ∉(relacionam elemento com conjunto) 
 
 
3.1.2. Relações de inclusão: 
⊂, ⊄ e ⊆ (relacionam um conjunto com outro conjunto) 
 
 
 
3.1.3. Subconjunto: 
diz-se que A é subconjunto de B se todo elemento de A é tambémelemento de B. 
 
 
 
3.1.4. Conjunto potência ou conjunto das partes de um conjunto: 
chama-se conjunto potência (representado por 2A) ou conjunto das partes de um conjunto A, 
denotado por P(A), o conjunto cujos elementos são todos as partes de A, isto é: 
 
 P(A) = {x / x ⊂ A}. 
 
 
3.1.5. Operações com conjuntos: 
dados os conjuntos A, B e o conjunto-universo S, tais que A ⊂ S e B ⊂ S, denomina-se: 
 
- União  (∪): 
 21
A ∪ B = {x / x ∈ A ou x ∈ B} 
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- Interseção ( ∩ ) 
A ∩ B = {x / x ∈A e x ∈ B} 
 
- Diferença ( - ) : 
A - B = {x / x ∈ A e x ∉ B} 
 
- Complementar ( CsA ou A'): 
CsA = {x ∈ S / x ∉ A} 
 
Nota: dados dois conjuntos A e B, tais que A ⊂ B, tem-se: CBA = B - A = {x / x ∈ B e x ∉ A}. 
Se A ⊄ B não tem sentido CBA. 
 
 
 
3.1.6. Produto Cartesiano: 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A por B ao conjunto de todos 
os pares ordenados (x,y) tais que x ∈ A e y ∈ B. 
 
Simbolicamente escreve-se: 
A . B = {(x,y) / x ∈ A e y ∈ B} 
 
 
3.2. Exercício resolvido 
 
 
Considere o diagrama acima onde o retângulo representa o conjunto-universo S e os círculos 
representam os conjuntos A e B. 
Agora determine: 
a) o conjunto A 
b) o conjunto B 
c) o número de elementos de A 
 22
d) o número de elementos de B 
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e) o número de subconjuntos de A 
f) o número de subconjuntos de B 
g) A ∪ B 
h) A ∩ B 
i) A - B 
j) B - A 
l) CSA ou A' 
m)CSB ou B' 
 
 
3.2.1. Solução 
a) A = {a, b, c, d, e} 
b) B = {d, e, f, g, h, i} 
c) n A = 5 
d) n B = 6 
e) p(A) = 2n = 25 = 32 
f) p(B) = 2n = 26 = 64 
g) A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} 
h) A ∩ B = {d, e} 
i) A - B = {a, b, c} 
j) B - A = {f, g, h, i} 
l) CSA ou A' = S - A = {f,g,h,i,j,l,m,n} 
m)CSB ou B' = S - B = {a,b,c,j,l,m,n} 
 
 
 
3.3. Exercício para firmar os conceitos 
A solução é dada na seqüência. Tente resolvê-los antes de olhar as respostas. 
 
3.3.1. Exercício 1 
Construa um diagrama representativo de três conjuntos A, B e C contidos no conjunto-
universo S, tais que: 
A ⊄ B, 
B ⊄ A, 
C ⊂ A e 
C ⊂ B 
 
3.3.2. Exercício 2 
Considere o conjunto 
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
e determine: 
a) o número de subconjuntos de A 
b) o número de subconjuntos de A que possuem dois elementos 
c) o número de subconjuntos de A que possuem sete elementos 
 23
d) o número de subconjuntos de A que possuem nove elementos 
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3.3.3. Exercício 3 
Dos 500 músicos de uma Filarmônica, 240 tocam instrumentos de sopro, 160 tocam 
instrumentos de corda e 60 tocam esses dois tipos de instrumentos. Quantos músicos desta 
Filarmônica tocam: 
a) instrumentos de sopro ou de corda ? 
b) somente um dos dois tipos de instrumento ? 
c) instrumentos diferentes dos dois citados ? 
 
3.3.4. Exercício 4 
Numa pesquisa feita com pessoas que foram aprovadas em três concursos A, B, e C, 
obteve-se os resultados tabelados a seguir: 
 
Concursos N. de aprovados
A 150 
B 140 
C 100 
 
A e B 45 
A e C 30 
B e C 35 
 
A, B e C 10 
Pergunta-se: 
a) quantas pessoas fizeram os três concursos? 
b) quantos candidatos foram aprovados em somente um dos três concursos? 
c) quantos candidatos foram aprovados em pelo menos dois concursos? 
d) quantos candidatos foram aprovados nos concursos A e B e não no C? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24
 
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3.4 Solução dos exercícios propostos 
 
3.4.1 Exercício 1 
 
 
 
O diagrama acima atende ao que foi pedido. Observe que: A ⊄ B, B ⊄ A, C ⊂ A, C ⊂ B, 
A ⊂ S, B ⊂ S e C ⊂ S 
 
3.4.2. Exercício 2 
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
a) o número de subconjuntos de A ? P(A) = 2n = 210 = 1.024 
 
b) o número de subconjuntos de A que possuem dois elementos 
P(A) com 2 elementos = C10,2 
C10,2= 10! / (10-2)! . 2! 
C10,2 = 10 . 9 / 2 = 90 / 2 = 45 
 
c) o número de subconjuntos de A que 
possuem sete elementos 
P(A) com 7 elementos = C10,7 
C10,7 = 10! / (10 - 7)! . 7! = 10! / 3! . 7! 
C10,7 = 10 . 9 . 8 / 3 . 2 = 720 / 6 = 120 
 
d) o número de subconjuntos de A que possuem nove elementos 
P(A) com 9 elementos = C10,9 
C10,9 = 10! / (10-9)! . 1! = 10! / 9! = 10 
 
Quem não se lembra de análise combinatória terá dificuldade em entender o acima 
exposto. 
 
 25
Porém, alertamos que num curso como este, estes assincronismos serão freqüentes. Se 
fossemos entrar em Raciocínio Lógico somente depois de feita toda a revisão de matemática 
do 2. grau o curso ficaria muito maçante para a grande maioria. 
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Não devemos esquecer que este curso se destina a pessoas com curso superior e que por 
conseguinte têm obrigação de saber de antemão toda a matemática de 2. grau. 
Sugerimos, para quem não consegue acompanhar alguns tópicos da matéria, que aguarde a 
aula em que será dada a revisão matemática respectiva para então voltar ao assunto. 
Por outro lado, é bom que o candidato vá se acostumando a enfrentar problemas para os 
quais não está preparado. 
 
Num concurso de seleção sempre haverá um problema ou outro que, devido à 
vastidão da matéria, não foi abordado em aula. 
 
 
3.4.3. Exercício 3 
Solução: Seja C o conjunto dos músicos que tocam instrumentos de corda e S dos que 
tocam instrumentos de sopro. Chamemos de F o conjunto dos músicos da Filarmônica. 
 
DICA: Ao resolver este tipo de problema faça o diagrama, assim você poderá visualizar 
o problema e sempre comece a preencher os dados de dentro para fora. 
 
Passo 1 
60 tocam os dois instrumentos, portanto, após fazermos o diagrama, este número vai no 
meio 
 
 
 
Passo 2 
a)160 tocam instrumentos de corda. Já temos 60. Os que só tocam corda são, portanto 
160 - 60 = 100 
 
b) 240 tocam instrumento de sopro. 
240 - 60 = 180 
 
Voltando ao diagrama, preenchemos os dados obtidos acima: 
 
 26
 
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Com o diagrama completamente preenchido, fica fácil achara as respostas: Quantos músicos 
desta Filarmônica tocam: 
 
a) instrumentos de sopro ou de corda ? 
Pelos dados do problema: 
100 + 60 + 180 = 340 
 
b) somente um dos dois tipos de instrumento ? 
100 + 180 = 280 
 
c) instrumentos diferentes dos dois citados ? 
500 - 340 = 160 
 
Nota: Para quem está familiarizado com a Teoria dos Conjuntos, a solução poderia 
também ser obtida através da fórmula: 
 
a) n (S ∪ C) = n (S) + n (C) - n (S ∩ C) 
= 240 + 160 - 60 = 340 
 
b) [n (S) - n (S ∩ C)] + [n (C) - n (C ∩ S)] = 
[ 240 - 60] + [ 160 - 60 ] = 180 + 100 = 280 
 
c) n (F) - n (S ∪ C) = 500 - 340 = 160 
 
 
3.4.4 Exercício 4 
Numa pesquisa feita com pessoas que foram aprovadas em três concursos A, B, e C, 
obteve-se os resultados tabelados a seguir: 
 
Concursos N. de aprovados
A 150 
B 140 
C 100 
 
A e B 45 
A e C 30 
B e C 35 
 
A, B e C 10 
Solução: 
 27
Nota: só vamos ensinar o método visual, através do diagrama. Todavia, nada impede 
que o problema seja resolvido pelas fórmulas correspondentes 
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Passo 1: 
Fazer o diagrama e começar a preenchê-lo de dentro para fora com os dados disponíveis: 
A, B e C = 10 
 
 
 
Passo 2: 
Se 10 pessoas já foram aprovadas em A, B e C, quantas restaram só em A e B,A e C e B e 
C: 
 
A e B = 45 - 10 = 35 
A e C = 30 - 10 = 20 
B e C = 35 - 10 = 25 
 
Preenchendo o diagrama, teremos: 
 
 
Passo 3: 
Agora, só falta calcular quantos foram aprovados em um único concurso, para podermos 
terminar de preencher o diagrama. 
 28
A = 150 - ( 35 + 20 + 10 ) = 85 
B = 140 - ( 35 + 10 + 25 ) = 70 
C = 100 - ( 20 + 10 + 25 ) = 45 
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Preenchendo o diagrama teremos: 
 
Após preencher corretamente o diagrama, qualquer pergunta pode ser facilmente 
respondida. Basta retirar do diagrama os dados correspondentes : 
 
a) quantas pessoas fizeram os três concursos? 
Todas. Somando os dados do diagrama obtemos: 
85+35+70+20+10+25+45 = 290 
 
b) quantos candidatos foram aprovados em somente um dos três concursos? 
85 + 70 + 45 = 200 
 
c) quantos candidatos foram aprovados em pelo menos dois concursos? 
Cuidado: "pelo menos dois" não exclui "em todos os três". Temos que somar, portanto, todo 
o miolo: 
35 + 20 + 10 + 25 = 90 
 
d) quantos candidatos foram aprovados nos concursos A e B e não no C? 
Esta resposta é um dado direto do diagrama: 
= 35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 29
 
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IV. RACIOCINO LÓGICO EM SUCESSÕES DE PALAVRAS
 
Neste capítulo apresentaremos várias sucessões de palavras escritas obedecendo a uma 
ordem lógica. Evidentemente a lógica aplicada a uma sucessão poderá ser diferente da 
utilizada em outra. 
 
A lógica na escrita, às vezes, pode parecer até absurda, mas nossa intenção é mostrar 
problemas onde se empregam os mais diversos raciocínios possíveis. 
 
Assim, se no concurso aparecer um problema sem sentido aparente, você estará treinado 
para uma lógica que muitas vezes não é nada matemática. 
 
4.1. Exercícios resolvidos 
 
4.1.1. Exercício 1 
Uma propriedade lógica define a sucessão: SEGURO, TERRA, QUALIDADE, QUILATE, 
SEXTANTE, SÁBIO, ..... 
Escolha a alternativa que preenche corretamente a lacuna: 
a. JADE 
b. CHINÊS 
c. TRIVIAL 
d. DOMÍNIO 
e. ESCRITURA 
 
 
4.1.2. Exercício 2 
A sucessão seguinte de palavras obedece a uma ordem lógica: 
VIL, RUIM, FEIO, BOIOU, X. 
Escolha a alternativa que substitui X corretamente: 
a. MALVADO 
b. CAPIXABA 
c. SOTEROPOLITANO 
d. BONITO 
e. PIAUIENSE 
 
 
4.1.3. Exercício 3 
Atente para os vocábulos que formam a sucessão lógica: 
HOMERO, DEPOIS, TEATRO, DEVEIS, COITO, .............. 
Determine a alternativa que preenche logicamente a lacuna: 
a. PÉS 
b. MÃO 
c. COSTAS 
 30
d. BRAÇO 
e. TRONCO 
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 4.1.4. Exercício 4 
Observe a sucessão a seguir composta de letras do alfabeto da língua portuguesa e escolha 
a alternativa que determina X corretamente: 
B, D, G, L, Q, X 
 
a. R 
b. U 
c. X 
d. A 
e. H 
 
 
4.2. Soluções dos exercícios propostos 
 
4.2.1. Exercício 1 
A sucessão é formada de palavras cujas três primeiras letras são as mesmas dos dias da 
semana. Portanto, a palavra que preenche corretamente a lacuna é DOMÍNIO, cujas três 
primeiras letras são as mesmas de DOMINGO. Alternativa d. 
 
4.2.2. Exercício 2 
A sucessão é formada, sucessivamente, de palavras tais que na primeira há apenas uma 
vogal, na segunda há duas vogais juntas, na terceira três vogais juntas, na quarta quatro 
vogais juntas. Evidentemente, na quinta palavra, deverá haver cinco vogais juntas. Logo, X é 
a palavra PIAUIENSE. Alternativa e. 
 
 
4.2.3. Exercício 3 
Os vocábulos da sucessão dada rimam, sucessivamente, com os algarismos pares do 
sistema de numeração decimal. 
Homero rima com zero 
Depois rima com dois 
Teatro rima com quatro 
Deveis rima com seis 
Coito rima com oito 
 
O próximo par é dez. Das alternativas apresentadas, o vocábulo que rima com dez é pés. 
Alternativa a. 
 
 
4.2.4. Exercício 4 
Cada elemento da série é formado por uma letra. Do B para o D PULA UMA LETRA. Do D 
para o G, DUAS. Do G para o L, TRÊS. Do L para o Q QUATRO. Do Q em diante deve-se 
PULAR CINCO LETRAS, logo o X. Alternativa c. 
 
 
 31
 
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PROBLEMAS QUANTITATIVOS 
 
Questão 1 
A média aritmética de x e y é 20. Se z = 5, qual é a média de x, y e z? 
 
 
 
 
 
 
Questão 2 
Em 1996, o estado do Pará produziu 2/3 e Minas Gerais 1/6 de todo o aço produzido no 
Brasil. Se todos os demais estados em conjunto produziram 18 milhões de toneladas, 
quantos milhões de toneladas o estado do Pará produziu naquele ano? 
 
 
 
 
 
 
Questão 3 
Se 3x - 2 = 7, então 4x = 
 
 
 
 
 
 
Questão 4 
Se 0 < st < 1, então qual das seguintes proposições é verdadeira? 
 
 
 
 
 32
 
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Questão 5 
Para reproduzir uma antiga fotografia, um fotógrafo cobra x reais para fazer o negativo, (3x)/5 
reais por cada uma das dez primeiras reproduções e x/5 reais por cada reprodução após a 
10a reprodução. Se o preço total do negativo e vinte reproduções de uma antiga fotografia é 
R$45, qual é o valor de x? 
 
 
 
 
 
 
Questão 6 
Uma determinada livraria está promovendo uma liquidação de cadernos escolares: cada 2 
cadernos custam 99 centavos. O preço normal de cada caderno é 59 centavos. Qual a 
economia resultante da compra de 10 desses cadernos a preço promocional? 
 
 
 
 
 
 
Questão 7 
Se a média aritmética de 5 números inteiros consecutivos é 12, qual é o resultado da soma 
do maior e menor destes 5 números inteiros? 
 
 
 
 
 
 
Questão 8 
Se xy � 0, então (x - 1)/xy = 
 
 
 
 33
 
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Questão 9 
João trabalha em dois empregos em tempo parcial. Em uma determinada semana, João 
trabalhou 8 horas em um dos empregos, ganhando R$150, e 4 horas no outro emprego, 
ganhando R$90. Qual foi seu ganho médio por hora naquela semana? 
 
 
 
 
 
 
Questão 10 
0,2 x 0,005 = 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
1. (d) 
2. (d) 
3. (e) 
4. (c) 
5. (e) 
6. (b) 
7. (a) 
8. (d) 
9. (d) 
10. (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34
 
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PROBLEMAS DE RACIOCÍNIO ANALÍTICO 
 
Como abordar os problemas: 
 
• Cada grupo de questões está baseado em um conjunto de proposições ou condições. 
• Esboce diagramas ou figuras p/ ajudar a organizar seu raciocínio. 
 
 
 
Argumento das Questões 1, 2 e 3 
Seis corredores - J, K, L, M, N e O - participaram de uma série de corridas obtendo os 
seguintes resultados: 
 
 
 J sempre terminou na frente de N, mas atrás de O. 
 K sempre terminou na frente de L, mas atrás de O. 
 M sempre terminou na frente de L, mas atrás de J. 
 Nenhuma corrida resultou em empate. 
 
 
Questão 1 
Qual das listas abaixo poderia representar a ordem de colocação (ou seja, a ordem de 
chegada), do primeiro ao último colocado, em uma corrida qualquer dentre aquelas descritas 
acima? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 2 
Qual das afirmações abaixo, a respeito da ordem de chegada, é verdadeira para todas as 
corridas disputadas? 
(a) O chegou em primeiro lugar. 
(b) J chegou em segundo lugar. 
(c) K chegou em terceiro lugar. 
(d) N chegou em último lugar. 
(e) L chegou em último lugar. 
 35
 
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Resumo: Introdução ao Raciocínio Lógico – por DesconhecidoQuestão 3 
Em uma corrida qualquer dentre aquelas descritas acima, qual lista contém o nome dos 
corredores que poderiam ter chegado antes do corredor M? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Argumento das Questões 4, 5, 6 e 7 
Seis pessoas - J, K, L, M, N e O - estão sentadas em uma fila constituída de seis assentos 
em uma sala de espetáculos. Todos os assentos ficam de frente para o palco e são 
numerados, da esquerda para a direita do palco (da perspectiva de quem está sentado), de 1 
a 6, consecutivamente. Exatamente uma pessoa está sentada em cada um dos assentos. 
 
 J não está sentado no assento 1, nem está sentado no assento 6. 
 N não está sentado próximo à L. 
 N não está sentado próximo a K. 
 O está sentado no assento imediatamente à esquerda de N. 
 
 
 
Questão 4 
Qual dos seguintes arranjos ordenados, do assento 1 ao assento 6, é aceitável? 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 5 
Todos os seguintes arranjos ordenados, do assento 1 ao assento 6, são aceitáveis, 
EXCETO: 
 
 
 
 
 
 
 36
 
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Resumo: Introdução ao Raciocínio Lógico – por Desconhecido 
Questão 6 
Se L está no assento 1 e K está no assento 5, qual das seguintes afirmações é verdadeira? 
(a) J está no assento 2. 
(b) M está no assento 3. 
(c) N está no assento 4. 
(d) O está no assento 4. 
(e) M está no assento 6. 
 
 
Questão 7 
Se K está no assento 2, qual lista contém os assentos que poderiam ser ocupados por O? 
(a) 1. 
(b) 3. 
(c) 3 e 4. 
(d) 1, 3 e 4. 
(e) 3, 4 e 5. 
 
 
Questão 8 
Se M e O estão nos assentos 2 e 3, respectivamente, qual das seguintes afirmações deve 
ser verdadeira? 
I. J está no assento 5. 
II. K está no assento 3. 
III. L está no assento 1. 
(a) Somente I. 
(b) Somente II. 
(c) Somente III. 
(d) Somente I e II. 
(e) Somente I e III. 
 
 
 
Argumento das Questões 9 e 10 
 37
No sistema de metrô de Paris, um passageiro pode ir: 
 
 Da estação P à estação Q. 
 Da estação Q à estação R e da estação Q à estação S. 
 Da estação R à estação S e da estação R à estação T. 
 Da estação S à estação U e da estação S à estação P. 
 Da estação T à estação U e da estação T à estação R. 
 Da estação U à estação P e da estação U à estação S. 
 Passageiros podem passar por um número qualquer de estações até chegar a seu 
destino final. 
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Resumo: Introdução ao Raciocínio Lógico – por Desconhecido 
 
 
Questão 9 
Um passageiro que está na estação T e deseja viajar até a estação Q deve passar por 
quantas estações, no mínimo, antes de chegar a seu destino? 
(a) 1. 
(b) 2. 
(c) 3. 
(d) 4. 
(e) 5. 
 
 
Questão 10 
Um passageiro na estação U deseja viajar pelo sistema de metrô, passando por pelo menos 
três estações distintas e retornar à estação U. Nesta viagem, nenhuma estação pode ser 
visitada mais de uma vez. Quantas rotas alternativas esse passageiro pode tomar? 
(a) 2. 
(b) 3. 
(c) 4. 
(d) 5. 
(e) 6. 
 
 
 
Gabarito: 
1. (b) 
2. (a) 
3. (d) 
4. (e) 
5. (e) 
6. (e) 
7. (e) 
8. (a) 
9. (b) 
10. (c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38
 
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Resumo: Introdução ao Raciocínio Lógico – por Desconhecido 
PROBLEMAS DE RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
 
Como abordar os problemas: 
• Analise o raciocínio expresso nas questões. 
• Em algumas questões, todas as respostas poderão parecer aceitáveis. 
 
Sua tarefa é selecionar a melhor resposta para a questão, ou seja, uma resposta que não 
demande suposições que violem o bom senso ou que resultem implausíveis, redundantes, 
irrelevantes ou inconsistentes. 
 
 
Questão 1 
A Delegacia do Trabalho de Gotham City notificou a empresa X acerca dos altos níveis de 
ruídos gerados por suas operações fabris, causador de inúmeras queixas por parte de 
empregados da empresa. A gerência da empresa respondeu observando que as 
reclamações haviam sido feitas por funcionários novos, e que funcionários mais experientes 
não acham excessivo o nível de ruído na fábrica. Baseada nessa constatação, a gerência 
concluiu que o ruído na fábrica não era um problema real, não adotando nenhuma medida 
para sua redução. 
Qual das afirmações, se verdadeira, indica uma falácia no argumento utilizado pela 
empresa? 
(a) Como a empresa é localizada em um parque industrial, residências não estão 
localizadas próximas o suficiente da planta a ponto de serem afetadas pelo ruído. 
(b) O nível de ruído na fábrica varia com a intensidade de atividade, atingindo seu máximo 
quando o maior número de empregados estiver trabalhando simultaneamente. 
(c) Funcionários mais experientes não sentem desconforto devido à significativa perda 
auditiva resultante do excesso de ruído na fábrica. 
(d) A distribuição de protetores auriculares a todos os funcionários não aumentaria de 
maneira significativa os custos operacionais da empresa. 
(e) A Delegacia do trabalho não possui suficiente autoridade a ponto de exigir o 
cumprimento de uma recomendação a cerca de procedimentos de segurança no 
trabalho. 
 
 
Questão 2 
Quando chove, meu carro fica molhado. Como não tem chovido ultimamente, meu carro não 
pode estar molhado. 
Qual dos argumentos é logicamente mais similar ao argumento apresentado acima? 
(a) Sempre que a crítica elogia uma peça de teatro, as pessoas vão vê-la. A nova peça 
de Shakespeare não recebeu críticas favoráveis, logo eu duvido que alguém queira 
vê-la. 
 39
(b) Sempre que uma peça recebe uma grande audiência, ela é elogiada pela crítica. A 
nova peça de Shakespeare vem tendo grande audiência sendo, por isso, elogiada 
pela crítica. 
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Resumo: Introdução ao Raciocínio Lógico – por Desconhecido 
(c) Sempre que a crítica elogia uma peça de teatro, as pessoas vão vê-la. A nova peça 
de Shakespeare recebeu críticas favoráveis, logo as pessoas provavelmente vão 
querer vê-la. 
(d) Sempre que uma peça de teatro recebe elogios da crítica, as pessoas vão vê-la. 
Como as pessoas estão indo ver a nova peça de Shakespeare, ela provavelmente 
receberá elogios da crítica. 
(e) Sempre que a crítica elogia uma peça de teatro, as pessoas vão vê-la. As pessoas 
não estão indo ver a nova peça de Shakespeare, logo ela não recebeu elogios da 
crítica. 
 
 
Questão 3 
A existência de discos voadores (isto é, objetos voadores não-identificados supostamente 
pilotados por seres extraterrestres) tem sido demonstrada como sendo ilusória. 
Pesquisadores céticos têm demonstrado que um conjunto de fotografias supostamente 
contendo imagens de discos-voadores consistem de adulterações grosseiras ou imagens de 
objetos terráqueos, como balões metereológicos ou pequenos aviões particulares, 
erroneamente interpretadas. 
Se as fotografias mencionadas acima estão explicadas de maneira precisa no texto, qual é o 
melhor argumento CONTRA a conclusão apresentada no texto? 
(a) Nem todos os objetos voadores não-identificados podem ser apresentados, de 
maneira conclusiva, como sendo objetos feitos pelo homem. 
(b) O fato de algumas fotografias de discos voadores serem forjadas, não é prova 
generalizável contra a existência do fenômeno. 
(c) Algumas das pessoas que alegam ter visto discos voadores não têm motivo aparente 
para estar mentindo. 
(d) Dado o tamanho e complexidade do Universo, não parece razoável supor que exista 
vida somente na Terra. 
(e) Pesquisadores céticos quanto a existência de discos voadores inevitavelmente 
incutem suas próprias tendências e preconceitos em seu trabalho. 
 
 
Questão 4 
Todos os membros do Diretório Central de Estudantes (DCE) assinaram a petição solicitando 
uma reunião com o reitor da Universidade. Felipe deve ser membro do DCE, já que sua 
assinatura aparecena petição. 
Qual dos argumentos melhor apresenta a principal falácia no raciocínio acima? 
(a) Talvez alguns membros do DCE não apóiem todas as posições do diretório. 
(b) É possível que a assinatura de Felipe na petição tenha sido falsificada por um membro 
do DCE. 
(c) Qualquer estudante está apto a assinar petições do DCE que tratem de assuntos 
universitários. 
(d) Talvez Felipe tenha-se desligado do DCE após ter assinado a petição. 
(e) Algumas das pessoas que assinaram a petição talvez não sejam membros do DCE. 
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Resumo: Introdução ao Raciocínio Lógico – por Desconhecido 
Questão 5 
O percentual da renda familiar investido em diversão tem permanecido relativamente estável 
nos últimos 20 anos - cerca de 12%. Quando novas formas de entretenimento tornam-se 
populares, elas não expandem esse percentual, mas "roubam" consumidores que antes 
gastavam com outras formas de entretenimento. Assim, produtores de cinema vêm 
observando a explosão do vídeo doméstico com preocupação, sabendo que cada real gasto 
no aluguel de vídeos significa um real a menos gasto na bilheteria dos cinemas. 
Qual das seguintes afirmações, se verdadeira, mais enfraquece o argumento acima? 
(a) O custo do aluguel de um vídeo é, geralmente, substancialmente menor que o preço 
de um ingresso de cinema. 
(b) A maior parte dos produtores de cinema recebe uma porção dos lucros resultantes da 
venda de vídeos, por conta de direitos de reprodução de seus filmes em vídeo. 
(c) Temores, por parte de alguns produtores de cinema, de que vídeos substituiriam o 
cinema têm-se mostrado infundados. 
(d) Desde o início da "onda" dos vídeos domésticos, a quantidade de dinheiro gasto em 
outras formas de entretenimento, que não vídeo e cinema, tem diminuído. 
(e) Alguns filmes que não resultaram em lucro quando apresentados nos cinemas, foram 
bem sucedidos quando lançados em vídeo. 
 
Questão 6 
O uso de derivados de petróleo na produção de plásticos deveria ser regulamentado e 
limitado por lei. O petróleo necessário ao nosso país para a produção de energia é mais vital 
que nossa necessidade por plásticos. Nossa crescente dependência em fontes estrangeiras 
de petróleo poderia apresentar conseqüências severas se, por exemplo, uma guerra nos 
privasse destas importações. Através da redução da utilização de derivados de petróleo na 
produção de plásticos, poderíamos dar um grande passo na obtenção de nossa 
independência energética e, assim, aumentar nossa segurança nacional. 
Qual das afirmações, se verdadeira, mais enfraqueceria o argumento apresentado acima? 
(a) Somente uma pequena fração dos derivados de petróleo consumidos em nosso país é 
utilizado na produção de plásticos. 
(b) Novos métodos de produção de plásticos podem diminuir um pouco a quantidade de 
petróleo usado como matéria-prima. 
(c) O desenvolvimento da energia atômica como alternativa à produção de energia 
baseada em petróleo tem sido desacelerado, em vista de preocupações legítimas com 
aspectos relacionados à segurança. 
(d) Em tempos de guerra, nações combatentes seriam seriamente tentadas a invadir o 
território de nações produtoras de petróleo. 
(e) Alguns produtos de plástico, como peças utilizadas em aviões e veículos automotores, 
desempenham um papel vital na defesa nacional. 
 
Questão 7 
 41
Produtos eletrônicos estrangeiros ganharam popularidade nos Estados Unidos durante os 
anos 70, principalmente devido ao seu baixo custo. Em anos recentes, mudanças nas taxas 
de câmbio resultaram em incremento nos preços de produtos eletrônicos importados, em 
comparação com eletrônicos produzidos nos Estados Unidos. Todavia, as vendas de 
produtos eletrônicos importados não apresentaram declínio nos últimos anos. 
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Resumo: Introdução ao Raciocínio Lógico – por Desconhecido 
Qual das afirmações, se verdadeira, explicaria melhor por que as vendas de produtos 
eletrônicos importados continuam em alta nos Estados Unidos? 
(a) Ministérios do Comércio de nações estrangeiras têm adotado políticas que evitaram 
que preços de produtos eletrônicos aumentassem ainda mais rapidamente. 
(b) O custo de manufatura de eletrônicos no exterior ainda é menor que o preço de 
manufatura de eletrônicos nos Estados Unidos. 
(c) Uma eminente recessão no mercado americano deverá reduzir a venda de produtos 
importados durante os próximos dois anos. 
(d) Consumidores americanos acreditam que a qualidade dos eletrônicos importados é 
alta o suficiente a ponto de justificar seus preços mais altos. 
(e) Fabricantes de eletrônicos americanos têm tentado convencer consumidores a 
comprar produtos americanos, por razões patrióticas. 
 
Questão 8 
Jovens que acreditam que a vida de um escritor é cheia de glamour, riqueza ou fama logo 
descobrem não somente as agruras do ofício, mas as constantes adversidades que 
dificultam a obtenção de reconhecimento e segurança financeira na profissão. Uma vez 
perguntado "Não seria a maioria dos editores escritores mal sucedidos?", diz-se que T.S. 
Elliot teria respondido "Sim, mas o mesmo acontece com a maioria dos escritores". 
A afirmação de T.S. Elliot é veículo de qual das idéias abaixo? 
(a) A profissão de editor pode ser tão criativa e desafiante como a de escritor. 
(b) Poucos escritores são bem-aventurados o suficiente a ponto de atingirem sucesso 
verdadeiro em sua profissão. 
(c) Para um escritor, o sucesso é medido mais em termos de influência exercida do que 
em termos de bens materiais obtidos. 
(d) Muitos escritores acham que noções sobre o trabalho editorial constituem-se em 
aprendizado benéfico para suas carreiras. 
(e) Não existem padrões definidos de sucesso e fracasso na carreira de escritor; tal 
padrões, todavia, estão claros para a carreira de editor. 
 
 
Gabarito: 
1. (c) 
2. (a) 
3. (b) 
4. (e) 
5. (d) 
6. (a) 
7. (d) 
8. (b) 
 
 
 
 42
 
	DESCONHECIDO
	INTRODUÇÃO AO RACIOCÍNIO LÓGICO
	I - CONJUNTOS NUMÉRICOS E ARITMÉTICA
	1.1 Operação com números
	1.1.1 Os números naturais
	1.1.3 Adição e Subtração 
	1.1.4. Multiplicação e divisão
	1.1.5. Divisão Euclidiana
	1.1.6. Números primos
	1.1.7. Números compostos
	1.1.8. Números pares e ímpares
	1.1.9. Note que:
	1.1.10. Crivo de Eratóstenes
	1.1.11. Teoria Fundamental da Aritmética
	1.1.12. Múltiplos e divisores comuns
	1.1.12. Frações ordinárias
	2. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
	2.1. Definições iniciais
	2.1.1. Definições iniciais
	2.1.2. O que são expressões algébricas ?
	2.1.3. Em resumo
	2.2 Operações
	2.2.1. Soma algébrica de monômios
	2.2.2. Multiplicação e divisão de monômios
	2.2.3 Multiplicação e divisão de monômios
	2.2.4 Multiplicação e divisão de monômios
	2.3 Fatoração
	2.3.1 O que é Fatoração
	2.3.2 Por que fatorar ?
	2.3.3 Formas de fatoração
	- Fator Comum
	- Agrupamento
	- Utilizando produtos notáveis
	2.4 Produtos notáveis
	2.4.1 Quadrado da soma
	2.4.2 Quadrado da diferença
	2.4.2 Produto de conjugados
	2.4.3 Cubo da soma
	2.4.4 Cubo da diferença
	2.4.5. Cubo da diferença
	2.4.6. Soma de cubos
	2.4.7. Diferença de cubos
	2.4.8. Quadrado do trinômio
	RACIOCÍNIO LÓGICO NA TEORIA DOS CONJUNTOS
	3.1. Recordando
	3.1.1. Relações de pertinência:
	3.2. Exercício resolvido
	3.2.1. Solução
	3.3. Exercício para firmar os conceitos
	3.3.1. Exercício 1
	3.4 Solução dos exercícios propostos
	IV. RACIOCINO LÓGICO EM SUCESSÕES DE PALAVRAS
	4.1. Exercícios resolvidos
	4.2. Soluções dos exercícios propostos
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Questão 7
	Questão 8
	Questão 9
	Questão 10
	Argumento das Questões 1, 2 e 3
	Questão 2
	Questão 3
	Argumento das Questões 4, 5, 6 e 7
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Questão 7
	Argumento das Questões 9 e 10
	Questão9
	Questão 10
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Questão 7