AulaPratica 01_Funções

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AULA PRÁTICA 01: Funções reais de variável real 
_________________________________________________________________________ 
Exercício resolvido: Seja 1
4)(
2
−
−
=
x
x
xf
, mostrar que 2
2411
tt
t
t
f
−
−
=





. 
 
 Substituindo x = ( 1 / t ) na f (x), encontra-se: 
 
( )
( ) 2
2
2
22
22
41
1
41
1
41
11
41
1
tt
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
f
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−





=





 
_________________________________________________________________________ 
Exercícios propostos: 
a) Se 7
13
−
−
=
z
z
zf )(
, mostrar que 28537
8838224 2
2
−+−
−+−
=+
tt
tt
tftf )/()(
 
b) Se dcy
bayyg
+
+
=)(
 e ad −= , mostre que yygg =))(( . 
_________________________________________________________________________ 
 2 
_________________________________________________________________________ 
Exercício resolvido: Determinar o domínio e a imagem das funções ( ) 3 73 zzzg −++= e 
( )
1+
=
y
yyh
. 
 
( ) 3 73 zzzg −++=
 ( )
1+
=
y
yyh
 
3033 −≥⇒≥+⇒+ zzz
 
IRz ⇒−3 7
 
Dom g(z) = [ -3, +∞) 
 
Dom h(y) = ( ) )[ ∞+∪∞− 0,1- , 
Im g(z) = ( ) )[ ∞+= ,103zg Im h(y) = [ 0, +∞) 
_________________________________________________________________________ 
Exercícios propostos: Determinar o domínio e a imagem das funções. 
 
a) 
( ) 24 xxf −=
 
b) 
( ) 342 +−= rrrj
 
c) 
( )
u
uw
+
=
1
1
 
_________________________________________________________________________ 
 3 
_________________________________________________________________________ 
Exercício resolvido: Considerando 21
)(
x
x
xf
+
=
 e x
xg 1)( =
, calcular gf + , gf − , 
gf × , gf / , gf 0 , fg 0 
( )( ) ( ) xxxxx xxxxxxgf ++=+ ++=++=+ 3
2
2
22
2
12
1
11
1 
( )( ) ( )( ) xxxx xxxxxxgf +−=++−=−+=− 32
22
2
1
1
11
1 
( )( ) 22 1
11
1 xxx
x
xgf
+
=⋅
+
=×
 
( )( ) 2
2
2 111 x
xx
x
x
xgf
+
=⋅
+
=/
 
( )( ) [ ] ( ) 11
1
1
1
11
1
1
 22
2
2
220 +
=
+
⋅=
+
=
+
==
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
fxgf
 
( )( )
x
x
x
xx
xgxfg
2
2
20
1
1
1
1
 
+
=
+
=





+
=
 
_________________________________________________________________________ 
Exercícios propostos: Calcular gf + , gf − , gf × , gf / , gf 0 , fg 0 e seus 
respectivos domínios, para as funções abaixo. 
 
a) 23)( −= xxf e xxg =)( b) 3)( xxf = e 31)( xxg = 
_________________________________________________________________________ 
 4 
_________________________________________________________________________ 
Exercício resolvido: Determinar quais das seguintes funções são pares ou ímpares: 
123)( 24 +−= xxxf
 e x
x
xf
−
+
=
1
1ln)(
 
( ) par função⇒=− xfxf )(
 
( ) ímpar função⇒−=− xfxf )(
 
 
( ) ( ) ( ) par função123123 2424 ⇒=+−=+−−−=− xfxxxxxf )(
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ímpar função
1
1ln1ln 1ln 
1ln1ln 
1
1ln
1
1ln
⇒−=
−
+
−=−−+−=
=+−−=
+
−
=
−−
−
=−
xf
x
x
xx
xx
x
x
x
x
xf )(
 
_________________________________________________________________________ 
Exercícios propostos: Determinar quais das seguintes funções são pares ou ímpares: 
a) 
xxxf 25)( 3 −=
 
b) 
22)( 2 ++= sssf
 
c) ( )21ln)( xxxf ++=
 
_________________________________________________________________________ 
 5 
_________________________________________________________________________ 
Exercício resolvido: Determinar a fórmula da função inversa para a função 
( )
ax
ax
xfy
−
+
==
. 
 Isolando a variável independente x, temos: 
1
 
−
+
=⇒+=−⇒+=−
y
aya
xayaxxyaxayxy
 
 A função inversa de ( )xf é: 
( )
1
 
−
+
=
x
axa
xg
 
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Exercícios propostos: Em cada um dos exercícios determine a fórmula da função inversa. 
Tentar esboçar os gráficos da função dada e de sua inversa. 
a) 
( ) xaxfy −−==
, ax ≤ 
b) 
( )
12
2
+
==
x
x
xfy
, 0≥x 
_________________________________________________________________________