1 - Radiacao_corpo_negro

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Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO 
DE 
CORPO NEGRO
FÍSICA MODERNA I
“Consideramos, 
porém – este é o ponto mais 
importante de todo o cálculo 
– que a energia dos 
osciladores é a soma de um 
número inteiro de partes 
iguais” – Max Planck
José Fernando Fragalli
Departamento de Física – Udesc/Joinville
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. Introdução
2. A Física no Final do Século XIX
3. Propriedades do Campo de Radiação
4. A Radiação de Corpo Negro
b. Modelos Teóricos
- Modelo de Planck
- Modelo de Rayleigh-Jeans
a. Resultados Experimentais
- Modelo de Wien
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
O que é a Física?
1. INTRODUÇÃO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física: palavra originária do grego φύσις (lê-se
“physiké”), e que significa natureza.
Antes do Século XIX a Física era conhecida como 
Filosofia Natural, e estudava indistintamente o mundo 
animado e o inanimado.
A partir do Século XIX começou a haver divisões de 
interesse, tais como a Mecânica, a Termodinâmica, a 
Eletricidade e o Magnetismo.
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Do que trata a Física?
A partir do Século XX, podemos dizer que é a Ciência que 
estuda a natureza em seus aspectos mais gerais.
Como Ciência utiliza o Método Científico.
A Física busca, primordialmente, identificar e conhecer 
as leis básicas que regem o Universo.
Para a formulação dos conceitos que regem os 
fenômenos naturais, utiliza a Matemática como linguagem.
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. INTRODUÇÃO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Universo? Natureza? Mas, o que é a Natureza? Como ela 
pode ser entendida?
NATUREZA
MATÉRIA
RADIAÇÃO
(LUZ)
= +
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. INTRODUÇÃO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Matéria e Radiação...
Características da Matéria:
1) Localizável: está concentrada em uma dada região do 
espaço.
2) Ponderável: está associada a uma massa.
3) Corpuscular: pode ser compreendida como um 
conjunto de partículas.
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. INTRODUÇÃO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Matéria e Radiação...
Características da Radiação:
1) Não-localizável (distribuída): não pode ser localizada, 
está distribuída por todo o espaço.
2) Imponderável: não é possível associar uma massa a 
ela.
3) Ondulatória: pode ser compreendida como sendo 
transportada por uma onda.
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. INTRODUÇÃO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
1. Introdução
2. A Física no Final do Século XIX
3. Propriedades do Campo de Radiação
4. A Radiação de Corpo Negro
b. Modelos Teóricos
- Modelo de Planck
- Modelo de Rayleigh-Jeans
a. Resultados Experimentais
- Modelo de Wien
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Como a Física descrevia a Matéria no final do Século XIX?
2. A FÍSICA NO FINAL DO SÉCULO XIX
Matéria: sua dinâmica era tratada pelas Leis de Newton.
Isaac Newton
(1643-1727)
dt
pdF
r
r
=
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Isaac Newton (1643-1727) apresentou as suas leis em seu 
livro mais famoso, “Philosophiae Naturalis Principia 
Mathematica”, publicado em 1687.
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Como a Física descrevia a Matéria no final do Século XIX?
As Leis de Newton resultaram numa melhor 
compreensão da Mecânica Celeste, da Mecânica dos Fluidos
e da Termodinâmica.
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
2. A FÍSICA NO FINAL DO SÉCULO XIX
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Como a Física descrevia a Radiação no final do Século 
XIX?
Radiação: sua dinâmica era tratada pelas Equações de 
Maxwell.
James Clerk
Maxwell
(1831-1879)
t
DJH
t
BE
B
D
∂
∂
+=×∇
∂
∂
−=×∇
=•∇
=•∇
r
rrr
r
rr
rr
rr
0
ρ
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
2. A FÍSICA NO FINAL DO SÉCULO XIX
James Clerk Maxwell (1831-1879) apresentou suas 
equações no livro “A Treatise on Electricity and Magnetism”, 
publicado em 1873.
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Como a Física descrevia a Radiação no final do Século 
XIX?
As Equações de Maxwell permitiram uma melhor 
compreensão dos fenômenos da Eletricidade, do
Magnetismo e da Óptica.
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
2. A FÍSICA NO FINAL DO SÉCULO XIX
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Radiação de Corpo Negro
Problema: como explicar fenômenos onde ocorria 
interação entre a Matéria e a Radiação?
1) Emissão de radiação por corpos aquecidos: Radiação 
de Corpo Negro.
2) Retirada de cargas elétricas de um corpo sob 
iluminação: Efeito Fotoelétrico.
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
2. A FÍSICA NO FINAL DO SÉCULO XIX
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
1. Introdução
2. A Física no Final do Século XIX
3. Propriedades do Campo de Radiação
4. A Radiação de Corpo Negro
b. Modelos Teóricos
- Modelo de Planck
- Modelo de Rayleigh-Jeans
a. Resultados Experimentais
- Modelo de Wien
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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Radiação de Corpo Negro
Equações de Maxwell
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
1) Lei de Gauss (1777-1855) para a Eletricidade: descreve 
o fenômeno da existência da carga elétrica.
Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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Radiação de Corpo Negro
Equações de Maxwell
Teorema da Divergência⇒⇒⇒⇒
1) Lei de Gauss para a Eletricidade: descreve o fenômeno 
da existência da carga elétrica.
: vetor deslocamento elétrico
ρρρρ: densidade de carga elétrica
Q: quantidade de carga dentro da gaussiana
D
r
QdVdSnD
S V
=⋅=⋅•∫∫ ∫∫∫ρˆ
r
ρ=•∇ D
rr
⇓⇓⇓⇓
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Equações de Maxwell
2) Lei de Gauss para o Magnetismo: descreve o 
fenômeno da existência de dipolos magnéticos.
Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Equações de Maxwell
Teorema da Divergência⇒⇒⇒⇒
B
r
: vetor campo magnético
2) Lei de Gauss para o Magnetismo: descreve o 
fenômeno da existência de dipolos magnéticos.
∫∫ =⋅•
S
dSnB 0ˆ
r
0=•∇ B
rr
⇓⇓⇓⇓
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Equações de Maxwell
3) Lei de Faraday (1791-1867): descreve como criar 
campos elétricos a partir de campos magnéticos variáveis.
Michael Faraday
(1791-1867)
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
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Radiação de Corpo Negro
Equações de Maxwell
Teorema de Stokes⇒⇒⇒⇒
3) Lei de Faraday: descreve como criar campos elétricos 
a partir de campos magnéticos variáveis.
: vetor campo elétricoEr
dSn
t
BldE
C S
⋅•
∂
∂
−=•∫ ∫∫ ˆ
r
rr
t
BE
∂
∂
−=×∇
r
rr
⇓⇓⇓⇓
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Equações de Maxwell
4) Lei de Ampère-Maxwell: descreve como criar campos 
magnéticos a partir de correntes elétricas (Ampère, 1775-
1836) ...
André-Marie Ampère
(1775-1836)
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Equações de Maxwell
4) Lei de Ampère-Maxwell:... ou campos elétricos 
variáveis (Maxwell, 1831-1879).
James Clerk Maxwell
(1831-1879)
RADIAÇÃODE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Equações de Maxwell
4) Lei de Ampère-Maxwell: descreve como criar campos 
magnéticos a partir de correntes elétricas ou campos 
elétricos variáveis.
J
r
H
r
Teorema de Stokes⇒⇒⇒⇒
: vetor intensidade magnética
: vetor densidade de corrente elétrica
I: corrente elétrica
IdSn
t
DJldH
C S
=⋅•







∂
∂
+=•∫ ∫∫ ˆ
r
rrr
t
DJH
∂
∂
+=×∇
r
rrr
⇓⇓⇓⇓
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
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Radiação de Corpo Negro
Equações de Maxwell: relações constitutivas
2) Equação constitutiva entre o campo magnético e o
campo de intensidade magnética:
1) Equação constitutiva entre o campo elétrico e o campo 
de deslocamento elétrico:
εεεε: permissividade elétrica do meio.
µµµµ: permissividade magnética do meio.
ED
rr
⋅= ε
HB
rr
⋅= µ
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
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Radiação de Corpo Negro
Equações de Maxwell: caso particular – vácuo
1) Vácuo: εεεε = εεεε0 = 8,85××××10-12 F/m e µµµµ = µµµµ0 = 4pi×pi×pi×pi×10-7 H/m.
2) Vácuo: não há fontes de carga (Q = 0) nem fontes de 
corrente (I = 0).
0
0
=•∇
=•∇
B
E
rr
rr
t
EB
t
BE
∂
∂
⋅⋅=×∇
∂
∂
−=×∇
r
r
r
rr
00 εµ
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
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Equações de Maxwell: a equação de onda
v é a velocidade de 
propagação da onda.
⇓⇓⇓⇓
velocidade da luz
As Equações de Maxwell conduzem à Equação de Onda
para o campo eletromagnético.
vOEM: velocidade 
da onda 
eletromagnética
02
2
00
2
=
∂
∂
⋅⋅−∇
t
EE
r
r
εµ 02
2
00
2
=
∂
∂
⋅⋅−∇
t
BB
r
r
εµ
smvOEM /1000,3
1 8
00
×=
⋅
=
εµ 0
1
2
2
2
2
=
∂
Ψ∂
−Ψ∇
tv
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
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Equações de Maxwell: a LUZ!!!
...E “DEUS” DISSE
⇒⇒⇒⇒ ....E A LUZ FOI FEITA!!!!
Conclusão: A LUZ É UMA ONDA 
ELETROMAGNÉTICA!!!!!!!
t
DJH
t
BE
B
D
∂
∂
+=×∇
∂
∂
−=×∇
=•∇
=•∇
r
rrr
r
rr
rr
rr
0
ρ
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3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
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Radiação de Corpo Negro
Equações de Maxwell: tratamento matemático simples
ˆi
Seja uma onda eletromagnética se propagando em uma 
única direção arbitrária (por exemplo, a direção x definida 
pelo versor ).
Neste caso, a onda eletromagnética oscila no plano yz
(onda plana), ou seja, os campos elétrico e magnético
oscilam no plano yz!
Também neste caso os campos elétrico e magnético
dependem apenas da coordenada x.
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Equações de Maxwell: tratamento matemático simples
εˆ
ˆ ˆi ε×
Caso o campo elétrico oscile ao longo de uma direção 
definida por um vetor de polarização , o campo magnético
oscila numa direção perpendicular ao campo elétrico e a esta 
direção de polarização .
01 2
2
22
2
=
∂
∂
−
∂
∂
t
E
cx
E PP
rr
01 2
2
22
2
=
∂
∂
−
∂
∂
t
B
cx
B PP
rr
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Equações de Maxwell: tratamento matemático simples
A solução destas equações de onda é então
k: número de onda
λλλλ: comprimento de onda
ωωωω: freqüência angular da onda
νννν: freqüência da onda
T: período da onda
ϕϕϕϕ: fase da onda
( ) ( )ϕωε +⋅−⋅⋅⋅= txkEtxEP cosˆ, 0r
( ) ( ) ( )ϕωε +⋅−⋅⋅⋅×= txkBitxBP cosˆˆ, 0r λ
pi⋅
=
2k νpipiω ⋅⋅=⋅= 22
T
00
1 E
c
B =
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
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Equações de Maxwell: representação geométrica
Podemos visualizar a oscilação dos campos elétrico e 
magnético como mostrado abaixo.
c = 3,0××××108 m/s:
velocidade da luz no 
vácuo
: dourado
: azul
E
r
B
r
PP Ei
c
B
rr
×= ˆ
1
Tk
c
λ
νλω =⋅==
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3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
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Espectro Eletromagnético
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
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Produção de Ondas Eletromagnéticas
Heinrich Rudolf Hertz
(1857-1894)
Busto no campus da Universidade 
de Karlsruhe. Tradução: Neste 
local descobriu Heinrich Hertz as 
ondas eletromagnéticas nos anos 
1885 — 1889
Heinrich Hertz (1857-1894) demonstrou de forma 
experimental a existência da radiação eletromagnética
criando aparelhos emissores e detectores de ondas de rádio.
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
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Radiação de Corpo Negro
Produção e Recepção de Ondas Eletromagnéticas
Oscilador de Hertz Rádio Receptor
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3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
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Ações Mecânicas do Campo de Radiação: energia e 
densidade de energia
O campo eletromagnético armazena energia em seu 
interior, tal que
( ) ( ) dVtrBtrEU
V
⋅











⋅
+





⋅= ∫∫∫ ,2
1
,
2
1 2
0
2
0
rr
µ
ε
2
002
1 Eu ⋅= ε
[ ] SImJu 3/=
( ) ( ) ( )trBtrEtru ,
2
1
,
2
1
,
2
0
2
0
rrr
µ
ε
⋅
+⋅=
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
A partir daí, definimos a densidade de energia associada 
ao campo eletromagnético tal que
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Radiação de Corpo Negro
Ações Mecânicas do Campo de Radiação: intensidade
O campo eletromagnético ao incidir sobre uma superfície 
provoca sobre ela uma dada intensidade, tal que
dt
dU
A
I ⋅= 1 ( ) ( ) ctrutrI ⋅= ,, rr cuI ⋅=
[ ] SImWI 2/=BESI
rrr
×==
0
1
µ
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Associamos a intensidade do campo eletromagnético ao 
vetor de Poynting, tal que
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Radiação de Corpo Negro
Ações Mecânicas do Campo de Radiação: momento linear 
e densidade de momento linear
Embora não transporte massa, o campo eletromagnético
troca momento linear com qualquer corpo tal que definimos
S
c
BEg
rrr
20
1
=×⋅= ε ∫∫∫ ⋅=
V
dVgp rr
i
c
ug ˆ⋅=r i
c
Up ˆ⋅=r
c
Up =
[ ]
[ ] SImsJp
SIsmkgp
/
/
⋅=
⋅=
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Ações Mecânicas do Campo de Radiação: pressão de 
radiação
Ao incidir sobre uma superfície, o campo eletromagnético
executa sobre ela uma pressão de radiação, tal que
t
p
AA
FP
∆
∆
==
r1 ( ) ( ) θ2cos,2, ⋅⋅= trutrPR rr
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
[ ] SImNP 2/=
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Radiação de Corpo Negro
Ações Mecânicas do Campo de Radiação
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Definimos a grandeza brilhância como sendo a 
quantidade de energia irradiada em um ponto de uma 
cavidade por unidade de ângulo sólido, por unidade de 
volume, por um corpo aquecido a uma temperatura T.
Ω
=
d
du
B n
No caso particular da radiação ser emitida de forma 
isotrópica, temos que
pi⋅
=Ω
=
4
uuB
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Ações Mecânicas do Campo de Radiação: pressão de 
radiação de cavidade
uPRC 3
1
=
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Em uma cavidade em equilíbrio térmico com o meio, a 
radiação eletromagnética também provoca uma pressão de 
radiação sobre as suas paredes.
Neste caso, temos
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. Introdução
2. A Física no Final do Século XIX
3. Propriedades do Campo de Radiação
4. A Radiação de Corpo Negro
b. Modelos Teóricos
- Modelo de Planck
- Modelo de Rayleigh-Jeans
a. Resultados Experimentais
- Modelo de Wien
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Cavidades de corpo negro
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Definições de Termos para a Radiação
Intensidade!!!
Definimos radiância como sendo a quantidade de energia 
irradiada pelo elemento de área que contém P, por unidade 
de tempo, por unidade de área, pelo corpo aquecido a uma 
temperatura T.
( ) θθ coscos1 ⋅⋅=⋅=
∆
∆
= cuI
t
U
S
PR
[ ] SImWsmJR 22 // =⋅=
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Relação entre Radiância e Densidade de Energia
A partir da definição de brilhância feita anteriormente, 
obtemos a relação entre a radiância R e a densidade de 
energia u em uma cavidade.
cuRC ⋅= 4
1
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Assim, um corpo aquecido emite e absorve radiação do 
meio que o cerca.
Definimos radiação térmica como sendo a radiação 
emitida por um corpo devido a sua temperatura.
A radiância R, como definida anteriormente depende, 
pelo menos, da temperatura do corpo.
Definições de Termos para a Radiação
( )TRR =
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Definimos radiância espectral Rλλλλ (em termos do 
comprimento de onda) tal que a quantidade Rλλλλ·dλλλλ seja a taxa 
temporal com que a energia de um corpo aquecido é
irradiada, por unidade de área, nos comprimentos de onda 
entre λλλλ e λλλλ+dλλλλ.
Definições de Termos para a Radiação
( ) λλλ d
dRR = [ ] SImWmmWR 32 // =⋅=λ
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Definimos radiância rspectral Rνννν (em termos da 
freqüência) tal que a quantidade Rνννν·dνννν seja a taxa temporal 
com que a energia de um corpo aquecido é irradiada, por 
unidade de área, nas freqüências entre νννν e νννν+dνννν.
Definições de Termos para a Radiação
( )
ν
νν d
dRR = [ ] SImsWHzmWR 22 // ⋅=⋅=ν
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Relação entre as Radiâncias Espectrais Rνννν e Rλλλλ
A radiância R(T) e as radiâncias espectrais Rνννν ou Rλλλλ estão 
relacionadas pela equação
( ) ( )∫∫
∞∞
⋅=⋅=
00
ννλλ νλ dRdRR ννλ
ν
λ
R
c
RcR 22 ==
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Definimos a densidade de energia espectral uνννν em termos 
da freqüência como sendo
Definimos a densidade de energia espectral uλλλλ em termos 
do comprimento de onda como sendo
Definições de Termos para a Radiação
( ) λλλ d
du
u = ( )∫
∞
⋅=
0
λλλ duu
( )
ν
νν d
du
u = ( )∫
∞
⋅=
0
ννν duu
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
As densidades de energia espectrais uνννν e uλλλλ estão 
relacionadas com as radiâncias espectrais Rνννν e Rλλλλ através 
das equações
Relação entre as Densidades Espectrais uνννν e uλλλλ
Por sua vez, as densidades de energia espectrais uνννν e uλλλλ
estão relacionadas entre si através da equação
cuR ⋅= λλ 4
1 cuR ⋅= νν 4
1
ννλ
ν
λ ucu
c
u 22 ==
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
1. Introdução
2. A Física no Final do Século XIX
3. Propriedades do Campo de Radiação
4. A Radiação de Corpo Negro
b. Modelos Teóricos
- Modelo de Planck
- Modelo de Rayleigh-Jeans
a. Resultados Experimentais
- Modelo de Wien
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Resultados Experimentais e Empíricos
Um corpo aquecido emite radiação eletromagnética em 
um espectro contínuo, com maior intensidade na região do 
infravermelho (IR).
Matéria e radiação interagem e atingem o equilíbrio 
termodinâmico através de trocas de energia.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Resultados Experimentais: algumas definições
⇒⇒⇒⇒
Resultado obtido por William 
Ritchie em 1853, usando um 
termômetro diferencial.
Definimos a intensidade emissiva (e) de um corpo como 
sendo a energia emitida por unidade de área e por unidade 
de tempo.
Definimos a absorvidade ou absorbância (a) como sendo 
a fração da energia incidente sobre a superfície de um corpo 
que é absorvida por ele.
2
2
1
1
a
e
a
e
=
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Resultados Experimentais: algumas definições
CORPO NEGRO⇒⇒⇒⇒
Definimos a situação ideal em que o corpo 2 é tal que
Temos então que
Como por definição temos que
⇒⇒⇒⇒
1=Na
1
1
a
e
eN =
11 <a 1eeN >
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Resultados Experimentais: algumas definições
CORPO 
NEGRO É O 
ORIFÍCIO!!
Para obtermos resultados, construímos um modelo para 
o corpo Negro.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Este modelo deve ser tal que ele absorva toda radiação 
que incide sobre ele (aN = 1)
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Resultados Experimentais e Empíricos
Gustav Robert Kirchoff
(1824-1887)
Um dos primeiros cientistas a tratar quantitativamente da 
emissão de radiação de corpos aquecidos foi Gustav Robert 
Kirchoff (1824-1887).
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Resultados Experimentais e Empíricos
Em 1859, Kirchoff publicou o artigo “Über den
Zusammenhang zwischen Emission und Absorption von
Licht und Wärme” na revista Monatsberichte der Akademie
der Wissenchaften zu Berlin, December, p. 783-787.
Kirchoff concluiu que a emissividade de um corpo negro 
é uma função universal independente da forma, tamanho e 
composição química do corpo.
( )TfeN ,ν=
Em português o título deste artigo é “Sobre a relação 
entre a emissão e a absorção de luz e calor”.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Resultados Experimentais e Empíricos
Fio de platina:
T1 = 525 °°°°C ⇒⇒⇒⇒ T1 = 798 K
T2= 1200 °°°°C ⇒⇒⇒⇒ T2 = 1473 K
( ) ( )2 111,4e T e T= ⋅
John Tyndall
(1820-1893)
Em 1864, John Tyndall (1820-1893) realizou em 
experimento envolvendo a radiação emitida por um fio de 
platina em duas temperaturas diferentes.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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Radiação de Corpo Negro
Resultados Experimentais e Empíricos
Joseph Stefan
(1835-1893)Em 1879, Joseph Stefan (1835-1893) escreveu o artigo 
“Über die Beziehung swischen der Wärmstrahlung und der 
Temperatur” na revista Wiener Berichte, volume 79, pg. 391-
428.
Em português o título de artigo é “Sobre a 
relação entre calor e temperatura”.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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Radiação de Corpo Negro
Resultados Experimentais e Empíricos
σσσσ = 5,67××××10-8W/m2 ⋅⋅⋅⋅K4.
Neste artigo, a partir dos dados de Tyndall, Stefan
concluiu que a energia total emitida pelo corpo aquecido é
proporcional à quarta potência da temperatura, isto é:
Dados de Tyndall
T1 = 525 °°°°C ⇒⇒⇒⇒ T1 = 798 K
T2= 1200 °°°°C ⇒⇒⇒⇒ T2 = 1473 K
( ) nTTR ⋅= σ
( ) 00,4
798
1473log
4,11log
=






=n
( ) 4TTR ⋅= σ
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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Radiação de Corpo Negro
Resultados Experimentais e Empíricos
Ludwig Boltzmann
(1844-1906)
4R Tσ= ⋅ σσσσ = 5,67××××10-8W/m2 ⋅⋅⋅⋅K4.
Em 1884, Ludwig Boltzmann (1844-1906) demonstrou 
rigorosamente esta expressão, com base na existência da 
pressão de radiação dentro da cavidade.
Boltzmann considerou a radiação como 
uma máquina térmica, sujeita às leis da 
termodinâmica.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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Resultados Experimentais e Empíricos
Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Wien
(1864-1928)
De 1893 a 1896 Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Wien
(1864-1928) se dedicou a estudos teóricos e empíricos para 
obter uma expressão para a densidade de energia espectral
uνννν(νννν,T).
Prêmio Nobel de Física no ano de 1911 – “pelas 
descobertas das leis de irradiação do calor.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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Resultados Experimentais e Empíricos
Em 1893 Wien publicou o artigo “Ein neue Beziehung der 
Strahlung schwarzer Körper zum zweiten Hauptsatz der 
Wärmertheorie” na revista Königlich Preussische Akademie
der Wissenschaften de 09 de Fevereiro, pg. 55-62.
Em português o título deste artigo é “Uma nova relação 
da radiação de corpo negro em termos de dois conjuntos 
principais da teoria do calor”.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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Radiação de Corpo Negro
Resultados Experimentais e Empíricos
Já em 1894 Wien publicou o artigo “Temperatur und
Entropie der Strahlung” na revista Wiedmannsche Annalen
der Physik, volume 52, pg. 132-165.
Em português o título deste artigo é “Temperatura e 
entropia da radiação”. 
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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Radiação de Corpo Negro
Resultados Experimentais e Empíricos
Por fim em 1896 Wien publicou o artigo “Über die
Energievertheilung im Emissionsspektrum eines schwarzen
Körpers” na revista Wiedmannsche Annalen der Physik, 
volume 58, pg. 662-669.
Em português o título deste artigo é “Sobre a distribuição 
de energia no espectro de emissão de um corpo negro”. 
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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Radiação de Corpo Negro
Resultados Experimentais e Empíricos
O resultado destes trabalhos é conhecido como a Lei de 
Deslocamento de Wien.
( ) 





⋅=
T
fTu νννν 3,
A Lei de Deslocamento de Wien estabelece que a 
densidade de energia espectral uνννν(νννν) é dada por
É possível mostrar que a Lei de Stefan-Boltzmann está
contida na Lei de Deslocamento de Wien, isto é, a partir da 
equação anterior temos que
( ) 4TTR ⋅= σ
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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Resultados Experimentais e Empíricos
A Lei de Deslocamento de Wien pode ser escrita em 
termos do comprimento de onda da radiação ao invés da 
freqüência.
( ) ( )TgTu ⋅⋅= λλλλ 5
1
,
Para isto usamos a relação direta existente entre uνννν(νννν) e 
uλλλλ(λλλλ).
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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Resultados Experimentais e Empíricos
A origem do nome “lei de deslocamento” deve-se ao fato 
de que o comprimento de onda no qual a densidade de 
energia espectral é máxima, varia de acordo com a relação
bTMAX =⋅λ
Esta equação pode ser deduzida a partir da relação uλλλλ(λλλλ).
O valor da constante b depende, obviamente da forma da 
função g(λ⋅λ⋅λ⋅λ⋅T).
( ) ( )TgTu ⋅⋅= λλλλ 5
1
, ⇒⇒⇒⇒
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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Radiação de Corpo Negro
Resultados Experimentais e Empíricos
Friedrich Paschen
(1865-1947)
A Lei de Deslocamento de Wien foi verificada 
experimentalmente inúmeras vezes.
bTMAX =⋅λ
A confirmação mais cuidadosa desta lei 
foi obtida por Friedrich Paschen (1865-1947)
em 1899.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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Radiação de Corpo Negro
Resultados Experimentais e Empíricos
Ao lado mostramos resultados 
experimentais obtidos por Otto Lummer
(1860-1925) e Ernst Pringsheim (1859-
1917) em 1899.
Este resultado foi obtido no 
Physicalisch-Technische Reichsanstall.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Otto 
Lummer
(1860-1925)
Ernst 
Pringsheim
(1859-1917)
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Resultados Experimentais e Empíricos
Colaboradores importantes deste 
laboratório foram Heinrich Rubens (1865-
1922) e Ferdinand Kurlbaum (1857-1927).
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Foram deles as principais medidas 
com as quais Planck comparou seu 
modelo teórico.
Heinrich 
Rubens
(1865-1922)
Ferdinand
Kurlbaum
(1857-1927)
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Radiação de Corpo Negro
Resultados Experimentais e Empíricos
bA = 2,89××××10-3 m⋅⋅⋅⋅K
Abaixo mostramos uma comparação 
entre o resultado obtido por Lummer e 
Pringsheim com aquele obtido a partir de 
medidas atuais mais precisas.
bTMAX =⋅λ
bL&P = 2,94××××10-3 m⋅⋅⋅⋅K
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
1. Introdução
2. A Física no Final do Século XIX
3. Propriedades do Campo de Radiação
4. A Radiação de Corpo Negro
b. Modelos Teóricos
- Modelo de Planck
- Modelo de Rayleigh-Jeans
a. Resultados Experimentais
- Modelo de Wien
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Modelos Teóricos: a demonstração de Boltzmann
Boltzmann considerou que a radiação é composta de 
“partículas”, à semelhança de um gás ideal.
Com isto, Boltzmann pôde tratar a radiação como um 
sistema de partículas não-interagentes entre si.
Boltzmann demonstrou o resultado obtido por Stefan
usando apenas argumentos da Termodinâmica, aliados com 
a Teoria Eletromagnética de Maxwell.
( ) 4TTR ⋅= σ
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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Radiação de Corpo Negro
Modelos Teóricos: a demonstração de Boltzmann
Assim, Boltzmann impôs que a cavidade estava em 
equilíbrio termodinâmico com o meio, trocando calor com 
ele, a uma mesma temperatura T.
Desta forma, Boltzmann pôde aplicar a 1a e a 2a Lei da 
Termodinâmica à cavidade.
WQdU ∂−∂=
dSTQ ⋅=∂
dVPW ⋅=∂
dUdVPdST +⋅=⋅⇒⇒⇒⇒
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Modelos Teóricos: a demonstração de Boltzmann
Já que para um corpo negro a densidade de energia
depende apenas da temperatura, Boltzmann pôde escrever
Boltzmannformulou a hipótese de que a radiação contida 
na cavidade era proveniente de um corpo negro a uma dada 
temperatura T.
( ) ( ) VTuTVU ⋅=, ( ) dUVdVTudU ⋅+⋅=
dT
dT
dudu ⋅





=dTdT
duVdVudU ⋅





⋅+⋅= ⇐⇐⇐⇐
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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Radiação de Corpo Negro
Modelos Teóricos: a demonstração de Boltzmann
Boltzmann escreveu então a variação da entropia da 
cavidade onde está contida a radiação em termos da variação 
de volume e temperatura.
Boltzmann levou em conta a pressão de radiação em uma 
cavidade que contém a radiação, que como já vimos vale
uP
3
1
=
( ) dT
dT
duVdVuPdST ⋅





⋅+⋅+=⋅
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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Radiação de Corpo Negro
Modelos Teóricos: a demonstração de Boltzmann
Boltzmann obteve então para a entropia a seguinte 
equação
dT
T
SdV
V
SdS ⋅





∂
∂
+⋅





∂
∂
=
Boltzmann usou então o fato que a entropia é uma função 
de estado.
dT
dT
du
T
VdV
T
udS ⋅





⋅+⋅⋅=
3
4
( )TVSS ,= ⇒⇒⇒⇒
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Modelos Teóricos: a demonstração de Boltzmann
Boltzmann comparou então os termos das duas 
expressões para a entropia e obteve
Boltzmann calculou então as derivadas de segunda 
ordem da entropia e obteve






⋅=
∂
∂
⋅=
∂
∂
dT
du
T
V
T
S
T
u
V
S
3
4






⋅=
∂∂
∂
T
u
dT
d
TV
S
3
42






⋅=
∂∂
∂
dT
du
TVT
S 12
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Modelos Teóricos: a demonstração de Boltzmann
Boltzmann então utilizou a propriedade da igualdade 
entre estas derivadas de segunda ordem da entropia
Após alguma manipulação matemática, Boltzmann
finalmente chegou ao resultado
VT
S
TV
S
∂∂
∂
=
∂∂
∂ 22






⋅=





⋅
dT
du
TT
u
dT
d 1
3
4
( ) 4TTu ⋅= γ ( ) 4
4
TcTR ⋅⋅= γ
4
c⋅
=
γ
σ ( ) 4TTR ⋅= σ
⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Modelos Teóricos: a demonstração de Boltzmann
( ) 316,
3
S V T T Vσ⋅= ⋅
Por fim, Boltzmann calculou a entropia do campo de 
radiação e obteve
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Modelos Teóricos: a demonstração de Boltzmann
Boltzmann publicou estes resultados no artigo 
“Ableitung des Stefan’schen Gesetzes betreffend die
Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus
der elektromagnetischen Lichttheorie” na revista 
Wiedmannsche Annalen der Physik, volume 22, pg. 291-294.
Em português o título deste artigo é “Derivação da Lei de 
Stefan relacionada com a dependência da radiação de calor e 
da temperatura com a teoria eletromagnética da luz”.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
1. Introdução
2. A Física no Final do Século XIX
3. Propriedades do Campo de Radiação
4. A Radiação de Corpo Negro
b. Modelos Teóricos
- Modelo de Planck
- Modelo de Rayleigh-Jeans
a. Resultados Experimentais
- Modelo de Wien
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Modelos Teóricos
Abaixo estão as curvas experimentais a serem 
modeladas, bem como as expressões matemáticas 
associadas a elas.
a
T
MAX
=
ν
3TR MAX ∝ν
bTMAX =⋅λ
5TR MAX ∝λ
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
1. Introdução
2. A Física no Final do Século XIX
3. Propriedades do Campo de Radiação
4. A Radiação de Corpo Negro
b. Modelos Teóricos
- Modelo de Planck
- Modelo de Rayleigh-Jeans
a. Resultados Experimentais
- Modelo Empírico de Wien
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Modelos Teóricos: Modelo Empírico de Wien (1893)
Wien considerou o Efeito Doppler que sofre uma radiação 
ao incidir sobre uma parede espelhada em movimento;
Wien simulou o movimento de um pistão dentro do 
cilindro, atribuindo á radiação uma característica mecânica.
Wien, a seguir, generalizou o raciocínio de Boltzmann, 
aplicando a Termodinâmica à radiação contida em cada 
intervalo de freqüência entre νννν e νννν + dνννν.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Após um cálculo exaustivo, Wien então obteve a relação
Modelos Teóricos: Modelo Empírico de Wien (1893)
( ) 





⋅=
T
fu νννν 3
Problema: nem os princípios e relações básicas da 
Termodinâmica, nem do Eletromagnetismo permitem 
determinar a forma funcional da função f(νννν/T).
⇒⇒⇒⇒ ( ) ( )TgTu ⋅⋅= λλλλ 5
1
,
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Por outro lado, com a sua fórmula Wien ao menos 
conseguiu demonstrar a Lei de Deslocamento de Wien e a Lei 
de Stefan-Boltzmann.
Modelos Teóricos: Modelo Empírico de Wien (1893)
a
T
MAX
=
ν ( ) 4TTR ⋅= σ
Para determinar a forma funcional de f(νννν/T) Wien fez 
então uma conjectura.
bTMAX =⋅λ
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3TR MAX ∝ν
5TR MAX ∝λ
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Modelos Teóricos: Modelo Empírico de Wien (1893)
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Uma conjectura é uma idéia, fórmula ou frase, a qual não 
foi provada ser verdadeira, baseada em suposições ou idéias 
com fundamento não verificado.
Conjectura de Wien: a densidade de energia espectral
deve ser do tipo daquela proposta por Maxwell para a 
distribuição de velocidades de moléculas de um gás.
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Nas próprias palavras de Wien, “ ...uma visão atualmente 
aceita é que as cargas elétricas das moléculas podem excitar 
ondas eletromagnéticas ... e como o comprimento de onda λλλλ
da radiação emitida por uma dada molécula é uma função da 
velocidade v, esta velocidade também é uma função de λλλλ”.
Modelos Teóricos: Modelo Empírico de Wien (1896)
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Esta conjectura permitiu que Wien formulasse a seguinte 
proposta para uνννν(νννν):
Modelos Teóricos: Modelo Empírico de Wien (1896)
( ) 





⋅−⋅⋅=
T
u
νβνανν exp3
Wien usou então as relações entre uνννν(νννν) e uλλλλ(λλλλ) e obteve
( ) 





⋅
⋅
−⋅⋅⋅=
T
c
cu λ
β
λ
αλλ exp
1
5
4
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
A equação obtida por Wien não é correta para todo o 
espectro.
Modelos Teóricos: Modelo Empírico de Wien (1896)
( ) 





⋅−⋅⋅=
T
u
νβνανν exp3
Por outro lado, esta equação concorda muito bem para 
altas freqüências (comprimentos de onda pequenos), mas é
ruim para baixas freqüências (comprimentos de onda 
elevados).
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
1. Introdução
2. A Física no Final do Século XIX
3. Propriedades do Campo de Radiação
4. A Radiação deCorpo Negro
b. Modelos Teóricos
- Modelo de Planck
- Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
a. Resultados Experimentais
- Modelo Empírico de Wien
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Modelos Teóricos: Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
John William 
Strutt – Sir 
Rayleigh
(1842-1919)
Ele também sabia das limitações do resultado de Wien no 
que diz respeito ao comportamento ruim da densidade de 
energia espectral para baixas freqüências.
Prêmio Nobel de Física de 1904 –
“pelas investigações sobre a 
densidade dos gases e pela 
descoberta do Argônio”.
No final do Século XIX o físico inglês John William Strutt
(1842-1919) tomou conhecimento dos resultados de Wien.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Modelos Teóricos: Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
Em conseqüência destes estudos, em Junho de 1900 Sir 
Rayleigh obteve uma nova expressão para uνννν(νννν).
Seus resultados foram publicados em 1900 no artigo 
“Remarks upon the law of complete radiation” na revista 
Philosophical Magazine, volume 49, pg. 539-540.
Sir Rayleigh passou a estudar então o fenômeno da 
radiação de corpo negro, fixando o seu olhar apenas nas 
características da radiação.
Em português o título deste artigo é “Apontamentos 
sobre a lei da radiação completa”.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Modelos Teóricos: Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
Ao longo do desenvolvimento de seu modelo, Sir 
Rayleigh cometeu um pequeno erro de natureza geométrica.
Este erro foi observado em 1905 pelo físico inglês James 
Hopwood Jeans (1877-1946).
James Hopwood Jeans
(1877-1946)
Por esta correção, a teoria clássica da 
radiação de corpo negro é conhecida como 
Modelo de Rayleigh-Jeans.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Desta forma, Sir Rayleigh pôde aplicar o Teorema da 
Eqüipartição da Energia ao problema da radiação de corpo 
negro.
Modelos Teóricos: Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
A hipótese fundamental deste modelo é que o campo de 
radiação está em equilíbrio termodinâmico com o corpo 
negro que o emite.
Com esta hipótese, Sir Rayleigh considerou a troca de 
energia entre o corpo aquecido a uma temperatura T e os 
modos de oscilação do campo eletromagnético existentes 
dentro da cavidade (corpo negro).
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
kB = 1,38××××10-23 J/KConstante de Boltzmann
Teorema da Eqüipartição de Energia: em um sistema 
termodinâmico em equilíbrio térmico a uma temperatura T, 
com N graus de liberdade, cada um deles contribui para o 
sistema com a mesma quantidade de energia elementar kB⋅⋅⋅⋅T.
Modelos Teóricos: Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
⇒⇒⇒⇒
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Nesta equação ∆∆∆∆n é o número de modos normais de 
oscilação (graus de liberdade) do campo de radiação com 
freqüência entre νννν e νννν + ∆ν∆ν∆ν∆ν.
Desta forma, a energia total contida no campo de 
radiação com freqüência entre νννν e νννν + ∆ν∆ν∆ν∆ν é então
Modelos Teóricos: Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
nTkU B ∆⋅⋅=∆
Aqui é importante lembrar que νννν é uma variável contínua, 
ao passo que n expressa uma quantidade discreta!!!
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Sir Rayleigh levou em conta ainda que 
a cavidade era feita com material condutor.
O problema então passa a ser construir um modelo para 
o cálculo de ∆∆∆∆n.
Para este cálculo, Sir Rayleigh considerou a radiação de 
corpo negro como sendo o campo eletromagnético dentro de 
uma cavidade a uma dada temperatura T.
Modelos Teóricos: Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
Desta forma, o campo elétrico na 
superfície da cavidade deve ser nulo!!!
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Por simplicidade de cálculo, Sir Rayleigh considerou a 
forma geométrica mais simples para a cavidade.
Modelos Teóricos: Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
Desta forma, a cavidade tem uma 
forma de um cubo de aresta a.
Assim, o volume desta cavidade é
V = a3.
O campo eletromagnético dentro 
da cavidade, além da equação de 
onda, deve obedecer também 
condições de contorno adequadas.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
A equação de onda para o campo eletromagnético na 
cavidade é
Modelos Teóricos: Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
01 2
2
2
2
=
∂
∂
⋅−∇
t
E
c
E
r
r
01 2
2
2
2
=
∂
∂
⋅−∇
t
B
c
B
r
r
Para esta geometria, a condição de 
contorno que o campo de radiação deve 
obedecer é
( ) ( )
( ) ( ) 0,,,,,,0
0,,,,,,0
==
==
tzyaBtzyB
tzyaEtzyE
rr
rr
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
( ) ( )
( ) ( ) 0,,,,,0,
0,,,,,0,
==
==
tzaxBtzxB
tzaxEtzxE
rr
rr ( ) ( )
( ) ( ) 0,,,,0,,
0,,,,0,,
==
==
tayxBtyxB
tayxEtyxE
rr
rr
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Considerando que a onda eletromagnética seja composta 
de ondas harmônicas no tempo de freqüência νννν, temos que
Modelos Teóricos: Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
( ) ( )
( ) ( )
BE
ezyxBtzyxB
ezyxEtzyxE
ti
ti
rr
rr
rr
⊥
⋅=
⋅=
⋅⋅−
⋅⋅−
ω
ω
,,,,,
,,,,,
νpiω ⋅⋅= 2
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Substituindo esta proposta de solução na equação de 
onda, encontramos a chamada Equação de Helmholtz
Modelos Teóricos: Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
( ) ( )
( ) ( ) 0,,
0,,
22
22
=⋅+∇
=⋅+∇
zyxBk
zyxEk
r
r
c
k ω=
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
A solução da Equação de Helmholtz para o campo 
elétrico no caso da geometria cúbica é então
( ) 




 ⋅
⋅




 ⋅
⋅




 ⋅
⋅= z
a
ny
a
n
x
a
nEzyxE zyxxx
pipipi
coscossin,, 0
( ) 




 ⋅
⋅




 ⋅
⋅




 ⋅
⋅= z
a
ny
a
n
x
a
nEzyxE zyxyy
pipipi
cossincos,, 0
( ) 




 ⋅
⋅




 ⋅
⋅




 ⋅
⋅= z
a
ny
a
n
x
a
nEzyxE zyxzz
pipipi
sincoscos,, 0
Modelos Teóricos: Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
nx, ny e nz: números inteiros positivos 
e não nulos.
Modelos Teóricos: Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
Nas equações acima, temos ainda que
Assim, podemos expressar as 
componentes do vetor de onda k na 
forma
a
nk xx
pi⋅
=
a
n
k yy
pi⋅
=
a
nk zz
pi⋅
=
kkjkikk zyx ˆˆˆ ⋅+⋅+⋅=
r
2222
zyx kkkk ++=⇒⇒⇒⇒
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Modelos Teóricos: Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
Assim, temos então que
2
22
222
pi
ak
nnn zyx
⋅
=++
Lembremos que
kc ⋅=ω νpiω ⋅⋅= 2
Assim, obtemos
2
2
2
222 4 ν⋅⋅=++
c
a
nnn zyx
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiaçãode Corpo Negro
Modelos Teóricos: Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
Analisemos a equação
2
2
2
222 4 ν⋅⋅=++
c
a
nnn zyx
Trata-se da equação de uma “esfera” nas variáveis 
discretas nx, ny e nz.
Além disso, esta “esfera” esta centrada na origem nx = 0, 
ny = 0 e nz = 0, e tem “raio” igual a rn = 2⋅⋅⋅⋅a⋅ν⋅ν⋅ν⋅ν/c.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Quantos modos ∆∆∆∆n estão contidos 
nesta “casca esférica”?
Modelos Teóricos: Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
Imaginemos agora uma “casca esférica” de espessura 
∆∆∆∆rn com raio rn.
O raio rn e a espessura da “casca 
esférica” ∆∆∆∆rn são expressos então como
ν⋅
⋅
=
c
a
rn
2
ν∆⋅⋅=∆
c
a
rn
2
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
O número de modos ∆∆∆∆n é numericamente igual ao volume 
desta “casca esférica” contida no octante positivo.
Modelos Teóricos: Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
Sabemos que o volume desta “casca 
esférica” é dado por
nnn rrV ∆⋅⋅⋅=∆
24 pi
Desta forma, temos que
ννpipi ∆⋅⋅⋅⋅=∆⋅⋅⋅⋅=∆ 23
3
2 44
8
1
'
c
a
rrn nn
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Modelos Teóricos: Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
Entra aqui a contribuição dada por Jeans em 1905 e 
ignorada por Sir Rayleigh em 1900.
Jeans considerou que o campo eletromagnético tem dois 
estados de polarização possíveis.
Desta forma, o número de estados calculado por Sir
Rayleigh deve ser multiplicado por dois.
'2 nn ∆⋅=∆ ννpi ∆⋅⋅⋅⋅=∆ 23
3
8
c
a
n⇒⇒⇒⇒
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Modelos Teóricos: Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
Tendo então calculado o número total de modos de 
oscilação do campo eletromagnético, Sir Rayleigh pôde 
então determinar a energia do campo de radiação ∆∆∆∆U.
Lembremos que no modelo clássico proposto por Sir 
Rayleigh a energia do campo de radiação é dada por
nTkU B ∆⋅⋅=∆ ννpi ∆⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∆ 23
3
8 Tk
c
aU B⇒⇒⇒⇒
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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Radiação de Corpo Negro
Modelos Teóricos: Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
Com este resultado, Sir Rayleigh determinou então a 
densidade de energia do campo de radiação du na cavidade 
cúbica.
Como a freqüência do campo eletromagnético é uma 
variável contínua, Sir Rayleigh obteve a energia do campo de 
radiação dU com freqüências entre νννν e νννν+dνννν.
ννpi dTk
c
adU B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
2
3
3
8
ννpi dTk
c
a
a
dU
V
du B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=
2
3
3
3 8
11
νν
pi dTk
c
du B ⋅⋅⋅⋅
⋅
=
2
3
8
⇒⇒⇒⇒
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
Modelos Teóricos: Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
Por fim, para poder comparar com os resultados 
experimentais, Sir Rayleigh calculou a radiância espectral do 
campo de radiação Rνννν.
Com este resultado, Sir Rayleigh pôde determinar a 
densidade de energia espectral do campo de radiação uνννν.
νν
pi dTk
c
du B ⋅⋅⋅⋅
⋅
=
2
3
8
⇒⇒⇒⇒
2
3
8
ν
pi
νν
⋅⋅⋅
⋅
== Tk
cd
du
u B
νν u
cR
4
=( ) 222 νpiνν ⋅⋅⋅⋅= TkcR B
⇐⇐⇐⇐
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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Radiação de Corpo Negro
Modelos Teóricos: Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
Vamos agora fazer a comparação entre o resultado 
teórico obtido por Sir Rayleigh (usando apenas argumentos 
clássicos) com os resultados experimentais.
( ) 222 νpiνν ⋅⋅⋅⋅= TkcR B
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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Radiação de Corpo Negro
CATÁSTROFE DO
ULTRA-VIOLETA!!!!!
Modelos Teóricos: Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
Para evidenciar ainda mais a falha no resultado obtido 
por Sir Rayleigh vamos calcular a energia total do campo 
eletromagnético contido na cavidade.
∫∫
∞∞
∞=⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
=⋅⋅=
0
2
0
3
3
3 8 ννpiνν dTk
c
aduaU B
⇓⇓⇓⇓
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
CATÁSTROFE DO ULTRA-
VIOLETA
Conclusão:
MODELO CLÁSSICO É
INADEQUADO⇒⇒⇒⇒
FALHA AO USAR O 
TEOREMA DA 
EQUIPARTIÇÃO DA 
ENERGIA
NECESSIDADE DE UM 
NOVO MODELO PARA 
DESCREVER AS TROCAS 
DE ENERGIA ENTRE A 
RADIAÇÃO E A MATÉRIA
⇐⇐⇐⇐
⇓⇓⇓⇓
Modelos Teóricos: Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. Introdução
2. A Física no Final do Século XIX
3. Propriedades do Campo de Radiação
4. A Radiação de Corpo Negro
b. Modelos Teóricos
- Modelo de Planck
- Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
a. Resultados Experimentais
- Modelo Empírico de Wien
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Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947) era professor 
na Universidade Friedrich Wilhelm em Berlim no ano de 1900, 
sucedendo a Gustav Kirchoff na cadeira de Física Teórica. 
Max Karl Ernst Ludwig Planck
(1858-1947)
Prêmio Nobel de Física no ano de 1918 -
"por trabalhos no desenvolvimento da 
Física e pela descoberta dos quantum de 
energia“.
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – abordagem 
histórica
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Por residir em Berlim, Planck tinha contato permanente 
com os pesquisadores do Physicalisch-Technische
Reichsanstall, tais como Lummer, Pringsheim, Rubens e 
Kurlbaum.
Ao longo de 1900, de Fevereiro a Outubro, estes 
cientistas haviam obtido uma curva experimental para a 
radiação emitida por um corpo negro.
Como já vimos, estes resultados contradiziam o 
modelo teórico apresentado por Wien em 1896.
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – abordagem 
histórica
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Planck decidiu então abordar o problema da radiação de 
corpo negro, já que havia um desafio em obter um modelo 
teórico que explicasse o resultado experimental.
Em Outubro de 1900, Planck encontrou uma fórmula que 
fornecia um excelente ajuste a todos os resultados 
experimentais conhecidos.
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – abordagem 
histórica
Nos três meses seguintes, Planck buscou ume 
justificativa teórica para a sua fórmula.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – abordagem 
histórica
Na procura por uma fórmula que ajustasse o resultado 
experimental, em 1900 Planck publicou o artigo “Über eine
Verbesserung der Wienschen Spektralgleichung” na revista 
Verhandlungen der Deutschen Physikalishen Gesellschaff, 
volume 2, pg. 202-204.
Em português o título deste artigo é “Sobre um 
aperfeiçoamento da equação de Wien para o espectro”.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – abordagem 
histórica
Já na justificativa teórica de seu modelo, em 1901 Planck
publicou o artigo “Über das Gesetz der Energieverteilung im
Normalspektrum” na revista Annalen der Physik, volume 4, 
pg. 553-563.
Em português o título deste artigo é “Sobre a lei de 
distribuição de energia no espectro normal”.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGROFísica para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – abordagem 
histórica
Para chegar ao resultado final, Planck utilizou 
argumentos da Teoria Eletromagnética, da Termodinâmica e 
da Mecânica Estatística.
Por desenvolver seu modelo no mesmo ano, Planck, ao 
que parece, não conhecia ou não deu importância aos 
resultados obtidos por Sir Rayleigh. 
Como vemos, Planck procurou por um modelo teórico 
que levasse em conta todos as grandes teorias existentes na 
sua época.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Modelos Teóricos: a abordagem de Planck
Planck considerou que o emissor de radiação eram as 
cargas elétricas presentes na superfície do corpo negro.
Assim, estas cargas elétricas comportavam-se como 
osciladores radiantes.
Desta forma, para Planck era muito 
importante utilizar os conceitos da 
Teoria Eletromagnética.
Segundo Planck, as cargas elétricas oscilavam excitadas 
pela temperatura do corpo aquecido.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Modelos Teóricos: a abordagem de Planck
Por sua vez, Planck dominava como poucos os conceitos 
da Termodinâmica.
Ele percebeu que o conceito de entropia deveria 
desempenhar um papel importante no processo de troca de 
energia entre o corpo negro aquecido (matéria) e a radiação.
Por fim, como havia um número muito grande de 
osciladores presentes na matéria, Planck considerou 
importante usar os conceitos da Mecânica Estatística.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
No artigo “Sobre um aperfeiçoamento da fórmula de 
Wien” de 1900, Planck mostrou que a fórmula de Wien não 
era válida para todas as freqüências emitidas pelo corpo 
negro.
Como vimos, Planck partiu do princípio que a radiação 
emitida por um corpo aquecido era proveniente das cargas 
das paredes da cavidade, aceleradas pela temperatura.
Modelos Teóricos: a abordagem de Planck
A fórmula de Wien ela era apenas aproximadamente 
correta como caso limite para grandes freqüências.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Planck considerou a situação mais simples, na qual as 
cargas aceleradas executam um movimento harmônico 
simples com freqüência νννν.
Modelos Teóricos: a abordagem de Planck
Estas cargas em movimento harmônico simples 
constituem-se em osciladores carregados.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Em primeiro lugar Planck procurou escrever uma 
expressão para a densidade de energia espectral uνννν do 
campo eletromagnético em termos da energia média do 
oscilador.
Modelos Teóricos: o Teorema de Planck
Para isto, Planck considerou que os osciladores das 
paredes das cavidades estavam em equilíbrio termodinâmico
com a radiação eletromagnética estabelecida em seu interior.
Assim, a perda de energia de cada oscilador seria 
compensada pela absorção da energia da radiação.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Modelos Teóricos: o Teorema de Planck
U
c
u ⋅⋅
⋅
=
2
3
8
ν
pi
ν
Esta expressão mostra que a densidade de energia 
espectral da radiação é determinada pela energia média de 
cada oscilador.
Assim, impondo o equilíbrio termodinâmico entre 
osciladores e radiação, em 1899 Planck obteve o conhecido 
Teorema de Planck, expresso por
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Para chegar a este resultado, Planck utilizou o resultado 
obtido pelo físico irlandês Joseph Larmor (1857-1942).
Em 1897 Larmor calculou a potência média emitida por 
uma carga q em qualquer movimento acelerado com 
aceleração a.
Modelos Teóricos: o Teorema de Planck
2
3
0
2
6
a
c
qP ⋅
⋅⋅⋅
=
εpi
O resultado obtido por Larmor foi
Joseph Larmor
(1857-1942)
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Planck aplicou o resultado obtido por Larmor ao 
movimento de uma carga elétrica q de massa m sujeita a um 
movimento harmônico simples em uma dimensão.
Para este tipo de movimento, a posição, a velocidade e a 
aceleração da carga são dadas por
Modelos Teóricos: o Teorema de Planck
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )φωω
φωω
φω
+⋅⋅⋅−=
+⋅⋅⋅−=
+⋅⋅=
txta
txtv
txtx
cos
sin
cos
0
2
0
0
νpiω ⋅⋅= 2
( ) xxa ⋅⋅⋅−=⋅−= 22 2 νpiω⇒⇒⇒⇒
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Desta forma, Planck obteve o seguinte resultado para a 
potência média de uma carga em movimento harmônico 
simples
Mas, para um corpo de massa m em movimento 
harmônico simples é um resultado bastante conhecido que
Modelos Teóricos: o Teorema de Planck
( ) 2
3
0
42
6
2
x
c
qP ⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=
εpi
νpi
( ) 222 xmU ⋅⋅⋅⋅= νpi
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Planck então comparou estas duas equações e obteve a 
relação entre a potência dissipada por uma carga acelerada 
em movimento harmônico simples e a energia média destes 
osciladores.
Modelos Teóricos: o Teorema de Planck
( ) 2
3
0
42
6
2
x
c
qP ⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=
εpi
νpi
( ) 222 xmU ⋅⋅⋅⋅= νpi
U
cm
qP ⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
= 3
0
22
3
2
ε
νpi
⇒⇒⇒⇒
Observemos que o resultado acima é obtido analisando 
apenas o emissor de radiação que, segundo Planck, é a 
carga acelerada.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Vamos analisar este resultado.
Modelos Teóricos: o Teorema de Planck
dt
UdU −=⋅γ
Lembremos que a potência dissipada está relacionada 
com a energia através de
dt
dUP −=
U
dt
dP −= ⇒⇒⇒⇒
3
0
22
3
2
cm
q
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=
ε
νpiγ
Assim, temos que
γγγγ: constante de 
amortecimento
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Modelos Teóricos: o Teorema de Planck
⇒⇒⇒⇒
16222
3
0
22
105,21047,2
3
2
−− ×≈⋅×=
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
= s
cm
e
ν
ε
νpiγ
Vamos considerar que a carga em movimento harmônico 
simples seja o elétron.
Além disso, vamos considerar também que desejamos 
estudar a emissão de radiação na região do infravermelho.
Neste caso, temos que
νγ <<
Podemos afirmar então que os osciladores são 
fracamente amortecidos.
Hz1410≈ν
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Baseado neste comportamento, Planck calculou a 
potência total absorvida por um oscilador de freqüência 
natural νννν sob a ação de um campo eletromagnético, e obteve
Modelos Teóricos: o Teorema de Planck
2
0
2
0 xx Ed
dE
νν
=
2
0
2
8 νxABS
E
m
qP ⋅
⋅
=
E20xνννν: componente espectral 
da magnitude ao quadrado do 
campo elétrico. 
Por sua vez, considerando que o campo de radiação na 
cavidade apresenta comportamento isotrópico, Planck
obteve a seguinte expressão para a densidade de energia 
espectral uνννν
2
002
3
νν ε xEu ⋅⋅=
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Desta forma, Planckcomparou estas duas últimas 
expressões e obteve
Modelos Teóricos: o Teorema de Planck
2
0
2
8 νxABS
E
m
qP ⋅
⋅
=
2
002
3
νν ε xEu ⋅⋅=
νε
u
m
qPABS ⋅
⋅⋅
=
0
2
12
⇒⇒⇒⇒
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Por fim, Planck admitiu que o campo de radiação está em 
equilíbrio termodinâmico com os osciladores que o originam.
Modelos Teóricos: o Teorema de Planck
νε
u
m
qPABS ⋅
⋅⋅
=
0
2
12
⇒⇒⇒⇒
ABSPP =
U
cm
qP ⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
= 3
0
22
3
2
ε
νpi
U
c
u ⋅
⋅⋅
= 3
28 νpi
ν
Teorema de Planck
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O problema a ser resolvido é calcular a energia média
dos osciladores.
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o ajuste de curva
Com este cálculo, determina-se facilmente a expressão 
para a densidade de energia espectral uνννν(νννν).
O Teorema de Planck é um resultado geral e portanto 
pode ser usado para calcular uνννν segundo a abordagem 
clássica (Modelo de Rayleigh-Jeans).
Para isto, basta calcular a energia média segundo o 
método clássico.
Isto é feito usando o Teorema da Eqüipartição da Energia. 
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Pelo Teorema da Eqüipartição da Energia, usando a 
Estatística de Maxwell-Boltzmann, temos que
Assim, a aplicação deste resultado clássico no Teorema 
de Planck fornece
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o ajuste de curva
TkU B ⋅=
2
3
8
ν
pi
ν ⋅⋅⋅
⋅
= Tk
c
u B
Equação para a densidade 
espectral de energia obtida 
pelo modelo clássico de 
Rayleigh-Jeans.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Planck, por sua vez, preferiu realizar uma abordagem 
termodinâmica para o cálculo da energia média dos 
osciladores.
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o ajuste de curva
Ele levou em conta a relação entre a entropia de um único 
oscilador e a sua energia média, mantido o volume da 
cavidade constante.
TUd
ds 1
=
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Planck tomou como base o modelo empírico de Wien, 
que ele sabia que apresentava bom comportamento para 
altas freqüências mas ruim para baixas freqüências.
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o ajuste de curva
( ) 





⋅−⋅⋅=
T
u
νβνανν exp3
Como vimos, segundo Wien a densidade de energia 
espectral é dada por
Planck substituiu esta expressão em seu teorema e 
obteve






⋅−⋅⋅⋅
⋅
=
T
cU νβνα
pi
exp
8
3
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A partir desta expressão, Planck obtém o inverso da 
temperatura do corpo negro como sendo
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o ajuste de curva
Com esta expressão, Planck pôde calcular a segunda 
derivada da entropia de um oscilador!!!






⋅
⋅⋅
⋅
⋅
⋅
−= U
cT να
pi
νβ 3
8ln11






=





=
TUd
d
Ud
ds
Ud
d
Ud
sd 1
2
2












⋅
⋅⋅
⋅
⋅
−= U
cUd
d
Ud
sd
να
pi
νβ 32
2 8ln1⇒⇒⇒⇒
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Planck obteve então que
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o ajuste de curva
Planck sabia que esta equação NÃO descreve 
corretamente a radiação de corpo negro, pois ela é obtida a 
partir do modelo de Wien.
U
cte
UUd
sd
−=
⋅⋅
−=
νβ
1
2
2
Como sabemos, o modelo de Wien apresenta bom 
comportamento para altas freqüências mas é ruim para 
baixas freqüências .
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O que fez então Planck?
Cálculo de Planck utilizando a 
equação baseada no Modelo de Wien.
Correção feita por Planck, 
procurando “encontrar” a solução 
para o problema.
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o ajuste de curva
Planck propôs uma pequena alteração nesta expressão, 
considerando que esta alteração poderia levar ao resultado 
esperado.
U
cte
Ud
sd
−=2
2
( )UBU
A
Ud
sd
+⋅
−=2
2
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Planck partiu então desta última expressão e percorreu o 
caminho inverso para determinar a energia média.
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o ajuste de curva
( )UBU
A
Ud
sd
+⋅
−=2
2
⇒⇒⇒⇒
TU
B
B
A
Ud
ds 11ln =





+⋅=
1exp −





⋅
=
TA
B
BU
Planck obteve então a expressão para a energia média
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o ajuste de curva
De posse desta expressão, Planck voltou ao seu teorema
e calculou a densidade de energia espectral.






−





⋅
=
1exp
TA
B
BU
⇒⇒⇒⇒
( )






−





⋅
⋅
⋅⋅
=
1exp
8
3
2
TA
B
B
c
u
νpi
νν
Mas, e as constantes A e B? Como Planck as 
determinou?
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Para determinar a constante B Planck seguiu o 
argumento de Wien (correto!!!) segundo o qual a densidade 
de energia espectral deve obedecer a expressão
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o ajuste de curva
Para satisfazer esta condição, necessariamente a 
constante B deve ser proporcional à freqüência.
( ) 





⋅=
T
fu νννν 3 ( ) 1exp
8
3
2
−





⋅
⋅
⋅⋅
=
TA
B
B
c
u
νpi
νν
ν∝B ⇒⇒⇒⇒ ν⋅= 1cB
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Com isto, Planck obteve a seguinte expressão para a 
densidade de energia espectral
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o ajuste de curva
( )






−





⋅
⋅
⋅
⋅⋅
=
1exp
8
1
3
3
1
TA
cc
c
u
ν
νpi
νν
Este resultado ajusta-se 
completamente com os dados obtidos 
experimentalmente, dependendo apenas 
dos valores das constantes c1 e A!!!
( ) ( )






−





⋅
⋅
⋅
⋅⋅⋅
=⋅=
1exp
2
4 1
3
2
1
TA
cc
c
u
cR
ν
νpi
νν νν
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Este resultado foi publicado em 1900 no artigo “Sobre um 
aperfeiçoamento da equação de Wien para o espectro”, já
citado anteriormente.
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o ajuste de curva
Nas palavras de Planck: “como demonstrado por exemplos 
numéricos, tal fórmula se ajusta muito bem aos dados experimentais existentes 
(com valores convenientes das constantes c1 e A). Gostaria então de chamar a 
nossa atenção para essa fórmula que considero a mais simples possível, além da 
de Wien, sob o ponto de vista da teoria eletromagnética da radiação”.
( )






−





⋅
⋅
⋅
⋅⋅
=
1exp
8
1
3
3
1
TA
cc
c
u
ν
νpi
νν
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física paraEngenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A fórmula obtida pelo ajuste de curvas ainda é EMPÍRICA, 
isto é, NÃO existe um modelo físico que a justifique.
FÓRMULA 
EMPÍRICA
Precisa de uma 
teoria que a 
justifique!!!
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o ajuste de curva
( )






−





⋅
⋅
⋅
⋅⋅
=
1exp
8
1
3
3
1
TA
cc
c
u
ν
νpi
νν
⇒⇒⇒⇒ ⇒⇒⇒⇒
O próprio Planck não ficou totalmente satisfeito com a 
“dedução” da fórmula acima, pois ele sabia que tal fórmula 
carecia de fundamentação física.
Assim, ele procurou (e encontrou em alguns meses!!!) 
por um modelo que justificasse a equação encontrada 
empiricamente.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o modelo físico
Ao procurar dar um conteúdo físico para sua fórmula, 
Planck se deu conta que a entropia dos osciladores teria que 
ser determinada por argumentos probabilísticos.
Para tal, Planck utilizou-se dos conceitos da Mecânica 
Estatística, recém desenvolvida por Boltzmann.
Planck aplicou a análise combinatória de Boltzmann, 
dividindo a energia total U de um conjunto de N osciladores 
idênticos e distinguíveis.
N
UU =
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o modelo físico
Por outro lado, Planck admitiu que poderiam existir M
células indistinguíveis tal que a energia E de um único 
oscilador seja dada por
Desta forma, Planck distribuiu os N osciladores pelas M
células e calculou o número total de estados possíveis G
desta distribuição.
( )
( )
( )
!!
!
!1!
!1
NM
MN
NM
MNG
⋅
+
≅
−⋅
−+
=
M
UE = E
U
N
M
=⇒⇒⇒⇒
N e M são números 
muito grandes
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o modelo físico
Pela Mecânica Estatística, a entropia de um sistema está
associada ao número de estados possíveis G existentes 
dentro dele através da relação
GkS B ln⋅=
Assim, a entropia do sistema de N osciladores 
distribuídos por M células é
( )
( ) ( )[ ] ( ) ( ){ }!ln!ln!ln!!
!ln NMMNk
NM
MNkS BB −−+⋅=





⋅
+
⋅=
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o modelo físico
Para o cálculo dos logaritmos dos fatoriais usamos a 
conhecida fórmula de Stirling
( ) nnnn −⋅= ln!ln
Aplicando esta fórmula, obtemos a entropia como sendo
( ) ( )[ ]NNMMMNMNkS B lnlnln ⋅−⋅−+⋅+⋅=
Após alguma manipulação, obtemos












−





+⋅





+⋅⋅=
E
U
E
U
E
U
E
UkNS B ln1ln1
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
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Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o modelo físico
Temos então que a entropia de um único oscilador é dada 
por












−





+⋅





+⋅==
E
U
E
U
E
U
E
Uk
N
S
s B ln1ln1
Planck voltou então a usar a relação entre entropia e 
temperatura, obtendo




















−





+⋅





+⋅==
E
U
E
U
E
U
E
Uk
Ud
d
Ud
ds
T B
ln1ln11
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o modelo físico
Planck chegou então a






+⋅=
U
E
E
k
T
B 1ln1
A partir daí, Planck foi capaz de calcular a energia média
dos osciladores como sendo






−





⋅
=
1exp
Tk
E
EU
B
E é a energia de um 
único oscilador
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o modelo físico
Planck propôs então que a energia de um único oscilador 
E fosse proporcional à freqüência νννν.
ν⋅= hE ⇒⇒⇒⇒






−





⋅
⋅
⋅
=
1exp
Tk
h
hU
B
ν
ν
Esta proposição de Planck é coerente com os 
argumentos (corretos!!!) de Wien.
Segundo Wien, a fórmula para a densidade de energia 
espectral deve ser proporcional a νννν3⋅⋅⋅⋅f(νννν/T).
h é uma constante a ser determinada 
(constante de Planck)
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o modelo físico
Depois de calcular a energia média dos osciladores, 
Planck utilizou o seu teorema e determinou a densidade de 
energia espectral.
U
c
u ⋅
⋅⋅
= 3
28 νpi
ν
( )






−





⋅
⋅
⋅
⋅⋅
=
1exp
8 3
3
Tk
hc
h
u
B
ν
νpi
νν⇒⇒⇒⇒
( ) ( )






−





⋅
⋅
⋅
⋅⋅⋅
=⋅=
1exp
2
4
3
2
TA
hc
h
u
cR
ν
νpi
νν νν
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o modelo físico
Porém, após chegar com sucesso ao resultado correto 
para o espectro de radiação de um corpo negro, uma questão 
ainda precisou ser respondida por Planck.
Qual comportamento deve ter a interação da radiação 
com a matéria para que um oscilador com energia h⋅ν⋅ν⋅ν⋅ν
produza uma energia média do conjunto de osciladores igual 
a






−





⋅
⋅
⋅
=
1exp
Tk
h
hU
B
ν
ν ????
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o modelo físico
Planck sabia que o conjunto de osciladores NÃO
obedecia à Estatística Clássica de Maxwell-Boltzmann.
A Estatística Clássica de Maxwell-Boltzmann, baseada 
numa distribuição contínua da energia dos osciladores, dava 
como resultado final a proposição de Rayleigh-Jeans, a qual 
sabemos não corresponde aos resultados experimentais.
Desta forma, não restou outra alternativa a Planck senão 
admitir que a interação entre o campo de radiação e o corpo 
aquecido se dava através de trocas de energias discretas
(não-contínuas)!!!
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O modelo de Planck está baseado no postulado 
fundamental de que a troca de energia entre os osciladores e 
o campo de radiação NÃO é uma grandeza contínua, mas só
pode se dar através de valores discretos e múltiplos de uma 
quantidade elementar.
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o modelo físico
Assim, Planck formulou o modelo físico que dá suporte a 
toda sua teoria e explica completamente o problema da 
radiação do corpo negro.
Einstein, em 1905, denominou esta quantidade elementar 
de QUANTUM DE ENERGIA.
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Física para Engenharia Elétrica -
Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
n é um número 
inteiro
Modelos Teóricos: Modelo de Planck – o modelo físico
Como as trocas de energia se dão de forma discreta, 
nesta situação a energia dos osciladores U também pode 
admitir apenas valores discretos, múltiplos do QUANTUM DE 
ENERGIA.
0UnUU n ⋅==
Assim, Planck propôs