Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. Introdução 2. O Experimento de Michelson-Morley 3. Postulados da Relatividade Restrita 4. Transformações de Lorentz 5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial 6. A Massa, a Energia e o Momento Linear Relativísticos Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. INTRODUÇÃO Do que trata a Teoria da Relatividade? A Teoria da Relatividade estuda o comportamento de um sistema físico sob o ponto de vista de dois sistemas de referência inerciais: a) um sistema em repouso; b) um sistema em movimento retilíneo uniforme (velocidade constante) em relação ao primeiro. Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. INTRODUÇÃO Como é este comportamento na Mecânica Clássica? Na Mecânica Clássica as leis básicas da Mecânica assumem sua forma mais simples nos referenciais inerciais. Dois referenciais inerciais, um em repouso, outro se movendo com velocidade constante se relacionam através de Transformações de Galileu. Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. INTRODUÇÃO O que são as Transformações de Galileu? Se o referencial S’ se move em relação a S com velocidade constante V, e as origens O e O’ dos dois referenciais coincidem no instante t = 0, temos que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' x t x t V t y t y t z t z t t t = − ⋅ = = = O tempo é a grandeza absoluta!!! Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita ( )'' 'dx dv x V t v v V dt dt = = − ⋅ ⇒ = − ( )' 'dv da v V a a dt dt = = − ⇒ = CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. INTRODUÇÃO Quais as conseqüências das Transformações de Galileu? 1) Composição de velocidades: 2) Composição de acelerações: Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita ' ' 'F m a F m a= ⋅ ⇒ = ⋅ CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. INTRODUÇÃO Quais as conseqüências das Transformações de Galileu? 3) Igualdade nas forças: como as Transformações de Galileu não afetam as distâncias entre partículas nem as massas, elas também não afetam uma força que só dependa destas distâncias. 'F F= Logo, a lei básica da Dinâmica (2a Lei de Newton) não se altera!!! ⇒⇒⇒⇒ Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita Principio de Relatividade da Mecânica de Galileu CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. INTRODUÇÃO Não existe sistema de referência absoluto pelo qual todos os outros movimentos possam ser medidos. À época de Galileu, experiências feitas sob convés de um navio com as escotilhas fechadas, mostraram que elas eram incapazes de serem distinguidas se o navio estivesse ancorado ou em MRU). Assim, em um referencial inercial é impossível determinar se um corpo está em repouso ou em movimento e este corpo continua em movimento uniforme a menos que sofra ação de alguma força. Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita Principio de Relatividade da Mecânica de Galileu CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. INTRODUÇÃO O Princípio da Relatividade de Galileu deixa de valer para referenciais não-inerciais. Nos referenciais não-inerciais aparecem efeitos detectáveis nas leis da Mecânica através das forças de inércia. Exemplos de forças de inércia: - força centrífuga; - forças de Coriolis. Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita Principio de Relatividade da Mecânica de Galileu CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. INTRODUÇÃO - força centrífuga; - forças de Coriolis. Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita Das leis da Eletrodinâmica temos que a luz se propaga, no vácuo, com velocidade c. 'c c V= − 'c c≠ CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. INTRODUÇÃO Como ficam as Equações de Maxwell perante o Principio de Relatividade de Galileu? Admitindo que isso vale num dado referencial inercial, e que valem as leis da Mecânica Clássica, temos que num outro referencial inercial em MRU em relação ao primeiro com velocidade V, a velocidade da luz neste referencial pela lei de composição de velocidades de Galileu, seria: Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita 'c c V= − 'c c≠ CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. INTRODUÇÃO Como ficam as Equações de Maxwell perante o Principio de Relatividade de Galileu? Isto significa que a velocidade da luz poderia variar com a direção de propagação), contradizendo o principio de relatividade no caso da Eletrodinâmica. Admitindo como verdadeiro o Princípio da Relatividade de Galileu, a validade das Equações de Maxwell estaria restrita então a um referencial inercial privilegiado, onde a velocidade da luz é c em todas as direções. Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. INTRODUÇÃO Problema Existe uma aparente ambigüidade entre as Leis de Newton e as Equações de Maxwell. Ambas não podem ser validas simultaneamente em qualquer referencial inercial. Apenas uma destas grandes teorias deve valer para qualquer tipo de referencial inercial. Qual delas? Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. Introdução 2. O Experimento de Michelson-Morley 3. Postulados da Relatividade Restrita 4. Transformações de Lorentz 5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial 6. A Massa, a Energia e o Momento Linear Relativísticos Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita Numa série de experiências realizadas entre 1881 e 1887, Michelson e Morley procuraram detectar esses desvios (muito pequenos) usando o interferômetro de Michelson. Deveria ser possível usar o movimento da Terra em relação ao éter juntamente com o Princípio de Galileu de composição de velocidades. CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 2. O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY Solução Será possível projetar um experimento no qual esta ambigüidade pudesse ser levantada? A velocidade da luz na Terra relativa ao éter deveria ser diferente em direções diferentes. Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 2. O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY O Experimento Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 2. O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY ( )1 2 2 2 2 1 1 1 1 l l v v c c δ λ ⋅ + = − − − O Resultado Esperado pelo Princípio de Galileu Cálculo da variação da fase das franjas de interferência com o interferômetro posicionado em duas direções ortogonais entre si. l1 e l2 ⇒⇒⇒⇒ comprimento dos braços do interferômetro. λλλλ ⇒⇒⇒⇒ comprimento de onda da luz utilizada (luz de lâmpada de Na). v ⇒⇒⇒⇒ velocidade de translação da Terra em relação ao éter. Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 2. O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY ( ) 21 2l l v c δ λ + = 0,4PGδ = O Resultado Esperado pelo Princípio de Galileu Aproximação devido a v << c: l1 = l2 = 11 m. λλλλ = 560 nm. v/c = 10-4. 0EXPδ = À época, a precisão experimental para esta medida era 0,01, logo a variação de fase das franjas era possível de ser detectada. Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de RelatividadeRestrita A experiência foi repetida muitas vezes, com diferentes orientações da montagem. CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 2. O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY Conclusões do Experimento Assim as Equações de Maxwell são corretas e nesse caso a mecânica newtoniana e as Transformações de Galileu não podem estar corretas. Deste experimento concluímos que a velocidade da luz é constante e que a hipótese de um éter estacionário estava incorreta. Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. Introdução 2. O Experimento de Michelson-Morley 3. Postulados da Relatividade Restrita 4. Transformações de Lorentz 5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial 6. A Massa, a Energia e o Momento Linear Relativísticos Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 3. POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA O que fazer então diante deste fato experimental? Primeiro passo: formular princípios que estejam de acordo com os resultados experimentais. 1. As leis físicas são as mesmas em todos os referenciais inerciais. 2. A velocidade da luz no vácuo é a mesma em todos os referenciais inerciais e é independente da velocidade da fonte. Postulados da Relatividade Restrita: Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita Esses dois princípios, porém, são incompatíveis com a mecânica newtoniana tornando necessário modificá-la. CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 3. POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA Conseqüências dos Postulados da Relatividade Restrita As modificações necessárias, tomando os dois postulados como pontos de partida, foram propostas por Albert Einstein em 1905. Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 3. POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA Simultaneidade Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita “Se um evento 1 ocorre em P1 no instante t1, sendo marcado pela emissão de um sinal luminoso que parte de P1 nesse instante, e o mesmo vale para P2 em t2 (evento 2), dizemos que eles são simultâneos (t1 = t2) quanto o ponto de encontro dos dois sinais luminosos é o ponto médio do segmento P1P2.” CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 3. POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA Simultaneidade Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita Essa definição implica imediatamente que a simultaneidade de eventos distantes não tem caráter absoluto. CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 3. POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA Simultaneidade Dois eventos simultâneos num particular referencial S podem não ser simultâneos noutro referencial inercial S’ que se move em relação a S com MRU. Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. Introdução 2. O Experimento de Michelson-Morley 3. Postulados da Relatividade Restrita 4. Transformações de Lorentz 5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial 6. A Massa, a Energia e o Momento Linear Relativísticos Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 4. TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ Se a Transformação de Galileu não é mais válida, qual deve ser a transformação correta entre dois sistemas de referência inerciais? A transformação correta deve satisfazer: a) o conceito de simultaneidade de Einstein; b) um MRU em ralação a S também deve ser MRU em relação a S’; c) para V = 0 a transformação deve reduzir-se à identidade; Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita e) Essa é uma transformação necessariamente linear. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 ' ' ' ' 0x y z c t x y z c t+ + − = ⇔ + + − = CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 4. TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ d) Se um sinal luminoso é enviado de O = O’ no tempo t = t’ = 0, a sua frente de onda deve propagar-se com velocidade c em ambos os referenciais, de modo que: Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita ( ) zz yy x c v tt Vtxx = = −= −= ' ' ' ' 2 γ CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 4. TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ Relações Matemáticas ( ) 2 2 1 1 V V c γ = − Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita ( ) ' ' '' '' 2 zz yy x c v tt Vtxx = = += += γ CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 4. TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ Relações Matemáticas A transformação inversa é obtida substituindo V por –V, isto é, S se move em relação a S’ com velocidade –V. O tempo não é mais absoluto, depende do referencial!!! 't t≠ Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. Introdução 2. O Experimento de Michelson-Morley 3. Postulados da Relatividade Restrita 4. Transformações de Lorentz 5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial 6. A Massa, a Energia e o Momento Linear Relativísticos Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita 2 M D t c ⋅∆ = 2 . tc ∆ d 2 . tv ∆ CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO ESPACIAL Quais são os efeitos cinemáticos das Transformações de Lorentz? 1) Dilatação Temporal: dois observadores, um em repouso e outro em um referencial em MRU medem o tempo de forma diferente!!! 2 2 2 2 2 1 1 J D t vc c ⋅ ∆ = − Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita J Mt tγ∆ = ⋅∆ 2 2 1 1 c v − =γ CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO ESPACIAL 1) Dilatação Temporal J Mt tγ∆ ≥ ⋅∆ Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO ESPACIAL 2) Contração Espacial: dois observadores, um em repouso e outro em um referencial em MRU medem comprimentos de forma diferente!!! 2 0 21 VL L c = ⋅ − 0L L≤ Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita ' ' ' dt dx v x = ' ' ' dt dy v y = ' ' ' dt dz v z = dt dx vx = dt dy v y = dt dz vz = CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO ESPACIAL Como fica a composição de velocidades com as Transformações de Lorentz? A velocidade instantânea v’(t’) do corpo em S’ tem as componentes dadas por: A velocidade instantânea v(t) do corpo em S tem as componentes dadas por: Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO ESPACIAL Como fica a composição de velocidades com as Transformações de Lorentz? As coordenadas x’(t’), y’(t’) e z’(t’) estão relacionadas com as coordenadas x(t), y(t) e z(t) através da Transformação de Lorentz. ( )'dx dx V dtγ= ⋅ − ⋅ 2' vdt dt dx c γ = ⋅ − dydy =' dzdz =' Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO ESPACIAL Como fica a composição de velocidades com as Transformações de Lorentz? Obtemos então: ' 21 x x x v V v v V c − = ⋅ − ' 21 y y x v v v V c γ = ⋅ ⋅ − ' 21 z z x v v v V c γ =⋅ ⋅ − Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 1. Introdução 2. O Experimento de Michelson-Morley 3. Postulados da Relatividade Restrita 4. Transformações de Lorentz 5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial 6. A Massa, a Energia e o Momento Linear Relativísticos Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita Após substituir a cinemática newtoniana era preciso reformular a dinâmica newtoniana para que fosse compatível com a nova cinemática. CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS Quais são os efeitos dinâmicos das Transformações de Lorentz? Na mecânica newtoniana, admitem-se forças de interação entre partículas que ficam inteiramente determinadas pelas suas posições instantâneas, tais como a gravitação, dada pela lei de Newton da gravitação universal. Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS Quais são os efeitos dinâmicos das Transformações de Lorentz? Tais forças são inadmissíveis na mecânica relativística: o conceito de posições simultâneas das partículas de um sistema depende do referencial, e a velocidade limite de propagação das interações é c. Podemos admitir as forças eletromagnéticas cuja formulação é compatível com a relatividade, pois a velocidade de propagação no vácuo das interações eletromagnéticas é c. Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS Quais são os efeitos dinâmicos das Transformações de Lorentz? Um outro tipo de interação que podemos admitir são forças de contato que atuam apenas quanto duas partículas entram em contato numa colisão. Estas forças podem ser idealizadas como atuando apenas no instante e no ponto de contato, sendo portanto compatíveis com a relatividade. Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS O momento linear relativístico Na mecânica relativística o momento é da mesma forma proporcional a velocidade do corpo v e da sua massa m. Mas a massa m apesar de continuar sendo um escalar, não é mais necessariamente invariável, e pode depender da velocidade do corpo. ( ) ( )p v m v v= ⋅ Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS A massa relativística É possível mostrar que: 0 2 2 ( ) 1 m m v v c = − m0 é a massa de repouso do corpo, quando sua velocidade é nula. Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS A massa relativística 0 2 2 ( ) 1 m m v v c = − Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS O momento linear relativístico No limite de baixas velocidades, devemos obter a mecânica não-relativística (newtoniana), em que m representa a massa da partícula. Logo, m0 é a massa de repouso, e a expressão relativística do momento deve ser dada por: 0 02 2 ( ) 1 m vp m v v m v v c γ⋅= ⋅ = = ⋅ ⋅ − Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS A energia relativística 2 20 02 21 m cE m c v c ⋅ = = ⋅ − A partir do Teorema Trabalho-Energia é possível mostrar que: Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita 2 0 2 1 1 1 T m c v c = ⋅ − − CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS A energia relativística Por sua vez, mesmo na Relatividade Restrita, a energia cinética de um corpo deve se anular quando sua velocidade é nula. Assim, temos que: Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS Relação entre momento linear e energia Uma simples manipulação de equações nos leva a: 2 4 2 2E m c p c= ⋅ + E p c= ⋅ No caso do fóton (luz), quando m = 0, temos que: Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA 6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS Velocidades de alguns feixes em aceleradores 0,016 0,016 Gev/c Pelletron 0,832 1,5 Gev/c LHC / CERN 0.99995 100 Gev/c RHIC / BNL 0.999999944 3000Gev/c Tevatron / Fermilab 0.99999753 450 Gev/c SPS / CERN 0.9963 11,6 Gev/c AGS/BNL Momento máximo que um próton pode ser acelerado: Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita
Compartilhar