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2 - Conceitos_de_Relatividade_Restrita

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Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
1. Introdução
2. O Experimento de Michelson-Morley
3. Postulados da Relatividade Restrita
4. Transformações de Lorentz
5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial
6. A Massa, a Energia e o Momento Linear Relativísticos
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
1. INTRODUÇÃO 
Do que trata a Teoria da Relatividade?
A Teoria da Relatividade estuda o comportamento de 
um sistema físico sob o ponto de vista de dois sistemas de 
referência inerciais:
a) um sistema em repouso;
b) um sistema em movimento retilíneo uniforme
(velocidade constante) em relação ao primeiro.
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
1. INTRODUÇÃO 
Como é este comportamento na Mecânica Clássica?
Na Mecânica Clássica as leis básicas da Mecânica 
assumem sua forma mais simples nos referenciais inerciais.
Dois referenciais inerciais, um em repouso, outro se 
movendo com velocidade constante se relacionam através de 
Transformações de Galileu.
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
1. INTRODUÇÃO
O que são as Transformações de Galileu?
Se o referencial S’ se move em relação a S com 
velocidade constante V, e as origens O e O’ dos dois 
referenciais coincidem no instante t = 0, temos que:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
'
'
'
'
x t x t V t
y t y t
z t z t
t t
= − ⋅
=
=
=
O tempo é a grandeza absoluta!!!
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
( )'' 'dx dv x V t v v V
dt dt
= = − ⋅ ⇒ = −
( )' 'dv da v V a a
dt dt
= = − ⇒ =
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
1. INTRODUÇÃO
Quais as conseqüências das Transformações de Galileu?
1) Composição de velocidades:
2) Composição de acelerações:
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
' ' 'F m a F m a= ⋅ ⇒ = ⋅
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
1. INTRODUÇÃO 
Quais as conseqüências das Transformações de Galileu?
3) Igualdade nas forças: como as Transformações de 
Galileu não afetam as distâncias entre partículas nem as 
massas, elas também não afetam uma força que só dependa 
destas distâncias. 
'F F=
Logo, a lei básica da Dinâmica (2a Lei de Newton) não se 
altera!!!
⇒⇒⇒⇒
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
Principio de Relatividade da Mecânica de Galileu
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
1. INTRODUÇÃO
Não existe sistema de referência absoluto pelo qual 
todos os outros movimentos possam ser medidos.
À época de Galileu, experiências feitas sob convés de 
um navio com as escotilhas fechadas, mostraram que elas 
eram incapazes de serem distinguidas se o navio estivesse 
ancorado ou em MRU).
Assim, em um referencial inercial é impossível 
determinar se um corpo está em repouso ou em movimento e 
este corpo continua em movimento uniforme a menos que 
sofra ação de alguma força.
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
Principio de Relatividade da Mecânica de Galileu
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
1. INTRODUÇÃO 
O Princípio da Relatividade de Galileu deixa de valer 
para referenciais não-inerciais.
Nos referenciais não-inerciais aparecem efeitos 
detectáveis nas leis da Mecânica através das forças de 
inércia.
Exemplos de forças de inércia:
- força centrífuga;
- forças de Coriolis.
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
Principio de Relatividade da Mecânica de Galileu
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
1. INTRODUÇÃO 
- força centrífuga;
- forças de Coriolis.
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
Das leis da Eletrodinâmica temos que a luz se propaga, 
no vácuo, com velocidade c.
'c c V= − 'c c≠
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
1. INTRODUÇÃO 
Como ficam as Equações de Maxwell perante o Principio 
de Relatividade de Galileu?
Admitindo que isso vale num dado referencial inercial, e 
que valem as leis da Mecânica Clássica, temos que num 
outro referencial inercial em MRU em relação ao primeiro 
com velocidade V, a velocidade da luz neste referencial pela 
lei de composição de velocidades de Galileu, seria:
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
'c c V= − 'c c≠
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
1. INTRODUÇÃO 
Como ficam as Equações de Maxwell perante o Principio 
de Relatividade de Galileu?
Isto significa que a velocidade da luz poderia variar com 
a direção de propagação), contradizendo o principio de 
relatividade no caso da Eletrodinâmica.
Admitindo como verdadeiro o Princípio da Relatividade 
de Galileu, a validade das Equações de Maxwell estaria 
restrita então a um referencial inercial privilegiado, onde a 
velocidade da luz é c em todas as direções.
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
1. INTRODUÇÃO 
Problema
Existe uma aparente ambigüidade entre as Leis de 
Newton e as Equações de Maxwell.
Ambas não podem ser validas simultaneamente em 
qualquer referencial inercial.
Apenas uma destas grandes teorias deve valer para 
qualquer tipo de referencial inercial.
Qual delas?
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
1. Introdução
2. O Experimento de Michelson-Morley
3. Postulados da Relatividade Restrita
4. Transformações de Lorentz
5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial
6. A Massa, a Energia e o Momento Linear Relativísticos
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
Numa série de experiências realizadas entre 1881 e 
1887, Michelson e Morley procuraram detectar esses desvios 
(muito pequenos) usando o interferômetro de Michelson.
Deveria ser possível usar o movimento da Terra em 
relação ao éter juntamente com o Princípio de Galileu de 
composição de velocidades.
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
2. O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY
Solução
Será possível projetar um experimento no qual esta 
ambigüidade pudesse ser levantada?
A velocidade da luz na Terra relativa ao éter deveria ser 
diferente em direções diferentes.
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
2. O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY
O Experimento
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
2. O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY
( )1 2
2 2
2 1 1
1 1
l l
v v
c c
δ λ
 
 
⋅ +  
= − 
    
−
−        
O Resultado Esperado pelo Princípio de Galileu
Cálculo da variação da fase das franjas de interferência 
com o interferômetro posicionado em duas direções 
ortogonais entre si.
l1 e l2 ⇒⇒⇒⇒ comprimento dos braços do 
interferômetro.
λλλλ ⇒⇒⇒⇒ comprimento de onda da luz 
utilizada (luz de lâmpada de Na).
v ⇒⇒⇒⇒ velocidade de translação da Terra 
em relação ao éter.
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
2. O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY
( ) 21 2l l v
c
δ λ
+  
=  
 
0,4PGδ =
O Resultado Esperado pelo Princípio de Galileu
Aproximação devido a v << c:
l1 = l2 = 11 m.
λλλλ = 560 nm.
v/c = 10-4. 0EXPδ =
À época, a precisão experimental para esta medida era 
0,01, logo a variação de fase das franjas era possível de ser 
detectada.
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de RelatividadeRestrita
A experiência foi repetida muitas vezes, com diferentes 
orientações da montagem.
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
2. O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY
Conclusões do Experimento
Assim as Equações de Maxwell são corretas e nesse 
caso a mecânica newtoniana e as Transformações de Galileu 
não podem estar corretas.
Deste experimento concluímos que a velocidade da luz 
é constante e que a hipótese de um éter estacionário estava 
incorreta.
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
1. Introdução
2. O Experimento de Michelson-Morley
3. Postulados da Relatividade Restrita
4. Transformações de Lorentz
5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial
6. A Massa, a Energia e o Momento Linear Relativísticos
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
3. POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA
O que fazer então diante deste fato experimental?
Primeiro passo: formular princípios que estejam de 
acordo com os resultados experimentais.
1. As leis físicas são as mesmas em todos os 
referenciais inerciais.
2. A velocidade da luz no vácuo é a mesma em todos 
os referenciais inerciais e é independente da velocidade da 
fonte.
Postulados da Relatividade Restrita:
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
Esses dois princípios, porém, são incompatíveis com a 
mecânica newtoniana tornando necessário modificá-la.
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
3. POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA
Conseqüências dos Postulados da Relatividade Restrita
As modificações necessárias, tomando os dois 
postulados como pontos de partida, foram propostas por 
Albert Einstein em 1905.
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
3. POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA
Simultaneidade
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
“Se um evento 1 ocorre em P1 no instante t1, sendo 
marcado pela emissão de um sinal luminoso que parte de P1
nesse instante, e o mesmo vale para P2 em t2 (evento 2), 
dizemos que eles são simultâneos (t1 = t2) quanto o ponto de 
encontro dos dois sinais luminosos é o ponto médio do 
segmento P1P2.”
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
3. POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA
Simultaneidade
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
Essa definição implica imediatamente que a 
simultaneidade de eventos distantes não tem caráter 
absoluto.
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
3. POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA
Simultaneidade
Dois eventos simultâneos num particular referencial S 
podem não ser simultâneos noutro referencial inercial S’ que 
se move em relação a S com MRU.
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
1. Introdução
2. O Experimento de Michelson-Morley
3. Postulados da Relatividade Restrita
4. Transformações de Lorentz
5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial
6. A Massa, a Energia e o Momento Linear Relativísticos
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
4. TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ
Se a Transformação de Galileu não é mais válida, qual 
deve ser a transformação correta entre dois sistemas de 
referência inerciais?
A transformação correta deve satisfazer:
a) o conceito de simultaneidade de Einstein;
b) um MRU em ralação a S também deve ser MRU em 
relação a S’;
c) para V = 0 a transformação deve reduzir-se à
identidade;
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
e) Essa é uma transformação 
necessariamente linear.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 ' ' ' ' 0x y z c t x y z c t+ + − = ⇔ + + − =
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
4. TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ
d) Se um sinal luminoso é enviado de O = O’ no tempo 
t = t’ = 0, a sua frente de onda deve propagar-se com 
velocidade c em ambos os referenciais, de modo que:
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
( )
zz
yy
x
c
v
tt
Vtxx
=
=






−=
−=
'
'
'
'
2
γ
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
4. TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ
Relações Matemáticas
( )
2
2
1
1
V
V
c
γ =
−
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
( )
'
'
''
''
2
zz
yy
x
c
v
tt
Vtxx
=
=






+=
+= γ
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
4. TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ
Relações Matemáticas
A transformação inversa é obtida substituindo V por –V, 
isto é, S se move em relação a S’ com velocidade –V.
O tempo não é mais absoluto, 
depende do referencial!!!
't t≠
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
1. Introdução
2. O Experimento de Michelson-Morley
3. Postulados da Relatividade Restrita
4. Transformações de Lorentz
5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial
6. A Massa, a Energia e o Momento Linear Relativísticos
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
2
M
D
t
c
⋅∆ =
 
2
. tc ∆
d
2
. tv ∆
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO 
ESPACIAL
Quais são os efeitos cinemáticos das Transformações 
de Lorentz?
1) Dilatação Temporal: dois observadores, um em 
repouso e outro em um referencial em MRU medem o tempo 
de forma diferente!!!
2
2
2
2
2 1
1
J
D
t
vc
c
 
 
⋅ ∆ =   
   
− 
 
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
J Mt tγ∆ = ⋅∆
2
2
1
1
c
v
−
=γ
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO 
ESPACIAL
1) Dilatação Temporal
J Mt tγ∆ ≥ ⋅∆
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO 
ESPACIAL
2) Contração Espacial: dois observadores, um em 
repouso e outro em um referencial em MRU medem 
comprimentos de forma diferente!!!
2
0 21
VL L
c
= ⋅ −
0L L≤
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
'
'
'
dt
dx
v x =
'
'
'
dt
dy
v y =
'
'
'
dt
dz
v z =
dt
dx
vx = dt
dy
v y = dt
dz
vz =
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO 
ESPACIAL
Como fica a composição de velocidades com as 
Transformações de Lorentz?
A velocidade instantânea v’(t’) do corpo em S’ tem as 
componentes dadas por:
A velocidade instantânea v(t) do corpo em S tem as 
componentes dadas por:
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO 
ESPACIAL
Como fica a composição de velocidades com as 
Transformações de Lorentz?
As coordenadas x’(t’), y’(t’) e z’(t’) estão relacionadas 
com as coordenadas x(t), y(t) e z(t) através da Transformação 
de Lorentz.
( )'dx dx V dtγ= ⋅ − ⋅
2'
vdt dt dx
c
γ  = ⋅ − 
 
dydy =' dzdz ='
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO 
ESPACIAL
Como fica a composição de velocidades com as 
Transformações de Lorentz?
Obtemos então:
'
21
x
x
x
v V
v
v V
c
−
=
⋅ 
− 
 
'
21
y
y
x
v
v
v V
c
γ
=
⋅ 
⋅ − 
 
'
21
z
z
x
v
v
v V
c
γ
=⋅ 
⋅ − 
 
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
1. Introdução
2. O Experimento de Michelson-Morley
3. Postulados da Relatividade Restrita
4. Transformações de Lorentz
5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial
6. A Massa, a Energia e o Momento Linear Relativísticos
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
Após substituir a cinemática newtoniana era preciso 
reformular a dinâmica newtoniana para que fosse 
compatível com a nova cinemática.
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR 
RELATIVÍSTICOS
Quais são os efeitos dinâmicos das Transformações de 
Lorentz?
Na mecânica newtoniana, admitem-se forças de 
interação entre partículas que ficam inteiramente 
determinadas pelas suas posições instantâneas, tais como 
a gravitação, dada pela lei de Newton da gravitação 
universal.
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR 
RELATIVÍSTICOS
Quais são os efeitos dinâmicos das Transformações de 
Lorentz?
Tais forças são inadmissíveis na mecânica relativística: 
o conceito de posições simultâneas das partículas de um 
sistema depende do referencial, e a velocidade limite de 
propagação das interações é c.
Podemos admitir as forças eletromagnéticas cuja 
formulação é compatível com a relatividade, pois a 
velocidade de propagação no vácuo das interações 
eletromagnéticas é c.
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR 
RELATIVÍSTICOS
Quais são os efeitos dinâmicos das Transformações de 
Lorentz?
Um outro tipo de interação que podemos admitir são 
forças de contato que atuam apenas quanto duas partículas 
entram em contato numa colisão.
Estas forças podem ser idealizadas como atuando 
apenas no instante e no ponto de contato, sendo portanto 
compatíveis com a relatividade.
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR 
RELATIVÍSTICOS
O momento linear relativístico
Na mecânica relativística o momento é da mesma forma 
proporcional a velocidade do corpo v e da sua massa m.
Mas a massa m apesar de continuar sendo um escalar, 
não é mais necessariamente invariável, e pode depender da 
velocidade do corpo.
( ) ( )p v m v v= ⋅
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR 
RELATIVÍSTICOS
A massa relativística
É possível mostrar que:
0
2
2
( )
1
m
m v
v
c
=
−
m0 é a massa de repouso do 
corpo, quando sua velocidade é
nula.
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR 
RELATIVÍSTICOS
A massa relativística
0
2
2
( )
1
m
m v
v
c
=
−
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR 
RELATIVÍSTICOS
O momento linear relativístico
No limite de baixas velocidades, devemos obter a 
mecânica não-relativística (newtoniana), em que m 
representa a massa da partícula. Logo, m0 é a massa de 
repouso, e a expressão relativística do momento deve ser 
dada por:
0
02
2
( )
1
m vp m v v m v
v
c
γ⋅= ⋅ = = ⋅ ⋅
−
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR 
RELATIVÍSTICOS
A energia relativística
2
20
02
21
m cE m c
v
c
⋅
= = ⋅
−
A partir do Teorema Trabalho-Energia é possível 
mostrar que:
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
2
0 2
1 1
1
T m c
v
c
 
 
 
= ⋅ − 
  
−     
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR 
RELATIVÍSTICOS
A energia relativística
Por sua vez, mesmo na Relatividade Restrita, a energia 
cinética de um corpo deve se anular quando sua velocidade é
nula. Assim, temos que:
Física para Engenharia Elétrica -
Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR 
RELATIVÍSTICOS
Relação entre momento linear e energia
Uma simples manipulação de equações nos leva a:
2 4 2 2E m c p c= ⋅ +
E p c= ⋅
No caso do fóton (luz), 
quando m = 0, temos que:
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Conceitos de Relatividade Restrita
CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR 
RELATIVÍSTICOS
Velocidades de alguns feixes em aceleradores
0,016 0,016 Gev/c Pelletron
0,832 1,5 Gev/c LHC / CERN
0.99995 100 Gev/c RHIC / BNL
0.999999944 3000Gev/c Tevatron / Fermilab
0.99999753 450 Gev/c SPS / CERN
0.9963 11,6 Gev/c AGS/BNL 
Momento máximo que um 
próton pode ser acelerado:
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Conceitos de Relatividade Restrita

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