5 - Teoria_de_Schr_dinger_da_Mec_nica_Qu_ntica

Prévia do material em texto

Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
TEORIA DE 
SCHRÖDINGER DA
MECÂNICA QUÂNTICA
FÍSICA MODERNA I
“A equação de onda de Schrödinger
provavelmente é a equação mais 
reinterpretada jamais escrita” – Mário Bunge
José Fernando Fragalli
Departamento de Física – Udesc/Joinville
H i
t
∂ Ψ
⋅ Ψ = ⋅
∂
h
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
1. Introdução
2. Os Postulados da Mecânica Quântica
3. A Equação de Schrödinger Independente do Tempo
4. Aplicações Simples da Equação de Schrödinger
a. Equação de Schrödinger em uma Dimensão
b. Partícula Livre
c. Partícula Livre em uma “Caixa”
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
1. INTRODUÇÃO
O “poder” de marketing da palavra QUÂNTICO
Nos dias de hoje, a palavra QUÂNTICO é largamente 
usada para introduzir um verniz científico em filmes e livros 
chamados de auto-ajuda. 
A palavra QUÂNTICO ajuda a vender tais produtos.
A palavra QUÂNTICO também ajuda a vender produtos 
tecnológicos, tais como automóveis (“Santana Quantum”),
disco rígido (“Quantum HD”), carretilhas ( “Carretilhas 
Quantum” ), fogões (“Fogão Quantum”), etc...
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
“Our intention and what we choose to think, speak and do is the
essence of the personal power we use to create our reality. So what
have you chosen for yourself?
Exemplos deste “poder” de marketing
1) Quantum Healing (www.quantumhealing.com.au): 
Unfortunately, we all have self limiting thoughts and fears that are 
energised by our emotions. We therefore create our own obstacles on
our path to achieving what we want. Negative emotions are also stored in 
the cells of the body and cause disease.
Quantum Healing is dedicated to assisting you to identify and
become consciously aware of the obstacles that hold you back - and
help you remove them! Quantum Healing's approach is focused on
balancing and integrating body, mind and spirit to assist you to achieve
a greater realisation of the power you have to heal yourself and to 
consciously choose the reality you desire.”
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
1. INTRODUÇÃO
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
“Nossa pretensão e aquilo que nós escolhemos pensar, falar e fazer 
é a essência do nosso poder pessoal que usamos para criar nossa 
realidade. Então, o que você escolhe para você mesmo?
Exemplos deste “poder” de marketing
1) Cura Quântica (www.quantumhealing.com.au): 
Infelizmente, nós todos temos pensamentos auto-limitantes e medos 
que são energizados por nossas emoções. Portanto, nós criamos nossos 
próprios obstáculos em nossa trajetória para atingir aquilo que 
queremos. Emoções negativas também são armazenadas nas células do 
corpo e causam doenças.
A Cura Quântica é dedicada a ajudá-lo a identificar e torná-lo 
conscientemente atento aos obstáculos que o mantém atrasado – e 
ajudá-lo a removê-los! A abordagem da Cura Quântica é focada no 
balanceamento e integração do corpo, mente e espírito para ajudá-lo a 
conseguir uma maior realização do poder que você tem para se auto-
curar e escolher conscientemente a realidade que você deseja.”
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
1. INTRODUÇÃO
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
QUANTUM TANTRA IS PHYSICS-ASSISTED DEEP 
UNION WITH NATURE.
2) Quantum Tantra (www2.cruzio.com):
Exemplos deste “poder” de marketing
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
1. INTRODUÇÃO
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
O TANTRA QUÂNTICO É A PROFUNDA “AJUDA DA FÍSICA”
PARA A NOSSA UNIÃO COM A NATUREZA.
2) Tantra Quântico (www2.cruzio.com):
Exemplos deste “poder” de marketing
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
1. INTRODUÇÃO
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
3) Quantum Neuro Linguistic Programation:
“Quantum NLP is the art and science of Human
Excellence. New scientific discoveries show us clearly
that we are creating our reality through the use of our
language. By teaching ourselves more effective
language patterns, our brain automatically forms new
neurological pathways which naturally lead to new
behaviors and habits.”
Exemplos deste “poder” de marketing
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
1. INTRODUÇÃO
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
3) Programação Neuro-lingüística Quântica: Mecânica 
Quântica aplicada aos “fenômenos da mente”.
“A Programação Neuro-Lingüística Quântica é a 
arte e a ciência da Excelência Humana. Novas 
descobertas científicas nos mostram claramente que 
nós estamos criando nossa realidade através do uso da 
nossa linguagem. Pelo auto-aprendizado mais efetivo 
dos padrões da linguagem, nosso cérebro 
automaticamente forma novos caminhos neurológicos 
os quais naturalmente levam a novos comportamentos 
e hábitos.”
Exemplos deste “poder” de marketing
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
1. INTRODUÇÃO
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
4) The Quantum Physics of Sex: www.beliefinsitute.com
Table: Sexing the small bits
Masculine-particlesFeminine-waves
Indentity, IndividualShared, Collective
Pauli Exclusion PrincipleBose-Einstein Condensates
Exclusive, SeparateMerged, Together
Part (spin)Whole (spin)
Constituent matter
(things, matter, space)
"Force carriers"
(gluons, interactions)
FermionsBosons “Men are particles, women are waves, roughly speaking. Men
tend towards the individual particle nature: the hard-shelled ego strongly
identified, the masculine tendency towards retaining their competitive
indentities in "collisions" (sports, wars) and towards the extremes of
behaviour (hence the preponderence of male murderers and musicians). 
Women on the other hand tend towards the collective-wave nature of
"merging" with communities (focused on family, relationships, feelings, 
communication, nurturing the group by not being extreme or disruptive
etc.). And as wtihin the quantum world – where 'things' are both waves and
particles (inherently, depending on how they are observed) – so within
everyday life, where men can be 'wave-natured' ( feminine, caring, 
community focused), or 'particle-natured' (masculine, warrior focused, 
'committment phobic', selfish, competitve); women can be 'particle-natured' 
(masculine, competitive, objective, selfish) or 'wave-natured' (feminine, 
caring, sharing, selfless) and so on.”
Exemplos deste “poder” de marketing
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
1. INTRODUÇÃO
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
4) The Quantum Physics of Sex: www.beliefinsitute.com
Tabela: Atribuindo Sexo às Partículas
Partículas: masculinas.Ondas: femininas.
Identificar. Individual.Compartilhar. Coletivo.
Princípio da Exclusão de 
Pauli.
Condensado de Bose-
Einstein.
Exclusivo. Separado.Misturado. Junto
Parcial (spin semi-
inteiro).Completo (spin inteiro).
Constituintes da Matéria
(coisas, matéria, espaço).
“Portadores de Força"
(glúons, interações).
FermionsBosons “Homens são partículas, mulheres são ondas, grosseiramente falando. 
Homens tendem à natureza das partículas individuais: a rígida proteção do ego 
fortemente identificado a tendência masculina no sentido de reter suas 
identidades competitivas em “colisões” (esportes, guerras) e no sentido dos 
comportamentos extremos (daí a preponderância de assassinos e músicos 
homens). Mulheres por outro lado tendem à natureza coletiva das ondas, na 
“imersão” em comunidades (focadas na família, relacionamentos, sentimentos, 
comunicação, cuidadoscom o grupo por não serem radicais ou perturbadoras, 
etc). E como dentro do mundo quântico – onde “coisas” são ambas ondas e 
partículas (inerentemente, dependendo de como são observadas) – então dentro 
da vida diária, onde homens podem apresentar “natureza ondulatória” (feminino, 
carinhoso, focado na comunidade), ou a “natureza corpuscular” (masculina, 
focada no combate, com medo do comprometimento, egoísta, competitivo); 
mulheres podem apresentar a “natureza corpuscular” (masculina, competitiva, 
objetiva, egoísta) ou a “natureza ondulatória” (feminina, carinhosa, de natureza 
compartilhadora, altruísta) e assim por diante.
Exemplos deste “poder” de marketing
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
1. INTRODUÇÃO
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
5) Cinema: “What the bleep do we know? - Quem somos 
nós?” – William Arntz, Betsy Chasse e Mark Vicente
Exemplos deste “poder” de marketing
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
1. INTRODUÇÃO
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
6) Cinema: “O Segredo” – Drew Heriot – “o fundamento 
quântico no comportamento empreendedor” – www.mente-
quantica.com
Exemplos deste “poder” de marketing
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
1. INTRODUÇÃO
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
7) Literatura: “O Tao da Física” – Fritjof Capra
"Neste momento, subitamente, apercebi-me intensamente do ambiente que me 
cercava: este se afigurava a mim como se participasse, em seus vários níveis rítmicos, de uma 
gigantesca dança cósmica. Eu sabia, como físico, que a areia, as rochas, a água e o ar ao meu 
redor eram constituídos de moléculas e átomos em vibração constante (...). Tudo isso me era 
familiar em razão de minha pesquisa com a Física de alta energia; mas até aquele momento, 
porém, tudo isso me chegara apenas através de gráficos, diagramas e teorias matemáticas. Mas, 
sentando na praia, senti que minhas experiências anteriores subitamente adquiriam vida. Assim, 
eu "vi" (...) pulsações rítmicas em que partículas eram criadas e destruídas (...) Nesse momento 
compreendi que tudo isso se tratava daquilo que os hindus, simbolicamente, chamam de A 
Dança de Shiva (...)".
"Eu passara por um longo treinamento em Física teórica e pesquisara durante vários 
anos. Ao mesmo tempo, tornara-me interessado no misticismo oriental e começara a ver 
paralelos entre este e a Física moderna. Sentia-me particularmente atraído pelos 
desconcertantes aspectos do Zen que me lembravam os enigmas da Física Quântica (...)”
Um Paralelo entre a Física Moderna e o Misticismo Oriental 
Exemplos deste “poder” de marketing
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
1. INTRODUÇÃO
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
7) Literatura: “O Segredo” – Rhonda Byrne
“Em termos práticos: se você quer riqueza, e 
pensa em riqueza, ela será colocada a sua 
disposição, porque você está passando 
energia positiva a esse item. Você apenas 
precisa ser capaz de atuar para chegar ao 
objetivo. E isso só depende de sua vontade e 
dedicação, com o tempo você chega ao que 
quer. Pode demorar semanas, meses, anos ou 
décadas. Mas, o item estará lá esperando.”
Exemplos deste “poder” de marketing
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
1. INTRODUÇÃO
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
8) Literatura: “Alice no país do Quantum” – Robert 
Gilmore
“Nessa genial mistura de fantasia e ciência, Alice, aquela do 
País das Maravilhas, está prestes a embarcar em outra jornada. Ela 
conhecerá o País do Quantum uma espécie de parque de diversões 
intelectual menor que um átomo e irá se deparar com desafios, jogos e 
atrações que esclarecem os diferentes aspectos da física quântica. 
Através dessa alegoria, o leitor conhece de forma acessível e divertida 
os domínios fundamentais da física quântica. Inteligentemente 
concebido e escrito, e com muitas ilustrações, 'Alice no País do 
Quantum' coloca conceitos físicos ao alcance do leitor comum. Não é
necessário conhecimento de matemática para acompanhar as 
travessuras da heroína, só gosto pela aventura intelectual e uma forte 
curiosidade pelo mundo que nos rodeia.”
Exemplos deste “poder” de marketing
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
1. INTRODUÇÃO
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
1. Introdução
2. Os Postulados da Mecânica Quântica
3. A Equação de Schrödinger Independente do Tempo
4. Aplicações Simples da Equação de Schrödinger
a. Equação de Schrödinger em uma Dimensão
b. Partícula Livre
c. Partícula Livre em uma “Caixa”
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
1) Função de Onda
( , )r tΨ r
Como descrever um objeto quântico?
O estado de qualquer objeto quântico é caracterizado 
por uma função de onda complexa, que fornece a 
distribuição espacial do objeto em um dado tempo.
Como a função de onda é complexa, 
ela em si não tem significado físico.
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Densidades de probabilidade 
(módulo ao quadrado da 
função de onda do elétron 
no átomo de hidrogênio.
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
i
x
∂
−
∂
h( , )r t dV℘ ⋅r
( , ) ( , ) ( , )r t r t r t∗℘ =Ψ ⋅Ψr r r
Probabilidade de encontrar o objeto quântico 
em um volume dV num instante t.
Densidade de probabilidade
Algumas das propriedades da função de onda são:
a) ela contém toda a informação mensurável sobre a 
partícula;
b) ela é contínua;
c) ela estabelece a distribuição de probabilidade do 
objeto quântico no espaço e sua evolução no tempo;
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Como descrever um objeto quântico?
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Outras propriedades da função de onda são:
d) se a partícula existe, a probabilidade de encontrá-la 
em algum ponto do espaço é 100%;
e) com ela é possível o cálculo das possíveis energias
da partícula;
f) com ela é possível o cálculo do valor mais provável de 
uma dada grandeza quântica.
( , ) ( , ) 1
V
r t r t dV∗
→∞
Ψ ⋅Ψ ⋅ =∫
r rCondição de existência 
e de normalização
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Como descrever um objeto quântico?
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
( , ) ( , )opA r t r t⋅Ψ = Γ
r r
2) Operadores Quânticos
Como descrever uma grandeza física?
A cada grandeza física corresponde um operador 
matemático, o qual atua na função de onda que descreve o 
objeto quântico.
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A cada grandeza física clássica, existe um 
correspondente operador quântico.
ˆˆ ˆr i x j y k z= ⋅ + ⋅ + ⋅r opr r= ⋅ Ι
r r
ˆˆ ˆ
x y zp i p j p k p= ⋅ + ⋅ + ⋅
r
t opt t= ⋅ Ι
E i t
∂
⋅ ⋅
∂
h
ENERGIA
TEMPO
MOMENTO LINEAR
POSIÇÃO
Equivalente QuânticaEquivalente ClássicaGrandeza
Exemplos
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Como descrever uma grandeza física?






∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅⋅⋅−=∇⋅⋅−
z
k
y
j
x
iii ˆˆˆh
r
h
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Algumas propriedades dos operadores quânticos são:
a) eles são operadores lineares (Álgebra Linear);
b) eles são representados por operações matemáticas, 
tais como derivadas e matrizes.
( , )r tΨ r
Vetor
opA
Derivada MatrizFunção
TEORIADE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Como descrever uma grandeza física?
Braket Operador
Schrödinger
Heisenberg
Dirac
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
( )( , ) i k x tx t A e ω⋅ − ⋅Ψ = ⋅
Exemplo: descrição de uma partícula livre
Seja ΨΨΨΨ(x,t) uma função de onda que representa uma onda 
plana em uma dimensão.
Este tipo de função descreve satisfatoriamente uma 
partícula livre se movendo em uma dimensão.
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
( ) ( )( )( , ) i k x top xp x t i A ex ω⋅ − ⋅∂⋅Ψ = − ⋅∂h
Seja o operador momento linear atuando em ΨΨΨΨ(x,t).
Exemplo: atuação do operador momento linear
( )op xp i x
∂
= − ⋅ ⋅
∂
h
Logo, temos
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
( ) ( )( , ) ( , )op xp x t k x t⋅Ψ = ⋅ ⋅Ψh Equação de auto-valores.
p k= ⋅h Auto-valor do operador pop(é um número!!!)
Neste caso, o resultado desta operação é uma equação 
de auto-valores.
Exemplo: resultado da operação
( ) ( ) ( ) ( )2( , ) i k x top xp x t i k A e ω⋅ − ⋅⋅Ψ = − ⋅ ⋅ ⋅h
( , )r tΨ r Auto-vetor ou 
auto-função do 
operador pop
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A v vλ⋅ = ⋅r r Equação de auto-
valores.
Auto-valor do 
operador A
Uma equação de auto-valores apresenta a seguinte 
estrutura matemática:
Exemplo: equação de auto-valores
λvr
Auto-vetor ou 
auto-função do 
operador A
Operador
A
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
p k= ⋅h
A análise deste resultado leva ao comprimento de onda 
de De Broglie.
Exemplo: comprimento de onda de De Broglie
2
h
pi
=
⋅
h
2k piλ
⋅
=
DB
h
p
λ λ= =
Conclusão: a onda plana realmente descreve muito bem a 
partícula livre!!!!!
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
⇒
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Na Mecânica Quântica o valor de uma grandeza física não 
pode ser determinado com precisão (Princípio da Incerteza 
de Heisemberg).
Como calcular grandezas associadas aos operadores 
quânticos?
p x∆ ⋅∆ ≥ h
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
*( , ) ( , )op op op
V
A A r t A r t dV= = Ψ ⋅ ⋅Ψ ⋅∫
r r
3) Valor Médio ou Valor Esperado do Operador
Como calcular grandezas associadas aos operadores 
quânticos?
Para cada grandeza física podemos apenas calcular 
teoricamente (ou medir experimentalmente) o valor médio do 
seu operador associado.
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
( )( , ) i k x tx t A e ω⋅ − ⋅Ψ = ⋅
Exemplo: a partícula livre
Seja novamente ΨΨΨΨ(x,t) uma função de onda que 
representa uma onda plana em uma dimensão.
( )* *( , ) i k x tx t A e ω− ⋅ − ⋅Ψ = ⋅
Como vimos, este tipo de função descreve 
satisfatoriamente uma partícula livre se movendo em uma 
dimensão.
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Seja novamente o operador momento linear atuando em 
ΨΨΨΨ(x,t).
Exemplo: o momento linear da partícula livre
( )op xp i x
∂
= − ⋅ ⋅
∂
h
Vamos calcular o valor médio deste operador, associado 
ao estado de uma partícula livre ΨΨΨΨ(x,t).
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
( ) ( )( ) ( )( )* i k x t i k x top opx x
V
p p A e i A e dV
x
ω ω− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅∂ 
= = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∂ ∫
h
Vamos implementar o algoritmo para o cálculo do valor 
médio do operador momento linear.
Vamos retirar as constantes para fora da integral.
Exemplo: implementação do algoritmo
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
( ) ( )( ) ( ) dVe
x
eAAipp
V
txkitxki
xopxop
⋅





∂
∂
⋅⋅⋅⋅⋅−== ∫
⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅− ωω*
h
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
( ) ( )i k x t i k x t
e i k e
x
ω ω⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅∂
= ⋅ ⋅
∂
2*A A A⋅ =
Vamos fazer o cálculo da derivada da função 
exponencial.
Vamos lembrar que
Exemplo: etapas do cálculo
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
( )( ) ( ) ( )2 i k x t i k x top op
V
p p i A e i k e dVω ω− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅= = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫h
( ) ( )( ) ( )2 i k x t i k x top op
V
p p i i k A e e dVω ω− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅= = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫h
Obtemos então
Retiramos as constantes para fora da integral e obtemos
Exemplo: mais etapas do cálculo
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
( ) ( ) ( )( ) ( )22 i k x t i k x top op
V
p p i k A e e dVω ω− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅= = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫h
Agrupamos os termos fora da integral e obtemos
Lembramos que
( )2 1i = − ( ) ( ) 1i k x t i k x te eω ω⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅⋅ =
Exemplo: um pouco mais de cálculo
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
2 1
V
A dV⋅ =∫
( ) 2op op
V
p p k A dV= = ⋅ ⋅ ⋅ ∫h
Obtemos então
Aplicamos a condição de normalização
Exemplo: aplicação da condição de normalização
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
( )op opp p k= = ⋅h
Finalmente, obtemos...
O valor médio do operador pop é o auto-valor do mesmo 
operador!!
Exemplo: o resultado final – a relação de De Broglie!!!
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Obtemos aqui novamente a relação de De Broglie!!!
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
4) Equação de Schrödinger
Como prever a dinâmica de um objeto quântico?
H i
t
∂ Ψ
⋅ Ψ = ⋅
∂
h
Erwin Schrödinger
(1887-1961)
Prêmio Nobel de Física no ano de 1933 - "pelo 
desenvolvimento de novas teorias atômicas"
A evolução de um estado quântico (função de onda e 
energia) é governada pela Equação de Schrödinger.
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Um pouco de História
Erwin Schrödinger
(1887-1961)
Tanto De Broglie quanto Erwin Rudolf Josef Alexander 
Schrödinger (1887-1961) basearam-se nos estudos de William 
Rowan Hamilton (1805-1885) feitos em 1835 para formular a 
Mecânica Quântica.
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
William Hamilton
(1805-1885)
Louis De Broglie
(1892-1987)
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Analogia entre Óptica e Mecânica Clássica
Hamilton estabeleceu uma analogia entre a Óptica e a 
Mecânica Clássica.
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Ele expressou a equação de movimento de uma partículade massa m sob a ação de um campo de forças de forma 
muito similar às equações que descrevem a trajetória de um 
raio de luz em um meio não-homogêneo.
Lembremos que em um meio não-homogêneo o índice de 
refração depende da posição.
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Índice de refração e energia potencial???!!!
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
As variações do índice de refração modificam a trajetória 
dos raios luminosos de forma análoga que a variação da 
energia potencial faz com que a trajetória das partículas 
sejam curvas.
Para os raios luminosos em um meio não-homogêneo 
temos que
( ) ( ) 



⋅=∇
ds
rd
rn
ds
d
rn
r
rrr
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
O resultado de Hamilton
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Por sua vez, para o movimento de uma partícula clássica 
Hamilton obteve
( ) ( ) 



⋅=∇
ds
rd
rp
ds
d
rp
r
rrr
Na equação acima p é o módulo do momento linear da 
partícula.
Sabemos que para uma partícula clássica, temos
( ) ( )[ ]rUEmrp rr −⋅⋅= 2
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
A conclusão de Hamilton
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Comparando a equação do momento linear com a 
equação do índice de refração Hamilton estabeleceu que
“a trajetória de uma partícula de massa m e energia E
em uma região onde existe uma energia potencial U, é
idêntica à trajetória de um raio de luz em um meio de índice 
de refração n”.
Além disso, Hamilton ponderou que o índice de refração 
do meio não-homogêneo devia ser tal que
( ) ( )[ ]rUErn rr −∝
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
A Equação de Helmholtz
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Sabemos também que em um meio não-homogêneo a luz 
se propaga como uma onda eletromagnética obedecendo a 
Equação de Helmholtz.
Assim, por meio da analogia de Hamilton, Schrödinger
chegou a
( ) Ψ⋅∝Ψ∇− rn r22
( ) ( )[ ] 22 prUErn =−∝ rr
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
A analogia de Schrödinger
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
A partir daí, Schrödinger pôde supor que a onda de 
matéria proposta por De Broglie obedecia à equação 
diferencial dada por
Uma manipulação simples nos leva a
( ) ( )rpr r
h
r Ψ⋅=Ψ∇− 2
2
2
( ) ( ) ( )rErrU
m
rrrh Ψ⋅=Ψ⋅





+∇
⋅
−
2
2
2
Equação de Schrödinger
independente do tempo.
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Os artigos de Schrödinger
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Schrödinger publicou uma série de artigos ao longo do 
ano de 1926.
Em português o título deste artigo é “Sobre a Relação 
entre a Mecânica Quântica de Heisemberg, Born e Jordan e a 
Minha”
O primeiro deles cujo título é “Über das Verhältnis der 
Heisemberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der 
Meine” foi publicado na revista Annalen der Physik, volume 
79, pgs. 734-756, e trata exatamente da obtenção da Equação 
de Shcrödinger.
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Os artigos de Schrödinger
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
A seguir, Schrödinger publicou artigos aplicando a 
equação obtida por ele a uma série de problemas.
Em português o título deste artigo é “Quantização de um 
Problema de Auto-Valores I: Equação de Schrödinger
independente do tempo e o espectro do átomo de 
hidrogênio”
O artigo cujo título é “Quantisierung als
Eigenwertproblem” foi publicado na revista Annalen der 
Physik Ser. 4, volume 79, pgs. 361-376, e trata da solução do 
problema do átomo de hidrogênio.
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Os artigos de Schrödinger
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Em português o título deste artigo é “Quantização de um 
Problema de Auto-Valores II: Analogia com a Óptica e o 
problema do oscilador harmônico”
Outro artigo cujo título é “Quantisierung als
Eigenwertproblem” foi publicado na revista Annalen der 
Physik Ser. 4, volume 79, pgs. 489-527, e trata da solução do 
problema do oscilador harmônico.
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Um gato é colocado numa caixa selada.
O gato de Schrödinger
Quando o núcleo decai, emite uma partícula que aciona o 
dispositivo, que parte o frasco e mata o gato.
No interior da caixa, existe um dispositivo que contém 
um núcleo radioativo e um frasco de gás venenoso.
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
De acordo com a Mecânica Quântica, o núcleo é descrito 
como uma mistura de "núcleo decaído" e de "núcleo não 
decaído“.
O gato de Schrödinger
No entanto, quando a caixa é aberta o experimentador 
vê só um "gato morto/núcleo decaído" ou um "gato 
vivo/núcleo não decaído”.
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A questão é a de saber quando é que o sistema deixa de 
ser uma mistura de estados e se torna um ou outro.
O gato de Schrödinger
Schrödinger queria mostrar é que a Mecânica Quântica é
uma teoria incompleta se não existirem regras que 
descrevam quando é que a função de onda colapsa e o gato
se torna morto ou vivo em vez de uma mistura de ambos.
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Segundo a Interpretação de Copenhagen (Bohr), um 
sistema deixa de ser uma mistura de estados e passa a ser 
um único estado quando se dá uma observação.
O gato de Schrödinger – Interpretação de Copenhagen
Poder-se-ia argumentar que enquanto a caixa está
fechada, o sistema é uma sobreposição de estados "gato 
morto/núcleo decaído" e "gato vivo/núcleo não decaído”. 
Esta é uma proposição absurda!!!
Só quando a caixa é aberta e se dá uma observação é que 
a função de onda colapsa num dos dois estados.
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
O gato de Schrödinger – Interpretação de Copenhagen
Como vimos, isto é absurdo, e intuitivamente podemos 
pensar que a "observação" se dá quando uma partícula do 
núcleo bate no detector.
No entanto (e isto é a idéia crucial da experiência), não 
há qualquer regra para escolher entre as duas hipóteses.
Assim, a Mecânica Quântica (pela Interpretação de 
Copenhagen) é incompleta se não der explicações para a 
existência de tais regras.
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
O gato de Schrödinger – Interpretação dos Universos 
Paralelos de Everett
Segundo Hugh Everett III, ambos os estados persistem.
Quando um observador abre a caixa, ele 
torna-se um estado emaranhado com o gato.
Aplicação: CRIPTOGRAFIA QUÂNTICA!!!!!
Então o observador declara o 
correspondente ao que vê, ou seja, se o gato 
está vivo ou morto sendo que cada um destes 
estados não pode ter qualquer interação com 
o outro.
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Hugh Everett III
(1930-1982)Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Uma “dedução” da Equação de Schrödinger pode ser 
obtida a partir do Princípio da Conservação da Energia.
A Equação de Schrödinger
Atuamos o operador energia em uma função de onda 
qualquer.
( ),opE r t⋅Ψ r
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Lembremos que para uma partícula de massa m a energia 
mecânica é dada pela soma da energia cinética com a 
energia potencial.
A Equação de Schrödinger
( ),op opU U r t= r O operador energia potencial Uop define as interações existentes no sistema.
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
UTE += opopop UTE +=⇒
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Lembremos que
A Equação de Schrödinger
opE i t
∂
= ⋅ ⋅
∂
h
E assim, temos que
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
( )[ ] ( ) ( )tr
t
itrtrUT opop ,,,
r
h
rr Ψ
∂
∂
⋅⋅=Ψ⋅+
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Lembremos também que
A Equação de Schrödinger
opp i= − ⋅ ⋅∇
rr
h
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Logo, obtemos
m
pT
⋅
=
2
2
( ) 2222
22
1
2
∇⋅
⋅
−=∇⋅⋅−⋅
⋅
=
⋅
=
m
i
mm
p
T opop
hr
h
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Obtemos então a equação diferencial
A Equação de Schrödinger
( ) ( ) ( )
2
2
, , ,
2 op
U r t r t i r t
m t
  ∂
− ∇ + ⋅Ψ = ⋅ ⋅ Ψ 
⋅ ∂ 
h r r r
h
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Equação de Schrödinger
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
, , , ,
2 op
r t U r t r t i r t
m t
∂
− ∇ Ψ + ⋅Ψ = ⋅ ⋅ Ψ
⋅ ∂
h r r r r
h
E assim, finalmente chegamos a
Equação de Schrödinger Equação diferencial de segunda ordem no 
espaço e de primeira ordem no tempo.
A solução da Equação de Schrödinger
fornece a função de onda ΨΨΨΨ.
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
1. Introdução
2. Os Postulados da Mecânica Quântica
3. A Equação de Schrödinger Independente do Tempo
4. Aplicações Simples da Equação de Schrödinger
a. Equação de Schrödinger em uma Dimensão
b. Partícula Livre
c. Partícula Livre em uma “Caixa”
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
3. A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO 
TEMPO
Operacionalização da Equação de Schrödinger
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
, , , ,
2 op
r t U r t r t i r t
m t
∂
− ∇ Ψ + ⋅Ψ = ⋅ ⋅ Ψ
⋅ ∂
h r r r r
h
Como pode ser visto, a Equação de Schrödinger não é
fácil de ser resolvida matematicamente.
Equação diferencial de segunda ordem no 
espaço e de primeira ordem no tempo.
É uma equação a 
derivadas parciais 
com quatro variáveis 
(x,y,z,t).
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Operacionalização da Equação de Schrödinger
Além disso, cada solução depende do operador energia 
potencial Uop.
O operador energia potencial define as interações
existentes no sistema.
As interações podem se de duas naturezas:
a) interação entre as partículas do sistema;
b) interação entre as partículas e um campo externo
qualquer.
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
3. A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO 
TEMPO
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Operacionalização da Equação de Schrödinger
No entanto, existe uma situação em que a Equação de 
Schrödinger torna-se simplificada.
Isto ocorre quando o operador energia potencial é
independente do tempo.
( )op opU U r= r
Quando isto acontece, dizemos que o sistema físico é
estacionário, ou conserva energia.
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
3. A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO 
TEMPO
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Estados Estacionários: solução geral
Quando o operador energia potencial é independente do 
tempo é possível escrevê-lo na forma
( ) ( )op opU r U r= ⋅Ιr r
U é uma função nas variáveis espaciais (x,y,z) ΙΙΙΙop é o operador identidade
( ) ( ), ,op r t r tΙ ⋅Ψ = Ψr r
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
3. A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO 
TEMPO
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Escrevemos neste caso a Equação de Schrödinger na 
forma
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
, , ,
2 op
r t U r r t i r t
m t
∂
− ∇ Ψ + ⋅Ι ⋅Ψ = ⋅ ⋅ Ψ
⋅ ∂
h r r r r
h
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
, , ,
2
r t U r r t i r t
m t
∂
− ∇ Ψ + ⋅Ψ = ⋅ ⋅ Ψ
⋅ ∂
h r r r r
h
Este resultado nos leva à seguinte equação diferencial
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
3. A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO 
TEMPO
Estados Estacionários: solução geral
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Estados Estacionários: método de separação de variáveis
Esta equação ainda é difícil de ser resolvida, mas ao 
menos nos livramos de operadores desconhecidos.
( ) ( ) ( ),r t r tΨ = Ψ ⋅Φr r
Temos agora uma equação diferencial apenas com 
funções matemáticas (ainda desconhecidas).
Usamos a seguir o método de separação de variáveis, 
isto é, propomos como solução uma expressão do tipo...
ΨΨΨΨ(x,y,z) depende apenas 
das variáveis espaciais
ΦΦΦΦ(t) depende apenas do tempo.
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
3. A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO 
TEMPO
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Estados Estacionários: processo de solução
Substituímos esta proposta de solução na equação 
original, e obtemos então
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
r t U r r t i r t
m t
∂
− ∇ Ψ ⋅Φ + ⋅Ψ ⋅Φ = ⋅ ⋅ Ψ ⋅Φ      
⋅ ∂
h r r r r
h
Lembremos que as derivadas parciais só atuam nas 
funções que dependam explicitamente da variável.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
t
r U r r t i r t
m t
⋅Φ ∂
− ∇ Ψ + ⋅Ψ ⋅Φ = ⋅ ⋅Ψ ⋅ Φ      
⋅ ∂
h r r r r
h
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
3. A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO 
TEMPO
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Estados Estacionários: processo de solução
Dividimos lado a lado na igualdade pelo produto Ψ⋅ΦΨ⋅ΦΨ⋅ΦΨ⋅Φ.
Obtemos então
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
t r t r
r U r i t
m r t r t r t t
⋅Φ Ψ ⋅Φ Ψ ∂
− ∇ Ψ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ Φ      
⋅ ⋅Ψ ⋅Φ Ψ ⋅Φ Ψ ⋅Φ ∂
r r
h r r
hr r r
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
i
r U r t
m r t t
⋅ ∂
− ∇ Ψ + = ⋅ Φ      
⋅ ⋅Ψ Φ ∂
h hr r
r
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
3. A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO 
TEMPO
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Estados Estacionários: condição de existência de solução
Observemos atentamente esta última equação
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
i
r U r t
m r t t
⋅ ∂
− ∇ Ψ + = ⋅ Φ      
⋅ ⋅Ψ Φ ∂
h hr r
r
( )f rr ( )g t
( ) ( ) tanf r g t cons te E= = =r
=
Única 
possibilidade
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
3. A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO 
TEMPO
⇒
⇓ ⇓
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Estados Estacionários: soluções para o tempo e espaço
Logo, temos duasequações diferenciais, uma para o 
tempo e outra para as varáveis espaciais.
( ) ( ) ( )
2
2
2
r U r E
m r
− ∇ Ψ + =  
⋅ ⋅Ψ
h r r
r
( ) ( )
i d
t E
t dt
⋅
⋅ Φ =  Φ
h
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
3. A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO 
TEMPO
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Estados Estacionários: soluções para a equação no tempo 
( )
( )
d t E i Edt dt
t i
Φ 
⋅ 
= ⋅ = −
Φ ⋅h h
( )ln i Et t⋅Φ = −
h
( )
( )
d t i E dt
t
Φ 
⋅ 
= −
Φ∫ ∫h
Vamos resolver inicialmente a equação na variável 
tempo.
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
3. A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO 
TEMPO
⇒
Obtemos finalmente
⇒ ( )
i E
t
t e
⋅
−
Φ = h
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Estados Estacionários: solução no tempo
Vamos resolver agora a equação diferencial nas variáveis 
espaciais.
( ) ( ) ( )
2
2
2
r U r E
m r
− ∇ Ψ + =  
⋅ ⋅Ψ
h r r
r
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
r U r r E r
m
− ∇ Ψ + ⋅Ψ = ⋅Ψ  
⋅
h r r r r
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
3. A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO 
TEMPO
Uma pequena manipulação desta equação nos leva a
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Estados Estacionários
Temos então a Equação de Schrödinger Independente do 
Tempo.
A solução desta equação diferencial depende de como as 
partículas que compõe o sistema interagem (energia 
potencial U).
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
r U r r E r
m
− ∇ Ψ + ⋅Ψ = ⋅Ψ  
⋅
h r r r r
A sua solução fornece tanto a função de onda ΨΨΨΨ quanto a 
energia E.
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
3. A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO 
TEMPO
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Estados Estacionários
Observe que a Equação de Schrödinger Independente do 
Tempo é uma equação de auto-valores.
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
r U r r E r
m
− ∇ Ψ + ⋅Ψ = ⋅Ψ  
⋅
h r r r r
( ) ( )opH r E rΨ = ⋅Ψr r( )
2
2
2op op
H U r
m
= − ∇ +
⋅
h r
Operador 
HAMILTONIANO
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
3. A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO 
TEMPO
⇐
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Estados Estacionários
A solução geral da Equação de Schrödinger para o caso 
onde o operador energia potencial é independente do tempo 
é então
( ) ( ) ( ),r t r tΨ = Ψ ⋅Φr r ( ) ( ),
i E
t
r t r e
⋅
−
Ψ = Ψ ⋅ hr r
Observemos que
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
,
i E i E
t t
r t r e r e
⋅ ⋅
− −
Ψ = Ψ ⋅ = Ψ ⋅h hr r r
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
3. A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO 
TEMPO
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Estados Estacionários
Obtemos então o resultado
( ) ( )2 2,r t rΨ = Ψr r
Este resultado mostra que no caso em que temos o 
operador energia potencial independente do tempo,
ΨΨΨΨ2 também não depende do tempo, o que define o
ESTADO ESTACIONÁRIO
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
3. A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO 
TEMPO
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
1. Introdução
2. Os Postulados da Mecânica Quântica
3. A Equação de Schrödinger Independente do Tempo
4. Aplicações Simples da Equação de Schrödinger
a. Equação de Schrödinger em uma Dimensão
b. Partícula Livre
c. Partícula Livre em uma “Caixa”
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
Equação de Schrödinger em Uma Dimensão
Vamos começar a resolver alguns problemas de 
Mecânica Quântica.
Isto implica em resolver a equação diferencial dada pela 
Equação de Schrödinger, e encontrar tanto a função de onda 
ΨΨΨΨ quanto a energia E.
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
r U r r E r
m
− ∇ Ψ + ⋅Ψ = ⋅Ψ  
⋅
h r r r r
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Equação de Schrödinger em Uma Dimensão
Veja que, no caso geral, se trata de resolver uma equação 
diferencial a derivadas parciais em três dimensões.
Vamos, no entanto, iniciar por resolvê-la numa situação 
mais simples.
Consideremos então o movimento de uma partícula 
quântica de massa m movendo-se em uma dimensão, 
caracterizada pela variável x.
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
Equação de Schrödinger em Uma Dimensão
Em uma dimensão escrevemos o laplaciano na forma...
2 2 2
2
2 2 2x y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
2 2
2
2 2
d
x dx
∂∇ = =
∂
Desta forma, escrevemos a Equação de Schrödinger na 
forma...
( ) ( ) ( ) ( )
22
22
d x
U x x E x
m dx
Ψ
− + ⋅Ψ = ⋅Ψ
⋅
hEquação de 
Schrödinger em uma 
dimensão.
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
⇒
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
1. Introdução
2. Os Postulados da Mecânica Quântica
3. A Equação de Schrödinger Independente do Tempo
4. Aplicações Simples da Equação de Schrödinger
a. Equação de Schrödinger em uma Dimensão
b. Partícula Livre
c. Partícula Livre em uma “Caixa”
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica Livre
Mesmo para resolver a Equação de Schrödinger em uma 
dimensão é preciso conhecer a interação que sofre a 
partícula, ou seja, conhecer U(x).
A situação matemática mais simples é aquela na qual
( ) 0U x =
Fisicamente U(x) = 0 ou U(x) = constante significa 
(classicamente) que a partícula está livre da ação de forças.
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica Livre
Dessa forma, a Equação de Schrödinger se torna
A solução desta equação diferencial é
( ) ( )
22
22
d x
E x
m dx
Ψ
− = ⋅Ψ
⋅
h
( ) i k x i k xx A e B e⋅ ⋅ − ⋅ ⋅Ψ = ⋅ + ⋅
( ) ( )
2
2 2
2 0
d x m E
x
dx
Ψ ⋅ ⋅
+ ⋅Ψ =
h
Superposição de duas 
ondas planas
2
2 m Ek ⋅ ⋅=
h
k é o número de onda.
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica Livre: interpretação do resultado
Vamos interpretar este resultado.
( ) i k x i k xx A e B e⋅ ⋅ − ⋅ ⋅Ψ = ⋅ + ⋅Superposição de duas ondas planas
A⋅⋅⋅⋅ei⋅⋅⋅⋅k⋅⋅⋅⋅x: onda plana de amplitude A, número de onda k e que se 
propaga da esquerda para a direita (+ikx)
B⋅⋅⋅⋅e-i⋅⋅⋅⋅k⋅⋅⋅⋅x: onda plana de amplitude B, número de onda k e que se 
propaga da direita para a esquerda (-i⋅⋅⋅⋅k⋅⋅⋅⋅x)
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica Livre: caso particular
Vamos fazer uma hipótese adicional, a de que a partícula 
se propague da esquerda para a direita.
Neste caso
0=B ( ) xkieAx ⋅⋅⋅=Ψ
Isto implica que
( ) xkieAx ⋅⋅−⋅=Ψ **
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica Livre: condição de normalização
Obtemos então
Vamos impor a condição de normalização.
( ) 12 =⋅Ψ∫
∞
∞−
dxx
12 =⋅ ∫
∞∞−
dxA 12
2
=∞⋅⋅A 02 =A
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
⇒ ⇒
0=A
⇓
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica Livre: interpretação
Vamos interpretar este resultado.
- uma onda plana que se propaga em um único sentido 
está distribuída em todo o espaço, de forma que a 
probabilidade dela ser encontrada em uma dada região é
nula;
Solução: “confinar” a partícula em uma dada região.
- ou seja, não há uma função de onda que descreva tal 
partícula.
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
O fato da amplitude A ser nula implica que:
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
1. Introdução
2. Os Postulados da Mecânica Quântica
3. A Equação de Schrödinger Independente do Tempo
4. Aplicações Simples da Equação de Schrödinger
a. Equação de Schrödinger em uma Dimensão
b. Partícula Livre
c. Partícula Livre em uma “Caixa”
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica em uma “Caixa”: definição
Seja a partícula quântica de massa m sujeita à seguinte 
energia potencial
( )





=∞
<<
=∞
=
ax
ax
x
xU 00
0
Solução: “confinar” a partícula em uma dada região.
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica em uma “Caixa”: interpretação
Como a energia potencial nos pontos x = 0 e x = a é
infinita, dizemos que a partícula está “confinada” nesta 
região do espaço.
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Para que a partícula seja encontrada fora da “caixa” é
necessário que ela recebe uma quantidade infinita de 
energia.
Como isto não é possível, isto significa que ela não pode 
ser encontrada fora da “caixa”.
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica em uma “Caixa”: condições de 
contorno
Desta forma, a função de onda que descreve a partícula 
deve satisfazer condições de contorno que represente esta 
idéia de confinamento.
Vamos agora resolver a Equação de Schrödinger para a 
região onde a função de onda da partícula pode ser definida, 
isto é, no intervalo 0 < x < a.
( ) 00 =≤Ψ x ( ) 0=≥Ψ ax
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Estas condições são dadas pelas equações
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica em uma “Caixa”: solução
Vamos escrever a Equação de Schrödinger para este 
intervalo.
Como já vimos, a solução desta equação diferencial é
( ) ( )
22
22
d x
E x
m dx
Ψ
− = ⋅Ψ
⋅
h ( ) ( )
2
2 2
2 0
d x m E
x
dx
Ψ ⋅ ⋅
+ ⋅Ψ =
h
2
2 m Ek ⋅ ⋅=
h
k é o número de onda.
( ) ( ) ( )xkBxkAx ⋅⋅+⋅⋅=Ψ sincos
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
⇒
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica em uma “Caixa”: determinação de A
Vamos aplicar a primeira condição de contorno nesta 
solução.
Assim, a função de onda que descreve a partícula fica 
provisoriamente na forma
( ) ( )xkBx ⋅⋅=Ψ sin
( ) 00 ==Ψ x ( ) ( ) 00sin0cos =⋅+⋅ BA 0=A
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
⇒ ⇒
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica em uma “Caixa”: outra condição de 
contorno
Vamos aplicar agora a segunda condição de contorno
nesta solução.
Esta equação apresenta duas possibilidades de solução.
( ) 0==Ψ ax
0=B
( ) 0sin =⋅⋅ akB
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
⇒
( ) 0sin =⋅akou
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica em uma “Caixa”: outra condição de 
contorno
A primeira destas soluções é a solução trivial, dada por
0=B
Esta solução NÃO é desejada, pois ela representa a 
impossibilidade de descrever a função de onda confinada em 
uma região do espaço.
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Neste caso, caso aceitássemos esta solução, teríamos
( ) 0=Ψ x
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica em uma “Caixa”: determinação da 
quantização da energia
A outra solução possível é dada por
Esta equação apresenta como soluções todos os 
números de onda k tais que
( ) 0sin =⋅ak
pi⋅=⋅ nak **Zn∈
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica em uma “Caixa”: determinação da 
quantização da energia
A razão pela qual n deve ser inteiro positivo e não nulo é
que
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
- como o número de onda k e a largura da caixa a são 
positivos, n também deve ser positivo;
- como não existe partícula com energia E nula, e ela é
proporcional ao número de onda k, que é proporcional a n, 
este então não pode ser nulo.
pi⋅=⋅ nak
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica em uma “Caixa”: a quantização da 
energia
Vamos usar a expressão obtida acima.
2
2 m Ek ⋅ ⋅=
h
pi⋅=⋅ nak
2
2 2
h
Emk ⋅⋅=
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Mas, lembremos que o número de onda k está associado 
à energia da partícula confinada na caixa.
⇒ 2222 pi⋅=⋅ nak
⇒
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica em uma “Caixa”: a energia 
quantizada
O resultado acima mostra que a energia E é quantizada, 
isto é varia discretamente em função de n2.
**Zn∈
22
2
22
pi⋅=
⋅⋅⋅
n
aEm
h
2
2
22
2
n
am
En ⋅
⋅⋅
⋅
=
hpi
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Após uma simples substituição de fórmulas, 
encontramos
⇒
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica em uma “Caixa”
Como vemos, a energia de uma partícula quântica, 
confinada em uma “caixa” pode admitir apenas valores 
discretos.
2
2
22
2
n
am
En
⋅⋅
⋅
=
hpi
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Podemos expressar esta quantização graficamente.
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica em uma “Caixa”: determinação de B
Já determinamos duas das três constantes deste 
problema, isto é, a constante A e a energia E.
Para isto, vamos usar a condição de normalização.
( ) 12 =⋅Ψ∫
∞
∞−
dxx ( ) ( ) ( )∫∫∫
∞
∞−
=⋅Ψ+⋅Ψ+⋅Ψ
a
a
dxxdxxdxx 12
0
2
0
2
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Vamos agora determinar a constante B.
⇒
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica em uma “Caixa”: determinação de B
Obtemos então
1sin
0
22
=⋅




 ⋅
⋅∫
a
dxx
a
nB pi
a
B 2=
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
2
sin
0
2 adxx
a
n
a
=⋅




 ⋅
∫
pi
⇒
Mas, consultando umatabela de integrais temos que
1sin
0
22
=⋅




 ⋅
⋅ ∫
a
dxx
a
nB pi
⇒
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica em uma “Caixa”: estado da partícula
Este resultado nos leva a seguinte expressão para a 
função de onda e para a energia de uma partícula em uma 
caixa
( ) 










 ⋅
⋅=Ψ x
a
n
a
x
pi
sin2
2
2
22
2
n
am
En
⋅⋅
⋅
=
hpi
**Zn∈
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica em uma “Caixa”: análise gráfica
Um quadro resumo destes resultados, com gráficos para 
a função de onda e a energia é mostrado abaixo:
( ) 










 ⋅
⋅=Ψ x
a
n
a
x
pi
sin2
2
2
22
2
n
am
En
⋅⋅
⋅
=
hpi
**Zn∈
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica em uma “Caixa”: análise gráfica
Um outro quadro resumo destes resultados, é mostrado 
abaixo
( ) 










 ⋅
⋅=Ψ x
a
n
a
x
pi
sin2
2
2
22
2
n
am
En
⋅⋅
⋅
=
hpi
**Zn∈
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica em uma “Caixa”: valores médios de 
operadores quânticos
Podemos usar o terceiro Postulado da Mecânica 
Quântica e calcular valores médios de algumas grandezas 
físicas.
Para isto, vamos usar o algoritmo que nos permite 
calcular o valor médio de um dado operador quântico Aop.
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
*( , ) ( , )op op op
V
A A r t A r t dV= = Ψ ⋅ ⋅Ψ ⋅∫
r r
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica em uma “Caixa”: valor médio do 
operador posição
Vamos iniciar nossos exemplos com o operador posição 
xop.
( ) ( ) ( ) dxxxxx opop ⋅Ψ⋅⋅Ψ= ∫
∞
∞−
*
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Para tal, vamos substituir o operador xop no algoritmo 
mostrado anteriormente.
Obtemos então
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica em uma “Caixa”: valor médio do 
operador posição
Lembremos que
Ixxop ⋅= ( ) 










 ⋅
⋅=Ψ x
a
n
a
x
pi
sin2 ( ) 










 ⋅
⋅=Ψ x
a
n
a
x
pi
sin2*
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Desta forma, obtemos a integral
dxx
a
n
x
a
x
a
op ⋅




 ⋅
⋅⋅= ∫
0
2sin2 pi
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
4
sin
2
0
2 adxx
a
n
x
a
=⋅




 ⋅
⋅∫
pi
2
a
xop =
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Consultando uma tabela de integrais temos que
A Partícula Quântica em uma “Caixa”: valor médio do 
operador posição
Assim, substituindo este resultado na fórmula anterior, 
obtemos a seguinte expressão para o valor médio do 
operador posição
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica em uma “Caixa”: valor médio do 
operador momento linear
Obtemos então
( ) ( ) ( ) dxxpxp opop ⋅Ψ⋅⋅Ψ= ∫
∞
∞−
*
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Vamos agora substituir o operador pop no algoritmo 
mostrado anteriormente.
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
A Partícula Quântica em uma “Caixa”: valor médio do 
operador momento linear
( ) 










 ⋅
⋅=Ψ x
a
n
a
x
pi
sin2 ( ) 










 ⋅
⋅=Ψ x
a
n
a
x
pi
sin2*dx
dipop ⋅⋅−= h
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
Lembremos que
Desta forma, obtemos a integral
dxx
a
n
dx
d
x
a
n
a
ip
a
o
op ⋅

















 ⋅
⋅










 ⋅⋅⋅
−= ∫
pipi
sinsin2 h
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
dxx
a
n
x
a
n
a
nip
a
o
op ⋅










 ⋅
⋅










 ⋅
⋅
⋅⋅⋅⋅
−= ∫
pipipi
cossin2 2
h
0=opp
4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
TEORIA DE SCHRÖDINGER DA MECÂNICA 
QUÂNTICA
A Partícula Quântica em uma “Caixa”: valor médio do 
operador momento linear
Após alguma manipulação, chegamos a
Consultando uma tabela de integrais temos que
0cossin =⋅










 ⋅
⋅










 ⋅
∫ dxxa
n
x
a
n
a
o
pipi
⇒
Física Moderna I - Teoria de 
Schrödinger da Mecânica Quântica
TEORIA DE 
SCHRÖDINGER DA
MECÂNICA QUÂNTICA
FÍSICA MODERNA I
“A equação de onda de Schrödinger
provavelmente é a equação mais 
reinterpretada jamais escrita” – Mário Bunge
H i
t
∂ Ψ
⋅ Ψ = ⋅
∂
h