AulaTeorica 06_Derivada

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1
1
Prof. Alexandre Mikowski
Joinville - SC
Universidade Federal de Santa Catarina
Campus de Joinville
Curso de Engenharia da Mobilidade
Derivada
2
Conteúdos da Aula
� Tabela Geral de Derivadas;
� Derivada da Função Composta;
� Derivada da Função Inversa;
� Derivadas Sucessivas;
� Derivação Implícita.
2
3
Compreender os conceitos de:
� Derivada da função composta;
� Derivada da função inversa;
� Derivadas sucessivas;
� Derivação implícita.
Objetivos da aula
4
Tabela Geral de Derivadas
� Importante: 
Imprimir a tabela disponível no moodle para auxiliá-
lo na hora de fazer os exercícios de derivadas;
As diferentes regras de derivação, para as 
diferentes funções, são demonstradas a partir da 
definição de derivada.
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)(
0
'
3
5
2
''
'
'''
'''
''
'
'
 (6)
 (5)
 (4)
 (3)
1 (2)
0 (1)
v
vuuvy
v
uy
uvvuyvuy
vuyvuy
ucyucy
yxy
ycy
⋅−⋅
=⇒=
⋅+⋅=⇒⋅=
+=⇒+=
⋅=⇒⋅=
=⇒=
=⇒=
Derivadas: propriedades básicas
6
Derivada da função composta
� Proposição: Regra da cadeia
Se y = g(u) e u = f(x) e as derivadas dy/dx e du/dx
existem, então a função composta y = g[f(x)] tem 
derivada que é dada por: 
)()()(ou ''' xfugxy
dx
du
du
dy
dx
dy
⋅=⋅=
4
7
Derivada da função composta
� Proposição: Regra da cadeia
� Exemplo 1: 
? determinar
 ,)25( Dado 72
=
++==
dx
dy
xx f(x) y
)()()(ou ''' xfugxy
dx
du
du
dy
dx
dy
⋅=⋅=
8
Derivada da função composta
� Proposição: Regra da cadeia
� Exemplo 1: Resolução
( )
( ) ( ) ( ) ( )52257527
25)(e)(
 determinar ,)25( Dado
626
27
72
+⋅++⋅=+⋅=
++====
++==
xxxxu
dx
dy
xxxfuuugy
dx
dy
xx xfy
)()()(ou ''' xfugxy
dx
du
du
dy
dx
dy
⋅=⋅=
5
9
( )
( )
)0( ln (12)
ln (11)
loglog (10)
 (9)
ln1 ,0 (8)
0 (7)
''1'
'
'
'
'
''
''
'1'
>⋅⋅+⋅⋅=⇒=
=⇒=
=⇒=
⋅=⇒=
⋅⋅=⇒≠>=
⋅⋅=⇒≠=
−
−
uvuuuuvyuy
u
uyuy
e
u
uyuy
ueyey
uaayaaay
uuyuy
vvv
aa
uu
uu
αα αα
Derivadas: Funções elementares
10
( )
''
257410553
.
23
ueyey
exfy
uu
xxx
=⇒=
==
−++
Exemplo 2
� Calcular a derivada da função
6
11
( )
( )( )2574105532'
''
257410553
23
23
101109
.
−++
−++
++=
=⇒=
==
xxx
uu
xxx
exxy
ueyey
exfy
Exemplo 2
� Calcular a derivada da função
12
( )
( )( )
257410553257410553
2574105532'
2574105532'
''
257410553
2323
23
23
23
10110
9
101109
.
−++−++
−++
−++
−++
++
+=
++=
=⇒=
==
xxxxxx
xxx
xxx
uu
xxx
exe
exy
exxy
ueyey
exfy
Exemplo 2
7
13
''
''
'2'
'2'
''
''
 cotg cosec cosec (18)
 tgsec sec (17)
cosec cotg (16)
sec tg (15)
sen cos (14)
cossen (13)
uuuyuy
uuuyuy
uuyuy
uuyuy
uuyuy
uuyuy
⋅⋅−=⇒=
⋅⋅=⇒=
⋅−=⇒=
⋅=⇒=
⋅−=⇒=
⋅=⇒=
Derivadas: Funções trigonométricas
14
Exemplo 3
� Calcular a derivada da função
( ) ( )
( ) ( )
e
u
uyuy
uuuyuy
xxfy
alog log
 . cotg . cosec cosec
logcosec
'
'
a
''
3
4
=⇒=
−=⇒=
==
8
15
Exemplo 3
� Calcular a derivada da função
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )








−=
=⇒=
−=⇒=
==
e
u
u
xxy
e
u
uyuy
uuuyuy
xxfy
a
a
log . logcotg . logcosec
log log
 . cotg . cosec cosec
logcosec
'
3
4
3
4
'
'
'
a
''
3
4
16
Exemplo 3
� Calcular a derivada da função
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )








−=
=⇒=
−=⇒=
==
e
x
x
xxy
e
u
uyuy
uuuyuy
xxfy
a
43
2
3
4
3
4
'
'
'
a
''
3
4
log3 . logcotg . logcosec
log log
 . cotg . cosec cosec
logcosec
9
17
Exemplo 3
� Calcular a derivada da função
( ) ( )( )
( ) ( )( )342
3
44'
43
4
3
4
3
4
'
logsen
logcoslog3
log3 .
logsen
logcos
logsen
1
xx
xe
y
e
xx
x
x
y
⋅
⋅
−=






⋅−=
18
Derivada da função inversa
� Teorema:
Seja y = f(x) uma função definida em um intervalo 
aberto (a, b). Suponhamos que f(x) admita 
inversa x = g(y) contínua. Se f ’(x) = dy/dx existe 
e é diferente de zero para qualquer x ∈(a, b), 
então g = f -1 é derivável e vale:
)]([
1
)(
1)(
''
'
ygfxfyg ==
10
19
Derivada da função inversa
� Teorema:
� Exemplo 4:
)]([
1
)(
1)(
''
'
ygfxfyg ==
?)( e ?)(:que ver Podemos
?)(
:por dada é inversa suaA .34 Seja
''
==
==
−==
ygxf
ygx
 xf(x) y
20
Derivada da função inversa
� Teorema:
� Exemplo 4: Resolução
)]([
1
)(
1)(
''
'
ygfxfyg ==
4
1)( e 4)(:que ver Podemos
)3(
4
1)(
:por dada é inversa suaA .34 Seja
''
==
+==
−==
ygxf
yygx
 xf(x) y
11
21
Derivadas sucessivas
� Definição: Seja f uma função derivável. Se f ’ também 
for derivável , então a sua derivada é chamada 
derivada segunda de f e é representada por:
( )
( )
n
n
n
n
nn
III
dx
xfd
dx
yd
xfxf
dx
xfd
dx
yd
xfxf
dx
xfd
xf
)()()( (iii)
)()()( )ii(
)()( (i)
3
3
3
3
3
2
2
''
===
===
=
22
Derivadas Sucessivas
� Exemplo 5:
?)(
?)(
:então,183 Seja
''''
2
2
''
2
===
===
++==
xfy
dx
yd
xfy
dx
dy
 xxf(x) y
12
23
Derivadas Sucessivas
� Exemplo 5: Resolução
( )
6)(
86)(
:então,183 Seja
''''
''
2
==
+==
++==
xfy
xxfy
 xx xfy
24
Derivação implícita
� Consideremos a equação:
Dizemos que a função y = f(x) é definida 
implicitamente pela equação acima se, ao 
substituirmos y por f(x), esta equação se 
transforma numa identidade.
)1(2 função a enteimplicitam 
 define 01
2
1
 equaçãoA 
2
2
xy
yx
−=
=−+
0),( =yxF
� Exemplo 6:
13
25
Derivação implícita
01)1(2
2
1
 identidade a obtemos 
,01
2
1
 equação na )1(2 doSubstituin 
).1(2 função a enteimplicitam 
 define 01
2
1
 equaçãoA 
22
22
2
2
=−−⋅+
=−+−=
−=
=−+
xx
yxxy
xy
yx
� Exemplo 6: Resolução
26
Derivação implícita
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )''''
''
'
,
yxyxy
yxyxy
yyxyxy
xfy
22
22
 . determinar 22 equação
pela definida é )( que Sabendo
32
32
32
−=+
−=+
−=+
=
� Exemplo 6: Resolução
14
27
Derivação implícita
( ) ( ) ( ) ( )
262
1
 
: Isolando
2162.
2162.
22
2
2
22
22
32
++
−
=
−=++
−=++
−=+
yxy
yy
y
yyyyyyx
dx
dy
dx
dyyy
dx
dyyx
yxyxy
'
'
'''
''''
� Exemplo 6: Resolução
28
2
'
'
2
'
'
2
'
'
1
 tgarc (21)
1
 cosarc (20)
1
sen arc (19)
u
uyuy
u
uyuy
u
uyuy
+
=⇒=
−
−
=⇒=
−
=⇒=
Derivadas: Funções 
trigonométricas inversas
15
29
1,
1
1, cosecarc (24)
1,
1
1, secarc (23)
1
 cotgarc (22)
2
'
'
2
'
'
2
'
'
>
−
−
=⇒≥=
>
−
=⇒≥=
+
−
=⇒=
u
uu
uyuuy
u
uu
uyuuy
u
uyuy
Derivadas: Funções 
trigonométricas inversas
30
''
''
'2'
'2'
''
''
cotgh cosech cosech (30)
tgh sech sech (29)
 cosechcotgh (28)
 sechtgh (27)
senh cosh (26)
cosh senh (25)
uuuyuy
uuuyuy
uuyuy
uuyuy
uuyuy
uuyuy
⋅⋅−=⇒=
⋅⋅−=⇒=
⋅−=⇒=
⋅=⇒=
⋅=⇒=
⋅=⇒=
Derivadas: Funções hiperbólicas
16
31
10,1
sech arg )35(
1,
1
cotgh arg )34(
1,
1
tgh arg )33(
1,
1
cosh arg (32)
1
senh arg (31)
2
'
'
2
'
'
2
'
'
2
'
'
2
'
'
<<
−
−
=⇒=
>
−
=⇒=
<
−
=⇒=
>
−
=⇒=
+
=⇒=
u
uu
uyuy
u
u
uyuy
u
u
uyuy
u
u
uyuy
u
uyuy
Derivadas: Funções hiperbólicas