AulaTeorica 05_Definição Derivada

Prévia do material em texto

1
1
Prof. Alexandre Mikowski
Joinville - SC
Universidade Federal de Santa Catarina
Campus de Joinville
Curso de Engenharia da Mobilidade
Derivada
2
Conteúdos da Aula
� A Reta Tangente;
� Velocidade e Aceleração;
� A Derivada de uma Função num Ponto;
� A Derivada de uma Função;
� Continuidade de Funções Deriváveis;
� Derivadas Laterais;
� Algumas regras de derivação.
2
3
� Compreender o conceito geométrico de 
derivada;
� Compreender o conceito matemático de 
derivada a partir de sua definição;
� Identificar as aplicações de derivadas;
� Calcular a derivada de uma função a partir de 
sua definição e com a utilização da tabela.
Objetivos da aula
4
A Reta Tangente
)(xfy =
� Encontrar a eq. da reta tangente
à curva
Seja curva definida no intervalo (a, b);
Sejam os dois pontos distintos P e Q;
Seja s a reta secante que passa por P e Q.
3
5
A Reta Tangente
� Considerando o triângulo PMQ, temos:
12
12tg
xx
yy
x
y
−
−
=
∆
∆
=α
6
A Reta Tangente
� Considere que P está fixo;
� Considere que Q move-se da direita para a esquerda.
4
7
A Reta Tangente
� Perguntas:
i - O que acontece com a reta s?
ii - Está relacionado com limite?
8
A Reta Tangente
� Resposta: 
“Inclinação da reta tangente à curva no ponto P”
0→∆x
x
y
xm
PQ ∆
∆
=
→
lim)( 1
e ainda
5
9
A Reta Tangente
� Definição:
Dada uma curva y = f(x), seja P(x1, y1) um ponto 
sobre ela. A inclinação da reta tangente à curva no 
ponto P é dada por:
12
12
1
)()(limlim)(
12 xx
xfxf
x
y
xm
xxPQ
−
−
=
∆
∆
=
→→
ou
x
xfxxf
xm
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)( 11
01
10
� Definição: Equação da Reta Tangente
Se a função f(x) é contínua em x1, então a reta 
tangente à curva y = f(x) em P(x1, f(x1)) é:
)()( 11 xxmxfy −=−
� Interpretação: 
“Inclinação da reta tangente à curva no ponto P”
6
11
x
xfxxf
x ∆
−∆+
→∆
)()(lim 11
0
(ii) A reta x = x1 se:
“for infinito”
(i) A reta que passa por P tendo inclinação:
x
xfxxf
xm
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)( 11
01
“existe o limite”
12
Exemplo 1
� Encontre a inclinação da reta tangente à curva y no 
ponto (x1, y1). 12)( 2 +−== xxxfy
x
xfxxf
xm
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)( 11
01
� Resolução:
Ponto de partida
?
7
13
Exemplo 1
� Encontre a inclinação da reta tangente à curva y no 
ponto (x1, y1). 12)( 2 +−== xxxfy
x
xfxxf
xm
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)( 11
01
� Resolução:
?)( 1 =xf
Ponto de partida
O que calcular
?)( 1 =∆+ xxf
Objetivo
?)( 1 =xm
14
x
xfxxf
xm
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)( 11
01
12)( 1211 +−= xxxf
Escrevendo
Substituindo em
?
( )
122)(2
12)()(
1
2
1
2
1
1
2
11
+∆−−∆+∆+=
=+∆+−∆+=∆+
xxxxxx
xxxxxxf
8
15
x
xxxxxxxx
xm
x ∆
+−−+∆−−∆+∆+
=
→∆
)12(122)(2lim)( 1
2
11
2
1
2
1
01
?
?
Simplificando
16
x
xxxxxxxx
xm
x ∆
+−−+∆−−∆+∆+
=
→∆
)12(122)(2lim)( 1
2
11
2
1
2
1
01
x
xxxx
xm
x ∆
∆−∆+∆
=
→∆
2)(2lim)(
2
1
01
Simplificando
ou
?
9
17
x
xxxxxxxx
xm
x ∆
+−−+∆−−∆+∆+
=
→∆
)12(122)(2lim)( 1
2
11
2
1
2
1
01
x
xxxx
xm
x ∆
∆−∆+∆
=
→∆
2)(2lim)(
2
1
01
Simplificando
x
xxx
xm
x ∆
−∆+∆
=
→∆
)22(lim)( 1
01
ou
18
Tomando o limite
22)(22lim)( 11101 −=⇒−∆+= →∆ xxmxxxm x
10
19
84ou 
)3.(44
)()(
 : tangentereta da Equação
4)3( e
 4)3( ,3
:Com
423.2)3(
22)(
:reta da Inclinação
11
1
1
11
−=
−=−
−=−
==
==
=−=
−=
xy
xy
xxmxfy
fy
mx
m
xxm
20
Velocidade e Aceleração
t
tstts
t
s
dt
ds
tv
tt ∆
−∆+
=
∆
∆
==
→∆→∆
)()(limlim)(
00
� Definição: Velocidade instantânea
� Definição: Aceleração instantânea
t
tvttv
t
v
dt
dv
ta
tt ∆
−∆+
=
∆
∆
==
→∆→∆
)()(limlim)(
00
11
21
A Derivada de uma Função 
num Ponto
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)( 11
01
'
A derivada de uma função f(x) no ponto x1, 
denotada por f’(x1), é definida pelo limite:
“Se o limite existir”
22
A Derivada de uma Função 
num Ponto
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)( 11
01
'
A derivada de uma função f(x) no ponto x1, 
denotada por f’(x1), é definida pelo limite:
x
xfxxf
xm
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)( 11
01
Qual a diferença entre as definições?
12
23
A Derivada de uma Função
A derivada de uma função y = f(x) é a função 
denotada por f’(x), tal que seu valor em qualquer x
∈ D(f) é dado por:
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)(
0
'
� Função derivável: 
“Quando existe a derivada em todos os pontos 
de seu domínio”
“se o limite existir”
24
� Diferentes notações:
( )
. de linha se-lê)((v)
; de linha se-lê(iv)
; a relação em derivada se-lê(iii)
; a relação em derivada se-lê(ii)
; a relação em derivada se-lê)((i)
'
'
xfxf
xyy
xy
dx
dy
xyyD
xxfxfD
x
x
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
A Derivada de uma Função
13
25
Exemplo 2
� Dada f (x), encontre f’(2):
165)( 2 −+= xxxf
?
26
Exemplo 2
� Dada f (x), encontre f’(2):
165)( 2 −+= xxxf
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=
→∆
)()()(' 11
01
lim
� Resolução:
Ponto de partida
Para x = x1 dado:
x
fxff
x ∆
−∆+
=
→∆
)2()2(lim)2(
0
'
14
27
x
xxf
x ∆
−⋅+⋅−−∆++∆+
=
→∆
)()()()(' 1262512625lim2
22
0
?
28
x
xxf
x ∆
−⋅+⋅−−∆++∆+
=
→∆
)()()()(' 1262512625lim2
22
0
x
xxxf
x ∆
−−∆++∆+∆+
=
→∆
122061252020lim2
2
0
)()('
?
15
29
x
xxf
x ∆
−⋅+⋅−−∆++∆+
=
→∆
)()()(
'
1262512625lim)2(
22
0
x
xxxf
x ∆
−−∆++∆+∆+
=
→∆
1220612)(52020lim)2(
2
0
'
x
xx
x
xxf
xx ∆
∆+∆
=
∆
∆+∆
=
→∆→∆
)526(lim)(526lim)2(
0
2
0
'
?
30
x
xxf
x ∆
−⋅+⋅−−∆++∆+
=
→∆
)()()(
'
1262512625lim)2(
22
0
x
xxxf
x ∆
−−∆++∆+∆+
=
→∆
1220612)(52020lim)2(
2
0
'
x
xx
x
xxf
xx ∆
∆+∆
=
∆
∆+∆
=
→∆→∆
)526(lim)(526lim)2(
0
2
0
'
( ) 26526lim2
0
=∆+=
→∆
xf
x
)('
16
31
32
17
33
Continuidade de Funções Deriváveis
Se f(x) é contínua em x1 não implica a existência 
de f’(x1). A recíproca porém é verdadeira, como 
mostra teorema.
� Teorema: Toda função derivável num 
ponto x1 é contínua nesse ponto.
34
Derivadas Laterais
1
11
01
 onde 
 
)()(lim)(
xx∆x
x
xfxxf
xf
x
−=
∆
−∆+
=
+→∆+
'
� Definição:
Se a função y = f(x) está definida em x1, então a 
derivada à direita de f em x1 é definida por:
18
35
Derivadas Laterais
1
1
11
01
'
)()(lim
)()(lim)(
1 xx
xfxf
x
xfxxf
xf
xx
x
−
−
=
∆
−∆+
=
+
+
→
→∆+
� Definição:
Se a função y = f(x) está definida em x1, então a 
derivada à direita de f em x1 é definida por:
36
Derivadas Laterais
� Definição:
Se a função y = f(x) está definida em x1, então a 
derivada à esquerda de f em x1 é definida por:
1
1
11
01
'
)()(lim
)()(lim)(
1 xx
xfxf
x
xfxxf
xf
xx
x
−
−
=
∆
−∆+
=
−
−
→
→∆−
19
37
Derivadas Laterais
� Importante:
Uma função é derivável em um ponto, quando as 
derivadas à direita e à esquerda nesse ponto 
existem e são iguais.
Se forem diferentes, dizemos que este é um ponto 
anguloso do gráfico da função.
38
Exemplo 3:
� Seja f a função definida por:
2.em contínua é queMostrar 
2 se ,7
2 se ,13)(
f
 xx
 x x
xf



≥−
<−
=
20
39
Exemplo 3:
� Resolução:
.5)2()(lim
,finalmente e,
5)13(lim)7(lim)(lim
5)12.3()2( e 5)27()2(
2
222
==
=−=−=
=−==−=
→
→→→
−+
−+
fxf
xxxf
ff
x
xxx
40
Exercício:
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=
+→∆+
)()()(' 11
01
lim
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=
−→∆−
)()()(' 11
01
lim
( ) ( )
laterais. derivadas de definições as Usar :Dica
.2 e 2encontrar 3, exemplo dopartir A '' ff
−+
21
41
Regras de derivação
� Proposição: Derivada de uma constante
0)()(
ou
0)()(
'
'
=⇒=
==⇒=
xfcxf
xf
dx
dy
cxf
42
Regras de derivação
1' )()( −⋅=⇒= nn xnxfxxf
� Proposição: Regra da potência
� Exemplo 4: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ? então , Se (iii)
? então , Se (ii)
? então , Se (i)
10
5
==
==
==
xh x xh
xg x xg
xf x xf
'
'
'
22
43
Regras de derivação
1' )()( −⋅=⇒= nn xnxfxxf
� Proposição: Regra da potência
� Exemplo 4: Resolução
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 911010
11
4155
1010 então , Se (iii)
11 então , Se (ii)
55 então , Se (i)
x.xxh x xh
.xxg x xg
x.xxf x xf
'
'
'
===
===
===
−
−
−
44
Regras de derivação
)()()()( '' xfcxgxfcxg ⋅=⇒⋅=
� Proposição: Derivada do produto de uma 
constante por uma função
� Exemplo 5: 
( ) ( )
( ) ( ) ? então ,2 Se (ii)
? então ,8 Se (i)
7
2
=−=
==
zgz zg
xfx xf
'
'
23
45
Regras de derivação
)()()()( '' xfcxgxfcxg ⋅=⇒⋅=
� Proposição: Derivada do produto de uma 
constante por uma função
� Exemplo 5: Resolução
( ) ( )
( ) ( ) 6177
122
14)7(2 então ,2 Se (ii)
16)2(8 então ,8 Se (i)
zzzgz zg
xxxfx xf
'
'
−=⋅−=−=
=⋅==
−
−
46
Regras de derivação
)()()()()()( ''' xgxfxhxgxfxh +=⇒+=
� Proposição: Derivada de uma soma
� Exemplo 6: 
( )
( )
?
7249 Se (ii)
?
583 Se (i)
25
4
++−=
++=
yyy yg
xx xf
24
47
Regras de derivação
)()()()()()( ''' xgxfxhxgxfxh +=⇒+=
� Proposição: Derivada de uma soma
� Exemplo 6: Resolução
( )
( )
( )
( ) 2845012)2(4)5(9
 então ,7249 Se (ii)
812018)4(3
 então ,583 Se (i)
44
25
33
4
+−=+⋅+⋅−⋅=
++−=
+=+⋅+⋅=
++=
yyyyyg
yyy yg
xxxf
xx xf
'
'
48
Regras de derivação
)()()()()()()()( ''' xgxfxgxfxhxgxfxh ⋅+⋅=⇒⋅=
� Proposição: Derivada de um produto
� Exemplo 7: 
( ) ( ) ( ) ( )
?
12 sendo Encontrar 243' xxx xf xf +⋅−=
25
49
Regras de derivação
)()()()()()()()( ''' xgxfxgxfxhxgxfxh ⋅+⋅=⇒⋅=
� Proposição: Derivada de um produto
� Exemplo 7: Resolução
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22433
243'
62412
12 sendo Encontrar 
xxxxxxxf
xxx xf xf
'
⋅+++⋅−=
+⋅−=
50
Regras de derivação
[ ]2
''
'
)(
)()()()()()(
)()(
xg
xgxfxfxg
xh
xg
xf
xh ⋅−⋅=⇒=
� Proposição: Derivada de um quociente
� Exemplo 8:
( ) ( )
?
35
32
 sendo Encontrar 2
4
'
+−
−
=
xx
x
 xf xf
26
51
Regras de derivação
[ ]2
''
'
)(
)()()()()()(
)()(
xg
xgxfxfxg
xh
xg
xf
xh ⋅−⋅=⇒=
� Proposição: Derivada de um quociente
� Exemplo 8: Resolução
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )22
432
2
4
'
35
5232835
35
32
 sendo Encontrar 
+−
−⋅−−⋅+−
=
+−
−
=
xx
xxxxx
xf
xx
x
 xf xf
'
52
Regras de derivação
� Proposição: Regra da potência
� Exemplo 9: 
( ) ( ) ? então , Se 5 == − xf x xf '
1' )(1)( −−− ⋅−=⇒== nn
n
xnxfx
x
xf
27
53
Regras de derivação
� Proposição: Regra da potência
� Exemplo 9: Resolução
( ) ( ) 661555 555 então ,1 Se
x
xxxf x
x
 xf ' −=−=−=== −−−−
1' )(1)( −−− ⋅−=⇒== nn
n
xnxfx
x
xf