AulaTeorica 09_Aplicações de Derivadas

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Prof. Alexandre Mikowski
Joinville - SC
Universidade Federal de Santa Catarina
Campus de Joinville
Curso de Engenharia da Mobilidade
Aplicações da 
Derivada
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Conteúdos da Aula
� Análise do Comportamento de uma 
Função;
� Problemas de Maximização e 
Minimização;
� Diferencial.
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� Efetuar a análise geral do comportamento de 
uma função para esboçar o gráfico de 
funções;
� Utilizar o conceito de derivada na resolução 
de problemas de maximização e 
minimização;
� Compreender o conceito de diferencial e as 
suas aplicações.
Objetivos da aula
4
Construção de Gráficos
ProposiçãoDeterminar os intervalos 
de crescimento e 
decrescimento de f(x)
4a
Teorema de RolleEncontrar os pontos 
críticos
3a
----------Calcular os pontos de 
intersecção com os eixos
2a
----------Encontrar D(f)1a
Definições e 
Teoremas
ProcedimentoEtapas
3
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Relembrando - Máximos e Mínimos
� O ponto c ∈ D(f) tal que f ’(c) = 0 ou f ’(c) não 
existe, é chamado ponto crítico de f.
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Relembrando - Teorema de Rolle
� Seja f uma função definida e contínua em [a, b] 
e derivável em (a, b). Se f(a) = f(b) = 0, então 
existe pelo menos um ponto c entre a e b tal 
que f ’(c) = 0.
O teorema pode ser estendido para funções tais 
que f(a) = f(b) ≠ 0.
4
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Relembrando - Funções Crescentes 
e Decrescentes
� Proposição:
Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e 
derivável no intervalo (a, b).
(i) Se f ’(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f é 
crescente em [a, b];
(ii) Se f ’(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então f é 
decrescente em [a, b].
8
Construção de Gráficos
----------Esboçar o gráfico8a
Definições de 
assíntotas
Encontrar as assíntotas 
horizontais e verticais, se 
existirem
7a
ProposiçãoDeterminar a 
concavidade e os pontos 
de inflexão da função
6a
Teorema da 
derivada segunda
Encontrar os máximos e 
mínimos relativos
5a
Definições e 
Teoremas
ProcedimentoEtapas
5
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Relembrando - Teorema da 
Derivada Segunda
� Teorema: Critério da derivada segunda para 
determinação de extremos
Sejam f uma função derivável num intervalo (a, b) e
c um ponto crítico de f neste intervalo, isto é,
f ’(c) = 0, com a < c < b. Se f admite a derivada f ’’ em 
(a, b), temos:
(i) Se f ’’(c) < 0, f tem um valor máximo relativo em c.
(ii) Se f ’’(c) > 0, f tem um valor mínimo relativo em c.
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Relembrando - Concavidade e
Pontos de Inflexão
� Proposição:
Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e 
derivável até segunda ordem no intervalo (a, b).
(i) Se f ’’(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f é 
côncava para cima em (a, b).
(ii) Se f ’’(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então f é 
côncava para baixo em (a, b).
6
11
Relembrando - Assíntotas
12
Relembrando - Assíntotas
7
13
Relembrando - Assíntotas
� Definição:
A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de 
y = f(x), se pelo menos uma das seguintes 
afirmações for verdadeira:
−∞=
−∞=
+∞=
+∞=
−
+
−
+
→
→
→
→
)(lim)(
)(lim)(
)(lim)(
)(lim)(
xfiv
xfiii
xfii
xfi
ax
ax
ax
ax
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Relembrando - Assíntotas
� Definição:
A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico 
de y = f(x), se pelo menos uma das seguintes 
afirmações for verdadeira:
bxfii
bxfi
x
x
=
=
−∞→
+∞→
)(lim)(
)(lim)(
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Exemplo 1:
� Esboçar o gráfico da função:
( ) 2683 234 ++−= xxxxf
� Basta seguir as 8 etapas mencionadas e 
com os conteúdos revisados
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Construção de Gráficos
?Determinar os intervalos 
de crescimento e 
decrescimento de f(x)
4a
?Encontrar os pontos 
críticos
3a
?Calcular os pontos de 
intersecção com os eixos
2a
?Encontrar D(f)1a
ResultadoProcedimentoEtapas
9
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Construção de Gráficos
x ≥≥≥≥ 0 (crescente)
e
x ≤≤≤≤ 0 (decrescente)
Determinar os 
intervalos de 
crescimento e 
decrescimento de f(x)
4a
x1 = 0 e
x2 = 1
Encontrar os pontos 
críticos
3a
f(0) = 2Intersecção com o eixo 
dos y
2a
D(f) = IREncontrar D(f)1a
ResultadoProcedimentoEtapas
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Construção de Gráficos
?Esboçar o gráfico8a
?Encontrar as assíntotas 
horizontais e verticais, se 
existirem
7a
?Determinar a 
concavidade e os pontos 
de inflexão da função
6a
?Encontrar os máximos e 
mínimos relativos
5a
ResultadoProcedimentoEtapas
10
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Construção de Gráficos
Não existemEncontrar as 
assíntotas horizontais 
e verticais, se existirem
7a
(−∞−∞−∞−∞, 1/3) ∪∪∪∪ (1, +∞+∞+∞+∞)
côncava p/ cima
(1/3, 1)
côncava p/ baixo
x = 1/3 e 1 (inflexão)
Determinar a 
concavidade e os 
pontos de inflexão da 
função
6a
f(0) = 2
Ponto mínimo
Encontrar os máximos 
e mínimos relativos
5a
ResultadoProcedimentoEtapas
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Exemplo 1:
� Esboço o gráfico de: ( ) 2683 234 ++−= xxxxf
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Construção de Gráficos: Software
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Problemas de
Maximização e Minimização
� Uma lata cilíndrica é feita para receber um 
1 litro de óleo. Encontre as dimensões que 
minimizarão o custo do metal para 
produzir a lata.
Exemplo 2:
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23
� A área da superfície total da lata cilíndrica é:
rhrA pipi 22 2 +=
� Onde o 1o termo corresponde as áreas da 
base circular e o 2o a área retangular.
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� Eliminando h, fazemos:
32 cm 1000=hrpi
� Que fornece:
( ) 10002rh pi=
� Substituindo h na expressão para a área A, 
temos:
r
r
r
rrA 20002100022 22
2 +=





+= pi
pi
pipi
13
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� A função a ser minimizada é:
( ) 0p/ , 20002 2 >+= r
r
rrA pi
� Encontrando os pontos críticos:
( ) ( ) ( )
 
500420004 2
3
2
'
r
r
r
r
dr
rdA
rA −=−== pipi
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� Teorema de Rolle:
� Quando:
( ) 0' =rA
5003 =rpi
� Ponto ou número crítico: 3
500
pi
=r
( ) ( ) rrh 250025001000 1000 3322 =⋅=== pipipipi
� Da relação entre h e r para 1 litro, temos:
14
27
� Conclusão:
Para minimizar o custo da lata,
o raio deve ser:
cm 
5003
pi
=r
e a altura:
rh 25002 3 =⋅=
pi
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Problemas de
Maximização e Minimização
� Exemplos: 1 (p. 302), 3 e 4 (p. 304), 5 (p. 305), 6 
(p. 306).
Estudar:
STEWART, J. Cálculo. Vol. 1; 6ª edição, Cengage Learning, São Paulo, 2009.
� Exemplos 5.11.1: 1 (p. 218), 2 (p. 219), 3 (p. 220), 
4 (p. 221), 5 (p. 222), 6 (p. 223).
FLEMING, D. M. & GONÇALVES, M. B. Cálculo A. Vol. 1; 6ª edição,
Pearson Prentice Hall, São Paulo, 2007.
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Diferencial
Sejam y = f(x) uma função derivável e ∆x um 
acréscimo de x. Definimos:
)(ou 
)()(
:edenpendent variávelda ldiferenciaA )(
:nteindenpende variávelda ldiferenciaA )(
'
''
xf
dx
dy
dxxfxxfdy
b
∆xdx
a
=
⋅=∆⋅=
=
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Diferencial
� Interpretação Geométrica:
( ) ( )
( ) ( )
( )
dx
dy
PM
MR
xf
PM
MR
xf
xf
==
==
=
1
'
1
'
1
'
tg
tg
α
α
16
31
Diferencial
� Obtenha um valor 
aproximado para o 
volume de uma fina coroa 
cilíndrica de altura 12 m, 
raio interior 7 m e 
espessura 0,05 m. Qual o 
erro se resolvermos 
usando diferenciais?
Exemplo 3:
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� O volume V do cilindro interior é dado por:
322 m 588127 pipipi =⋅⋅== hrV
� Usando diferenciais:
� O volume exato será:
3m 4,805,012722 pipipi =⋅⋅⋅=∆=≅∆ rrhdVV
( )[ ]
( )[ ] 322
22
m 43,81271205,7 pipipi
pipi
=⋅⋅−⋅⋅=∆
−⋅∆+=∆
V
hrhrrV
17
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� Conclusão:
O erro cometido na aproximação é:
3m 03,0 pi=−∆ dVV