AulaTeorica 07_Aplicações de Derivadas

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Prof. Alexandre Mikowski
Joinville - SC
Universidade Federal de Santa Catarina
Campus de Joinville
Curso de Engenharia da Mobilidade
Aplicações da 
Derivada
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Conteúdos da Aula
� Máximos e Mínimos;
� Funções Crescentes e Decrescentes;
� Teorema sobre Derivadas;
� Ponto de Inflexão e Concavidade.
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3
� Verificar as diferentes aplicações 
da Derivada;
� Analisar o comportamento das 
funções utilizando definições e 
teoremas que envolvem derivadas.
Objetivos da aula
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Máximos e Mínimos
4321 e ,, xxxx� Pontos de abscissas →
Pontos extremos da função.
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Máximos e Mínimos
� Os valores f(x1) e f(x3) → máximos relativos
� Os valores f(x2) e f(x4) → mínimos relativos
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Máximos e Mínimos
� Definição:
Uma função f tem um máximo relativo em c, se 
existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que 
f(c) ≥ f(x) para todo x ∈ I ∩ D(f).
� Definição:
Uma função f tem um mínimo relativo em c, se 
existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que 
f(c) ≤ f(x) para todo x ∈ I ∩ D(f).
4
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Exemplo 1
� A função f(x) = 3x4 - 12x2 tem um máximo 
relativo c1 = 0, pois existe o intervalo (-2, 2), 
tal que f(0) ≥≥≥≥ f(x) para todo x ∈∈∈∈ (-2, 2).
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Exemplo 1
( )
( )
.)20( 
 todopara )(2 
e )02( todopara 
)(2 pois relativos, 
mínimos temdada função a 
,2 e 2 Em 32
, x 
xff
, - x 
xf-f
c-c
∈
≤
∈
≤
+==
� Resolvendo:
5
9
Máximos e Mínimos
� Proposição:
Suponhamos que f(x) existe para todos os valores 
x ∈ (a, b) e que f tem um extremo relativo em c, 
onde a < c < b. Se f ’(c) existe, então f ’(c) = 0.
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Máximos e Mínimos
� O ponto c ∈ D(f) tal que f ’(c) = 0 ou f ’(c) não 
existe, é chamado ponto crítico de f.
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Máximos e Mínimos
� Proposição:
Seja f: [a,b] → IR uma função contínua, definida 
em um intervalo fechado [a, b]. Então f assume 
máximo e mínimo absoluto em [a, b].
� Definições:
Dizemos que f(c) é o máximo absoluto da função 
f, se c ∈ D(f) e f(c) ≥ f(x) para todos os valores de 
x no domínio de f.
Dizemos que f(c) é o mínimo absoluto da função f,
se c ∈ D(f) e f(c) ≤ f(x) para todos os valores de x
no domínio de f.
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Exemplo 2
� (i) - A função f(x) = x2 + 6x - 3 tem um mínimo 
absoluto igual a -12 em c = -3.
� (ii) - A função f(x) = -x2 + 6x - 3 tem um 
máximo absoluto igual a 6 em c = 3.
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13
Exemplo 2
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Teoremas sobre Derivadas
� Teorema de Rolle:
Seja f uma função definida e contínua em [a, b] e 
derivável em (a, b). Se f(a) = f(b) = 0, então existe 
pelo menos um ponto c entre a e b tal que f ’(c) = 0.
O teorema pode ser estendido para funções tais 
que f(a) = f(b) ≠ 0.
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Exemplo 3
� (i) - A função f(x) = x2 + 6x - 3 tem um mínimo 
absoluto igual a -12 em c = -3.
� (ii) - A função f(x) = -x2 + 6x - 3 tem um 
máximo absoluto igual a 6 em c = 3.
� Verifique se f ’(c) = 0
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Teoremas sobre Derivadas
� Teorema do Valor Médio:
Seja f uma função contínua em [a, b] e derivável em 
(a, b). Então existe um número c no intervalo tal (a, b) 
que:
( ) ( ) ( )
ab
afbf
cf
−
−
='
18
( ) ( ) ( )
ab
afbf
cf
−
−
='
10
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Funções Crescentes e Decrescentes
� Definição:
Dizemos que uma função f, definida num intervalo
I, é crescente neste intervalo se para quaisquer 
x1, x2 ∈ I, x1 < x2,temos f(x1) ≤ f(x2).
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Funções Crescentes e Decrescentes
� Definição:
Dizemos que uma função f, definida num intervalo
I, é decrescente neste intervalo se para quaisquer 
x1, x2 ∈ I, x1 < x2,temos f(x1) ≥ f(x2).
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Funções Crescentes e Decrescentes
� Proposição:
Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e 
derivável no intervalo (a, b).
(i) Se f ’(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f é 
crescente em [a, b];
(ii) Se f ’(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então f é 
decrescente em [a, b].
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Exemplo 4
� Determinar os intervalos nos quais a função 
f(x) = x2 - x + 5 é crescente ou decrescente.
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( )
e.decrescent é função a 
2
1
ou 012 Para
crescente. é função a 
2
1
ou 
012 para Então, 12' Temos
<<−⇒
>
>−−=⇒
x x 
 x
 x xxf .
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Critérios para determinar os 
Extremos de uma Função
� Teorema: Critério da derivada primeira para 
determinação de extremos
Seja f uma função contínua no intervalo fechado 
[a, b] que possui derivada em todo o ponto do 
intervalo (a, b), exceto possivelmente num ponto c.
(i) Se f ’(x) > 0 para todo x < c e f ’(x) < 0 para todo 
x > c, então f tem um máximo relativo em c;
(ii) Se f ’(x) < 0 para todo x < c e f ’(x) > 0 para todo 
x > c, então f tem um mínimo relativo em c.
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Exemplo 5
� Encontrar os intervalos de crescimento, 
decrescimento e os máximos e mínimos 
relativos da função





>+
≤−−
=
5 se ),7(
2
1
5 se ,3)2(
)(
2
xx
xx
xf
26
Exemplo 5
� Resolvendo:





>+
≤−−
=
5 se ),7(
2
1
5 se ,3)2(
)(
2
xx
xx
xf
. de crítico ponto um é 5 então e 
existe não )5( Logo, .6)5( e 
2
1)5( Ainda
.
2
1)( temos
5, se e, )2(2)( temos5, Se
'''
'
'
f
fff
xf
xxxfx
==
=
>−=<
−+
14
27
Exemplo 5
� Resolvendo:





>+
≤−−
=
5 se ),7(
2
1
5 se ,3)2(
)(
2
xx
xx
xf
.) [5, em crescente é Então,
 positiva. é )( 5, Se
2]. ,(- em edecrescent é Então,
negativa. é )( 2, Se
.0)2( pois 
crítico, ponto um é também2 O
'
'
'
∞+
>
∞
<
=
=
f
xfx
f
xfx
f
x
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Exemplo 5
� Resolvendo:





>+
≤−−
=
5 se ),7(
2
1
5 se ,3)2(
)(
2
xx
xx
xf
2. em relativo
mínimo um tem que
concluímos derivada,
primeira da critério Pelo
=x
f
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Critérios para determinar os 
Extremos de uma Função
� Teorema: Critério da derivada segunda para 
determinação de extremos
Sejam f uma função derivável num intervalo (a, b) e
c um ponto crítico de f neste intervalo, isto é,
f ’(c) = 0, com a < c < b. Se f admite a derivada f ’’ em 
(a, b), temos:
(i) Se f ’’(c) < 0, f tem um valor máximo relativo em c.
(ii) Se f ’’(c) > 0, f tem um valor mínimo relativo em c.
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Exemplo 6
� Encontre o máximo e o mínimo relativos de f
aplicando o critério da segunda derivada.
32 4318)( xxxxf −+=
16
31
Exemplo 6
� Resolvendo: 32 4318)( xxxxf −+=
??? 
: temos,0)( Fazendo
segunda derivada4x 26)(
e
primeira derivada12618)(
'
''
2'
=
⇒−=
⇒−+=
xf
xf
xxxf
32
Exemplo 6
� Resolvendo:
1.- e 
2
3
 
:críticos pontos os obtemos ,Resolvendo
012618 temos,0)( Fazendo
segunda derivada4x 26)(
e
primeira derivada12618)(
2'
''
2'
=−+=
⇒−=
⇒−+=
xxxf
xf
xxxf
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Exemplo 6
� Resolvendo:
( )
1. em relativo mínimo
 valorum tem ,0301 Como
.
2
3
 em relativo máximo
 valorum tem ,030
2
3
 Como
''
''
−
>=−
<−=





ff
ff
34
Concavidade e Pontos de Inflexão
� Qual sentido gira a reta tangente?
18
35
Concavidade e Pontos de Inflexão
� Gira no sentido anti-horário. E a concavidade?
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Concavidade e Pontos de Inflexão
� Qual sentido gira a reta tangente?
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Concavidade e Pontos de Inflexão
� Gira no sentido horário. E a concavidade?
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Concavidade e Pontos de Inflexão
� Definição:
Uma função f é dita côncava para cima no intervalo 
(a, b), se f ’(x) é crescente neste intervalo.
� Definição:
Uma função f é dita côncava para baixo no intervalo 
(a, b), se f ’(x) for decrescente neste intervalo.
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Concavidade e Pontos deInflexão
� Proposição:
Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e 
derivável até segunda ordem no intervalo (a, b).
(i) Se f ’’(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f é 
côncava para cima em (a, b).
(ii) Se f ’’(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então f é 
côncava para baixo em (a, b).
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Concavidade e Pontos de Inflexão
� Definição:
Um ponto P(c, f(c)) do gráfico de uma função 
contínua f é chamado um ponto de inflexão, se existe 
um intervalo (a, b) contendo c, tal que uma das 
seguintes situações ocorra:
(i) f é côncava para cima em (a, c) e côncava para 
baixo em (c, b).
(ii) f é côncava para baixo em (a, c) e côncava para 
cima em (c, b).
21
41
(i) f é côncava para cima em (a, c) e côncava para 
baixo em (c, b).
(ii) f é côncava para baixo em (a, c) e côncava para 
cima em (c, b).
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Exemplo 7
� Determinar o ponto de inflexão e 
reconhecer os intervalos onde a função 
seguinte tem concavidade voltada para 
cima ou para baixo.
3)1()( −= xxf
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Exemplo 7
3)1()( −= xxf
� Determinar o ponto de inflexão e reconhecer 
os intervalos onde a função seguinte tem 
concavidade voltada para cima ou para baixo.
� Resolvendo:
.???)(
???)(
''
'
=
=
xf
xf
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Exemplo 7
3)1()( −= xxf
� Determinar o ponto de inflexão e reconhecer 
os intervalos onde a função seguinte tem 
concavidade voltada para cima ou para baixo.
� Resolvendo:
:esequivalent desdesigualda
 seguintes as temos,0)( Fazendo
).1(6)(
)1(3)(
''
''
2'
>
−=
−=
xf
xxf
xxf
23
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Exemplo 7
3)1()( −= xxf
� Determinar o ponto de inflexão e reconhecer 
os intervalos onde a função seguinte tem 
concavidade voltada para cima ou para baixo.
� Resolvendo:
).1 ,( em baixo para côncava é 
.0)( ),1 ,( intervalo no
te,Analogamen
) (1, em cima para côncava é 
 .0)( ), (1, Em
''
''
∞
<∞
∞+
>∞+
-f
xf-
f
xf
46
Exemplo 7
3)1()( −= xxf
� Determinar o ponto de inflexão e reconhecer 
os intervalos onde a função seguinte tem 
concavidade voltada para cima ou para baixo.
� Resolvendo: